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11 磁 场
[-考点-08-] 动态圆
一、“平移圆”
(1)“平移圆”模型：粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种
带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半
径R＝，如图所示
(2)“平移圆”法：将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
“平移圆”法.
二、“旋转圆”
(1)“旋转圆”模型：粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，
它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径
为R＝，如图所示
(2)“旋转圆”法：将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，
这种方法称为“旋转圆”法.
三、“放缩圆”
(1)“放缩圆”模型：如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也
越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP′上
(2)“放缩圆”法：以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而
探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法.
四、“磁聚焦”与“磁发散”模型
1．带电粒子的会聚
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如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨
迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会
聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷
量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果
正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平
行四边形，O1A、O2B、O3C 均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
典例1 (“平移圆”模型)(多选)(2021·江西红色七校一联)如图所示，在直角三角形ABC 内
充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d，∠B＝.现垂直AB 边射入一群
质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的
粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子重
力).则下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D.粒子进入磁场时的速度大小为
答案 ABC
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是
T，即为t＝T，则得周期为T＝4t，故A 正确；由T＝4t，R＝，T＝得，B＝＝，故B 正确；
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运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有Rsin＋＝d，解得R＝
d，故C 正确；根据粒子在磁场中运动的速度为v＝，周期为T＝4t，半径R＝d，联立可得
v＝，故D 错误.
典例2 (“旋转圆”模型)(2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy
平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为
B(B 未知)．坐标原点O 处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀
地辐射出质量为m、电荷量为q 的正离子．在y 轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M 点
坐标为(0，a)，N 点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远
到N 点，最近到M 点．不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例．
答案 (1)或 (2)
解析 (1)由题意可知，沿x 轴正方向出射的离子，经半圆到达N 点，
由此可得r＝a，可知通过M 点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为
60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运动，周期T
＝，即T＝，解得t1＝，t2＝
(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x 轴正
方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总
数的比例为＝.
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典例3 (“放缩圆”模型)(多选)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁
场，O 点是cd 边的中点．若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边
的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点
沿纸面以与Od 成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(
)
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
答案 AD
解析 带电粒子以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁
场，则知带电粒子的运动周期T＝2t0.该粒子从O 点以与Od 成30°角的方向射入磁场，随着
粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射
出范围分别为OG、FE、DC、BA 之间，不可能从四个顶点射出，故A 正确．由上述分析
知粒子运动周期为2t0，由图分析可知，从ab 边射出的粒子所用时间不可能为t0，从bc 边
射出的粒子所用时间不超过T＝，所有从cd 边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为
＝，故B、C 错误，D 正确．
典例4 (“磁聚焦”与“磁发散”模型)(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B 的圆形
匀强磁场，MN 是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高
点P 以速率v 沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒
子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子
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的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN 上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
答案 ACD
解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，
轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A 正确，B 错误．粒子速
度大小均为v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为：r＝＝R，根据几何
关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径
与PO 平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN 垂直，出射后均可垂直打在MN 上；根据
几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间：t<T＝，故选项
C、D 正确．
1.如图所示，在xOy 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁场，
线状粒子源从y 轴左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的
带正电粒子．磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy 向里．不考虑粒子间的相互作
用，不计粒子受到的重力．所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长
为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场
中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆
心角α 最大，FE 最长，经分析可知，当粒子从y 轴上的D′点射入、从x 轴上的E′点射出磁
场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在
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磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故选C.
