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专题10 磁场 带电粒子在磁场中的运动
目录
01 磁场对通电导线的作用力问题····························································2
考向一 磁场对通电导线的作用力问题·····································································2
02 带电粒子在磁场中的运动································································10
考向一 带电粒子在磁场中的圆周运动···································································10
考向二 带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题·················································14
考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题·····························································36
1
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01 磁场对通电导线的作用力问题
考向一 磁场对通电导线的作用力问题
1．（2023·北京·高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一
内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（
）。带电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，
与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为
，不
计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为
D．粒子束对管道的平均作用力大小为
【答案】C
【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为r=a，故A 正确，
不符合题意；B．根据
，可得粒子的质量
，故B 正确，不符合题意；C．管道内的等效
电流为
，单位体积内电荷数为
，则
，故C 错误，符合题意；D．由动量
定理可得
，粒子束对管道的平均作用力大小
，联立解得
，故D 正确，
不符合题意。
故选C。
2．（2023·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B．L 形导线通以恒定电流I，放置在磁场
中．已知ab 边长为2l，与磁场方向垂直，bc 边长为l，与磁场方向平行．该导线受到的安培力为（
）
2
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A．0
B．BIl
C．2BIl
D．
【答案】C
【详解】因bc 段与磁场方向平行，则不受安培力；ab 段与磁场方向垂直，则受安培力为Fab=BI∙2l=2BIl
则该导线受到的安培力为2BIl。
故选C。
3．（2022·湖南·高考真题）如图（a），直导线MN 被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO′上，其所
在区域存在方向垂直指向OO′的磁场，与OO′距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截
面图如图（b）所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是（
）
A．当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N 指向M
B．电流I 增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C．tanθ 与电流I 成正比
D．sinθ 与电流I 成正比
【答案】D
【详解】A．当导线静止在图（a）右侧位置时，对导线做受力分析有
3
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可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M 指向N，A 错误；BCD．由于与OO′距离相等位置
的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有
，FT=mgcosθ，则可看出sinθ 与电流I 成正比，当I
增大时θ 增大，则cosθ 减小，静止后，导线对悬线的拉力FT 减小，BC 错误、D 正确。
故选D。
4．（2022·浙江·高考真题）利用如图所示装置探究匀强磁场中影响通电导线受力的因素，导线垂直匀强磁
场方向放置。先保持导线通电部分的长度L 不变，改变电流I 的大小，然后保持电流I 不变，改变导线通电
部分的长度L，得到导线受到的安培力F 分别与I 和L 的关系图象，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据F = BIL，可知先保持导线通电部分的长度L 不变，改变电流I 的大小，则F—I 图象是过原
4
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点的直线。同理保持电流I 不变，改变通过电部分的长度L，则F-L 图象是过原点的直线。
故选B。
5．（2021·重庆·高考真题）（多选）某同学设计了一种天平，其装置如图所示。两相同的同轴圆线圈
水平固定，圆线圈P 与
、N 共轴且平行等距。初始时，线圈
通以等大反向的电流后，在
线圈P 处产生沿半径方向的磁场，线圈P 内无电流且天平平衡。设从上往下看顺时针方向为正向。当左托
盘放入重物后，要使线圈P 仍在原位置且天平平衡，可能的办法是（ ）
A．若P 处磁场方向沿半径向外，则在P 中通入正向电流
B．若P 处磁场方向沿半径向外，则在P 中通入负向电流
C．若P 处磁场方向沿半径向内，则在P 中通入正向电流
D．若P 处磁场方向沿半径向内，则在P 中通入负向电流
【答案】BC
【详解】AB．当左托盘放入重物后，要使线圈P 仍在原位置且天平平衡，则需要线圈P 需要受到竖直向下
的安培力，若P 处磁场方向沿半径向外，由左手定则可知，可在P 中通入负向电流，故A 错误，B 正确；
CD．若P 处磁场方向沿半径向内，由左手定则可知，可在P 中通入正向电流，故C 正确，D 错误。
故选BC。
6．（2021·江苏·高考真题）在光滑桌面上将长为
的软导线两端固定，固定点的距离为
，导线通有电
流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】从上向下看导线的图形如图所示
导线的有效长度为2L，则所受的安培力大小
，设绳子的张力为
，由几何关系可知
，解得
，故A 正确，BCD 错误。
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故选A.
