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考点47 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极
值和多解问题
1. 3 年真题考点分布
题型
选择题（压轴）、解答题（压轴题）
高考考点
1. 有界磁场中的临界问题；
2. 带电粒子在磁场中的圆周运动的多解问题；
新高考
2023
浙江卷23 题、
2022
湖北8 题、浙江卷23 题、广东卷7 题、
2021
海南卷13 题、湖南卷13 题、湖北卷14 题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3 年新高考卷对于本节内容考查共计7 次，主要考查：
1. 有界磁场中的临界问题；
2. 带电粒子电性不确定的多解问题；
3. 临界状态不唯一形成的多解问题；
4. 带电粒子运动的往复性形成的多解问题。
【备考策略】熟练掌握四种处理有界磁场的临界问题；理解并掌握带电粒子在磁场中运动时形成的多解问
题。
【命题预测】本节内容的难度角度，在高考题中往往以选择题或解答题的压轴题的形式出现，对物理成绩
要求较高的考生，务必掌握好本节内容。
1
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考法
1 有界磁场中的临界问题
角度
1 ：
“放缩放”解决有界磁场中的临界问题
适用
条件
速度方向一
定，大小不
同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带
电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心
共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，
运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，
它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，
这种方法称为“放缩圆”法
【典例1】（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图所示，空间中有一个底角均为
的梯形，上
底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c 点存在一个粒子源，
可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab 边射出，速度大小
可能为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【变式】（2022·广东·模拟预测）如图所示，在一等腰直角三角形ACD 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，
磁场的磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子（重力不计）以速度v 从AC 边的中点
O 垂直AC 边射入磁场区域.若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD 边射出，则v 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
角度
2 ：
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
模型二 “旋转圆”模型的应用
适
用
条
件
速度
大小
一
定，
方向
不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它
们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周
运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径
R＝的圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为
“旋转圆”法
【典例2】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于底面向里，磁感应强度的大小
，
磁场内有一块较大的平面感光板
，板面与磁场方向平行，在距
的距离
处，有一个点状的粒子
放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是
，已知粒子的电荷量与质量之比
，现只考虑在图纸平面内运动的粒子，则感光板
上被粒子打中区域的长度
（ ）
3
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A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．20cm
【变式】如图所示，在等腰直角三角形
区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
，
边长
。大量相同的带负电的粒子以不同的速率，在纸面内沿不同的方向从
点射入磁场。已知粒子
质量为
，电荷量为
，粒子间的相互作用和重力可忽略，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最
大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
角度
3 ：
“平移圆”模型的应用
适
用
条
件
速度大小一
定，方向一
定，但入射
点在同一直
线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直
线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径
相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心
共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平
行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
【典例2】(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，竖直放置的半环状ABCD 区域内存在匀强磁场，磁
场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B＝0.5 T．外环的半径R1＝16 cm，内环的半径R2＝4 cm，外环
和内环的圆心为O，沿OD 放置有照相底片．有一线状粒子源放在AB 正下方(图中未画出)，不断放出初速
度大小均为v0＝1.6×106 m/s，方向垂直AB 和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，
4
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经检验底片上仅有CD 区域均被粒子打到．不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场
边界的粒子被吸收．
(1)粒子的电性；
(2)求粒子的比荷；
(3)若照相底片沿OP 放置，求底片上被粒子打到的区域的长度．
角度
4 ：
“磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场
圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A 点发
出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的正粒子，
以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场
半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
5
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【典例4】(2022 陕西西安八校联考)如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度大小为B，磁场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小
相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr，则粒子在
磁场中运动的最长时间为( )
A.
