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第39 讲 带电粒子在磁场中的运动
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识............................................................................4
知识点 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识.............................................................................4
考向 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识.........................................................................................5
考点二 带电粒子在非匀强磁场中的运动........................................................................................8
知识点 处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题的基本思路.............................................................8
考向 带电粒子在非匀强磁场中的运动.....................................................................................................8
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动..................................................................................11
知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动................................................................................11
知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题................................................................12
考向1 直线边界........................................................................................................................................13
考向2 弧形边界........................................................................................................................................17
考向3 根据粒子运动确定磁场区域范围................................................................................................21
考向4 电性不确定导致的多解问题........................................................................................................24
考向5 磁场方向不确定导致的多解问题................................................................................................28
考向6 临界状态不唯一导致的多解问题................................................................................................34
考点四 三类动态圆..........................................................................................................................39
知识点 三类动态圆模型...................................................................................................................39
考向1 “平移圆”模型............................................................................................................................40
考向2 “放缩圆”模型............................................................................................................................45
考向3 “旋转圆”模型............................................................................................................................48
考点五 磁聚焦 磁发散....................................................................................................................54
知识点 磁聚焦和磁发散模型...........................................................................................................54
考向 磁聚焦 磁发散模型......................................................................................................................... 54
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................................60
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在磁场
中的运动
选择题
非选择题
\
\
全国甲卷T7，6 分
考情分析：
1．在四川高考物理中，带电粒子在磁场中的运动是电磁学板块的重难点，对考生的知识掌握和应用能力
有着较高要求。
2．从命题思路上看，磁场内容与电场、电磁感应、力学等知识的综合考查趋势将愈发明显。
复习目标：
目标一：理解带电粒子在磁场中运动的基础知识，学会计算周期、半径等等。
目标二：攻破圆模型，磁发散、磁聚焦模型。
目标三：正确解决带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
2
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3
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考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
知识点 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
1.在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。
2.带电粒子以速度v 垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与
磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝m v
2
r
。
(2)轨迹半径：r＝mv
qB 。
(3)周期：T＝2π r
v
＝2π m
qB ，可知T 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有
关。
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝θ
2π T。
3.粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F 的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图
乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝mv
qB 计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为
