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专题07 带电粒子在匀强磁场中的运动
命题预测
带电粒子在匀强磁场中的基本运动状态，包括匀速直线运动、匀速圆周运动等，特别是
当粒子速度方向与磁场方向垂直时的运动情况。洛伦兹力的性质和作用，包括洛伦兹力对带
电粒子速度大小和方向的影响，以及洛伦兹力作为向心力在匀速圆周运动中的角色。
带电粒子在匀强磁场中的运动在2025 年高考中很可能成为重要命题点。考查方向将主要
集中在带电粒子在磁场中的运动规律、受力分析以及相关的计算问题上。相关的计算知识
点，如匀速圆周运动的半径公式、周期公式等，以及这些公式在解决实际问题中的应用。可
能会结合有界匀强磁场的情况，考查粒子轨迹的确定、半径和运动时间的计算方法等。
考生复习备考时，做到深入理解基本概念和原理：熟练掌握带电粒子在匀强磁场中运动
的基本原理，包括洛伦兹力的性质、方向判断以及带电粒子在磁场中的运动轨迹分析。理解
并掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的条件，以及相关的半径、周期等计算公式。
强化解题技巧和方法：学会分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，特别是进出磁场时的对
称性、角度变化等关键点。掌握通过几何图形（如圆、三角形等）辅助分析带电粒子运动轨
迹的方法，提高解题效率和准确性。
高频考法
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
2.带电粒子在磁场中运动的多解问题
3.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
4.动态圆
考向一：带电粒子在匀强磁场中的运动
1.带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的
直线过圆心
②弦的垂直平分线过
圆心
P、M 点速度方向垂线的交
点
P 点速度方向垂线与弦的垂
直平分线交点
1
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半径的确定
利用平面几何知识求
半径
常用解三角形法：左图中，
R＝或由R2＝L2＋(R－d)2 求
得R＝
运动时间的
确定
利用轨迹对应圆心角θ
或轨迹长度l 求时间
①t＝T
②t＝
t＝T＝T＝T
t＝＝
2.带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界：往往存在临界条件，如图所示。
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向
角
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度
方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半
径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。
2
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考向二：带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确
定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
1.带电粒子电性不确定形成多解
分析
图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同
时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如带正电，其轨迹为a；如带负
电，其轨迹为b
2.磁场方向不确定形成多解
分析
图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出
磁感应强度方向，由于磁感应强度方向
不确定而形成多解
粒子带正电，若B 垂直纸面向里，其轨迹为a，若
B 垂直纸面向外，其轨迹为b
3.临界状态不确定形成多解
分析
图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能
转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
考向三：带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，
寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
1.临界条件
3
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刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2.几种常见的求极值问题
(1)时间极值
①当速度v 一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直
径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。
③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。
如图，P 为入射点，M 为出射点，此时在磁场中运动时间最短。
(2)磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的
圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。
考向四：动态圆
1.“平移圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种
带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射
速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入
射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
“平移圆”法
2.“旋转圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它
们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周
4
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运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆圆心共
圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半
径R＝的圆上
界定方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种
方法称为“旋转圆”法
3.“放缩圆”模型
适用条件
粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的
轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心
共线
带正电粒子速度v 越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方
向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索
出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
4.“磁聚焦”与“磁发散”模型
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点
射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒
子出射方向与入射点的切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果
轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边
界上同一点射出，该点切线方向与入射方向
平行
5
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01 带电粒子在直线边界磁场中运动
1．如图所示，在空间直角坐标系O − xyz 中，z ≥ 0 区域存在沿y 轴正方向、磁感应强度大小为2B 的匀强
磁场；z < 0 区域存在与xOy 平面平行，与x 轴、y 轴正方向夹角均为45°，磁感应强度大小为
