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第18 讲 带电粒子在磁场中运动模型
【模型一 带电粒子在有界磁场中的运动模型】
类型1 平行边界的磁场模型
类型2 圆形边界磁场模型
类型3 三角形边界的磁场模型
类型4 圆形边界的磁场模型
【模型二 磁场中的动态圆模型】
类型1 带电粒子在磁场中平移圆模型
类型2 带电粒子在磁场中放缩圆模型
类型3 带电粒子在磁场中旋转圆模型
类型4.带电粒子在磁场中磁聚焦模型
【模型三 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题】
类型1 带电粒子电性不确定形成多解
类型2.运动轨迹不确定形成多解
类型3 运动具有周期性形成多解
带电粒子在磁场中运动在高考中是重点考查模型，既对基本概念洛伦兹力方向的判断考查，重点对洛
伦兹力公式与圆周运动公式的考查是高频考点，题目常通过粒子速度方向与磁场方向的夹角变化（平行、
垂直、斜交）设计问题。 是有界磁场命题的重中之重，常以“轨迹与边界相切”为临界条件，轨迹往往
是圆弧或圆弧的组合。题目核心难点在于确定圆心、半径、圆心角、运动时间；多解问题是高频难点和区
分点
深刻理解该模型的规律：洛伦兹力特点、圆周运动两公式的推导、适用条件和各物理量关系。熟练进
行方向判断和基本计算，熟记典型模型（圆界、直界、矩界、角域）的轨迹特点和常用处理方法.
1.解答带电粒子运动问题的“三个关键”——“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定方法
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圆心的确定
半径的确定
时间的确定
基本
思路
（1）与速度方向垂直的直线过圆心。
（2）弦的垂直平分线过圆心。
（3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。
利用平面几何知识
求半径。
利用轨迹长度L 或对应圆
心角θ 求时间。
t＝L
v ＝θ
2π ·T。
图例
说明
P、M 点速度垂线
的交点。
P 点速度垂线与
弦的垂直平分线
的交点。
S 点的速度垂线
与切点法线的交
点。
常用解三角形法，
（如图）R＝
L
sinθ
或由R2＝L2＋（R－
d ）
2 求得R ＝
L
2+d
2
2d
。
（1）速度的偏转角φ 等
于AB
⏜
所对的圆心角θ。
（2）偏转角φ 与弦切角
α 的关系：若φ ＜
180°，φ＝2α；若φ
＞180° ，φ ＝360° －
2α。
2.无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤：
3.作带电粒子运动轨迹时需注意的问题
(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
(2)六条线：圆弧两端点所在的轨道半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点
的连线，圆心与两条速度所在直线交点的连线。前面四条线构成一个四边形，后面两条线为这个四边形的
对角线。
(3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
【模型一 带电粒子在有界磁场中的运动模型】
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类型1 直线边界磁场
【模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界。单边直线边界如图abc 所示，粒子进出磁场具
有对称性；。
解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。
如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边
界的夹角相等。
【典例1】在如图所示的xOy 平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个
匀强磁场(图中未画出)．Oa 是两磁场的边界，且与x 轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原
点O 沿x 轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y 轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强
度的比值为( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【答案】 C
【解析】 设带电粒子在B1中运动的半径为R1，在B2中运动的半径为R2，根据条件作出粒子的运动轨迹
如图所示，
由图中几何关系可知R1＝2R2，根据qvB＝m 可得＝＝，故C 正确，A、B、D 错误．
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【变式1-1】如图所示，直线AD 为磁感应强度大小为B 的匀强磁场的边界线，AD 与水平线成θ=30°角，
M、N 为竖直放置的两个带有狭缝的金属板，板间电压为U。一带正电的粒子（初速度为零）经电场加速
后从C 点水平射入磁场，从CD 间的E 点离开磁场，C、E 间距离为L，不计粒子重力，以下说法正确的是
（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中的运动时间为
C．仅将加速电压变为原来的2 倍，粒子从CD 间某位置射出时出射点与入射点之间的距离为
L
D．仅加速电压变为原来的2 倍，粒子从CD 间某位置射出时粒子在磁场中运动时间为原来的
倍
【答案】BC
【解析】A．在C 点做水平速度的垂线，在E 点做速度的垂线，由对称性可知在E 点速度与边界成30°，所
以粒子运动的半径为
由质谱仪的公式
得
，A 错误；
Ｂ．粒子在磁场中速度改变了60°，运动时间
，B 正确；
C．若加速电压变为原来的2 倍，由公式
得半径变为原来的
倍，C 正确；
D．若加速电压变为原来的2 倍，粒子转过的角度仍然是60°，时间不变，D 错误。故选BC。
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【变式1-2】（多选）如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向
从粒子源O 先后发射速率均为v 的质子和α 粒子，质子和α 粒子同时到达P 点。已知OP＝l，α 粒子沿与
PO 成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A.质子在磁场中运动的半径为l
2
B.α 粒子在磁场中运动的半径为√3
2 l
C.质子在磁场中运动的时间为π l
2v
D.质子和α 粒子发射的时间间隔为7 π l
6 v
【答案】ACD
【解析】根据题意作出α 粒子运动轨迹如图所示；
由几何知识可知，α 粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 r＝l，因为α 粒子做圆周运动的半径为r
＝mv
qB ，质子与α 粒子的比荷之比为2∶1，所以运动的半径之比为1∶2，质子运动的半径为l
2，故A 正确，
B 错误；α 粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2π r
v
＝2π l
v
，由几何知识可知，α 粒子在磁场中转过的圆
心角θ1＝300°，α 粒子在磁场中的运动时间t1＝θ1
360° T＝5 π l
3 v ，质子从O 射入P 点射出，又质子运动的
半径为l
2，可知质子从O 点射入的速度方向必与OP 边界垂直，质子在磁场中转过的圆心角θ2＝180°，故
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t2＝π l
2v 。所以质子和α 粒子发射的时间间隔为t1－t2＝7 π l
6 v ，故C、D 正确。
【变式1-3】如图所示，直线MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1 从磁场边界上的a 点垂直MN
和磁场方向射入磁场，经t1时间从b 点离开磁场。之后电子2 也由a 点沿图示方向以相同速率垂直磁场方
向射入磁场，经t2时间从a、b 连线的中点c 离开磁场，则
t1
t2
为（ ）
A.3 B.2 C.3
2
D.2
3
【答案】A
【解析】电子1、2 在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，
电子1 垂直边界射进磁场，从b 点离开，则运动了半个圆周，ab 即为直径，c 点为圆心，电子2 以相
同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b 连线的中点c 离开磁场，根据半径r＝mv
Bq 可知，电子1
和2 的半径相等，根据几何关系可知，△aOc 为等边三角形，则电子2 转过的圆心角为60°，所以电子1
运动的时间t1＝T
2 ＝π m
Bq ，电子2 运动的时间t2＝T
6 ＝π m
3 Bq ，所以
t1
t2
＝3，故A 正确，B、C、D 错误。
类型2 平行边界磁场
【模型】
双边平行直线边界如图所示，粒子进出磁场存在临界条件
解决这类问题的“三部曲”：画轨迹、找圆心、定半径。
如果粒子从同一直线边界射入和射出，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度与边
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界的夹角相等。
图a 中粒子在磁场中运动的时间t1＝，t2＝＝
图b 中粒子在磁场中运动的时间t＝
图c 中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝
图d 中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝
【典例2】如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B 并垂直于磁场边界的速度v 射入宽度为d 的匀强
磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝30°，求：
(1)电子运动的轨迹半径r；
(2)电子的比荷
；
(3)电子穿越磁场的时间t。
【答案】(1)2d (2)
(3)
【解析】（1）作入射、出射速度的垂线确定轨迹圆心，由几何关系
，可得r = 2d
（2）设电子质量为m、电量为e，由洛伦兹力提供向心力得
，解得
（3）由洛伦兹力提供向心力
，运动的周期
，得
由
，代入周期得
【变式2-1】（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方
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向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A 点出发，同时到达B 点，如图所
示，则（ ）
A.a 粒子带正电，b 粒子带负电
B.两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝√3∶1
C.两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D.两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
【答案】BD
【解析】由左手定则可得a 粒子带负电，b 粒子带正电，故A 错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹
如图所示，则Ra＝
1
2 d
sin30°
＝d，Rb＝
1
2 d
sin 60°
＝√3
3 d，所以Ra∶Rb＝√3∶1，故B 正确；由几何关系可得，
从A 运动到B，a 粒子转过的圆心角为60°，b 粒子转过的圆心角为120°，ta＝T a
6 ＝tb＝T b
3 ，则Ta∶Tb＝
2∶1，再根据洛伦兹力提供向心力可得Bvq＝m v
2
R ，所以运动周期T＝2π R
v
＝2π m
qB ，根据a、b 两粒子电
荷量相等可得ma∶mb＝Ta∶Tb＝2∶1，故C 错误，D 正确。
【变式2-2】如图所示，一个理想边界为PQ、MN 的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．
一电子从O 点沿纸面垂直PQ 以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN 上，且
OO′与MN 垂直．下列判断正确的是
( )
A．电子将向右偏转
B．电子打在MN 上的点与O′点的距离为d
C．电子打在MN 上的点与O′点的距离为d
D．电子在磁场中运动的时间为
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【答案】：D
【解析】：电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左，电子将向左偏
转，如图所示
A 错误；设电子打在MN 上的点与O′点的距离为x，则由几何知识得：x＝r－＝2d－＝(2－)d，故B、C 错
误；设轨迹对应的圆心角为θ，由几何知识得：sin θ＝＝0.5，得θ＝，则电子在磁场中运动的时间为t＝
＝，故D 正确．
【变式2-3】（多选）在一正方形区域里有垂直纸面向里的匀强磁场，现有a、b、c 三个比荷（
）
相同的带电粒子（不计重力）依次从P 点沿PQ 方向射入磁场，其运动轨迹分别如图所示，带电粒子a 从PM
边中点O 射出，b 从M 点射出，c 从N 点射出。则a、b、c 三个粒子在磁场中运动的（ ）
A．速率之比为1：2：4
B．周期之比为1：1：2
C．时间之比为2：2：1
D．动量大小之比为1：2：4
【答案】AC
【解析】AD．设正方形的边长为L，根据几何关系可知粒子运动的半径分别为
，
，
由洛伦兹力提供向心力得
解得
则有
根据动量表达式
，因为粒子的质量关系不确定，所以动量的大小关系也不能确定，故A 正
确，D 错误；
BC．根据周期
可知a、b、c 三个粒子在磁场中运动的周期相等；又有
，
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所以时间之比为
,故B 错误，C 正确。
故选AC。
类型3 三角形或四边形边界磁场
1.三角形边界磁场是指分布在三角形区域内的有界磁场，粒子的轨迹也是一段圆弧，由于三角形有等
边三角形、等腰三角形、直角三角形等不同类型，所以会有不同的临界情境，如图甲、乙所示。
解答该类问题主要把握以下两点：
(1)射入磁场的方式
①从某顶点射入。
②从某条边上某点(如中点)垂直(或成某一角度)射入。
(2)射出点的判断
其临界条件是判断轨迹可能与哪条边相切，进而判定出射点的可能位置。
2.矩形边界
矩形边界磁场是指分布在矩形范围内的有界磁场，带电粒子的轨迹只是一部分圆弧。垂直于某边射入，
从某一顶点射出是常见的临界情况。
解决该类问题的关键是把握临界情况，如图所示。常见的有如下几种情况：(设粒子从ad 边中点e 垂
直射入)
(1)两个临界半径
①从d 点射出：r1＝。 ②从c 点射出：r＝＋ab2。
(2)三种情况
①r≤r1，粒子从ed 段射出。
②r1<r≤r2，粒子从cd 段射出。
③r>r2，粒子从cf 段射出(不会到达f 点)。
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【典例3】（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd 内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在
纸面内从顶点a 以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab 边
的中点、b 点和c 点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（ ）
A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3
D．t1 > t2 > t3
【答案】A
【解析】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为
设正方形abcd 的边长为l，则
，
，
则有t1 < t2 = t3
故选A。
【变式3-1】如图，边长为l 的正方形abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面
（abcd 所在平面）向外。ab 边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子。已知
电子的比荷为k。则从a、d 两点射出的电子的速度大小分别为（ ）
A.1
4 kBl，√5
4 kBl B.1
4 kBl，5
4 kBl
C.1
2kBl，√5
4 kBl D.1
2kBl，5
4 kBl
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【答案】B
【解析】若电子从a 点射出，运动轨迹如图线①所示，
有qvaB＝mva
2
Ra
Ra＝l
4 解得va＝qBl
4 m ＝kBl
4
若电子从d 点射出，运动轨迹如图线②所示，有qvdB＝mvd
2
Rd
Rd
2＝(Rd - l
2)
2
＋l2，解得vd＝5qBl
4 m ＝5kBl
4
选项B 正确。
【变式3-2】（多选）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边
三角形ABC 边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平
分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C 点，质子比荷q
m＝1
k ，则质子的速度可
能为（ ）
A.BL
k B.BL
2k
C.2BL
3k D.BL
8k
【答案】ABD
【解析】质子带正电，且经过C 点，其可能的轨迹如图所示。
所有圆弧所对圆心角均为60°
【变式3-3】（多选）如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，
一带电粒子从a 点沿与ab 边成30°角方向射入磁场，恰好从b 点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从
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a 点沿ad 方向射入磁场后，从c 点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间
之比分别为（ ）
A.
q1
m1
∶
q2
m2
＝1∶1B.
q1
m1
∶
q2
m2
＝2∶1
C.t1∶t2＝2∶3
D.t1∶t2＝1∶3
【答案】AC
【解析】两粒子的运动轨迹如图所示；设正方形区域边长为L，则从b 点飞出的粒子的运动轨迹半径
为r1＝L；从c 点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；根据qv0B＝mv0
2
r
，可得q
m＝v0
Br ，则
q1
m1
∶
q2
m2
＝
1∶1，选项A 正确，B 错误；根据T＝2π m
qB 可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两粒子在磁场
中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝θ
2π T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项C 正确，D 错误。
【变式3-4】（多选）如图所示，边长为a 的正三角形
区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场．
一电子束从A 点以不同的速度（在纸面内）沿角平分线射入磁场．已知磁场的磁感应强度大小为B，电子
质量为m，电荷量为e，不计电子重力及电子间的相互作用．关于电子的运动情况，下列说法正确的是（
）
A．从