r 的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
4
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方法一 由R＝mv
qB 求得。
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
如图甲，由R＝L
sinθ 或R2＝L2＋(R－d)2求得。
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝1
2α。
(3)时间的计算方法
方法一 利用圆心角θ、周期T 求得t＝θ
2π T。
方法二 利用弧长l、线速度v 求得t＝l
v 。
考向 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
例1 科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外
存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。P点为纸面内一离子源，可以沿着与PO成θ =37
∘的方向发射速度
大小不等的同种正离子，已知OP=5r，不计粒子重力。为使离子源发射的正离子都能射入圆形区域，则
正离子在磁场中做圆周运动的轨道半径R需满足（ ）
A．3r < R<6r
B．3r < R<5r
C．4 r < R<5r
D．4 r < R<6r
【变式训练1】四个带电粒子的电荷量和质量分别为（＋q，m）、（＋q，2m）、（＋3q，3m）、
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（-q，m），它们先后以相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，
不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】一带电粒子沿垂直磁场方向射入匀强磁场，经过轨迹如图所示，轨迹上每一小段都
可以近似看成圆弧，其能量逐渐减小（质量、电量不变），从图中可以确定运动方向和电性是（ ）
A．粒子从b 到a，带负电
B．粒子从a 到b，带负电
C．粒子从a 到b，带正电
D．粒子从b 到a，带正电
【变式训练3】如图，正方形abcd 内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a 以速
度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab 边的中点、b 点和c 点射
出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（ ）
A．t1 < t2 = t3
B．t1 < t2 < t3
C．t1 = t2 > t3
D．t1 > t2 > t3
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考点二 带电粒子在非匀强磁场中的运动
知识点 处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题的基本思路
处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题时，首先要弄清楚该非匀强磁场如何变化，其次分析粒子的受力
情况，然后根据受力情况推算出运动情况，最后得出结论。
考向 带电粒子在非匀强磁场中的运动
例1 如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N 两小孔中，O 为M、N 连线的中点，
连线上的a、b 两点关于O 点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的
磁场的磁感应强度B =k I
r （式中k 是常数、I 是导线中的电流、r 为点到导线的距离）。一带负电的小球以
初速度v0从a 点出发沿M、N 连线运动到b 点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a 点运动到b 点的过
程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球做匀加速直线运动
B．小球做匀减速直线运动
C．小球对桌面的压力一直在减小
D．小球对桌面的压力一直在增大
【变式训练1】如图所示，纸面内固定的两平行长直导线ab、cd中通有大小相同、方向相反的电
流，位于纸面内两导线间P处（靠近ab）的粒子源沿平行于ab方向发射一速度为v0的带正电粒子。已知通
有电流为I的长直导线，在距离导线为r处产生的磁场的磁感应强度为B =k I
r ，k为常量。不计粒子重力，
图中虚线到ab、cd的距离相等。则粒子在导线间的运动轨迹可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式训练2】如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直xOy平面放置，四根长直导线与xOy
平面的交点组成边长为2a的正方形且关于x轴和y轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3 中电
流大小为I，导线2、4 中电流大小为2 I。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点
到通电长直导线的距离成反比，即B = kI
r 、下列说法正确的是（ ）
A．长直导线1、4 之间的相互作用力为吸引力
B．一垂直于纸面并从O点射入的粒子，将做圆周运动
C．导线4 受到的导线1、2、3 的作用力的合力方向指向O点
D．仅将导线2 中的电流反向，则导线2 和4 连线上各点磁感应强度方向均相同
【变式训练3】如图，水平导线中有电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向
相同，则电子将（ ）
A．沿路径a 运动，轨迹是圆
B．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
8
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1.“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定
圆心的确定
半径的确定
时间的确定
基本
思路
（1）与速度方向垂直的直线过圆心。
（2）弦的垂直平分线过圆心。
（3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
利用平面几何知识求
半径
利用轨迹长度L 或对应圆心角θ
求时间
t＝L
v ＝θ
2π T
图例
说明
P、M 点速度
垂线的交点
P 点速度垂线与
弦的垂直平分线
的交点
S 点的速度
垂线与切点
法线的交点
常用解三角形法，
（如图）R＝
L
sinθ 或
由R2＝L2＋（R－d）
2求得R＝L
2＋d
2
2d
（1）速度的偏转角φ 等于AB
⏜
所对的圆心角θ。
（2）偏转角φ 与弦切角α 的关
系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ
＞180°，φ＝360°－2α
2.粒子在几种常见有界磁场中的运动分析
种类
图形
特点
直线
边界
进出磁场具有对称性
平行
边界
存在临
界条件
圆形
边界
图b：粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半
径
（1）沿径向射入必沿径向射出。
（2）图b 为磁聚焦现 象
知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
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多解分类
多解原因
示意图
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场
中的运动轨迹不同
磁场方向不确定
题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，
而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应
强度方向有两种情况
临界状态不唯一或速度
大小不确定
带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也
可能从入射界面反向射出
运动的往复性
带电粒子在空间运动时，往往具有往复性
考向1 直线边界
例1（2025·四川绵阳·高三月考）质子(❑1
1H)和氘核(❑1
2H)以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强
磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为r1，b的半径为r2。设F1、F2和t1、t2分别是质子、氘
核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（ ）
A．轨迹a是氘核的运动轨迹
B．r1:r2=1:2
C．F1: F2=2:1
D．t1:t2=1:1
【变式训练1】如图，正方形区域abcd 内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从
ad 边的中点M 以速度v 垂直于ad 边射入磁场，并恰好从ab 边的中点N 射出磁场。不计粒子的重力，下列
说法正确的是（ ）