的匀强
磁场。一质量为m、电荷量为+q 的带电离子（不计重力），以初速度v0从O 点沿z 轴正方向射出，离子之
后经过xOy 平面的位置坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由洛伦兹力提供向心力得
即
可知离子在z ≥ 0 区域运动的轨迹半径为
离子第一次进入z < 0 区域时速度方向沿z 轴负方向，在z < 0 区域轨迹半径
由几何关系可知离子从z < 0 区域进入z ≥ 0 区域时速度方向沿z 轴正方向，且入射点在y 轴上。故离子在z
6
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≥ 0 区域中始终在平行xOz 平面内做圆周运动，在z < 0 区域做圆周运动的平面始终与该区域磁场方向垂直，
运动轨迹如图所示。
由上述分析可知，离子奇数次经过xOy 平面时的x 坐标为
y 坐标为
离子偶数次过xOy 平面时x 坐标为0，y 坐标为
故选D。
02 带电粒子在特定边界磁场中运动
2.如图所示，矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在ad 边的中点
O 处垂直磁场方向向里射入一带正电粒子，其入射速度大小为
、方向与ad 边的夹角为
。已知粒子的
质量为m、电荷量为q，ad 边长为L，ab 边足够长，粒子重力不计。欲使粒子不从ab 边射出磁场，则磁场
的磁感应强度大小B 的范围为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【详解】粒子在磁场中做圆周运动，有
得
则磁场的磁感应强度越大，粒子的轨迹半径越小。如图所示
设粒子的轨迹刚好和cd 边相切时，轨迹的圆心为O，则有
得
则
故当磁场的磁感应强度小于
时，粒子将从cd 边射出磁场；设粒子的轨迹刚好与ab 边相切时，圆心为
O2，则有
则
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则
故当磁场的磁感应强度大于或等于
时，粒子将从ad 边射出磁场。
故选D。
3 带电粒子在圆形边界磁场中运动
3.受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒
子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R1=
m，外圆半径R2=3m，区域内有垂直纸
面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小B=1.0T，被束缚的带正电粒子的比荷
=4.0×107C/
kg，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O 点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们
之间的相互作用，且不考虑相对论效应。
(1)求带电粒子在磁场中运动的周期T 和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0；
(2)若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v0从O 点沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子第一次
回到O 点所需要的时间；
(3)为了使束缚效果最好，在半径为R1的圆内也加上磁场，磁感应强度B'=2B，方向相同。求粒子不能射出
半径为R2的圆形区域的最大速度v。
【答案】(1)1.57×10-7s，4×107m/s
(2)1.91×10-7s
(3)8×107m/s
【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
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解得带电粒子在磁场中运动的周期为
当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外
边界的最大速度，如图所示
根据几何关系有
解得
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有
解得
（2）带电粒子以速度v0射入磁场中时，根据几何关系有
解得
故其运动轨迹如图所示
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带电粒子在磁场中运动的圆心角为
，在磁场中运动的时间为
带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间为
故带电粒子从O 点沿圆环半径方向射入磁场到第一次回到O 点所需要的时间
解得
（3）要使束缚效果最好，则B′与B 的方向应相同，如图所示
粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为O2，设粒子在两区域内的运
动半径分别为r1、r2，因为
所以
根据几何关系有
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则三角形OO1O2为等腰三角形，∠OO1O2=2α，所以
解得
则
4 带电粒子的不确定形成的多解问题
4．平面OM 和平面ON 之间的夹角为35°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，大
小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM 上的某点向左
上方射入磁场，速度与OM 成20°角，运动一会儿后从OM 上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情
形可能出现的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
B．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
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C．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
D．粒子在磁场中运动的轨迹与ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
【答案】ABD
【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
，
得到
，
AC．若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到OM 直线时，由圆周运动的对称性，速度
方向必与OM 成20°，但由于35° > 20°，则粒子轨迹与ON 只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为
40°，运动时间
A 正确、C 错误。
BD．若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON 有几个交点，粒子回到OM 直线时，
由圆周运动的对称性，速度方向必与OM 成20°，粒子偏转角为
360°－40° = 320°
则粒子运动时间为
BD 正确。
故选ABD。
5 磁场方向的不确定性成的多解问题
5.如图甲所示，
是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁
场的正方向，图中
，一质量为
、电荷量为
的带正电粒子以速度
在
时从
点沿
方向垂直磁场射入，粒子重力不计.则下列说法中正确的是（ ）
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A．若粒子经时间
恰好垂直打在
上，则磁场的磁感应强度
B．若粒子经时间
恰好垂直打在
上，则粒子运动的加速度大小
C．若要使粒子恰能沿
方向通过
点，则磁场的磁感应强度的大小
D．若要使粒子恰能沿
方向通过
点，磁场变化的周期
【答案】AD
【详解】A．若粒子经时间
恰好垂直打在CD 上，则粒子运动的半径为
R=L
根据
解得磁场的磁感应强度
选项A 正确；
B．若粒子经时间t=
T0恰好垂直打在CD 上，粒子的轨迹必定为3 个四分之一圆周，如图，
由几何关系得，运动半径为
r=
L
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运动中的加速度为
选项B 错误；
CD．若要使粒子恰能沿DC 方向通过C 点，粒子运动的时间必定为磁感应强度变化的周期的整数倍，如图；
根据运动的对称性可得，轨道半径满足
2L=2nr′
即
(n=1、2、3、…..)
