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高考电学压轴题模型解读与针对性训练
专题21 带电粒子在磁场中运动+原子和原子核
【带电粒子在磁场中运动+原子核反应模型解读】
核反应产生的带电粒子射入电场和磁场中运动，此类问题
涉及的问题主要有：
1. 原子跃迁、电离及其相关计算；
2. 书写核反应方程，核能计算；
2. 计算原子核衰变的相关问题；
3. 运用类平抛运动规律或动能定理分别分析计算带电粒子
在匀强电场中的类平抛运动和直线运动。
4. 运用洛伦兹力等于向心力分析计算带电粒子在匀强磁场
中的匀速圆周运动及其相关问题。
【高考真题】
【典例1】（2025 年高考物理浙江选考6 月卷第19 题）19. 利用磁偏转系统可以测量不同
核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1 所示，用回旋加速器使氘原
子核（
）获得2.74MeV 动能，让其在S 处撞击铝（
）核发生核反应，产生处于某
一激发态和基态的同位素核（
）以及两种不同能量的质子（
）。产生的质子束经
狭缝X 沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B 的圆形匀强磁场区域，
经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D 处（探测板与磁场边界相切于A 点，D 点与
磁场圆心O 处在同一竖直线上），获得如图2 所示的质子动能的能谱图。
（1）写出氘核撞击铝核的核反应方程；
（2）求A、D
间距L；
（3）若从回旋加速器引出
高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率；
（4）处于激发态的
核会发生β 衰变，核反应方程是
。若
核质
量等于
核质量，电子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静
止，求衰变释放的能量。
【答案】（1）
（2）
（3）2.74×103W
（4）5.49MeV
【解析】（1）氘核撞击铝核的核反应方程：H
1
2
+ Al
13
27
= Al
13
28
+ H
1
1
（2）由图2 可知，两种质子的动能分别为3MeV 和9MeV，动能之比为1:3，
由动能公式可知两种质子的速度之比为1：❑√3
由 evB=mv
2
r
可得两种质子在匀强磁场中运动轨迹的半径之比为r1：r2=1：❑√3
由图1 可知，半径较小的打到A 点，半径较大的打到D 点。
画出两种质子的运动轨迹，由几何关系可得
r1/R=tanθ， r2=R，
解得θ=30°
A、D 的间距L=Rtan30°=
❑√3
3
R
（3）若从回旋加速器引出的高能氘核流为I=1.0mA，则时间t 内射出的氘核数量为
n=It/e，
回旋加速器的输出功率为 P=nE/t=IE/e=10
-3 A ×2.74×10
6eV
e
=2.74×103V；
（4）氘核撞击铝核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（Al
13
28
）以及两种
不同能量的质子。
根据能量守恒定律，动能分别为3MeV 和9MeV 的质子分别对应于处于激发态的Al
13
28
核和
处于基态的Al
13
28
，处于激发态的Al
13
28
核回到基态会释放能量△E=9MeV-3MeV=6MeV，
若
核质量等于
核质量，则衰变释放的能量主要来源于激发态的Al
13
28
核跃迁产生的
能量差△E。
电子质量为0.51MeV/c2，衰变释放的能量△E’=△E-△mc2=6MeV-0.51MeV=5.49MeV
【典例2】（2025 高考北京卷第20 题）（12 分）如图1 所示，金属圆筒A 接高压电源的正
极，其轴线上的金属线B 接负极。
(1)设
两极间电压为U，求在B 极附近电荷量为Q 的负电荷到达A 极过程中静电力做
的功W。
(2)已知筒内距离轴线r 处的电场强度大小
，其中k 为静电力常量，
为金属线B
单位长度的电荷量。如图2 所示，在圆筒内横截面上，电荷量为q、质量为m 的粒子绕轴
线做半径不同的匀速圆周运动，其半径为
和
时的总能量分别为
和
。若
，推理分析并比较
与
的大小。
(3)图1 实为某种静电除尘装置原理图，空气分子在B 极附近电离，筒内尘埃吸附电子而带
负电，在电场作用下最终被A 极收集。使分子或原子电离需要一定条件。以电离氢原子为
例。根据玻尔原子模型，定态氢原子中电子在特定轨道上绕核做圆周运动，处于特定能量
状态，只有当原子获得合适能量才能跃迁或电离。若氢原子处于外电场中，推导说明外电