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A．粒子带负电
B．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从a 点射出
C．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从b 点左侧射出
D．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子在磁场中的运动时间将变长
【变式训练2】（2025·四川凉山·三模）如图所示，粒子a、b的质量分别为2m、m，电量分别为q
、−q，它们以相同的动能从O点沿OP方向射入无限长直边界AB上方的匀强磁场，OP与磁场边界成45°
角，磁场方向垂直于纸面向里，则a、b在磁场中运动的时间之比为（ ）
A．6 1∶
B．4 1∶
C．3 1∶
D．2 1∶
【变式训练3】（多选）（2025·四川成都·高三月考）如图，在直角三角形CDE 区域内有磁感应强
度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场，P 为直角边CD 的中点，∠C=37°，CD=3L。一束相同的带负电
粒子以不同速率从P 点垂直于CD 边射入磁场，粒子的比荷为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子间的相
互作用和重力。下列说法正确的是（ ）
A．速率不同的粒子在磁场中运动的时间一定不同
B．从CD 边飞出的粒子的最大速率为3kBL
4
C．粒子从DE 边飞出的区域长度为3√2 L
2
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D．从CE 边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为π
2kB
考向2 弧形边界
例1 如图所示，半径为R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒
子从图中P 点以速度v 沿直径方向射入磁场，经磁场偏转θ =60°后从Q 点射出磁场。忽略粒子的重力，下
列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子的比荷为√3 BR
v
C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为π R
3
D．若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P 点射入，仍从Q 点射出，则圆形磁场的最小面
积为3π R
2
4
【变式训练1】（2025·四川成都·二模）如图所示，在水平面内存在一半径为2R 和半径为R 的两个
同心圆，半径为R 的小圆和半径为2R 的大圆之间形成一环形区域。小圆和环形区域内分别存在垂直水平
面、方向相反的匀强磁场。小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B。位于圆心处的粒子源S 沿水平面向各
个方向发射速率为qBR
m 的正粒子，粒子的电荷量为q，质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R 的圆
形内，环形区域磁感应强度大小至少为（ ）
A．3
5 B
B．5
3 B
C．3
4 B
D．4
3 B
【变式训练2】圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、
b、c 以不同的速率沿着AO方向对准圆心O 射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作
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用，则下列说法正确的是（ ）
A．a 粒子速率最大
B．c 粒子的洛伦兹力最小
C．a 粒子在磁场中运动的时间最长
D．它们做圆周运动的周期T a<T b<T c
【变式训练3】（多选）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。a、b、c、d为圆形区域边界的四等分点，半径oa的中点p处有一粒子源，能
在纸面内沿各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为qBR
2m 的正电粒子。不计粒子重力以及粒子间的相
互作用，下列说法正确的是（ ）
A．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为πm
6qB
B．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为πm
3qB
C．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最长时间为5 πm
3qB
D．圆弧ad上有粒子射出的区域弧长为πR
3
考向3 根据粒子运动确定磁场区域范围
例1 如图所示，在xOy平面上以O 为圆心的圆形区域内存在匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于
xOy平面向外。一个质量为m、电荷量为q 的带负电粒子，从原点O 以初速度大小为v0沿y 轴负方向开始
运动，后来粒子经过x 轴上的A 点，此时速度方向与x 轴的夹角为30°。A 到O 的距离为d，不计粒子的重
力，则圆形磁场区域的半径为（ ）
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A．√3
2 d
B．√3
3 d
C．√3
4 d
D．2√3
3
d
【变式训练1】（多选）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B
的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 点以水平向左的初速度射
入磁场中，M 点在磁场中，一段时间后从N 点穿过竖直线MN，在N 点时运动方向与MN 成30°角，MN 长
度为3L，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．从M 到N 过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为2πBqL
3
B．粒子从M 到N 所用的时间为4 πm
3 Bq
C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
D．圆形匀强磁场区域的最小面积为3 π L
2
4
考向4 电性不确定导致的多解问题
例1 如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为同m、带电荷量为q 的粒子以
某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为qBL
m
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C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为5qBL
2
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为πm
3qB
【变式训练1】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN 是它的
下边界。现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间
可能为（ ）
A．πm
3qB
B．2πm
3qB
C．4 πm
3qB
D．5 πm
3qB
【变式训练2】（多选）如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为
m、带电荷量为q 的粒子以某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为qBL
2m
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为5qBL
2
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为πm
3qB
考向5 磁场方向不确定导致的多解问题
例1 垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场
的正方向。一电荷量q =1×10
−7C、质量m=1×10
−10kg的带电粒子，位于某点O 处，在t =0时刻以初速
度v0=2πm /s沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从t =0时刻
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开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（ ）
A．2√2πm /s
B．4√2πm /s
C．2√2m /s
D．4√2m /s
【变式训练1】如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足
够长的平面感光板MN，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为θ =53°，ab 间的距离
为d =10cm。在b 点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r =5cm，不计