边射出的电子，在磁场中轨迹越长，在磁场中运动时间越长
B．从
边射出的电子速度越大，则在磁场中轨迹越长
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C．从
边射出的电子的最大速度为
D．从
边射出的电子轨迹不同，但电子的动量变化量相同
【答案】BC
【解析】A．因为电子束从A 点以不同的速度沿角平分线射入磁场，电子从AC 边射出时速度与边界
的夹角均为
，电子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角均为
，电子在磁场中运动周期
是相同的，由
可知，从AC 边射出的电子在磁场中的运动时间与轨迹长度无关，故A 错误；
B．由于从AC 边射出的电子在磁场中运动轨迹所对的圆心角相等，所以轨迹半径越大轨迹越长，根
据洛伦兹力提供向心力，有
，可得电子在磁场中运动轨迹半径
即轨迹半径越大，说明电子速度越大，故B 正确；
C．电子从AC 边的C 点射出时，电子轨迹半径最大且为a，由洛伦兹力提供向心力
解得
，故C 正确；
D．从AC 边射出的电子轨迹不同，但所经历的时间相同，从AC 边射出的电子偏转角均为60°，动
量变化量大小为
，因速度不同，动量变化量不同，故D 错误。故选BC。
【变式3-5】边长为L 的等边三角形OAB 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从O 点向磁场区
域AOB 各个方向瞬时射入质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，所有粒子的速率均为v 。如图所示，沿
OB 方向射入的粒子从AB 边的中点C 射出，不计粒子之间的相互作用和重力的影响，已知sin
35°≈0.577。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（3）沿OB 方向射入的粒子从AB 边的中点C 射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。
【答案】（1）2√3mv
3qL
（2）7√3 π L
36 v
（3）1
2
【解析】（1）OC＝Lcos 30°＝√3
2 L，沿OB 方向射入的粒子从AB 边的中点C 射出，由几何知识得粒
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子做圆周运动的圆弧对的圆心角为60°。
半径r＝OC＝√3
2 L
由qvB＝mv
2
r
得B＝mv
qr ＝2√3mv
3qL
。
（2）从A 点射出的粒子在磁场中运动时间最长，设弦OA 对的圆心角为α，由几何关系得
sinα
2 ＝
L
2
r
＝√3
3 ≈0.577，α≈70°，最长时间tm≈70°
360° ·2π m
qB ＝7√3 π L
36 v
。
（3）从OA 上D 点射出的粒子做圆周运动的弦长OD＝OC，粒子做圆周运动的圆弧所对的圆心角也为
60°，如图所示，由几何知识得入射速度与OD 的夹角应为30°，即沿OC 方向射入的粒子在磁场中运动的
时间与沿OB 方向射入的粒子从AB 边的中点C 射出的时间相等，从OB 方向到OC 方向30°范围内的粒子此
时都还在磁场中，而入射的范围为60°，故还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是1
2。
类型4 圆形边界磁场
【模型】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝
粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，θ＋α＝90°
圆形有界磁场问题（1）
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有
→磁偏转半径
，根据半径
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公式
求解；时间
。速度v 越大→磁偏转半径r 越大→圆心角α 越小→时间t 越短。若
r=R，构成正方形。
2． 圆形有界磁场问题（2）
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
【典例4】如图所示，在一个圆形区域内有垂直于圆平面的匀强磁场，现有两个质量相等、所带电荷
量大小也相等的带电粒子a 和b，先后以不同的速率从圆边沿的A 点对准圆形区域的圆心O 射入圆形磁场区
域，它们穿过磁场区域的运动轨迹如图所示。粒子之间的相互作用力及所受重力和空气阻力均可忽略不计，
下列说法中正确的是（ ）
A．b 粒子在磁场中做圆周运动的周期较大
B．穿过磁场区域的过程a 粒子运动的时间较长
C．穿过磁场区域的过程洛伦兹力对a 做功较多
D．射入圆形磁场区域时a 粒子的速率较大
【答案】B
【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有
，
解得
，
由于带电粒子a 和b 质量相等、所带电荷量大小也相等，则两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，
故A 错误；
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B．令粒子在磁场中运动轨迹对应圆心角为，则粒子在磁场中运动时间
根据图示可知，a 粒子圆周运动轨迹对应圆心角大于b 粒子圆周运动轨迹对应圆心角。则穿过磁场
区域的过程a 粒子运动的时间较长，故B 正确；
C．洛伦兹力方向始终垂直于粒子运动速度的方向，可知，洛伦兹力始终不做功，故C 错误；
D．根据图示可知，a 粒子圆周运动的半径小于b 粒子圆周运动的半径，结合上述可知，射入圆形
磁场区域时a 粒子的速率较小，故D 错误。
故选B。
【变式4-1】7.如图所示，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，Oa、Ob、Oc、Od 是以不同速
率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d 三个出射点和圆心的连线分别与竖直方向成
90°、60°、45°的夹角，则下列判断正确的是（ ）
A.沿径迹Oc 运动的粒子在磁场中运动时间最短
B.沿径迹Oc、Od 运动的粒子均为正电子
C.沿径迹Oa、Ob 运动的粒子速率之比为√3
3
D.沿径迹Ob、Od 运动的时间之比为9∶8
【答案】C
【解析】由于正电子和负电子的电荷量q 和质量m 均相等，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有qvB
＝mv
2
R ，T＝2π R
v
，解得T＝2π m
qB ，可知四种粒子在磁场中运动的周期相等，而沿径迹Oc 运动的粒子偏
转角最大，圆心角也最大，设偏转角为θ，由t＝θ
2π T，可知沿径迹Oc 运动的粒子在磁场中运动时间最
长，A 项错误；由左手定则可判断沿径迹Oc、Od 运动的粒子均带负电，B 项错误；设圆形磁场半径为r，
根据几何关系可得沿径迹Oa、Ob 运动的粒子轨道半径分别为ra＝r，rb＝√3r，根据qBv＝mv
2
r ，可得
va
vb
＝
ra
rb
＝√3
3 ，C 项正确；由上述分析可知，粒子在磁场中的运动时间之比等于偏转角之比，所以
tb
td
＝
θb
θd
＝
60°
45° ＝4
3 ，D 项错误。
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【变式4-2】（多选）（2022·辽宁高考）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模
型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，
粒子1 沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M 点。粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点。装置内部
为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A.粒子1 可能为中子
B.粒子2 可能为电子
C.若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
D.若增大粒子入射速度，粒子2 可能打在探测器上的Q 点
【答案】AD
【解析】由题图可看出粒子1 没有偏转，说明粒子1 不带电，则粒子1 可能为中子；粒子2 向上偏转，
根据左手定则可知粒子2 应该带正电，A 正确、B 错误；由以上分析可知粒子1 为中子，则无论如何增大磁
感应强度，粒子1 都不会偏转，C 错误；粒子2 在磁场中根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv
2
r ，解得r＝
mv
qB ，可知若增大粒子入射速度，则粒子2 的半径增大，粒子2 可能打在探测器上的Q 点，D 正确。
答案 AD
【变式4-2】（多选）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为
区域内的地磁场视
为方向垂直于剖面的匀强磁场（磁场方向垂直纸面向里，图中未画出），一带电粒子以一定速度正对地心
射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（ ）
A．粒子带负电荷
B．轨迹半径为
C．轨迹半径为
D．轨迹半径为
【答案】AC
【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电荷，故A 正确；
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BCD．如图所示
设轨迹半径为r，根据几何关系可得
解得
，故C 正确，BD 错误。
故选AC。
【变式4-4】如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷
量为q，初速度大小为v 的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，
粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ 角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错
误的是（ ）
A.粒子带正电
B.粒子在磁场中运动的轨迹长度为mvθ
qB
C.粒子在磁场中运动的时间为mθ
qB
D.圆形磁场区域的半径为mv
qB tan θ
【答案】D
【解析】根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A 不符合题意；由洛伦兹力提供
向心力可得qvB＝mv
2
r ，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝mv
qB ，由几何关系可知其对应的圆
心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝mvθ
qB ，B 不符合题意；粒子做匀速运动的周期为T
＝2π r
v
＝2π m
qB ，则粒子在磁场中运动的时间为t＝θ
2π ·T＝mθ
qB ，C 不符合题意；设圆形磁场区域的半径
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为R，由tan θ
2＝R
r ，解得R＝rtan θ
2＝mv
qB ·tan θ
2，D 符合题意。
【模型二 磁场中的动态圆模型】
类型1 带电粒子在磁场中平移圆模型
平移圆模型
适用
条件
速度大小一定，
方向一定，但入
射点在同一直线
上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一
直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周
运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r
＝，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线
界定方法
将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条
件，这种方法叫“平移圆”法
【典例5】如图所示，直角三角形
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），
边长
为，
为
，一群比荷为
的带负电粒子以相同速度从
点开始一定范围垂直
边射入，射入的粒
子恰好不从
边射出，已知从
边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为
，在磁场中运动时间最长
的粒子所用时间为
，不计粒子的重力，以及粒子之间的相互作用力，则（ ）
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A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】ACD
【解析】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直
边射出的粒子在磁场中运动的时间是
，
由
可得
解得
故A 正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为
，则有
可得
画出该
粒子的运动轨迹如图所示
设轨道半径为
，由几何知识得
可得
故B 错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力可得
则粒子射入磁场的速度大小为
故C 正确；
D．射入的粒子恰好不从
边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D 正确。故选ACD。
【变式5-1】如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为
，AOC 区域范围内（包含边界）存
在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为
的粒子可在直角边AO 上的不
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同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为
，D、E 是AO 边界上的两点（图中未画出），
，不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在磁场做圆周运动的半径为
B．粒子距A 点
处射入，恰好不从AC 边界出射
C．从D 点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
D．从E 点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
【答案】BD
【解析】A．由洛伦兹力提供向心力，可得
解得
，A 错误；
BC．粒子刚好不出磁场区域的运动轨迹如图所示，恰好与AC 相切，根据几何关系可得，此时入射点到
A 的距离为
，即入射点到A 点距离大于
的粒子都不能出磁场，运动轨迹为半圆，则时间
为
，B 正确，C 错误；
D．从D 点处入射的粒子在磁场中的运动轨迹为一个半圆，在磁场中运动的时间为
，在E 点入射的
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粒子运动轨迹的圆心角为
，在磁场中运动的时间为
，D 正确。故选BD。
【变式5-2】（多选）如图所示，在等腰直角三角形BAC 内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面
向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v 的带正电粒子垂直AB 边射入磁
场，已知从AC 边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC 边。不计粒子重力和粒
子间的相互作用。下列判断中正确的是（ ）
A.等腰三角形BAC 中AB 边的长度为√2mv
qB
B.粒子在磁场中运动的最长时间为π m
2qB
C.从AB 中点射入的粒子离开磁场时的位置与A 点的距离为mv
qB
D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
【答案】AB
【解析】依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹圆的圆心在A 点。且其轨迹与BC 边相切。
根据几何关系可知ABsin 45°＝r，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB＝mv
2
r ，联立可得AB
＝√2mv
qB
，故A 正确；粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为T＝2π r
v
，根据A 选项分析，粒子轨迹所对应
的圆心角度为90°，则有t＝90°
360° T＝π m
2qB ，故B 正确；从AB 中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的
粒子轨迹向下平移r－√2
2 r，得到此轨迹圆的圆心在A 点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置
与A 点的距离必然小于轨迹半径r，即mv
qB ，故C 错误；若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不
会出现圆心角为90°的轨迹，故最长时间将变小，故D 错误。
答案 AB
【变式5-3】如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB 边长度为d，
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，现垂直AB 边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子（不考虑电荷间的相互作
用），已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为
，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为
，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的轨道半径一定是
B．粒子在磁场中运动的速度一定是
C．该匀强磁场的磁感应强度大小一定是
D．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC 边射出磁场
【答案】C
【解析】C．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子垂直
边离开磁场的轨迹如图所示：
由几何关系可知圆弧对应的圆心角为
，则垂直
边射出的粒子在磁场中运动的时间是
，即
，则得周期
由
得
故C 正确；
AB．设当粒子的速度为
时，有一个粒子的轨迹刚好与
边相切从
点离开磁场，设此时粒子的轨
迹半径为，画出轨迹如图中所示黑色轨迹：
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则可知此时粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为
，运动时间最长，为
，由几何关系可得
可得
根据圆周运动规律有
可得
但若粒子的速度
小于
，在磁场中运动的轨道半径
也可以在磁场运动半圈而从
边离开，在磁场中的运动
最长时间也为
，如图中的红色轨迹所示，则可知粒子在磁场运动的轨道半径不一定等于
粒子在磁场运动的速度大小不一定等于
故AB 错误；
D．如果粒子带的是负电，以B 点为圆心，转过的圆心角为
的粒子能垂直BC 边射出磁场，故D 错误。
故选C。
类型2 带电粒子在磁场中放缩圆模型
“放缩圆”模型的应用
适用
条件
速度方向一
定，大小不
同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心