B．
C．
D．
【变式】(多选)(2022·山东省日照市高三下二模)如图所示，纸面内半径为R 的圆形区域内存在垂直于纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为
q，质量为m，速度为v＝，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
考法
2 带电粒子在磁场中运动的多解问题
角度
1 ：带电粒子电性不确定形成的多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子
在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹
为a；若带负电，其轨迹为b。
6
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【典例5】如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，
质量为m、电荷量为q，以与边界成
角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度
的大小范围。（不计粒子重力）
【变式】如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀
强磁场，A、B 两点都在L2上。带电粒子从A 点以初速度v0与L2成
角斜向右上方射出，经过偏转后正好
过B 点，经过B 点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．若将带电粒子在A 点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B 点
B．带电粒子经过B 点时的速度一定跟在A 点时的速度大小相同
C．若将带电粒子在A 点时的初速度方向改为与L2成
角斜向右上方，它将不能经过B 点
D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷
角度
2 ：磁场方向不确定形成的多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向
7
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不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v 垂直进入匀强磁场，若B 垂直纸面向里，其轨迹为a；若B 垂直纸面
向外，其轨迹为b。
【典例6】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B 垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-
5s，k 为正整数。某直角坐标系原点O 处有一粒子源，在t=0 时刻沿x 轴正方向发射速度为v0=103m/s 的正
点电荷，比荷
=1×106C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3 次（从O 点出发记为第1 次）经过y 轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y 轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t0=
10-5s，则k 取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和
相应的k 值。
【变式】（多选）（2023·广东·模拟预测）如图所示的xOy 坐标系中，y 轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感
应强度大小未知的匀强磁场，y 轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y 轴上
（0，
）处沿与y 轴正方向成30°角的方向以速度v 射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y 轴右侧的
轨道半径为L，最终粒子经过O 点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
8
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A．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y 轴右侧的磁感应强度大小为
B．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O 点的时间为
C．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为
D．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为
角度
3 ：临界状态不唯一形成的多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，
也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
【典例7】（2021·海南·高考真题）如图，在平面直角坐标系
的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q 的相同粒子从y 轴上的
点，以相同的速率
在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为
。当
时，
粒子垂直x 轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当
时，粒子也垂直x 轴离开磁场
9
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C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为
【变式】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图甲所示，边长为L 的正方形abcd 区域内存在匀强
磁场，磁感强度大小为
，方向垂直于abed 所在平面，且周期性变化（周期T 可根据需要调整），如图乙
所示，设垂直abcd 平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在
时刻由a 点沿ab 方向射入磁场区，
已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且
，关于电子在磁场中的
运动，以下说法中正确的是（ ）
A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc 方向经过c 点，电子的速度大小一定是
B．调整磁场变化周期T，让电子经过d 点，电子的速度大小一定是
C．要想让电子经过点f 点，则磁场变化周期一定是
D．要想让电子垂直bc 边过g 点，则磁场变化周期一定是
角度
4 ：带电粒子运动的往复性形成的多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【典例8】（2023·山东·统考高考真题）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y 轴正方向、
场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q 的
带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
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（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
【变式】如图所示，在xOy 坐标系的第Ⅰ象限内充满了沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内充满了垂直
纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，从y 轴上的P 点以垂直于y 轴和电场的初
速度
进入匀强电场，一段时间后经过x 轴上的Q 点进入匀强磁场，进入磁场时的速度方向与x 轴正方向
成
角，已知
，若粒子在磁场中运动一段时间后恰好能再回到电场，不计粒子重力。求：
（1）带电粒子进入匀强磁场时的速度；
（2）磁感应强度B 的大小；
（3）粒子从离开P 点到第三次经过x 轴所需的时间。
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【基础过关】
1．质量和电荷量都相等的带电粒子M 和N，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹
如图中虚线所示，下列表述正确的是（ ）
A．N 带负电，M 带正电
B．N 的速率大于M 的速率
C．N 的运行时间小于M 的运行时间