由洛伦兹力提供向心力得
得
(n=0、1、2、3、….)
粒子圆周运动周期为
磁感应强度变化的周期
T0=T
得
T0=
(n=0、1、2、3、….)
选项C 错误，D 正确；
故选AD.
6 临界状态的不唯一形成的多解问题
6.空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面，线段
是屏与纸面的交线，长度为
，
其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子；
，
P 为垂足，如图所示，已知
，若
上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速
率至少为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】粒子要打中
的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从
飞出，绕过距离最近的
点，从右侧
打中
最下端的
点，粒子运动的轨迹如图所示
为轨迹圆的弦长，
为
中点，
，
；粒子
运动的半径为，根据几何关系可知四边形
为平行四边形，则
解得
粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知
解得粒子的最小速率为
故选C。
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7 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
7.如图，在
坐标系的第一象限内，直线
的上方有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感
应强度大小为B。在
点有一粒子源，能以不同速率沿与y 轴正方向成
角发射质量为m、电荷量
为
的相同粒子。这些粒子经磁场后都沿
方向通过x 轴，且速度最大的粒子通过x 轴上的M 点，
速度最小的粒子通过x 轴上的N 点。已知速度最大的粒子通过x 轴前一直在磁场内运动，
，不
计粒子的重力，求：
（1）粒子最大速度的值与k 的值；
（2）粒子从P 点到穿过x 轴经历的最长时间；
（3）有界磁场的最小面积。
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子的最大速度为
，由于速度最大的粒子穿过x 轴前一直在磁场内运动，过P 点作速度
的垂线交x 轴于
点，就是速度为
的粒子做圆周运动的圆心，
即为半径
，由几何关系可知
解得
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由洛伦兹力提供向心力，则
解得
由于所有粒子离开磁场时方向均沿y 轴负方向，所以它们在磁场中偏转的角度均相同。即从磁场射出的粒
子，射出点一定在
连线上，
连线即为
直线
解得
（2）所有粒子在磁场中运动的时间均相等，速度小的粒子离开磁场后再做匀速直线运动，速度最小的粒
子在磁场外运动的位移最大，时间最长。设粒子在磁场中运动的时间为
，
设速度最小的粒子在磁场中半径为
，速度为
，根据几何关系有
解得
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，
由洛伦兹力提供向心力，则
解得
最小速度的粒子离开磁场后运动的时间为
，有
粒子最小的粒子从离开P 点到打在x 轴上经历的时间
（3）磁场的最小面积为图中
阴影部分面积
解得
8 “平移圆”模型
8.如图所示，在xOy 平面的Ⅰ 、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y 轴
左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度
大小为、方向垂直平面xOy 向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入
磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( )
A.
B.
C.
D.