7．（2021·广东·高考真题）截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称
分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流
，四根平行直导线均通入电流
，
，电流方向
如图所示，下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因
，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用；根据两通电直导线间的安培力作用满
足“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线
要受到
吸引的安培力，形
成凹形，正方形上下两边的直导线
要受到
排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如图C。
故选C。
8．（2023·北京·高考真题）2022 年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，创造了大质量电磁推进技
术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，
导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过
金属棒，再从另一导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感应
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强度B 与电流i 的关系式为
（k 为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒由第一级区域进入第二
级区域时，回路中的电流由I 变为
。已知两导轨内侧间距为L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为
s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比
；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为
（2）根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为
第二级区域中磁感应强度大小为
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为
金属棒经过第二级区域的加速度大小为
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得
解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为
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9．（2022·天津·高考真题）直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备，可用图1 所示的模型
讨论其原理，图2 为图1 的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中，平板
与容器等宽，两板间距为，容器中装有导电液体，平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙，导电液
体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源，电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升，
可在两板间加垂直于
面的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，两板间液面上升时两板外的液面高度变
化可忽略不计。已知导电液体的密度为
、电阻率为
，重力加速度为
。
（1）试判断所加磁场的方向；
（2）求两板间液面稳定在初始液面高度2 倍时的电压
；
（3）假定平板与容器足够高，求电压
满足什么条件时两板间液面能够持续上升。
【答案】（1）沿轴负方向；（2）
；（3）
【详解】（1）想实现两板间液面上升，导电液体需要受到向上的安培力，由图可知电流方向沿
轴正方向，
根据左手定则可知，所加磁场的方向沿轴负方向。
（2）设平板宽度为
，两板间初始液面高度为，当液面稳定在高度
时，两板间液体的电阻为
，则有
当两板间所加电压为
时，设流过导电液体的电流为
，由欧姆定律可得
外加磁场磁感应强度大小为
时，设液体所受安培力的大小为
，则有
两板间液面稳定在高度
时，设两板间高出板外液面的液体质量为
，则有
两板间液体受到的安培力与两板间高出板外液面的液体重力平衡，则有
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联立以上式子解得
（3）设两板间液面稳定时高度为nh，则两板间比容器中液面高出的部分液体的高度为(n－1)h，与（2）同
理可得
整理上式，得
平板与容器足够高，若使两板间液面能够持续上升，则n 趋近无穷大，即
无限趋近于1，可得
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02 带电粒子在磁场中的运动
考向一 带电粒子在磁场中的圆周运动
1．（2021·湖北·高考真题）（多选）一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分
裂成a、b 和c 三个微粒，a 和b 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c 未在图中标出。
仅考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．a 带负电荷
B．b 带正电荷
C．c 带负电荷
D．a 和b 的动量大小一定相等
【答案】BC
【详解】ABC．由左手定则可知， 粒子a、粒子b 均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应
保持不变，则粒子c 应带负电，A 错误，BC 正确；D．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向
心力，即
，解得
，由于粒子a 与粒子b 的质量、电荷量大小关系未知，则粒子a 与粒子
b 的动量大小关系不确定，D 错误。
故选BC。
2．（2023·福建·高考真题）阿斯顿（F．Aston）借助自己发明的质谱仪发现了氖等元素的同位素而获得诺
贝尔奖，质谱仪分析同位素简化的工作原理如图所示。在
上方存在一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感
应强度大小为B。两个氖离子在O 处以相同速度v 垂直磁场边界入射，在磁场中发生偏转，分别落在M 和
N 处。已知某次实验中，
，落在M 处氖离子比荷（电荷量和质量之比）为
；P、O、M、N、P 在同一直线上；离子重力不计。
（1）求OM 的长度；
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，求落在N 处氖离子的比荷。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子进入磁场，洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有