D．N 的运行时间等于M 的运行时间
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考三模）如图所示，边长为
正方形区域
内无磁场，
正方形中线
将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为
的匀强磁场区域，
右侧磁场方向垂
直于纸面向外，
左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为
，电荷量为
的
正粒子从
中点以某一速率垂直于
射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的
是（ ）
A．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的最大速度为
B．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
C．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
D．若粒子能垂直于
射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
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3．（2022 春·四川成都·高三四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系I 象限
内（包含x、y 坐标轴）有方向垂直xOy 平面向外、大小为B 的匀强磁场。点P （2a，a）处有一个粒子源，
在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度方向均在xoy 平面内，速度大小均为
，不计粒子间的相互作用。下列关于粒子在坐标轴上射出的范围，判断正确的是（ ）
A．x 轴上［0， 4a］范围有粒子射出
B．x 轴上（a，（2 +
）a］范围有粒子射出
C．y 轴上［0，a］可范围有粒子射出
D．y 轴上［a， 2a］范围有粒子射出
4．（多选）（2023 春·云南临沧·高二校考期末）如图所示，三角形OCA 存在磁场，C 点坐标为（4L，
3L），M 点为OC 的中点，质量为m、带电量为-q 的粒子从C 点以沿y 轴负方向射入磁场中，速度大小为
，不计粒子所受重力，粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场，则（ ）
A．粒子能到达M 点，三角形OCA 中磁感应强度大小
B．粒子能到达M 点，三角形OCA 中磁感应强度大小
C．粒子不会到达x 轴下方，三角形OCA 中磁感应强度可能为
D．粒子不会到达x 轴下方，三角形OCA 中磁感应强度可能为
5．（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab
＝l，射线bc 足够长，
abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q 的带正电粒
子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正
确的是（ ）
13
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A．从ab 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从bc 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等
D．粒子在磁场中最长运动时间约为
6．（多选）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 边
界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A 处由一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度
不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C 点，质子比荷
，则质子的速度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），
从A 点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B 点射出，
。
（1）在图中作出该带电粒子运动轨迹的圆心O1的位置；
（2）求该粒子在磁场中运动的轨迹半径；
（3）求该粒子在磁场中运动的时间。
14
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8．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，
其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略
重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为多少。
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9．（2021 秋·江苏无锡·高二统考期末）如图所示，平行的N、M、P 为两匀强磁场区域的边界，N 与M、
M 与P 间距分别为l1、l2，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，磁场方向均垂直纸面向里。现有电荷量为
+q、质量为m 的带电粒子射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)若有大量该种粒子以大小为v1、方向沿纸面各个方向的速度从Q 点射入磁场，粒子恰好不进入Ⅱ区域，
求粒子速度v1的大小；
(2)用阴影画出(1)中粒子在磁场Ⅰ中所能到达的区域，并求出该区域的面积；
(3)若有一个粒子从Q 点以速度v2垂直于边界N 及磁场方向射入磁场，粒子能穿过两个磁场区域，求v2的最
小值。
10．如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正
对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0 时垂
直于M 板从小孔O 射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周
期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
（1）磁感应强度B0的大小；
（2）要使正离子从O′垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
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【能力提升】
1．1．（2023·重庆·高三统考学业考试）如图所示，
平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向里，磁
感应强度大小
的匀强磁场，ON 为处于y 轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m，M 点为x 轴正方
向上一点，
现有一个比荷大小为
，可视为质点带负电的微粒（重力不计）从挡板下
端N 处小孔以不同的速度沿x 轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞
时电荷量不变，微粒最后都能经过M 点，则微粒射入的速度大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·湖北·模拟预测）如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场的磁感应强度大
小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠A 的角平分线发射速度大
小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通过D 点，已知质
子的比荷
，则质子的速度不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2022·安徽宣城·安徽省宣城市第二中学校考模拟预测）如图所示，等腰梯形abcd 区域（包含
边界）存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长
，一质量为
m、带电量为－q（q > 0）的粒子从a 点沿着ad 方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒
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子不能经过bc 边，粒子的速度可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2021·陕西西安·校考模拟预测）边长为a 的等边三角形