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【答案】 C
【详解】 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动
轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α 最大，FE 最长，
经分析可知，当粒子从y 轴上的D′点射入、从x 轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，
有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故C 正确。
9 “旋转圆”模型
9.如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁
场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小
均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒子带负电，OP＝OS
＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则( )
图2
A.粒子的速度大小为
B.从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C.从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9 2∶
D.沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
【答案】 AC
【详解】 粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点，可以画出其轨迹1，可知SP 为直径，由几何
关系得(2R)2＝d2＋(d)2，得到R＝d，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝则v＝，故A 正确；运动周期T＝，由
几何知识可得，从O 点射出的粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t
＝T＝，故B 错误；从x 轴上射出磁场的粒子运动时间最长时运动轨迹与x 轴相切的粒子(轨迹2)，对应的
圆心角为270°，得t1＝T，运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，运动时间为t2＝T，所以＝，
20
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故C 正确；沿平行x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到
O 点的距离为d，故D 错误。
10 “旋转圆”模型
10.如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点。若一个带正电的粒
子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场。
现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说
法正确的是( )
A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D.若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
【答案】 AD
【详解】 由带电粒子以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场，可知带
电粒子的运动周期T＝2t0。该粒子从O 点以与Od 成30°角的方向射入磁场，随着粒子速度逐渐增大，轨迹
由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA 之间，
不可能从四个顶点射出，故A 正确；由图可知，从ab 边射出的粒子所用时间不可能为t0，从bc 边射出的
粒子所用时间不超过T＝，所有从cd 边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为＝，故B、C 错误，D 正
确。
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11 “磁聚焦”与“磁发散”模型
11.利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯片
技术得到飞速发展。如图4，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感
应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方形过O 点的一边与半径为r0的
磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O 点的粒子经过该磁场区域后
宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是(
)
图4
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r
【答案】 BC
【解析】 根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有qvB0
＝m，解得B0＝，要使汇聚到O 点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右
射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内
应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A 错误，B
正确； 如图所示，磁场区域的最小面积为Smin＝2(π－2)r，C 正确，D 错误。
22
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1．如图所示，磁场边界I、II、III 平行，I、II 间距为2L，其间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的
匀强磁场，II、III 间距为L，其间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场。一质量为m、电荷
量为q 的带电粒子从P 点垂直于边界I 射入磁场，经磁场偏转后，以与边界II 成
夹角的方向从边界II 上
的Q 点射入II、III 之间的磁场，最后从K 点垂直于边界III 射出磁场。下列说法正确的是（ ）
A．该粒子带负电