电子间的相互作用和重力，sin53° =0.8，则MN 上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【变式训练2】（多选）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为
d，两板中央各有一个小孔O、O
′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化
如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在t =0时垂直于M板从小孔O射入磁
场，已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周
期都为T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列
说法正确的是（ ）
A．磁感应强度B0大小等于πm
T 0q
B．当入射速度大小为2πd
T 0
时，粒子能从O
′飞出磁场
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C．当入射速度大小为πd
4T 0
时，粒子能从O
′飞出磁场
D．若正离子能从O
′孔垂直于N板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为d
4 时所用时间最短
【变式训练3】（多选）如图所示的xOy 坐标系中，y 轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大
小未知的匀强磁场，y 轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y 轴上（0，−L）
处沿与y 轴正方向成30°角的方向以速度v 射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y 轴右侧的轨道半径为
L，最终粒子经过O 点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y 轴右侧的磁感应强度大小为v
kL
B．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O 点的时间为π L
v
C．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为π L
v
D．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为7π L
3 v
考向6 临界状态不唯一导致的多解问题
例1 如图所示，两平行竖直线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），
磁感应强度为B，在MN 上O 点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q 的带负电粒子，当速度方向与
OM 夹角θ =60°时，粒子恰好垂直PQ 方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的
是（ ）
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A．粒子的速率为qBa
2m
B．粒子在磁场中运动的时间为πm
12qB
C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为πm
qB
D．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ 边界上有粒子射出的区间长度为
2√3a
【变式训练1】如图所示，长方体a1b1c1d1—a2b2c2d2处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀
强磁场中，a1b1c1d1为边长为L 的正方形，a1a2竖直，O1、O2、O3、O4为相应边a1b1、a2b2、c2d2、c1d1的中
点。在平面a1a2b2b1内有质量为m、电荷量为q（q>0）的带正电粒子从O2沿该平面以速度v（大小未知）
射入匀强磁场，速度v 的方向与底边a2b2的夹角θ=45°，经历一定时间，粒子恰好能到达O4位置，不计粒
子的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子的入射速度v = √2qBL
m
B．粒子在运动过程中的轨迹一定与a1a2d2d1平面相切
C．长方体的a1a2边的长度可能为5 πL
2
D．粒子从O2运动到O4经历的时间可能为4 πm
qB
【变式训练2】如图所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂直纸面向外的匀强
磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于MN上的a
点，能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不
计），所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab= L，则粒子的速度可能是（ ）
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A．√3qBL
m
B．√3qBL
2m
C．√3qBL
3m
D．√3qBL
4 m
【变式训练3】（多选）如图所示，质量为m、电荷量为+q的粒子从静止开始经加速电压U加速
后，从三维直角坐标系的原点O处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向。已
知加速电压U调节范围为U 0≤U ≤3U 0，其中U 0= q B
2 L
2
8m
。x轴上距离O点1.5L处有一长为L的吸收板，
吸收板接地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．当粒子沿y轴正方向射入磁场时，调节U，板上有粒子击中的长度为(√3−3
2)L
B．当U =3U 0，粒子从O点射入xOy平面x>0、y >0的区域，速度方向在0∼90
∘均匀变化，且沿各方向
发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50%
C．当U =U 0，t =0时刻，粒子从O点射入yOz平面y >0、z<0的区域，且速度方向与y轴正方向夹角为
30
∘，粒子与z轴距离最大时的时间为t1=n πm
qB
(n=1，2，3⋯⋯)
D．当U =2U 0，粒子从O点射入yOz平面y >0、z<0的区域，且速度方向与y轴正方向夹角为45
∘，则经
过t2= 3 πm
2qB 时粒子的坐标为(
L
2 ，−L
2 ，−3
4 πL)
考点四 三类动态圆
知识点 三类动态圆模型
模型
解读
“平移圆”模型
（1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同
一直线上。
（2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直
线上，该直线与入射点的连线平行。
（3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子
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运动的有关临界问题
“放缩圆”模型
（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大
小不同。
（2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点
所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。
（3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒
子运动的有关临界问题
“旋转圆”模型
（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方
向不同。
（2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在
以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。
（3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，从圆的动态变化中可发
现粒子运动的有关临界问题
考向1 “平移圆”模型
例1 如图所示，边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C
点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，从DC 边的M 点飞出磁场（M
点未画出）。设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t1，由P 点运动到M 点所用时间为t2（带电粒子重力
不计），则t1:t2为（ ）
A．2:1
B．2:3
C．3:2
D．3:1
【变式训练1】（多选）如图所示，在等腰直角三角形BAC 内充满着磁感应强度大小为B、方向垂
直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v 的带正电粒子垂直AB 边
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射入磁场，已知从AC 边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC 边。不计粒子重