共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速
度v 越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子
射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方
向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，
这种方法称为“放缩圆”法
根据初速度方向确定粒子轨迹圆心所在的直线是解题的关键；由轨迹圆与边界相切找出临界状态求解。
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【典例6】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab 为
半径为R 的半圆，ac、bd 与直径ab 共线，a、c 间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q
（q＞0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作
用。则在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆相切时对应的圆心角
最小，如图所示
根据几何关系可知
粒子在磁场中运动的时间为
其中
解得
，ACD 错
误，B 正确。故选B。
【变式6-1】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边
的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过
时间t0后刚好从c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以不同的速
率射入正方形内，下列说法中正确的是（ ）
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A.所有从cd 边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是5
3t0
B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是2
3t0，则它一定从ad 边射出磁场
C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是5
4 t0，则它一定从bc 边射出磁场
D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是1
3t0＜t＜5
6t0，则它一定从ab 边射出磁场
【答案】ACD
【解析】如图所示，作出带电粒子以与Od 成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab 边射出
的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④。由从O 点沿纸
面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运
动的周期是2t0。由图中几何关系可知，从ad 射出磁场经历的时间一定小于1
3t0；从ab 边射出磁场经历的
时间一定大于1
3t0，小于5
6t0；从bc 边射出磁场经历的时间一定大于5
6t0，小于4
3 t0；从cd 边射出磁场经历
的时间一定是5
3t0。故选A、C、D。
【变式6-2】如图所示，直角三角形
区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知
边长为
L，
，相同带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A 点沿
方向射入磁场，则（ ）
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C 点射出的
C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长
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D．粒子在磁场中运动的最长路程为
【答案】D
【解析】AB．当粒子能够从AC 边射出时，在磁场中运动如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为
，因此运动时间为
当粒子不能从
AC 边射出，圆心角变小，时间变短，故AB 错误；
C．粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC 边相切时运动轨迹最长，
粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故C 错误；
D．当粒子和BC 边相切时路程最大，此时有
由A 中分析知运动的路程为
故D
正确。故选D。
【变式6-3】一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，
其中射线bc 足够长，
，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，
在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下
说法正确的是（ ）
A．从ab 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从a 点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
【答案】AD
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【解析】ABC．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示
当粒子都从ab 边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为
，当粒子都从bc 边射出，
则速度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于
，故A 正确，BC 错误；
D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l 远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁
场中最长运动时间小于
，故D 正确。故选AD。
类型3 带电粒子在磁场中旋转圆模型
定圆旋转法
适用
条件
速度大小
一定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进
入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半
径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径
为r＝，如图所示
轨迹圆圆
心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射
点O 为圆心、半径r＝的圆上
界定
方法
将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒
子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
【典例7】如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。
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大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v 从P 点射入磁场。这些粒子射
出磁场时的位置均位于PQ 圆弧上，PQ 圆弧长等于磁场边界周长的
。不计粒子重力和粒子间的相互作用，
则该匀强磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】从P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，
相应的弧长变为圆周长的
，如图所示
所以
结合几何关系，有
洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律，有
联立解得
故选D。
【变式7-1】 如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y 轴相
切于坐标原点O。O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带电粒子，带电粒子在磁场中
做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子
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的重力。
（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
（2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
【答案】（1）见解析 （2）60°
【解析】（1）带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝mv
2
r ，解得r＝mv
Bq 。
（2）粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可
以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为
劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越
大，偏转角越大则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于圆形磁场的直径时，粒子在磁场空间的