B．粒子在磁场中运动速度大小为
C．
D．粒子由P 至Q 所用时间为由Q 至K 所用时间的2 倍
【答案】D
【详解】A．在I、II 之间粒子向上偏转，结合左手定则可知粒子带正电，故A 错误；
B．由几何关系可知，粒子在I、II 之间轨迹的圆心角为
，其轨迹半径
23
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由洛伦兹力提供向心力可得
得出
故B 错误；
C．由几何关系可知，粒子在II、III 之间磁场运动的轨迹半径
由洛伦兹力提供向心力可得
整理得
联立以上得
故
故C 错误；
D．粒子在II、III 之间轨迹的圆心角为
，又有
联立以上得
即粒子由P 至Q 所用时间等于由Q 至K 所用时间的2 倍，D 正确。
24
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故选 D。
2．如图所示，在
，
的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小
为B。现有一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，从x 轴上的P 点沿着与x 轴正方向成30°角的方向射入
磁场。不计重力的影响，则下列有关说法中错误的是（ ）
A．无论粒子的速率多大，粒子都不可能通过坐标原点
B．从x 轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为
C．从y 轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为
【答案】D
【详解】A．带正电的粒子从P 点沿与x 轴正方向成30°角的方向射入磁场中，则圆心在过P 点与速度方向
垂直的直线上，如图所示
粒子在磁场中要想到达O 点，转过的圆心角肯定大于180°，因磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点。
故A 正确，与题意不符；
BCD．根据
又
25
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联立，解得
由于P 点的位置不确定，所以粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角是轨迹圆
弧与y 轴相切时即300°，运动时间为
可知从x 轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间一定为
。而最小的圆心角是P 点在坐标原点时
即120°，运动时间为
可知从y 轴射出磁场的粒子在磁场中运动所经历的时间范围
故BC 正确，与题意不符；D 错误，与题意相符。
本题选错误的，故选D。
3．如图所示，边长为L 的等边三角形abc 内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，P 是ab
边的中点，一质量为m、电荷量为-Q（Q>0）的带电粒子在纸面内沿不同方向以不同速率v 从P 点射入磁
场，当v=v1时，平行于bc 边射入的粒子从c 点射出磁场。不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是
（ ）
A．若粒子平行于bc 边射入、垂直于bc 边射出，则粒子在磁场中运动的半径为
B．若粒子平行于bc 边射入、从ab 边射出，则速度越大的粒子在磁场中运动的时间越长
26
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C．当v=v1时，平行于bc 边射入、从c 点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为
D．当
时改变粒子入射方向，从bc 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】D
【详解】A．若粒子平行于bc 边射入、垂直于bc 边射出，其运动轨迹如图所示
则粒子做匀速圆周运动的半径等于P 点到bc 边的距离，可得粒子在磁场中运动的半径
故A 错误；
B．若粒子平行于bc 边射入、从ab 边射出，如图所示
由洛伦兹力提供向心力得
解得
则粒子的速度越大，轨迹半径越大，粒子从ab 边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，故B
错误；
C．当v=v1时，平行于bc 边射入、从c 点射出磁场，其运动轨迹如图所示
27
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根据几何关系可得
解得
粒子运动轨迹对应的圆心角的正弦值为
解得
粒子在磁场中运动的时间为
故C 错误；
D．当
时，粒子在磁场中运动的半径
从bc 边射出的粒子在磁场中运动的最短时间时，粒子在磁场中运动的圆心角最小，其运动轨迹如图所示
28
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可知从P 点到bc 边出射点的距离等于轨道半径
，即圆心角为
，最短时间为
故D 正确。
故选D。
4．如图所示，一电子从y 轴上的P 点以大小为2v0、方向与y 轴成θ = 60°的速度沿坐标系xOy 平面射入第
二象限，第二象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小
的圆形有界匀强磁场，电子经磁场
偏转后通过x 轴时，与y 轴负方向的夹角为30°。已知电子的电荷量为−e，质量为m，不考虑电子的重力，
下列说法正确的是（ ）
A．圆形磁场的最小半径可能为
B．圆形磁场的最小半径可能为
C．电子在圆形磁场中的运动时间可能为
D．电子在圆形磁场中的运动时间可能为
【答案】ABD
【详解】AB．设电子在磁场中运动的半径为r，由
29
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解得
电子与y 轴负方向的夹角为30°可能有两种情况，其运动轨迹图如图所示
设两种情况下圆形磁场的最小半径分别为R1和R2，由几何知识可得
故AB 正确；
CD．两种情况下电子在圆形磁场中的运动时间分别为
故C 错误，D 正确。
故选ABD。
5．在平面直角坐标系xOy 中有如图所示的有界匀强磁场区域，磁场上边界是以
点为圆心、半径
为
的一段圆弧，圆弧与x 轴交于
、
两点，磁场下边界是以坐标原点O 为圆心，
半径为
的一段圆弧。如图，在虚线区域内有一束带负电的粒子沿x 轴负方向以速度
射入该磁场区
域。已知磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为
，带电粒子质量为m，电荷量大小为q，不计
粒子重力。下列说法中正确的是（ ）
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A．正对