场的电场强度多大能将基态氢原子电离。（可能用到：元电荷
，电子质量
，静电力常量
，基态氢原子轨道半径
和能量
）
【解析】（1）由动能定理，在B 极附近电荷量为Q 的负电荷到达A 极过程中静电力做的
功W=-QU。（1 分）
（2）电荷量为q、质量为m 的粒子绕轴线做半径为r1的匀速圆周运动，q·k2 λ
r1
=mv1
2
r1
，
粒子动能Ek1=1
2mv1
2，联立解得Ek1=qkλ。（2 分）
电荷量为q 的粒子到达半径为r1处静电力做功W1=-qU1，
由功能关系，电势能Ep1= qU1，
电荷量为q、质量为m 的粒子绕轴线做半径为r1的匀速圆周运动系统总能量
E1= Ek1+ Ep1=qkλ+ qU1。（2 分）
同理，电荷量为q、质量为m 的粒子绕轴线做半径为r2的匀速圆周运动系统总能量
E2= Ek2+ Ep2=qkλ+ qU2。
电荷量为q、质量为m 的粒子绕轴线做半径为r3的匀速圆周运动系统总能量
E3= Ek3+ Ep3=qkλ+ qU3。
E3-E2=q（U3- U2），E2-E1=q（U2- U1），
由于
，电场线为汇聚状，所以U2- U1＞U3- U2
故
＜
。（3 分）
（3）处于基态的氢原子的电子所受库仑力F=ke
2
a
2，
要使基态氢原子电离，外电场对电子的作用力F’=eE= ke
2
a
2，
解得E= ke
❑
a
2 ，
代入相关数据，解得E=5.1×1011V/m（4 分）
【针对性训练】
1. （2025 年高考物理浙江卷1 月卷）20. 同位素
相对含量的测量在考古学中有重要应
用，其测量系统如图1 所示。将少量古木样品碳化、电离后，产生的离子经过静电分析仪
ESA-I、磁体-I 和高电压清除器，让只含有三种碳同位素
、
、
的
离子束
（初速度可忽略不计）进入磁体-Ⅱ．磁体-Ⅱ由电势差为U 的加速电极P，磁感应强度为
B、半径为R 的四分之一圆弧细管道和离子接收器F 构成。通过调节U，可分离
、
、
三种同位素，其中
、
的
离子被接收器F 所接收并计数，它们的离子数百分
比与U 之间的关系曲线如图2 所示，而
离子可通过接收器F，进入静电分析仪ESA-
Ⅱ，被接收器D 接收并计算。
（1）写出中子与
发生核反应生成
，以及
发生
衰变生成
的核反应方程式：
（2）根据图2 写出
的
离子所对应的U 值，并求磁感应强度B 的大小（计算结果保
留两位有效数字。已知
，原子质量单位
，元电荷
）；
（3）如图1 所示，ESA-Ⅱ可简化为间距
两平行极板，在下极板开有间距
的两小孔，仅允许入射角
的
离子通过。求两极板之间的电势差U：
（4）对古木样品，测得
与
离子数之比值为
；采用同样办法，测得活木头
中
与
的比值为
，由于它与外部环境不断进行碳交换，该比例长期保持稳
定。试计算古木被砍伐距今的时间（已知
的半衰期约为5700 年，
）
【答案】（1）
，
（2）
，
（3）
（4）
【解析】（1）中子与
发生核反应生成
的核反应方程式为
发生
衰变生成
的核反应方程式为
（2）在加速电场中，由动能定理得
解得
磁场中，洛伦兹力提供向心力
联立解得
，
相比
，
的比荷更大，通过圆形管道所需要的电压更大，通过图2 可知当电压为
时，
与
的离子数百分比为
，故
的
离子所对应的U 值为
。
根据
整理得
（3）由题意知，
粒子在板间做类斜抛运动，水平方向有
，
竖直方向有
，
，
联立解得
（4）古木中
与
比值是活木头中的
，说明经过衰变后
只剩下
，已知经过一
个半衰期剩下
，设经过n 个半衰期，则有
解得
则砍伐时间
2. (浙江诸暨市2025 年5 月高三适应性考试试题) 如图甲所示是托卡马克装置的结构示意
图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的
同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴
线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰
到真空室的室壁立即被吸收。
【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，
半顶角为θ 的圆锥形发散空间角为
】
（1）写出氘和氚核聚变的核反应方程式；
（2）若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小；
（3）将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为