偏转角最大，则sinφmax
2 ＝R
r ＝1
2，解得φmax＝60°。
【变式7-2】（多选）如图所示，挡板MN 位于水平面x 轴上，在第一、二象限y≤L 区域存在磁感应强
度为B 的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在MN 上O 点放置了粒子发射源，能向第二象限各个方向
发射速度大小为v0＝qBL
2m 的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间
的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是（ ）
A.所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为L
2
B.粒子在磁场中运动的最长时间为π m
qB
C.所有粒子运动的区域面积为3
8πL2
D.所有粒子运动的区域面积为(π+1) L
2
4
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【答案】AC
【解析】由洛伦兹力提供向心力有qBv0＝mv0
2
r
，代入数据解得r＝L
2 ，所以A 正确；粒子在磁场中运
动的最长时间为t＝T＝2π m
qB ，所以B 错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，由几何关系
有S＝1
2πr2＋1
4 π（2r）2＝3
8πL2，所以C 正确，D 错误。
【变式7-3】如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v 的带
电粒子从BC 边的中点O 处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边
长为L，粒子运动的轨道半径为
，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（ ）
A．该磁场的磁感应强度为
B．该磁场的磁感应强度为
C．在磁场中运动的最长时间的粒子将从OB 之间离开磁场
D．粒子在磁场中运动的最长时间小于
【答案】BD
【解析】AB．根据牛顿第二定律
解得
故A 错误，B 正确；
C．粒子轨迹如图所示
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由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与
边相切，在磁场中运动的最长时间的粒子将从
AD 之间离开磁场，C 错误；
D．粒子在磁场中做圆周运动的周期为
若粒子能过A 点，设轨迹对应的圆心角为
，则
有
即
此时在磁场中运动时间为
但是由粒子轨迹图可知，
粒子不能过A 点，当轨迹与AC 相切时，圆心角小于
，故粒子在磁场中运动的最长时间小于
，D 正
确。故选BD。
类型4.带电粒子在磁场中磁聚焦模型
圆形边界磁场是指分布在圆形区域内的有界磁场，带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的轨迹也是一段
不完整的圆弧。由于此类问题涉及两个圆：粒子运动轨迹的圆与磁场区域的圆，能很好地考查学生的综合
分析能力，所以是近年来高考的热点。
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射
入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射
方向与入射点的切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与
磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点
切线与入射方向平行
带电粒子在圆形边界磁场中运动的四个结论：
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向
射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图1 所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆
半径的延长线的夹角，如图2 所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。
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(3)点入平出：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子
做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切
线方向射出磁场，如图3 所示。
(4)平入点出：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆
形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线
与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图4 所示。
【典例8】利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制
备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为
的带正电粒子流水平向右射入半径为
的圆形匀强磁场
区域，磁感应强度大小为
，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方形过O 点的一边与
半径为
的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O 点的粒子经过该
磁场区域后宽度变为
，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说
法正确的是（ ）
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A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
【答案】BC
【解析】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为
的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为
，
有
解得
要使汇聚到O 点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为
，且粒子仍沿
水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径
，正方形中磁场区域内应该为圆
形磁场的一部分，有
解得
比较可得
由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A
错误，B 正确；
CD． 如图，磁场区域的最小面积为
，C 正确，D 错误。
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故选BC。
【变式8-1】（2021·湖南高考）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带
电粒子流（每个粒子的质量为m、电荷量为＋q）以初速度v 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相
互作用。对处在xOy 平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x 轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀
强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，－r2）。在虚线框内设计
一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x 轴正方向射
出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。
在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x 轴正方向射
入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x 轴正方向射出，从而实现带电粒子流
的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小
的证明过程）。
【答案】（1）mv
qr1
（2）mv
qr2
，垂直与纸面向里 πr2
2 （3）mv
qr3
mv
qr4
(
1
2 π −1)r3
2
(
1
2 π −1)r4
2
【解析】（1）粒子沿x 轴正方向垂直进入圆形磁场，在坐标原点O 汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子
在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB1＝mv
2
r1
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解得B1＝mv
qr1
。
（2）粒子从O 点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O 点飞入，然后平行x 轴飞出，为磁发散的过程，
即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为
最小的匀强磁场区域，磁场半径为r2，根据qvB＝mv
2
r 可知
磁感应强度为B2＝mv
qr2
，根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝πr2
2
。
（3）粒子在磁场中运动，3 和4 为粒子运动的轨迹圆，1 和2 为粒子运动的磁场的圆周，如图所示。
根据qvB＝mv
2