点入射的粒子离开磁场后一定会过O 点
B．正对
点入射的粒子离开磁场后一定不会过O 点
C．粒子在磁场区域运动的最长时间为
D．粒子在磁场区域运动的最长时间为
【答案】AC
【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子在磁场中的轨道半径为
正对
的粒子，圆心恰好在x 轴上，进入磁场后做匀速圆周运动，如图所示。
根据勾股定理可知，进入无磁场区域后，速度方向恰好指向O 点，即正对
点入射的粒子离开磁场后一定
会过O 点，故A 正确，B 错误；
CD．根据题意知，所有粒子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，圆心均在入射点的正下方，半径
均为4d，所有圆心所在的轨迹相当于将磁场边界向下平移4d 形状，
平移到O 点位置，即所有粒子进入
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磁场后做圆周运动的圆心到O 点距离均为5d，如图所示。
利用勾股定理可知，进入无磁场区域后，所有粒子速度方向都指向O 点，因此所有粒子都过O 点。由上述
分析可知，从最上方进入的粒子，在磁场中偏转角度最大，运动的时间最长，如下图所示。
由几何关系可知，该粒子在磁场中旋转了
，因此运动的时间为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
6．如图所示，一个半径为R 的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁感应强度方向垂直纸面向里。一个
粒子源从圆上的A 点向各个方向不停地发射出相同速率的带正电的粒子（忽略粒子间的相互作用和粒子的
重力），带电粒子的质量均为m，所带电荷量均为q，运动的半径均为r。下列说法正确的是（ ）
A．若
，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是整个圆周
32
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B．若
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若
，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
D．若
，则粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】AC
【详解】A．若
，粒子会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周长，A 正确；
B．其中粒子在磁场中运动的时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出轨迹如图所示
因为
，则圆心角
，粒子在磁场中运动的最长时间为
B 错误；
C．若
，粒子在磁场圆的出射点都在
之间，如图所示，由几何关系可知，
弧长对应的圆心角
为
，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周长，C 正确；
D．若
，粒子沿不同方向射入磁场，如图所示
在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间为
33
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D 错误；
故选AC。
7．空间存在平行于x 轴的匀强磁场，电子由坐标原点在
平面内以初速度
沿与x 轴正方向成α 角的方
向进入磁场，电子的运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x 轴，直径为D，螺距为
，则下列说法中正确的
是（ ）
A．匀强磁场的方向为沿x 轴负方向
B．若仅减小匀强磁场的磁感应强度，直径D 增大，螺距
增大
C．若仅减小电子入射的初速度
，直径D 减小，螺距
不变
D．若仅增大
角
，直径D 增大，螺距
减小
【答案】BD
【详解】A．电子带负电，由于螺旋线的轴线平行于x 轴，表明电子沿x 轴做匀速直线运动，分速度为
，平行于
平面做匀速圆周运动，分速度为
，根据左手定则可知，匀强磁场的方向为沿x
轴正方向，故A 错误；
B．根据分运动的独立性与等时性，电子在平行于
平面做匀速圆周运动，则有
，
解得
，
螺距等于一个周期内沿x 轴方向匀速直线运动的分位移，则有
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可知，若仅减小匀强磁场的磁感应强度，直径D 增大，螺距
增大，故B 正确；
C．结合上述可知，若仅减小电子入射的初速度
，直径D 减小，螺距
减小，故C 错误；
D．结合上述可知，若仅增大
角
，直径D 增大，螺距
减小，故D 正确。
故选BD。
8．半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场（含边界），磁感应强度大小为B，P 是直径
上一点，且
。如图所示，质量为m、电荷量为
的带电粒子从P 点垂直射入磁场，已知粒
子的速度大小可调、方向始终与直径成
角，若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为
，从
圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为
。则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】AB．从直径边界射出的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
根据
又
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联立，解得
由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为
则粒子的运动时间为
故A 错误；B 正确；
CD．粒子恰好不从圆弧边界射出的粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知
在磁场中的运动时间为
从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间为
故C 正确；D 错误。
故选BC。
9．一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示。内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，
AB 和PM 分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P 点沿径向射入磁场。粒子1 经磁场偏转后