整理得
OM 的长度为
（2）若ON 的长度是OM 的1.1 倍，则ON 运动轨迹半径为OM 运动轨迹半径1.1 倍，根据洛伦兹力提供
向心力得
整理得
3．（2023·天津·高考真题）信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可以通过在相邻极板间施加
电压，使阴极逸出的电子，击中极板时，激发出更多电子，从而逐级放大电信号。已知电子质量m，带电
量e。
（1）如图2，在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为B，方向平行z 轴。极板间电压U
极小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2 个电子a 和b，其初速度方向分别在xOy 与zOy
平面内，且与y 轴正方向成
角，则：
（i）判断B 的方向；
（ii）a、b 两个电子运动到下一个极板的时间
和
；
（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出
个电子，且
，
阳极处接收电子产生的电流为I，在答题纸给出坐标系里画出表示U 和I 关系的图像并说出这样画的理由。
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【答案】（1）（ⅰ）沿z 轴反方向；（ⅱ）
，
（2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a 电子，初速度方向在xoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角；若磁场方向沿z 轴正方向，
a 电子在洛伦兹力作用下向x 轴负方向偏转，不符合题题意；若磁场方向沿z 轴反方向，a 电子在洛伦兹力
作用下向x 轴正方向偏转，符合题意；
b 电子，初速度方向在zoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角。将b 电子初速度沿坐标轴分解，沿z 轴的分速度
与磁感线平行不受力，沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子沿x 轴正方向偏转，根据左手定则可知，
磁场方向沿z 轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B 的方向沿z 轴反方向。
（ⅱ）a 电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图，由图可知电子运动到下一个极板的时间
b 电子，沿z 轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使
电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间
（2）设
，单位时间内阴极逸出的电子数量N0 不变，每个电子打到极板上可以激发δ 个电子，经过
n 次激发阳极处接收电子数量
对应的电流
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可得I-U 图像如图
4．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）（多选）如图所示，
、
是相互平行、间距为L 的
长直边界，在两边界外侧都存在匀强磁场，方向均垂直于纸面向内，
右侧磁场的磁感应强度大小为
。
一质量为
，电荷量为
的带电粒子从
边界的O 点以大小为的初速度垂直于边界沿纸面射入右侧磁
场区，一段时间后粒子从右向左再次经过O 点，不计粒子的重力。左侧磁场的磁感应强度可能值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】根据题意，设带电粒子在右侧匀强磁场中运动的轨道半径为r，由
，解得
，设
粒子在PQ 左侧匀强磁场中运动的轨道半径为R，若粒子进入左侧磁场区运动一次后，从右向左经过O 点，
其轨迹如图
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则有
，由
，解得
，若粒子两次进入左侧磁场区运动后，才从右向左经过O
点，粒子运动轨迹如图
由几何关系可知
，由
，解得
。
故选CD。
考向二带电粒子在有界磁场运动的临界与极值问题
5．（2022·辽宁·高考真题）（多选）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。
内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，粒子1 沿直
线通过磁场区域后打在探测器上的M 点。粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点。装置内部为真空状态，
忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 可能为中子
B．粒子2 可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
D．若增大粒子入射速度，粒子2 可能打在探测器上的Q 点
【答案】AD
【详解】AB．由题图可看出粒子1 没有偏转，说明粒子1 不带电，则粒子1 可能为中子；粒子2 向上偏转，
根据左手定则可知粒子2 应该带正电，A 正确、B 错误；C．由以上分析可知粒子1 为中子，则无论如何增
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大磁感应强度，粒子1 都不会偏转，C 错误；D．粒子2 在磁场中洛伦兹力提供向心力有
，解得
，可知若增大粒子入射速度，则粒子2 的半径增大，粒子2 可能打在探测器上的Q 点，D 正确。
故选AD。
6．（2021·全国·高考真题）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为
的带电粒子从圆周上的M 点沿直径
方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时
速度方向偏转
；若射入磁场时的速度大小为
，离开磁场时速度方向偏转
，不计重力，则
为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意做出粒子的圆心如图所示
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设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径
，第二次的半径
，根据洛伦兹力
提供向心力有
，可得
，所以
。
故选B。
7．（2021·北京·高考真题）如图所示，在xOy 坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P 点以与
x 轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y 轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为
q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
【详解】粒子恰好垂直于y 轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心
