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11 磁 场
[-考点-07-] 带电粒子在有界匀强磁场中的临界
极值和多解问题
一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的
“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，
根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹
与边界相切．
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则
带电粒子在有界磁场中的运动时间越长．
(3)当比荷相同，速率v 变化时，圆心角越大的，运动时间越长．
二、几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点
和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线
与边界垂直．
如图，P 为入射点，M 为出射点．此时在磁场中运动时最短．
三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不
确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子
在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临
界问题．解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中
的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，
根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
临界点常用的结论：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界
相切．
(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒
子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速度v 变化时，圆心角越大，运动时间越长．
典例1 (带电粒子在磁场中运动的临界问题)(多选)如图所示，在坐标
系的y 轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的
宽度为d，磁场方向垂直于xOy 平面向里．一个质量为m、电荷量为
－q(q>0)的带电粒子，从原点O 射入磁场，速度方向与x 轴正方向成
30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y 轴上的某点离
开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法
正确的是( )
A．它的轨道半径为d
B．它进入磁场时的速度为
C．它在磁场中运动的时间为
D．它的运动轨迹与y 轴交点的纵坐标为d
典例2 (带电粒子在磁场中运动的极值问题)(多选)
如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强
度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为
q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力
不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射
速率v 的最大值可能是( )
A. B.
C. D.
典例3 (磁场方向不确定形成多解)(多选)如图所示，
A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，离子的重力
忽略不计．为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的
匀强磁场．已知O、A 两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为
v，OP 与OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大
小和方向可能是( )
A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里
C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外
典例4 (带电粒子电性不确定形成多解)(多选)如图所
示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板
则能够以原速率弹回．一质量为m、带电荷量为q 的
粒子以某一速度垂直于磁场方向从P 点射入磁场，恰好从Q 点射出．下
列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
典例5 (临界状态不确定形成多解)(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平
面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂
直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直．离子源从S 处射
入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°
角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P 点射出，设出射方向与
入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为( )
A.kBL,0°
B.kBL,0°
C．kBL,60°
D．2kBL,60°
1.如图所示，abcd 为边长为L 的正方形，在四分之一
圆abd 区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁
感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为＋q 的带电
粒子从b 点沿ba 方向射入磁场，粒子恰好能通过c 点，
不计粒子的重力，则粒子的速度大小为( )
A. B. C. D.
2.(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向
里的匀强磁场，一带电粒子从a 点沿与ab 边成30°角
方向射入磁场，恰好从b 点飞出磁场；另一带电粒子
以相同的速率从a 点沿ad 方向射入磁场后，从c 点飞
出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁
场中的运动时间之比分别为( )
A.∶＝1∶1 B.∶＝2∶1 C．t1∶t2＝2∶3 D．t1∶t2＝1∶3
3. (多选)如图所示，长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电.现有质量为m、电荷量为
q 的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁
感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，
可采用的办法是( )
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度<v<
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4.(多选)如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场
的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点
A 处有一质子源，能沿∠A 的角平分线发射速度大小不等、方向相同的
质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D
点，已知质子的比荷＝k，则质子的速度可能
为( )
A.
B．BkL
C.
D.
5.如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.磁
场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸
面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力和粒子间的相互
作用力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则
粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B. C. D.
6.(2023·辽宁·期中)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁
场，ab 是圆的直径．一带电粒子从a 点射入磁场，速度大小为v1、方向
与ab 成30°角时，恰好从b 点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为
t；若同一带电粒子从a 点沿ab 方向射入磁场，也经时间t 飞出磁场，则
其速度大小为( )
A.v1 B.v1 C.v1 D.v1
7.(多选)如图所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂
直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场
的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于MN 上的a 点，能水平向右发射
不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q＞0)的同种粒子，所有粒
子均能通过MN 上的b 点，已知ab＝L，则粒子
的速度可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内存在
一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的
匀强磁场，在ad 边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad 边夹
角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷
量为q，ad 边长为L，ab 边足够长，粒子重力不计，求：
(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01；
(2)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小v02；
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时
间．
9.(2023·安徽十校检测)如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的
半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A 是内侧
边界上的一点。在圆心O 处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷
量为q 的带电粒子，粒子速度方向与OA 成60°角，粒子经磁场第一
次偏转后刚好从A 点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是
( )
A.粒子一定带正电
B.粒子第一次在磁场中运动的时间为
C.粒子运动的速度大小为
D.磁场外边界圆的半径至少为r
10.如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的
两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两
板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示
(垂直于纸面向里的磁场方向为正方向).有一群正离子在t＝0 时垂直于
M 板从小孔O 射入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子
在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不
考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力.求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度
v0的可能值.
11.(多选)(2021·海南卷·13)如图，在平面直角坐标系Oxy 的第一象限内，
存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电
量为q 的相同粒子从y 轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同
方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为
α(0≤α≤180°)．当α＝150°时，粒子垂直x 轴离开磁场．不计粒子的重
力．则( )
A．粒子一定带正电
B．当α＝45°时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C．粒子入射速率为
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