r 可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感应强度为B Ⅰ＝mv
qr3
，B Ⅲ＝mv
qr4
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状。
以Ⅰ区域为研究对象。图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周扇形SAOB与三角形SAOB之差，所以阴影
部分的面积为S Ⅰ＝2（S 扇形AOB－SΔAOB）＝2×(
1
4 π r3
2- 1
2 r3
2)＝(
1
2 π −1)r3
2
类似地可知Ⅳ区域的阴影部分面积为S Ⅳ＝2×(
1
4 π r4
2- 1
2 r4
2)＝(
1
2 π −1)r4
2
根据对称性可知Ⅱ中的匀强磁场面积为S Ⅱ＝(
1
2 π −1)r3
2。
【变式8-2】（多选）如图所示，半径为R、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场，MN 是一竖直放置的足
够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P 以速率v 沿不同方向垂直磁场方向射入，不考
虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重
力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ）
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A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C.若粒子速度大小均为v＝qBR
m ，出射后均可垂直打在MN 上
D.若粒子速度大小均为v＝qBR
m ，则粒子在磁场中的运动时间一定小于π m
qB
【答案】ACD
【解析】对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应
的圆心角越小，由t＝θ
2π T＝θm
qB 可知，运动时间越短，故选项A 正确，B 错误。粒子速度大小均为v＝
qBR
m 时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r＝mv
qB ＝R，根据几何关系可知，入射点P、O、
出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO 平行，故粒子射出磁场时的速度方向
与MN 垂直，出射后均可垂直打在MN 上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场
中的运动时间t＜1
2T＝π m
qB ，故选项C、D 正确。
【变式8-3】如图所示，长方形abcd 中，长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e 分别是ad、bc 的中点，以e
为圆心、eb 为半径的圆弧和以O 为圆心、Od 为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（eb
边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=2×10-3C 的带正电粒
子以速度v=5×102m/s 沿垂直于ad 且垂直于磁场方向射入磁场区域，则下列判断正确的是（ ）
A．从Od 边射入的粒子其出射点全部分布在Oa 边
B．从aO 边射入的粒子其出射点全部分布在ab 边
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C．从Od 边射入的粒子其出射点全部分布在ab 边
D．从ad 边射入的粒子其出射点均为b 点
【答案】D
【解析】AC．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可
因ab=0.3m，故从Od 边射入的所有粒子运动的轨迹形成以r 为半径的平移圆弧，从点O 射入的粒子从
b 点射出，从d 点射入的粒子运动到e 点，因边界eb 上无磁场，故这些粒子到达be 段后应沿eb 方向做直
线运动，即全部通过b 点，故AC 错误；
BD．从aO 边（不含O 点）射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某个粒子从M 点进入磁场，轨迹圆
心为O'，如图所示，根据几何关系可得，四边形O'Meb 为菱形，则粒子一定从b 点射出。再结合选项A 的
分析可知，从ad 边射入的粒子全部从b 点射出，故B 错误，D 正确。故选D。
【模型三 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题】
类型1 带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在
磁场中运动轨迹不同，形成多解，如图所示。带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场：若带正电，其轨迹为
a；若带负电，其轨迹为b。
【典例7】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界。现有
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质量为m，电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出，则粒子入射速
度v 的最大值可能是多少？
【答案】(2+√2)Bqd
m
（q 为正电荷）或(2-√2)Bqd
m
（q 为负电荷）
【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。
（1）若q 为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方与NN'相切的1
4 圆弧，
轨迹半径R＝mv
Bq ，又d＝R－Rcos 45°
解得v＝(2+√2)Bqd
m
。
（2）若q 为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中下方与NN'相切的3
4 圆弧，则有
R'＝mv '
Bq ，d＝R'＋R'cos 45°，
解得v'＝(2-√2)Bqd
m
。
【变式7-1】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。
现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得
根据线速度和周期的关系，可得
联立解得
由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2
＝60°，则对应时间分别为
，
故选AD。
【变式7-2】(多选)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，其边界如图中虚线abcde 所示，虚线上部空间有垂
直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，bcd 是半径为R 的半圆，ab、de 与直径bd 共线，a、b 间的距离等于半
圆的半径R.一个比荷为k 的带电粒子在纸面内从a 点垂直于ab 以某一速度v(未知)射入磁场，在磁场力的
作用下向右偏转，且恰好以最短时间通过磁场，不计粒子重力．则下列说法正确的是( )
A．磁场方向垂直半圆平面向里
B．带电粒子在磁场中运动的最短时间为
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C．带电粒子的速度大小为kBR
D．若带电粒子从直线bd 上任意一点仍以相同大小的速度v 垂直于bd 射向圆弧边界，则带电粒子进入磁场
偏转一次后都能经过直径上的d 点
【答案】BCD
【解析】电荷正负未知，所以无法确定磁场方向，A 项错误；带电粒子在磁场中运动的时间最短时，过a
作圆弧切线，α 最大，从切点射出磁场时，在磁场中转过的圆心角最小，最短时间为，B 项正确；因带电
粒子恰好以最短时间通过磁场，则粒子做圆周运动的半径为R，故其速度大小为kBR，C 项正确；
因任意四边形OABd 是菱形，所以从A 点进入磁场后经磁场偏转后一定过d 点，D 项正确．故选B、C、D 三
项．
类型2.速度不确定形成多解
有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须要考虑由于速度的不
确定而形成的多解。常有两种情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。
如图所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它可能穿
过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成了多解。
【典例8】（多选）（2022·湖北高考）在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成
两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向
与磁场方向垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р 点射出，设出射方向与入
射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为（ ）
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A.1
3kBL，0° B.1
2kBL，0° C.kBL，60°
D.2kBL，60°
【答案】BC
【解析】若粒子通过下部分磁场直接到达P 点，如图所示，则
根据几何关系，有R＝L，qvB＝mv
2
R ，可得v＝qBL
m ＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向
上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当粒子上下均经历一次时，如图所示。