，轨迹如图所示
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A．由几何关系可知
，
，因圆心的坐标为
，则带电粒子在
磁场中运动的轨迹方程为
，故A 正确；BD．洛伦兹力提供向心力，有
，
解得带电粒子在磁场中运动的速率为
，因轨迹圆的半径
可求出，但磁感应强度
未知，则无法
求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD 错误；C．带电粒子圆周的圆心角为
，而周期为
，则带电粒子在磁场中运动的时间为
，因磁感应强度
未知，则运动时间
无法求得，故C 错误；
故选A。
8．（2021·海南·高考真题）（多选）如图，在平面直角坐标系
的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q 的相同粒子从y 轴上的
点，以相同的速
率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为
。当
时，粒子垂直x 轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当
时，粒子也垂直x 轴离开磁场
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C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直
轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A 正确；
BC．当
时，粒子垂直
轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
，洛伦兹力提供向心力
，解得粒子入射速率
，
若
，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与
轴不垂直，B 错误，C 正确；D．粒子离开磁场距离
点距离最远时，
粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知
，解得
，D 正确。
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故选ACD。
9．（2024·海南·校联考一模）（多选）在如图所示的坐标系中，P、Q 分别是x、y 轴上的两点，P、Q 到
原点O 的距离均为L，
区域内（包含边界）存在与直角坐标系
平面垂直的匀强磁场（未画出）。
一质量为m、电荷量绝对值为q 的带电粒子从原点O 处以速率
沿x 轴正方向射入磁场，从OQ 之间的M
点（未画出）射出，不计带电粒子的重力，则匀强磁场的磁感应强度大小可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】带电粒子从OQ 之间的M 点射出，由带电粒子在磁场中受力分析可知，粒子从原点O 处以速率
沿x 轴正方向射入磁场时，受力方向应该向上，如图为匀强磁场的磁感应强度最小值时的轨迹
由几何关系可知
，由洛伦兹力提供向心力可知
，联立两式解得
，
可知BC 正确，AD 错误。
故选BC。
10．（2023·全国·模拟预测）（多选）如图所示，空间中有一个底角均为
的梯形，上底与腰长相等为
L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c 点存在一个粒子源，可以源源不断
射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab 边射出，速度大小可能为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】能够从ab 边射出的电子，半径最小为从b 点射出，如图所示
由几何关系可知
，半径最大为从a 点射出，如图所示
由几何关系可知
，由牛顿第二定律有
，解得
，则有
，为
使粒子从ab 边射出磁场区域，粒子的速度范围为
。
故选BC。
11．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸
面向外的匀强磁场（包括边界，图中未画出），
，一带正电的粒子由
点以速率
沿
方向
20
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射入磁场，经磁场偏转后从
边离开磁场，已知
，粒子的质量为
，电荷量为
，粒子重力忽略
不计.则下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度的大小可能为
B．磁感应强度最小时，粒子的出射点到
点的距离为
C．从
边离开的粒子在磁场中运动的时间均为
D．当磁感应强度取粒子从
边离开磁场的最小值时，增大粒子的入射速度，粒子在磁场中的运动
时间缩短
【答案】AD
【详解】A．粒子的轨迹与
边相切时，粒子刚好从
边离开磁场，作出粒子的轨迹如图所示，此时粒
子的轨道半径最大，磁感应强度最小，由几何关系可知该粒子的轨道半径为
，由洛伦兹力提供向心力
有
，解得磁感应强度的最小值为
，故A 正确；B．磁感应强度最小时，粒子从
边的
点离开磁场，由几何关系可知
，所以出射点到
点的距离为
，故B 错误；C．磁感应强度最小时，粒子在磁场中的运动周期为
，粒子的轨迹所对应的圆心角为120°，所以粒子在磁场中运动的时间为
，即为
，由公式
，可知磁感应强度越大，粒子在磁场中的运动周期越小，由于轨迹所对应的圆
心角不变，所以粒子在磁场中运动的时间越短，故C 错误；D．磁感应强度取粒子从
边离磁场的最小
值时，粒子在磁场中运动的周期一定，粒子的入射速度越大，粒子的轨道半径越大，当粒子从
射出时，
粒子的速度增大，粒子的轨迹所对应的圆心角减小，所以粒子在磁场中运动的时间减小，故D 正确。
21
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故选AD。
12．（2023·河北·校联考模拟预测）（多选）如图所示，在
坐标系中，y 轴右侧存在匀强磁场，磁场右
边界线与y 轴平行，有两个带负电荷的粒子A 和B 从O 点进入磁场，进入磁场时两粒子的速度大小相等，
粒子A 进入磁场时速度方向与x 轴成60°角，粒子B 进入磁场时速度方向与x 轴成30°角，经磁场偏转后两
粒子恰好都没有穿越磁场右侧边界线，则下列说法正确的是（ ）
A．两粒子在磁场运动半径之比
B．两粒子的比荷之比为
C．两粒子在磁场运动周期之比
D．两粒子在磁场运动时间之比
【答案】AD
【详解】A．两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，部分运动轨迹如下图所示
22
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设磁场宽度为d，根据几何知识可得
，
，解得
，
，故
，故A 正确；B．根据洛伦兹力提供向心力
，可得
，由
于两带电粒子速度相同，故两粒子的比荷之比为
，故B 错误；C．带电粒子在
匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为
，故两粒子在磁场运动周期之比为
，故C 错误；D．根据几何知识可知A 粒子和B 粒子在磁场中偏转角度分别为
，
，故两粒子在磁场运动时间分别为
，
，故两粒子
在磁场运动时间之比为
，故D 正确。
故选AD。