区域内有垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度大小为B，一束质量为m 电荷量为
的带电粒子（不计重力）从
边的中点沿平
行
边的方向以不同的速率射入磁场区域，则（ ）
A．从
边射出的粒子的最大速率为
B．从
边射出的粒子的最大速率为
C．能从
边射出的粒子最小速率为
D．能从
边射出的粒子最小速率为
5．（多选）（2020·山西太原·太原五中校考二模）如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀
强磁场（图中未画出），AB 边长度为d，
。现垂直AB 边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速
度大小均为v 的带正电粒子。已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子
在磁场中的运动时间为
（不计重力），则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
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B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入磁场时速度大小为
6．（多选）（2022·全国·模拟预测）据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将
没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环
状磁场的内半径为R1，外半径为R2，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的
速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则
环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（2023·湖北荆州·荆州中学校考一模）如图所示，一粒子源S 可向外发射质量为m，电荷量为
q 带正电的粒子，不计粒子重力，空间充满一水平方向的匀强磁场，磁感应强度方向如图所示，S 与M 在
同一水平线上，某时刻，从粒子源发射一束粒子，速度大小为v，方向与水平方向夹角为θ，SM 与v 方向
在同一竖直面内，经时间t，粒子到达N 处，已知N 与S、M 在同一水平面上，且SM 长度为L，NM 与SM
垂直，匀强磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
19
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8．（2023·吉林松原·松原市实验高级中学校考三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 内有一直角三角形，
其顶点坐标分别为（0，0），（0，
d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小为B，x 轴下方有沿着y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q
的粒子从y 轴上的某点M 由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒
子重力。
（1）求M 点到O 点的距离；
（2）改变粒子在y 轴上的释放点，使粒子由N 点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，
求N 点到O 点的距离；
（3）在（2）过程中，求粒子从N 点由静止释放到射出磁场的运动时间。
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9．（2023·全国·模拟预测）如图所示直角坐标系中，在y 轴和
之间以x 轴为边界存在两个匀强磁场区
域Ⅰ、Ⅱ，磁场宽度为d，磁感应强度大小均为B、方向垂直于纸面。一粒子加速器放置在y 轴上，其出射
口坐标为
且
，其加速电压可调。初速度为0、质量为m、电荷量为
的粒子经加速器加速后平
行于x 轴射入区域I，不计粒子重力。
(1)若
，调节加速电压，粒子恰好从O 点射出磁场，求加速电压的大小U；
(2)若
，粒子仅经过x 轴一次，然后垂直于
从区域Ⅱ射出，求粒子在磁场中运动的时间t；
(3)若粒子以
速度射入磁场，最终垂直于
射出，求y 满足的条件。
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10．（2023·陕西西安·统考三模）如图所示，在直角坐标系xOy 中，第一象限内有沿y 轴负向的匀强电场，
场强大小为E，第四象限内有垂直xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现有一正粒子从y 轴
上坐标为(0，h)的P 点，沿x 轴正向射入第一象限，能通过x 轴上坐标为(7h，0)的Q 点．已知粒子的比荷
满足关系：
，不计粒子重力，求粒子在P 点入射速度的所有可能值(用E，B 表示)．
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【真题感知】
1．（全国·高考真题）直线OM 和直线ON 之间的夹角为30°，如图所示，直线OM 上方存在匀强磁场，磁
感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大
小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与
ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O 的距
离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国·统考高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中
虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
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3．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于
平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应
强度分别为
、
。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速度均为v。甲第
1 次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知
甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔
；
(3)乙的比荷
可能的最小值。
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4．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0 区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强
磁场；在x<0 区域内存在沿x 轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，
0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为
的中性粒子乙发生弹性正碰，且有
一半电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0 区域内加上与x>0 区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞
到下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加
上与原x>0 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。
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5．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形
、
方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平放置，能沿竖直方向缓慢
移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界
水平射入
磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打在探测板
的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板到
距离L 的
关系。
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