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[-考点-07-] 带电粒子在有界匀强磁场中的临界、极值
和多解问题
[典例1]
答案 AB
解析 粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝d，故A 正确；
由qvB＝m，r＝d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝＝，故B 正确；由T＝＝，如图
由几何关系知t＝T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝，故C 错误；粒子运动轨迹与y 轴
交点的纵坐标为y＝－2rcos 30°＝－d，故D 错误．
[典例2]
答案 BD
解析 设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力
提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得R＝.带电粒子速率越大，轨道半径越大，
当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大．若粒
子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R＋Rcos 45°＝d，
解得R＝(2－)d，
对应的速率v＝.
若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，
由几何知识得：R－Rcos 45°＝d，
解得R＝(2＋)d.
对应的速率v＝.故选B、D.
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[典例3]
答案 BD
解析 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP 相切的轨迹如图甲所示，切点为M，
设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂
直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP 相切于N 点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由
几何关系s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D 正确，
A、C 错误．
[典例4]
答案 CD
解析 若粒子带正电，粒子与挡板MN 碰撞后恰好从Q 点射出，粒子运动轨迹如图甲所示，
设轨迹半径为r2，由几何知识得L2＋(r2－0.5L)2＝r2
2，解得r2＝L，根据牛顿第二定律得
qv2B＝m，解得v2＝，根据动量定理得I＝2mv2＝，故A 错误，C 正确；若粒子带负电，则
粒子的运动轨迹如图乙所示，
粒子做圆周运动的半径为r1＝L，由牛顿第二定律得qv1B＝m，解得v1＝，此时半径最小，
速度也最小，故B 错误；若粒子带负电，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为时，粒
子在磁场中的运动时间为t＝T＝，故D 正确．
[典例5]
答案 BC
解析 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图，
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根据几何关系则有R＝L，由qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP 成
30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.当离子在两个磁场均运动一次时，
如图，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R＝L，
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，
即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需
满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分
磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，
故B、C 正确，A、D 错误．
1.答案 C
解析 画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长
线通过a 点，磁场的半径为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得L＋r＝L，由洛伦兹
力提供向心力得：qvB＝m，联立解得v＝，故选C.
2.答案 AC
解析 两粒子的运动轨迹如图；设正方形区域边长为L，则从b 点飞出的粒子的运动轨迹
半径为r1＝L；从c 点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；根据qv0B＝m，可得＝，则∶＝
1∶1，选项A 正确，B 错误；根据T＝可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两
粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项
C 正确，D 错误．
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3.答案 AB
解析 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r＝＋l2，又r1＝，所以v1＝，粒子
刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝，综合上述分析可知，选项A、B 正确.
4.答案 ABD
解析 质子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcos 60°＝L(n＝1,2，…)，由洛
伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，联立解得v＝＝(n＝1,2，…)，所以A、B、D 正确，C
错误．
5.答案 C
解析 粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹
对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，则圆心角最大为，故t
＝＝＝，故选项C 正确．
6.答案 C
解析 画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时
间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确
定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝Rtan 60°＝R，由洛伦
兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，则＝＝，所以当粒子沿ab 方向射入时，v2＝v1，
A、B、D 错误，C 正确．
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7.答案 AB
解析 由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所
以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力
提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1,2,3，…)，选项A、B 正确．
8.答案 (1) (2) (3)
解析 (1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示，
若粒子速度大小为v0，则
qv0B＝m，解得：v0＝.
(1)设圆心在O1处对应圆弧与cd 边相切，对应速度大小为v01
由几何关系得：R1sin θ＝，解得R1＝L
则有：v01＝＝.
(2)设圆心在O2处对应圆弧与ab 边相切，对应速度大小为v02
由几何关系得：R2＋R2sin θ＝，解得R2＝
则有：v02＝＝.
(3)由t＝T 和T＝＝可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α 越大，在磁场中运动的
时间越长．当在磁场中运动的半径r<R2时，运动时间最长
则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝
所以最长时间为t＝T＝×＝.
9.答案 D
解析 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断粒子带负电，故A 错误；
粒子第一次在磁场中运动的时间为t＝T＝，故B 错误；根据图中几何关系可得粒子在磁场
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中做圆周运动的半径为R＝rtan 30°＝r，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v
＝，故C 错误；磁场外边界圆的半径至少为r′＝R＋＝r，故D 正确。
10.答案 (1) (2)(n＝1，2，3，…)
解析 (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力qv0B0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得磁感应强度B0＝.
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动
一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n 个周期即nT0时，有R＝(n＝1，2，
3，…)
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1，2，3，…).
11.答案 ACD
解析 粒子垂直x 轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A 正确；当α＝150°时，粒
子垂直x 轴离开磁场，运动轨迹如图甲，
粒子运动的半径为 r＝＝2L，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子入射速率v＝，
C 正确；若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，
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根据几何关系可知粒子离开磁场时与x 轴不垂直，B 错误；粒子离开磁场的位置到O 点距
离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，运动轨迹如图丙，
根据几何关系可知(2r)2＝(L)2＋xm
2，解得xm＝3L，D 正确．
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