13．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）（多选）如图，在一个边长为a 的正六边形区域内，存在
磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，三个相同的带正电粒子，比荷为
，先后从A 点沿
AD 方向以大小不等的速率射入匀强磁场区域，已知粒子只受磁场的作用力，则（ ）
A．从
点飞出磁场的粒子速度大小为
B．所有从
边上飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间都相同
23
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C．从
点飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间为
D．从
边上的某一点垂直
飞出磁场的粒子，其轨道半径为
【答案】BCD
【详解】A．从F 点飞出的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为
，洛伦兹力提供向心力，由
牛顿第二定律得
，由几何关系可得
，联立解得
，故A 错误。
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
所有从
边上飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆
心角均为
，则在磁场中的运动时间均为
，故B 正确；C．由几何关系可得，
从E 点飞出的粒子在磁场中转过的圆心角
，粒子在磁场中的运动时间为
，故
C 正确；D．由几何关系可得，从
边上的某一点垂直
飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角为
，则有
，
，故D 正确。
故选BCD。
14．（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）（多选）如图所示，A、C 两点分别位于x 轴和y 轴上，
24
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，
的长度为L。在
区域内（包括边界）有垂直于
平面向里的匀强磁场。质量为
m、电荷量为q 的带电粒子，以各种不同的速度垂直
边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于
边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为
。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子带负电
B．磁场的磁感应强度的大小为
C．从
中点射入磁场的带电粒子可以从C 点出射
D．能从
边射出的带电粒子最大射入速度是
【答案】BD
【详解】A．由左手定则可知带电粒子带正电，故A 错误；B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间2t0
内其速度方向改变了90°，故其周期T=8t0，设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r，
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
，匀速圆周运动的速度满足
，解得
，故B 正
确；C．由题给条件可知，带电粒子从C 点出射，则C 为切点，如图所示
由几何关系可知，粒子的轨迹半径为
，入射点到A 点距离为
，不是从
中点射入磁场，
故C 错误；D．由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹与AC 边、OC 边相切时，粒子的轨迹半径最
大，此时粒子的入射速度最大，如图所示
25
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设O′为圆弧的圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC 相切于N 点，从O 点射出磁场，由几何关系可知
，设粒子最大入射速度大小为vm，由圆周运动规律有
，解得
，
故D 正确。
故选BD。
15．（2023·河北唐山·开滦第一中学校考一模）（多选）如图所示，竖直平面内两条虚线是匀强磁场的上
下边界，宽度
，磁场的磁感应强度
，在磁场下边界P 点有粒子源，可以向磁场各个方向发
射速度
带正电的粒子，粒子比荷
，不计粒子的重力，下列说法正确的
是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.4m
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为0.5m
C．粒子在磁场中运动的最长时间是
D．粒子在磁场中运动的最长时间是
【答案】AC
【详解】AB．根据
代入数据得
故A 正确、B 错误；
CD．在磁场中运动时间最长的粒子轨迹应与上边界相切，如图所示
26
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，
，
，
，圆心角
，在磁场中运
动时间最长
，
，所以
，故C 正确、D 错误。
故选AC。
16．（2023·全国·校联考模拟预测）如图1 所示，在半径为的圆形区域内，有垂直于圆面的磁场，磁感应
强度随时间的变化关系如图2 所示，
和
大小之比为
，已知
。
时刻，一带电粒子从
点沿
方向进入匀强磁场中，从圆周上
点离开磁场，
，在磁场中运动的时间为
，
粒子重力不计。
（1）求该粒子的比荷（用含
、
的式子表示）；
（2）若同一种粒子在
时刻从
点入射，速度大小、方向均与第一次相同，求这个粒子在圆形磁场区
域中运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意做出粒子得运动轨迹如图所示
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根据几何关系可得该粒子轨迹得半径
设该粒子得质量为
，电荷量为，入射速度为，由洛伦兹力充当向心力有
粒子的周期为
则可得
联立解得
（2）在
时刻射入同一粒子，此时的磁场强度为
，根据洛伦兹力充当向心力有
解得
根据题意有
而
解得
则可知粒子在磁场中偏转的角度为
，设该粒子在此磁场中运动的时间为，则可得
17．（2023·河南新乡·统考一模）如图所示，在空间坐标系
中，区域Ⅰ是边长为
的正方体空间，
该空间内存在沿轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
（大小未知），区域Ⅱ也是边长为
的正方
体空间，该空间内存在沿
轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
（大小未知），区域Ⅱ的上表面是
一粒子收集板。一质量为
、电荷量为的带电粒子从坐标原点
沿
平面以初速度
进入区域Ⅰ，然
后从区域Ⅰ右边界上的
点沿轴正方向进入区域Ⅱ。已知
点的坐标为
，粒子重力不计。
（1）求磁感应强度
的大小；
28
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（2）为使粒子能够在区域II 中直接打到粒子收集板上，求磁感应强度
的大小范围。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
由几何关系可知
可得
联立可得，磁感应强度
的大小为