力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（ ）
A．等腰三角形BAC 中AB 边的长度为√2mv
qB
B．粒子在磁场中运动的最长时间为πm
2qB
C．从AB 中点射入的粒子离开磁场时的位置与A 点的距离为mv
qB
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
【变式训练2】如图所示，有一边长为a的正方形ABCD，在ABCD内的适当区域加一垂直正方形
ABCD所在平面的匀强磁场。一束电子以某一速度沿正方形ABCD所在平面、且垂直于AB边射入该正方
形区域，已知该束电子从AB边上的任意点入射，都只能从C点沿正方形ABCD所在平面射出磁场，不计
电子重力，则关于该区域的磁场方向及最小面积，下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于ABCD所在平面向外
B．电子在磁场中做圆周运动的半径为2a
C．磁场的最小面积为(π −2)a
2
2
D．磁场的最小面积为1
4 π a
2
【变式训练3】（多选）如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AC=d，
∠B=30°，现垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC
边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而在磁场中运动的最长时间为4
3 t（不计重力和粒子间的相互作
用）。下列判断正确的是（ ）
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A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm
2qt
C．粒子在进入磁场时速度大小为√3 πd
5t
D．粒子在磁场中运动的轨迹半径为2d
5
考向2 “放缩圆”模型
例1 如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全相同
的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面（纸
面）内，下列说法正确的是（ ）
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期不相同
【变式训练1】如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边
长为L，∠C =30°，比荷均为q
m的带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A 点沿AB方向射入磁场，则
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（ ）
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短B．粒子在磁场中运动的最长时间为2πm
3qB
C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越短D．粒子在磁场中运动的最长路程为πL
2
【变式训练2】如图所示，等腰直角三角形abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强
度大小为B。三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间
分别为t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3 3 1
∶∶。直角边bc 的长度为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．三个速度的大小关系一定是v1＝v2＜v3
B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3
C．粒子的比荷q
m＝π
Bt1
D．粒子的比荷q
m＝v2
2BL
考向3 “旋转圆”模型
例1（多选）如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度B，∠A＝60°，AO＝
a。在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为q
m，发射速度大小都
为v0，且满足v0＝qBa
m ，发射方向用图中的角度θ 表示。对于粒子进入磁场后的运动（不计重力作用），
下列说法正确的是（ ）
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A．θ 角越大，粒子运动时间越短
B．以θ＝0°和θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间相等
C．以θ＜30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D．在AC 边界上只有一半区域有粒子射出
【变式训练1】（多选）如图所示，足够长的荧屏板MN 的上方分布了垂直纸面向里的匀强磁场。
荧屏板上Р 点的正上方有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v0，电荷量为
−q(q>0)、质量为m 的带负电粒子。粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为d，Р 点到粒子源S 的距离为
1
2 d，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．打到荧屏板上的粒子到P 点的最远距离为√15
2 d
B．粒子能打到荧屏板上的区域长度为√15d
C．从粒子源出发到荧屏板的最短时间为πd
6 v0
D．从粒子源出发到荧屏板的最长时间为5 πd
3 v0
【变式训练2】如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。有无数带有
同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P 点进入磁场。这些粒子射出边界
的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1
3。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2
，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2:B1等于（ ）
A．2
B．√3
C．√2
D．1
【变式训练3】如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向
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垂直纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均
为m，电荷量均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒子带
负电，OP=√3OS=√3d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
A．粒子的速度大小为qBd
2m
B．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为πm
qB
C．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9 2∶
D．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为d
2
考点五 磁聚焦 磁发散
知识点 磁聚焦和磁发散模型
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如
果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与磁场
圆上过入射点的切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径
与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，
磁场圆上过该点的切线与入射方向平行
考向 磁聚焦 磁发散模型
例1 带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为r 的圆形区域
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内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为2r、沿x 轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点
O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度均为v，不计粒子间的相互作用力，则磁感应强度
的大小为（ ）
A．mv
2er
B．√2mv
2er
C．mv
er
D．2mv
er
例2（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，O点是圆心，P是磁场边界上的最低点。大量质量均为m、电荷量为−q(q>0)的带电粒子，以相同的