打在探测器上的Q 点，粒子2 经磁场偏转后从磁场边界C 点离开，最后打在探测器上的N 点（直线距离
36
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PN 大于PQ），PC 圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2 在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状
态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1 带负电
B．若仅减小粒子2 的入射速率，则粒子2 在磁场中的运动时间增加
C．若两粒子的入射速率相等，则粒子1 的比荷小于粒子2 的比荷
D．改变粒子2 入射方向，速率变为原来的
，则粒子2 在磁场中运动的最长时间为t
【答案】ABD
【详解】A．粒子1 受向下偏转，由左手定则可知，粒子1 带负电，粒子1 可能为电子，故A 正确；
B．若仅减小粒子2 的入射速率，则粒子2 运动半径减小，从磁场射出时，轨迹所对应的圆心角增大，粒子
2 在磁场中的运动时间为
则若仅减小粒子2 的入射速率，则粒子2 在磁场中的运动时间增加，故B 正确；
C．洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力
解得
由题图可知粒子l 运动的半径小于粒子2 运动的半径，若两粒子的入射速率相等，则粒子1 的比荷大于粒
子2 的比荷，故C 错误；
D．PC 圆弧恰好为内圆周长的三分之一，如图
37
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则粒子2 在磁场中轨迹所对应的圆心角为
设内圆半径为R，根据几何关系，粒子2 在磁场中运动半径为
开始粒子2 在磁场中运动时间为
粒子2 速率变为原来的
，此时粒子2 在磁场中运动半径为
根据几何关系，当粒子2 的轨迹对应的弦为直径PM 时，如图
粒子2 在磁场中运动的时间最长，此时的圆心角为
速度改变后，粒子2 在磁场中运动的最长时间为t，故D 正确。
故选ABD。
10．如图所示，圆心为O、半径为3R 的圆形区域内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面
向里，磁场内部有一圆心也为O，半径为R 的粒子接收屏，A、B 为紧贴磁场内部的两点，AB 连线为大圆
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的竖直直径。大量带正电的相同粒子由磁场左侧垂直于AB 连线进入磁场，打到接收屏上的粒子立刻被吸
收。已知粒子质量为m，电荷量为q，不同位置入射的所有粒子均有相同的速率范围，所有从A 点射入的
粒子恰好能打在接收屏的右半圆所有区域，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速率满足
B．粒子的速率满足
C．打在屏上的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．打在屏上的粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】AC
【详解】AB．所有从A 点射入的粒子恰好能打在接收屏的右半圆所有区域的两个临界轨迹如图所示
由几何关系，可得
根据
解得
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故A 正确，B 错误；
CD．依题意，粒子的轨道半径最大，弦最短时，所用时间最短，轨迹如图
由几何关系可知
打在屏上的粒子在磁场中运动的最短时间为
又
联立，解得
故C 正确，D 错误。
故选AC。
11．如图所示，平面直角坐标系
中，在
区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
为
，
轴上的
点距离坐标原点
，在虚线
和
间无磁场，
、
区域
有垂直纸面向外的匀强磁场
（图中未画出），
、
区域有垂直纸面向里的匀强磁场（图中
未画出），磁感应强度
为
。比荷为
的带正电的粒子沿
轴正方向由
点射入磁场，不计粒
子的重力。
40
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(1)要使粒子不进入虚线
右侧，求射入磁场粒子的最大速度；
(2)要使粒子进入无场区域后直接到达
点，求射入磁场粒子的速度；
(3)现将一块长度为
的荧光板放置在
轴上，板的中点
位于
轴上的
处，欲使进入无场区域后
直接到达
点的粒子恰能打在荧光板的上表面，求匀强磁场磁感应强度
的大小范围（计算结果保留两位
有效数字）。
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【详解】（1）要使粒子不进入虚线
右侧，则粒子轨迹与虚线
相切，由几何关系可知
粒子运动的最大半径
根据洛伦兹力提供向心力
联立解得
（2）粒子可以通过磁场边界后通过P 点，在左侧磁场半径为r2，由几何关系可知
解得
41
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根据洛伦兹力提供向心力
联立解得
（3）由几何关系可知粒子过 P 点时与x 轴为为
粒子通过P 点后，在右下方磁场中运动半径为r3，则有
解得
根据几何关系可知
从上方直接打到荧光板左端，由几何关系可得
且有
联立解得
从上方直接打到荧光板右端，由几何关系可得
且有
42
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联立解得
同理，当经过x 轴上下各2 次打到荧光板左端，由几何关系可得
且有
联立解得-
假设经过x 轴上下各2 次打到荧光板右端，由几何关系可得
因为
说明经过两次x 轴下方已经打到Q 板的下方，无法经过x 轴上下各2 次打到荧光板右端，所以假设不成立。
当经过x 轴上方1 次，下方2 次打到荧光板左端，由几何关系可得
且有
联立解得
综上匀强磁场磁感应强度
的大小范围
43
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或
12．直角三角形
如图所示，
，
，
的长度
，三角形外存在方向垂直纸面
向里、磁感应强度大小
的匀强磁场（未画出），一比荷
的负离子从
点以速度
（未知）运动，恰经过
点且以垂直
边的方向射入三角形内部，然后从
边的
点（未画出）射入
磁场中，从
边上的
点（未画出）再次进入三角形，求：
(1)速度的大小及方向；
(2)离子由
点到
点的时间
；
(3)
点与
点的距离
。
【答案】(1)
，方向与
成
角指向左上方
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意作出离子的运动轨迹
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依题意可得
的长度