（2）为了保证粒子能够直接打到粒子收集板上，最小半径为
最大半径为
由洛伦兹力提供向心力得
联立可得，磁感应强度
的大小范围为
18．（2023·浙江台州·统考模拟预测）如图所示，
平面（纸面）内
轴右侧连续分布宽度为
的无场区
域和宽度为d（未知）的匀强磁场区域，磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。位于原点
处的粒子源能释放出质量为
，电量为，初速度大小为
的正离子，离子沿各方向均匀分布在与轴成
的范围内，其中有
的离子能从第一个磁场区域的右边界飞出。不计离子的重力及离子间的相
互作用，并忽略磁场的边界效应。求：
（1）离子进入磁场后做圆周运动的半径大小；
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（2）磁场宽度d 的大小；
（3）离子能到达离
轴的最远距离；
（4）离子从
点出发到飞离第一个磁场区域的左边界所用时间的最小值。
[提示：若
，则
]
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据洛伦兹力充当向心力有
解得
（2）由题得，如图所示
与轴成
斜向上入射的离子恰好从磁场右侧飞出，由几何关系可得
（3）在最远位置时，离子的速度方向变为沿
轴正方向，则沿
方向由动量定理可得
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即
与轴成
斜向下入射的离子
最大，解得
故离子在第四个磁场中到达最远位置，则离
轴的最远距离为
（4）运动时间为
化简得
令
，解得
故最短时间为
19．（2023·四川成都·校联考模拟预测）如图所示，真空中有四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽
为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、
点，各区域磁感应强度大小相等，
方向如图所示。某粒子质量为m、电荷量为+q，从O 点沿轴线方向射入磁场。当入射速度为v0时，粒子从
O 点上方d 处射出磁场。求：
（1）磁感应强度大小B；
（2）入射速度为
时，粒子从O 运动到
的时间t；
（3）入射速度仍为
，通过沿轴线
平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O 运动到
的时间增加
，求
的最大值。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意知，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
由几何关系可得
解得
（2）粒子在第一个矩形磁场中做匀速圆周运动时，有
设粒子在第一个矩形磁场中的偏转角为
，由几何关系可知
联立解得
即
。设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则
分析粒子运动轨迹可知，粒子在每一个矩形磁场中的运动时间均为
联立解得
粒子在磁场外做匀速直线运动的时间为
32
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解得
则粒子从O 运动到
的总时间
（3）将中间两个磁场分别向中央移动距离x，粒子向上的偏转量
由于
，解得
则当
时，
有最大值，粒子做匀速直线运动的最大路程值
增加路程的最大值
增加时间的最大值为
20．（2023·河南开封·统考一模）光滑水平桌面上
和
之间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方
向垂直于桌面向上，如图所示（俯视图），
和
之间的夹角为
，一带电小球的质量为m，电荷量
为q，沿纸面以大小为
的速度从
的某点Q 向左上方射入磁场，速度方向与
成
角。已知带电小
球在磁场中的运动轨迹与
恰好相切，且带电小球能从
上另一点P 射出磁场。（P 点未画出）
（1）带电小球离开磁场的出射点P 到O 点的距离s 多大？
（2）若在
与
之间加上水平方向的匀强电场，带电小球离开磁场后在该电场中继续运动，恰能
从Q 点以与第一次相同的速度射入磁场，求匀强电场的场强？
【答案】（1）
；（2）
，方向垂直于
向上
【详解】（1）设小球做圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力得
由题知小球必沿顺时针方向作圆周运动，由几何关系可得，小球到达
时速度必沿水平方向向左，
33
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间距
故
（2）小球从P 到Q 运动的过程中，加速度不变．小球在
方向做匀速直线运动，所以电场E 必垂直于
方向向上。由几何关系知：
距离为R，则
①
在垂直
方向上
②
其中
③
①②③联立得
方向垂直于
向上。
21．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有
通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径
，外圆半径
，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小
，被束缚的带正电粒子的比荷
，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O 点
以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
（1）求带电粒子在磁场中运动的周期T 和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。
（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度
沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从某点
进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间。
（3）若要使束缚效果最好，应在半径为
的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度
要与B 的方
向相同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若
=2B，为使粒子不能射出半径为
的圆形区域，求
粒子速度的最大值
。
34
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）相同，
【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
又
解得带电粒子在磁场中运动的周期
当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外
边界的最大速度，如图甲所示
根据几何关系有
解得
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有
解得
（2）带电粒子以速度
射入磁场中时，根据几何关系有
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解得
故其运动轨迹如图乙所示；带电粒子在磁场中运动的圆心角为
在磁场中运动的时间
带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间