速率从P点沿纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r , A 、C为圆形
区域水平直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（
）
A．若r =2 R，则粒子在磁场中运动的最长时间为t = πm
3qB
B．若r =2 R，则从A点有沿水平方向射出磁场的粒子
C．若r = R，则圆周上有一半区域有粒子射出
D．若r = R，则与OP连线成30
∘角偏右侧进入磁场的粒子在磁场中经历的时间为t = πm
3qB
【变式训练1】（多选）如图所示，长方形 abcd 长ad =0.6m，宽 ab=0.3m，e、f 分别是 ad、be
的中点，以ad 为直径的半径内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量
m=3×10
−7kg。电荷量（q=+2×10-3C 的带电粒子以速度v0=5×10
2m/s从左右两侧沿垂直ad 和bc 方向
射入磁场区域（不考虑边界粒子），则以下正确的是（ ）
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A．从ae 边射入的粒子，出射点分布在 ab 边和bf 边
B．从ed（不含ed 两点）边射入的粒子，出射点全部分布在 bf 边
C．从bf 边射入的粒子，出射点全部分布在 ae 边
D．从 fc 边射入的粒子，全部从d 点射出
【变式训练2】（多选）如图所示，ABCA 为一个半圆形的有界匀强磁场，O 为圆心，F、G 分别为
半径OA 和OC 的中点，D、E 点位于边界圆弧上，且DFIIEG//BO．现有三个相同的带电粒子（不计重
力）以相同的速度分别从B、D、E 三点沿平行BO 方向射入磁场，其中由B 点射入磁场粒子1 恰好从C 点
射出，由D、E 两点射入的粒子2 和粒子3 从磁场某处射出，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子2 从O 点射出磁场
B．粒子3 从C 点射出磁场
C．粒子1、2、3 在磁场的运动时间之比为3：2：2
D．粒子2、3 经磁场偏转角不同
【变式训练3】（多选）如图所示半径为R 的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场（图中
未画出）。两个质量、电量都相同的正粒子，以相同的速率v 从a 点先后沿直径ac 和弦ab 的方向射入磁
场区域，ab 和ac 的夹角为30°。已知沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动的时间为其圆周运动周期的1
4 ，不
计粒子重力。则（ ）
A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
B．粒子在磁场中运动的轨道半径为2R
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C．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间为2πR
3 v
D．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间为π R
3v
【变式训练4】（多选）如图，空间中一半径为R 的圆形区域（包括边界）内有方向垂直于纸面向
里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。磁场左侧宽度为R 的区域里，大量质量为m、电荷量为q 的带正电
粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A 点沿AO 方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点
M 点飞出，已知过A、O 两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相
互作用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子做圆周运动的半径为R
2
B．粒子的初速度大小为qBR
m
C．粒子在磁场中运动的最短时间为πm
2qB
D．粒子在磁场中运动的最长时间为2πm
3qB
1.（全国III 卷·高考真题）平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM
上方存在匀强磁场、磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q
（q>0），沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度方向与OM 成30°角，已知该
粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计重力。则粒子离开磁场
时的出射点到两平面交线O 的距离为（ ）
A．mv
2qB
B．√3mv
qB
C．2mv
qB
D．4 mv
qB
2.（北京·高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定
一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（
l>>a）。带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁
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上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q
，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为Bqa
v
C．管道内的等效电流为nqπ a
2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
3.（北京·高考真题）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场边
界从a 点射入，从b 点射出．下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．粒子在b 点速率大于在a 点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
4.（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量
为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为7πm
3qB
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为√3qBR
3m
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5.（多选）（湖北·高考真题）一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然
分裂成a、b 和c 三个微粒，a 和b 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c 未在图中标
出。仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．a 带负电荷
B．b 带正电荷
C．c 带负电荷
D．a 和b 的动量大小一定相等
6.（多选）（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距
为d ，M板接地。M 板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M 板O 点处正上方P 点有一粒子源，
可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ =60°时，粒
子恰好垂直穿过M 板Q 点处的小孔。已知OQ =3 L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸
收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互
作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（ ）
A．粒子一定带正电
B．若间距d 增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C．粒子打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为7 L
D．粒子打到M 板下表面的位置与Q 点的最小距离为√3d
7.（全国甲卷·高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个小
孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生碰撞。
假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小
不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
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A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
31