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝1
2L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv
2
R ，可得v
＝qBL
2m ＝1
2kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析
可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝
qBL
(2n-1)m ＝
1
2n-1kBL（n＝1，2，3，…），此时出射方向
与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝qBL
2nm＝1
2nkBL（n＝1，2，
3，…），此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故可知B、C 正确，A、D 错误。
【变式8-1】如图所示，在水平荧光屏MN 上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧
光屏
处有一粒子源，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射同种带正电的粒子，不计粒子的重力，
已知水平向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，则（ ）
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A．所有粒子均会打到荧光屏上
B．粒子从射出到打到荧光屏上的最长时间为
C．粒子从射出到打到荧光屏上的最短时间为
D．粒子能打到荧光屏上的区域长度为
【答案】BCD
【解析】A．由左手定则可知，带正电粒子在磁场中逆时针方向做匀速圆周运动，已知水平向左射出的粒
子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，如图所示
由图可知，粒子在磁场中的轨迹半径为
周期为
若粒子以水平向右方向射出，由图可知粒子不会
打到荧光屏上，故A 错误；
B．当粒子打到荧光屏左侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最长，
如图所示
由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为
，则有
故B 正确；
C．当粒子打到荧光屏位置处于正下方时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最短，如图所示
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由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为
，则有
故C 正确；
D．当粒子打到荧光屏左侧位置对应的弦为直径时，该位置为打到荧光屏的最左端；当粒子打到荧光屏右
侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，该位置为打到荧光屏的最右端；如图所示
由图中几何关系，粒子能打到荧光屏上的区域长度为
故D 正确。故选
BCD。
【变式8-2】(多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板
间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直
磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v<
【答案】AB
【解析】如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝＋l2，又因为qv1B＝m，解得v1＝；若粒
子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝m，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B
正确，C、D 错误。
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类型3 运动具有周期性形成多解
带电粒子在磁场中运动时，若因为磁场周期性变化、粒子与挡板反复碰撞或与电场组合等原因而导
致运动具有周期性或往复性，而形成多解。如图丁所示。
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解，如图所示。
【典例9】如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小
孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子
在t＝0 时垂直于M 板从小孔O 射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆
周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受
重力。求：
（1）磁感应强度B0的大小。
（2）要使正离子从O'垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【答案】（1）2π m
qT 0
（2）π d
2nT 0
（n＝1，2，3，…）
【解析】设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。
（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则B0qv0＝m v0
2
R
正离子做匀速圆周运动的周期T0＝2π R
v0
由以上两式得磁感应强度B0＝2π m
qT 0
。
（2）要使正离子从O'孔垂直于N 板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示，两板之间正离子只运动
一个周期T0时，有R＝d
4 ；当两板之间正离子运动n 个周期nT0时，有R＝d
4 n（n＝1，2，3，…）。
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联立解得正离子的速度的可能值为
v0＝B0qR
m
＝π d
2nT 0
（n＝1，2，3，…）。
【变式9-1】如图所示，在平面直角坐标系xOy 内有一直角三角形，其顶点坐标分别为（0，0），（0，
d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x 轴下方有沿着y
轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q 的粒子从y 轴上的某点M 由静止释放，
粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。
（1）求M 点到O 点的距离；
（2）改变粒子在y 轴上的释放点，使粒子由N 点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，
求N 点到O 点的距离；
（3）在（2）过程中，求粒子从N 点由静止释放到射出磁场的运动时间。
【答案】（1）
；（2）
（n=0，1，2…）；（3）
（n=0，1，
2，…）
【解析】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R0，由几何关系可知
解得
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由牛顿第二定律得
设M 点到O 点的距离为y0，由动能定理得
解得
（2）要使粒子由N 点静止释放后能沿垂直于斜边的方向射出磁场，则粒子在磁场中运动轨迹的半径R 满
足：
由牛顿第二定律得
设N 点到O 点的距离为y，由动能定理有
解得
（n=0，1，2…）
（3）设粒子在电场中的加速度为a，则qE=ma 设粒子在电场中每单程的运动时间为t0，则
粒子在电场中总的运动时间t1=(2n+1）t0（n=0，1，2，…）解得
粒子在磁场中做圆周运动的周期
粒子在磁场中总的运动时间
（n=0，1，2，……）解得
（n=0，1，
2，…）
粒子从N 点由静止释放到射出磁场运动的总时间
（n=0，1，2，……）
【变式9-2】（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy 平面（纸面）向外，磁场的右边界与x 轴垂直，交x
轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小
均未知）。一质量为m、电荷量为+q 的粒子从原点O 以速度v 进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x 轴成30°角，
粒子从P 点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁ 的大小可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】根据洛伦兹力提供向心力
可得
则在第Ⅰ象限内运动的半径为
在第Ⅳ象限内运动的半径为
设粒子最后从P 点离开时在第Ⅰ象限运动n 次，在第Ⅳ象限
次，根据几何关系有
解得
，
A，当
时，n 不为整数，故A 错误；
B，当
时，n=0，不符合取值范围，故B 错误；
C，当
时，
，故C 正确；
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D，当
时，
，故D 正确。
故选CD。
总结：巧解带电粒子在磁场中运动的多解问题
（1）分析题目特点，确定题目多解的形成原因。
（2）作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）。
（3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
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