B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O 向右侧各个方向均匀发射
速度大小为
的粒子。
①若某粒子发射时速度方向与x 轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距；
②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比
；
（4）实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。
已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：
，在粒子运行过程中，
垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即
。
位于轴线中点的粒子源O 向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求
粒子能被约束在“磁瓶”内的比例
。
【答案】（1）
（2）
（3）
，40%
（4）
【解析】（1）氘和氚核聚变的核反应方程式
（2）设极向场线圈产生的磁场大小为B，洛仑兹力提供向心力
解得
（3）带电粒子与x 轴成θ 角射入环向磁场，粒子沿螺旋线运动。
①设粒子垂直轴向做圆周运动的周期为T，则
设粒子沿轴向上做匀速运动的速度vx，则螺距
解得
②粒子垂直轴向上做匀速圆周运动，设粒子刚好碰到室壁的角度为θ，洛仑兹力提供向心
力
半径
根据速度的分解，有
可得
粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比
解得
（4）中点O 处的磁场最弱，设在O 处发射粒子的速度为v，与轴线夹角为θ；“磁瓶”的“瓶
颈”处磁场最强，粒子运动到此处时速度方向恰好与轴线垂直，则粒子能够被约束在“磁瓶”
内，因为洛仑兹力不做功，粒子速度大小始终为v。根据题意可知
可得
即
则角度大于θ 的粒子能被约束在“磁瓶”内
可得
3.. （2025 年南京质检）碳-14（
C）是碳-12（
C ）的一种同位素，具有放射性。如
图甲是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的
碳-14 与碳-12 原子核（初速度忽略不计），经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN 进
入通道，该通道的上下表面是内半径为R、外半径为3R 的半圆环，磁感应强度为B 的匀强
磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位
置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳-12 原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，
则：
(1)碳-14 具有放射性，会发生β 衰变，请写出它的衰变方程，并计算碳-12 原子核的比荷；
(2)照相底片上碳-14 与碳-12 原子核所击中位置间的距离（结果用根号表示）；
(3)若加速电压在
≤U≤
之间变化，求碳-12 原子核在磁场中运动的最短时间。
解析：（1）放射性元素碳-14，β 衰变成为氮-14 的过程，会放出β 射线
衰变方程为，
C→
N+
e
由题意可知，当碳-12 恰好能击中照相底片的正中间位置时，其运动半径为r=R+R=2R
设碳-12 经过加速后获得的速度大小为v，根据动能定理有 qU0=
碳-12 在磁场中运动，由牛顿第二定律，qvB=m
联立解得 q/m=
（2）设碳-12 原子核和碳-14 原子核经过加速后的速度大小分别为v1和v2，碳-12 原子核的
质量为m，碳-14 原子核的质量为7m/6，根据动能定理有
qU0=
，qU0=
由牛顿第二定律，qv1B=m
，qv2B=
m
联立解得 r1=2R， r2=
R。
照相底片上碳-14 与碳-12 原子核所击中位置间的距离△r=2 r2-2 r1=（2
-4）R
（3）由qU0=
和qvB=m
可得原子核在磁场中做圆周运动的半径与加速电压和比荷
的关系为
r=
若加速电压在
≤U≤
之间变化，则碳-12 原子核做圆周运动的半径为
≤r≤
设原子核打在内圆环上，轨迹与内圆环交于C 点。当MC⊥CO 时，圆弧MC 对应的圆心角
θ 最小，用时最短，θmin=2π/3，T=
tmin=T/3=
（3）考虑加速电压有波动，在（U0-△U）到（U0+△U ）之间变化，若要碳-14 与碳-12 原
子核在底片上没有重叠区域，求△U 满足的条件。