2.(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，磁场方向
分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC 与边界MN 平行，
Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，入射速度垂
直AD 且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
答案 CD
解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A 错误；设从某处E 进入磁场的粒子，
其轨迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E 点距A 点的距离为2d－d＝d，粒子在距A 点0.5d
处射入，会进入Ⅱ区域，选项B 错误；粒子在距A 点1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ
区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C 正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短的
运动时间最短，且最短弦长为d，对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D 正确．
3.(多选)如图所示，挡板MN 位于水平面x 轴上，在第一、二象限y≤L 区域存在磁感应强度
为B 的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在MN 上O 点放置了粒子发射源，能向第
二象限发射各个方向的速度为v0＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，
不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的
是( )
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A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．所有粒子运动的区域面积为πL2
D．所有粒子运动的区域面积为
答案 AC
解析 由洛伦兹力提供向心力有qBv0＝m，代入数据解得r＝，所以A 正确；粒子在磁场中
运动的最长时间为t＝T＝，所以B 错误；所有粒子运动的区域面积为图中阴影部分面积，
由几何关系有S＝πr2＋π(2r)2＝πL2，所以C 正确，D 错误．
4.(多选)(2023·湖南省模拟)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带
电粒子的运动．如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场(图
中未画出)，PQ、EF 是两条相互垂直的直径，圆形区域左侧有一平行EF、关于PQ 对称放
置的线状粒子源，可以沿平行于PQ 的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v0的带正
电的粒子，粒子源的长度为R，从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从F 点射出磁场．
不计粒子重力及粒子间的相互作用．下列说法正确的是( )
A．匀强磁场的方向垂直纸面向里
B．粒子源发射的粒子均从F 点射出磁场
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．粒子在磁场中运动的最短时间为
答案 BD
解析 带正电的粒子向下偏转，根据左手定则可知匀强磁场的方向垂直纸面向外，故A 错
误；如图甲所示，设粒子的运动半径为r，根据几何关系可得CF＝，2＋()2＝r2，解得r＝
R，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，解得B＝，故C 错误；所有粒子在磁场中运动
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半径都相等，运动的圆弧越短，在磁场中运动的时间越短，如图乙所示，
由几何关系可得sin∠HO2F＝，解得∠HO2F＝30°，粒子在磁场中运动的周期T＝，则粒子
在磁场中运动的最短时间tmin＝T＝，故D 正确；任意一点射入磁场，粒子的运动半径等于
R，如图丙所示，由几何关系可知四边形OIJF 恒为一个菱形，OF∥IJ，所以所有的粒子都
从F 点射出，故B 正确．
5.(多选)如图，一长度为a 的竖直薄挡板MN 处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中，磁
感应强度为B.O 点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m 的带电
粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同．已知初速度与夹角为60°发射的粒子恰好经过
N 点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，＝a，⊥MN，不计粒子重力，不考虑粒
子间的相互作用，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D．若调节初速度v 大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v 的最小值为
答案 CD
解析 粒子恰好经过N 点，如图甲中轨迹1，设半径为R，由几何关系可知2Rsin 60°＝a，
解得R＝a，选项A 错误；当轨迹刚好与MN 相切时，粒子刚好能打到板上，如图甲中轨迹
2，
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设速度方向与ON 夹角为θ，由几何关系得Rsin θ＋R＝a，解得sin θ＝－1，由此可得Rcos
θ＝a＝a，所以，挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a，选项B 错误；要使粒子打到右侧，
则有两个临界条件，如图甲轨迹1、3，初速度方向的夹角为60°，则比例为＝，选项C 正
确；由C 选项可知使挡板的右侧被击中的竖直长度为a，粒子轨迹如图乙，速度方向与ON
夹角为60°，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，解得v＝，选项D 正确．
6.(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量
电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L 的PQ 区域以相同速度与水平方向成θ
＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝.所有从上
方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转
后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为
答案 BCD
解析 所有电子运动轨迹相同，水平分界线上电子射出区域的长度为L，选项A 错误；改
变上方磁场的磁感应强度，电子运动轨迹改变但所有电子运动轨迹依然相同，电子射出区
域的长度将保持不变，选项B 正确；从P 点入射的电子刚好到达Q 点，即偏转对应的最小
弦长为L，则r＝＝，B＝，选项C 正确；出射电子束的宽度(平行线间的距离)为，只要满
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足电子轨迹半径等于磁场区域圆的半径就可以实现收集(会聚)．设想以较大的磁场区域圆
实现会聚，不断缩小磁场区域圆直至以出射电子束的宽度为半径对应最小的半圆形磁场区
域，如图所示；可以是区域1、2 组成的半圆，也可以是区域1、3 组成的半圆，最小半径
与最大的磁感应强度B′＝相对应，选项D 正确．
7.(2021·湖南卷·13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一．带电粒
子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子
之间的相互作用．对处在xOy 平面内的粒子，求解以下问题．
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x 轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀
强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2)．在虚线框内设计
一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并
沿x 轴正方向射出．求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写
出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方
形．在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子
流沿x 轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x 轴
正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束．求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及
Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)．
答案 (1) (2) 垂直于纸面向里 πr2
2
(3) (π－1)r3
2 (π－1)r4
2
解析 (1)粒子垂直y 轴进入圆形磁场，在坐标原点O 汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在
磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，
qvB1＝m
解得B1＝
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(2)粒子从O 点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O 点飞入然后沿x 轴正方向飞出，为磁发
散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如
图甲中所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域
磁场半径为r2，根据qvB2＝m，
可知磁感应强度为B2＝
根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝πr2
2
(3)画出磁场区域面积最小时的情形，如图乙所示．
在Ⅰ、Ⅱ区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径R3＝r3，由洛伦兹力提
供向心力有qvB3＝，解得B3＝，Ⅱ中磁场区域的面积S1＝2×＝r3
2.
在Ⅲ、Ⅳ区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径R4＝r4，由洛伦兹力提
供向心力有qvB4＝，解得B4＝，Ⅳ中磁场区域的面积S4＝2×＝r4
2.
11