带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间
解得
（3）要使束缚效果最好，则B'与B 的方向应相同，如图丙所示；粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为
O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为
，设粒子在两区域内的运动半径分别为r1、r2
因为
，所以
根据几何关系，有
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则
为等腰三角形，
，所以
解得
则
22．（2023·江苏扬州·统考三模）如图所示，y 方向足够长的两个条形区域，宽度分别为l1
和l2
，两区域分别分布着磁感应强度为
和
的磁场，磁场方向垂直于xOy 平面向外，磁碱应强度
，现有大量粒子从坐标原点O 以恒定速度
不断沿x 轴正方向射入磁场，由于
的大
小在0-0.5T 范围内可调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出。已知带电粒子的电量
C。 质量
，不考虑带电粒子的重力，求：
（1）要使粒子能进入
的磁场，
应满足的条件；
（2）粒子在条形区域内运动的最短时间t；
（3）粒子从y 轴飞出磁场时的最高点坐标y。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）当带电粒子在
磁场中圆周运动的半径大于l1 时粒子能进入磁感应强度
的磁场，由洛伦
兹力充当向心力有
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当
时，粒子的轨迹如图所示
此时有
代入数据得
即粒子恰好不进入磁场
区，而根据
可知，磁感应强度越小，轨道半径越大，因此
满足的条件为
（2）当
时，粒子进入
磁场，有
解得
可知粒子从右边界MN 飞出，粒子的运动轨迹如图
由几何关系可知
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解得
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着
的增大，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的运动时间先增大后减小，当
达到
最大值0.4T 时，粒子从左边界飞出，运动时间为
所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
（3）设
为粒子从MN 射出的最高点，则
为轨迹与边界MN 的切点，如图
为粒子在B1 磁场中运动的圆心，
为粒子在
磁场中运动的圆心，由几何知识可得
，
解得
由几何知识知有
则根据几何关系可得A1 的纵坐标
根据对称性可得粒子从y 轴飞出磁场时的最高点坐标
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考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
23．（2022·湖北·高考真题）（多选）在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，
一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方
向垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р 点射出，设出射方向与入射方向的夹
角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为（ ）
A．
kBL，0°
B．
kBL，0°
C．kBL，60°
D．2kBL，60°
【答案】BC
【详解】若粒子通过下部分磁场直接到达P 点，如图
根据几何关系则有
，
，可得
，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，
故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当粒子上下均经历一次时，如图
40
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因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有
，根据洛伦兹力提供向心力有
，可得
，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可
知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）此时出射方向与入射方
向的夹角为θ=60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）此时出射方
向与入射方向的夹角为θ=0°。故可知BC 正确，AD 错误。
故选BC。
24．（2023·湖北·高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。
t= 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正电
粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子
乙刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，
碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子乙运动的路程。
（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【详解】（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入到达点O，则说明粒子甲的半径r=a
根据
解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则T 甲= 2T 乙
根据
，有
则
粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有
mv 甲0＋m 乙v 乙0= －mv 甲1＋m 乙v 乙1
解得v 乙0= －5v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为
。
（3）已知在
时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有v 甲1= －3v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则根据
，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在
时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞过程中乙粒
子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为S1= 6πa
且在第二次碰撞时有mv 甲1＋m 乙v 乙1=mv 甲2＋m 乙v 乙2
解得v 甲2=v 甲0，v 乙2= －5v 甲0
可知在
时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞过程中乙粒