（3）由r=mv/qB 可知碳-14 原子核的偏转半径大于碳-12 原子核的偏转半径。若要碳-14 和
碳-12 在底片上没有重叠区域，则只需碳-14 的最小偏转距离大于碳-12 的最大偏转距离即
可，则对于碳-14 原子核，有
q（U0-△U）=
，
=
联立解得：
=
对于碳-12 原子核，有
q（U0+△U）=
，
=
联立解得：
=
若要碳-14 与碳-12 原子核在底片上没有重叠区域，需要2
＜2
即
＜
解得 △U＜
4.. 物理学中有一个非常有趣的现象：研究微观世界的粒子物理、量子理论，与研究宇宙的
理论竟然相互沟通，相互支撑。目前地球上消耗的能量，追根溯源，绝大部分还是来自太
阳内部核聚变时释放的核能。
(1)已知太阳向各个方向辐射能量的情况是相同的。如果太阳光的传播速度为c，到达地球
需要的时间为t，在地球大气层表面每秒钟每平方米垂直接收到的太阳辐射能量为E0。请
你求出太阳辐射的总功率P 的表达式；
(2)根据量子理论可知，光子既有能量也有动量，光子的动量p=h/λ，其中h 为普朗克常量，
λ 为光的波长。太阳光照射到地球表面时，如同大量气体分子频繁碰撞器壁一样，会产生
持续均匀的“光压力”。为了将问题简化，我们假设太阳光垂直照射到地球上且全部被地
球吸收，到达地球的所有光子能量均为4×10-19J，每秒钟照射到地球的光子数为4.5×1035。
已知真空中光速c=3×108m/s，太阳对地球的万有引力大小约为3.5×1022N。请你结合以上数
据分析说明，我们在研究地球围绕太阳公转时，是否需要考虑太阳“光压力”对地球的影
响；（结果保留一位有效数字）
(3)在长期演化过程中，太阳内部的核反应过程非常复杂，我们将其简化为氢转变为氦。已
知目前阶段太阳辐射的总功率P0=4×1026W，太阳质量M0=2×1030kg（其中氢约占70%），
氢转变为氦的过程中质量亏损约为1%。请你估算如果现有氢中的10%发生聚变大约需要
多少年。（结果保留一位有效数字，1 年按3×107s 计算）
【解析】
（1）日地之间的距离 r=ct
距离太阳r 的球面面积为
太阳辐射的总功率
（2）每个光子能量
每个光子动量
光照射到地面时被地面吸收，由动量定理
解得太阳“光压力”为
太阳“光压力”与万有引力之比
由此可知，不需要考虑太阳“光压力”对地球的影响；
（3）由质能方程可知，每秒太阳质量亏损
现有氢中的10%发生聚变质量亏损
现有氢中的10%发生聚变大约需要
5. (12 分)（2024 年4 月北京海淀期中）在量子力学诞生以前，玻尔提出了原子结
构假说，建构了原子模型：电子在库仑引力作 用下绕原子核做匀速圆周运动时，原
子只能处于一系列不连续的能量状态中(定态),原子在各定态所具有的能量值叫做能
级，不同能级对应于电子的不同运行轨道。
电荷量为+Q 的点电荷A 固定在真空中，将一电荷量为-q 的点电荷从无穷远移动
到距
A 为 r 的过程中，库仑力做功 W= k
。
已知电子质量为m、 元电荷为e、静电力常量为k、 普朗克常量为h, 规定无穷远
处电势能为零。
(1)若已知电子运行在半径为r;的轨道上，请根据玻尔原子模型，求电子的动能 E
及氢原子系统的能级E。
(2)为了计算玻尔原子模型的这些轨道半径，需要引入额外的假设，即量子化条件。
物理 学家索末菲提出了“索末菲量子化条件”,它可以表述为：电子绕原子核(可
看作静止)做圆周运动的轨道周长为电子物质波波长(电子物质波波长λ 与其动量p
的关系为λ=h/p)的整数倍，倍数 n 即轨道量子数。
①请结合索末菲量子化条件，求氢原子轨道量子数为n 的轨道半径γ,及其所对应的
能级E。
②玻尔的原子模型除了可以解释氢原子的光谱，还可以解释核外只有一个电子的一价
氦 离子(He+¹) 的光谱。已知氢原子基态的能级为-13.6eV, 请计算为使处于基态的
He 跃迁到激发态，入射光子所需的最小能量。
【解析】．（12 分）
（1）氢原子核对电子的库仑力提供电子做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，有
=m
得电子的动能
=
=
库仑力做功与电势能的关系为 W= Ep
因此电子轨道为 r1 时氢原子系统的电势能Ep1=-
氢原子系统的能级
E1= Ek1+ Ep1=-
（2）①电子在轨道 rn 上做圆周运动，由牛顿第二定律有
=m
得 vn
又“索末菲量子化条件”可表示为2πrn nh/mvn
两式联立得rn
由上问可知 En=-
解得 En
②He+原子核电量为 2e，类比以上分析可知，He +系统基态的能量为氢原子基态能量 的
4 倍，即 He+的基态能量为 E 154.4eV
使处于基态的 He+跃迁到第一激发态需要的能量最少，△E=E2-E1=-
=40.8eV