离子在磁场中做匀速圆周运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力
又
解得
方向与
成
角指向左上方。
（2）
的长度
离子由
点到
点有
离子由
点到
点有
离子由
点到
点的时间
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解得
（3）
的长度
则
离子由
点左边
处垂直
向上运动，圆心
在
点右边
处，设
由余弦定理得
解得
13．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、三、四象限内存在垂直于平面向外、磁感应强度大小为B
（B 未知）的匀强磁场，第二象限内存在垂直平面向外、磁感应强度大小为3B 的匀强磁场。质量为m、电
荷量为
的带电粒子从y 轴上M 点（0，
）以初速度
沿x 轴正方向射入第一象限，然后从x 轴上的N
点（
，0）射入第四象限，不计粒子的重力。求：
(1)磁感应强度B 的大小；
(2)带电粒子自M 点进入磁场开始到第四次经过x 轴时所经历的时间；
46
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(3)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f 且
（k 为已知常量），已知粒子第一次
经过x 轴时速度与x 轴垂直，求此时粒子的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设带电粒子在第一、三、四象限磁场中做圆周运动的半径为
，粒子在第一象限的轨迹的
圆心为
，由几何关系知
则
解得
由洛伦兹力提供向心力
解得磁感应强度为
（2）设带电粒子在第一象限磁场中运动的时间为
，则
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设带电粒子在第二象限磁场中做圆周运动的半径为
，由洛伦兹力提供向心力
解得
带电粒子的运动轨迹如下图
设粒子第四次经过
轴时在第三、四象限运动的总时间为
，在第二象限运动的时间为
，则
因此带电粒子自
点进入磁场到第四次经过
轴所经历的时间
解得
（3）对带电粒子受力分析可知，速度在
轴的分量
会产生
轴的阻力与
轴负方向的洛伦兹力；速度在
轴的分量
，会产生
轴的阻力与
轴负方向的洛伦兹力，其受力分析如图所示
48
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在
轴上，由动量定理有
由微元法累加后可得
解得
14．在如图所示的xOy 平面内，边长为2R 的正方形区域中存在方向垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小
为B 的匀强磁场，沿x 轴放置一长为2R 的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为m、电荷量为q 的正
离子源从正方形一边（位于y 轴上）的中点P 向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与水平方向
夹角范围为0
60°
﹣
并沿0
60°
﹣
范围均匀分布，单位时间发射N 个离子，其发射离子速度大小随发射角变化
的关系为
，α 为发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y
轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R＝0.05m，
B＝1T，v0=5×105m/s，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
49
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(1)求离子的比荷
（结果保留一位有效数字）；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n（结果保留分数）；
(3)求探测板至少多长能吸收到所有离子（结果保留根式）。
【答案】(1)1×107C/kg
(2)
N
(3)
m
【详解】（1）α＝0°离子的轨迹如图所示：
根据几何关系
r=R
根据洛伦兹力提供向心力有
qv0B
联立代入数据解得比荷
1×107C/kg
（2）发射速度方向与水平方向夹角为α 的离子运动轨迹半径为
如果第一、四象限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在y 轴上的弦长
即所有粒子都打到O 点；
50
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根据对称性可得从P 向磁场发射的离子均垂直磁场下边界射出，离子要打在探测板最右边时，需满足
解得
α＝37°
所以当α＞37°时粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，则单位时间内能打在探测板上的离子数
n
N
（3）根据几何关系可知当α＝60°时，从有边界射出的粒子运动最远，如图：
此时可知
，β＝60°
解得此时粒子在x 轴上的距离
m
所以探测板至少
m 才能接到所有的粒子。
15．如图甲所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小为B、半径为L 圆心坐标为
的
半圆形边界匀强磁场。P 点与坐标原点重合，其下方有圆弧形放射源S，放射质量为m、电荷量为q 的正离
子（初速度可忽略）。放射源S 与P 间加电压后形成辐射状电场，电压随时间变化如图乙所示，从P 点射
出的正离子在如图所示虚线范围内，虚线与y 轴正方向的夹角为
，速度大小范围
，
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正离子在电场中运动时间可以忽略不计。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。（
，
）求：
(1)SP 间电压的最大值
；
(2)从P 点射出的所有离子均不从半圆形磁场圆弧边界射出的最大速度；
(3)沿与x 轴正方向夹角45°从P 点射出的所有离子，在磁场中运动
时其位置满足的方程。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对离子在电场中加速，飞出电场时速度最大为
，由动能定理有
得SP 间电压的最大值
（2）离子恰好与圆弧相切，如图
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由几何关系得
根据
联立得最大速度为
（3）由缩放圆知识，可知其位置必为直线。由几何知识可知
如图所示
取
，则
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