子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为S2= 10πa
且在第三次碰撞时有mv 甲2＋m 乙v 乙2=mv 甲3＋m 乙v 乙3
42
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解得v 甲3= －3v 甲0，v 乙3= 3v 甲0
依次类推
在
时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞过程中乙粒子运
动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为S8= 10πa
且在第九次碰撞时有mv 甲8＋m 乙v 乙8=mv 甲9＋m 乙v 乙9
解得v 甲9=－3v 甲0，v 乙9= 3v 甲0
在
到
过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为r 甲1= 3a
则
时甲粒子运动到P 点即（－6a，0）处。
在
到
过程中，乙粒子刚好运动一周，则
时乙粒子回到坐标原点，且此过程中
乙粒子走过的路程为S0= 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为S= 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa= 67πa
25．（2023·陕西·校联考一模）（多选）如图，圆形区域匀强磁场垂直于纸面，初速度v 大小不同的同种
带电粒子，先后向着圆心射入磁场，经磁场偏转后射出磁场。忽略带电粒子的重力，下面说法正确的是（
）
A．粒子运动周期跟速度v 成正比
B．粒子受到的向心力与速度v 成正比
C．在磁场中转过的圆心角越大，运动时间越长
D．因为洛伦兹力不做功，所以粒子在磁场中受到的洛伦兹力冲量等于零
【答案】BC
【详解】A．质量和电荷量都相同的带电粒子，其比荷
相同，根据
，
，带电粒子在磁
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场中运动周期
，可知，它们进入匀强磁场后做匀速圆周运动的周期相同，故A 错误；B．洛伦兹
力
，提供向心力，所以粒子受到的向心力与速度v 成正比，故B 正确；C．粒子在磁场中的运动轨
迹所对应的圆心角为
，则运动时间
，故C 正确；D．虽然洛伦兹力不做功，但粒子的动量发生
了变化，根据动量定理，受到的洛伦兹力冲量不等于零，故D 错误。
故选BC。
26．（2023·湖北·校联考模拟预测）（多选）如图所示的xOy 坐标系中，y 轴的左侧存在垂直纸面向外、磁
感应强度大小未知的匀强磁场，y 轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y 轴上
（0，
）处沿与y 轴正方向成30°角的方向以速度v 射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y 轴右侧的
轨道半径为L，最终粒子经过O 点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y 轴右侧的磁感应强度大小为
B．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O 点的时间为
C．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为
D．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为
【答案】AD
【详解】A．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示
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根据
，解得
，由几何关系可知
，则有
，A 正确；B．由几何关系可知粒子
在y 轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O 点的时间
，由于
，解得
，B
错误；CD．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y 轴左右两侧各偏转一次经过O 点，如图乙所示，
由几何关系可知粒子在y 轴左侧的轨道半径
，则y 轴左侧磁场的磁感应强度大小
，
粒子运动的时间
，由于
，解得
，若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可
能在y 轴的左侧偏转一次、在y 轴的右侧偏转两次经过O 点，如图丙所示
由几何关系可知粒子在y 轴左侧的轨道半径
，则y 轴左侧磁场的磁感应强度大小
，
粒子运动的时间
，由于
，解得
，C 错误，D 正确。
故选AD。
27．（2023·云南·一模）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段
是屏与纸面
的交线，长度为
，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相
同的粒子；
，P 为垂足，如图所示，已知
，若
上所有的点都能被粒子从其右侧
直接打中，则粒子的速率至少为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子要打中
的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从
飞出，绕过距离最近的
点，从右侧
打中
最下端的
点，粒子运动的轨迹如图所示
为轨迹圆的弦长，
为
中点，
，
；粒子运动的半径为，根据几何关系可知
四边形
为平行四边形，则
,解得
，粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力
完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
，解得粒子的最小速率为
，
故选C。
28．（2023·江西鹰潭·校联考模拟预测）如图所示，以
为圆心、半径为
的圆形区域内存在垂直圆面向
里、磁感应强度大小为
的匀强磁场。在圆周上的
点安装一个粒子源，可向磁场区域内垂直磁场沿各个
方向发射比荷为的粒子。若粒子以
的速率沿
方向射入磁场，恰能在圆内运动时间（未
知）后从圆周上的
点（图中未画出）离开磁场。若向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射速率为
（未
知）的粒子，这些粒子均能从劣弧
范围内离开磁场（
点有粒子经过）。不计粒子重力和粒子间的相
互作用。求：
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子的速率
。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）对速率为
的粒子，根据洛伦兹力提供向心力有
又有
解得
粒子的运动轨迹如图1 所示，有
解得
粒子做圆周运动的周期
图1 粒子运动的时间
解得
（2）速率为
且从
点离开磁场的粒子运动轨迹如图2 所示，由几何关系，则有
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根据洛伦兹力提供向心力有
解得
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