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11 磁 场
[-考点-09-] 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区
域，电场、磁场交替出现．
2．解决带电粒子在组合场中的运动所需知识
典例1 (磁场与磁场的组合)如图所示，在无限长的竖直边界AC 和DE
间，上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC 向外的匀强磁场，上部
分区域的磁感应强度大小为B0，OF 为上、下磁场的水平分界线．质量
为 m、带电荷量为＋q 的粒子从AC 边界上与O 点相距为a 的P 点垂直
于AC 边界射入上方磁场区域，经OF 上的Q 点第一次进入下方磁场区
域，Q 点与O 点的距离为3a.不考虑粒子重力．
(1)求粒子射入时的速度大小；
(2)要使粒子不从AC 边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小B1应
满足的条件；
(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直DE 边界飞出，求边
界 DE 与AC 间距离的可能值．
典例2 (电场与磁场的组合)如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，第
Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径
为L 的圆形匀强磁场，磁场圆心在M(L，0)点，磁场方向垂直于坐标平
面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q(－2L，－L)点以速度v0沿x 轴
正方向射入电场，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P(2L，0)点射出
磁场，不计粒子重力，求：
(1)电场强度与磁感应强度大小的比值；
(2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值．
典例3 (粒子多次进出电场、磁场的运动)(2021·广东卷·14)图是一种
花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c 围成的区
域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆c
之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区
磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能
Ek0从圆b 上P 点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进
入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间电势差为U，圆b 半径为
R，圆c 半径为R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取
tan 22.5°＝0.4.
(1)当Ek0＝0 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场
内相邻运动轨迹的夹角θ 均为45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图
中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的
运动时间及在Q 点出射时的动能；
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．
当Ek0＝keU 时，要保证电子从出射区域出射，求k 的最大值．
1.(多选)一带负电粒子的质量为m、电荷量为
q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2间的电
压为U.将此粒子在靠近极板S1的A 处无初速度释放，经电场加速后，经
O 点进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边
界平行于S2)，图中虚线Ox 垂直于极板S2，当粒子从P 点离开磁场时，
其速度方向与Ox 方向的夹角θ＝60°，如图所示，整个装置处于真空中，
不计粒子所受重力，则( )
A．极板S1带正电
B．粒子到达O 点的速度大小为
C．此粒子在磁场中运动的时间t＝
D．若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O 点后恰好不
能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d＝
2.(多选)(2023·辽宁沈阳市模拟)圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在磁
感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A
点有一带正电粒子源，半径OA 竖直，MN 与OA 平行，且与圆形边界相
切于B 点，在MN 的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强
度大小为E.当粒子的速度大小为v0且沿AO 方向时，粒子刚好从B 点离
开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外
B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中运动的总时间为
D．粒子在电场中运动的总时间为
3.平面直角坐标系xOy 中，第二象限存在沿y 轴负
方向的匀强电场，场强大小为E，第三、四象限存
在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示．一质量为m，带电荷量为
q 的正粒子从坐标为(－L，L)的P 点沿y 轴负向进入电场，初速度大小为
v0＝，粒子第二次到达x 轴的位置为坐标原点．不
计粒子的重力．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)若粒子由P 点沿x 轴正方向入射，初速度仍为v0
＝，求粒子第二次到达x 轴时与坐标原点的距离．
4.如图所示的xOy 坐标系中，第一象限存在与xOy 平面平行的匀强电场
E，且与y 轴负方向的夹角θ＝30°，第二象限存在垂直平面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B.一带正电粒子自O 点射入第二象限，速度v
与x 轴负方向的夹角θ＝30°，粒子经磁场偏转后从y 轴上的P 点进入第
一象限，并由x 轴上的M 点(未画出)离开电场．已知OM 距离为3L，粒
子的比荷为，不计粒子重力．
(1)求OP 两点的距离；
(2)求粒子在磁场中运动的时间；
(3)当该粒子经过P 点的同时，在电场中
的N 点由静止释放另一个完全相同的带
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电粒子，若两粒子在离开电场前相遇且所需时间最长，求N 点的坐标．
5.(2023·河北唐山市模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线OP 与x 轴正方向
的夹角为30°，其上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀
强电场，电场强度方向与x 轴负方向的夹角为60°，如图所示．质量为
m、电荷量为q 的带正电粒子以速度v 从坐标原点沿y 轴正方向进入磁场，
经磁场偏转后由P 点进入电场，最后从x 轴上的Q 点离开电场，已知
O、P 两点间距离为L，PQ 连线平行于y 轴．不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)匀强电场的电场强度E 的大小．
6.如图所示，一对足够长平行栅极板M、N 水平放置，极板与可调电源
相连．极板外上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场
B1和B2，B1和B2的大小未知，但满足B2＝B1，磁场左边界上距M 板距
离为2l 的A 点处的粒子源平行极板向右发射速度为v 的带正电粒子束，
单个粒子的质量为m、电荷量为q，粒子第1 次离开M 板的位置为C 点，
已知C 点距离磁场左边界距离为l.忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的
相互作用及粒子所受重力．
(1)求磁感应强度B1的大小；
(2)当两板间电势差UMN＝0 时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C
点再次返回极板上方的磁场，求两板间距d 的大小；
(3)当两板间所加的电势差UMN＝－时，在M 板上C 点右侧P 点处放置一
粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从M 板上方打入的粒子．问当P 点离
磁场左边界多远的地方能接收到粒子？
7.(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy 平面的匀强磁场，y 轴为两
磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同
时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1 次、第2 次经过y
轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．甲经过Q 时，乙也恰好同
时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作
用和重力影响．求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值．
8.(2023·广东省高三检测)如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直
纸面向里的匀强磁场，圆形区域内ac、df 为互相垂直的竖直和水平
两条直径，沿df 方向距f 点为R 的g 点处固定一足够长的挡板，挡板
与fg 方向的夹角α＝60°，粒子打到挡板上会被吸收，圆形磁场区域
以外空间存在竖直向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为q 的带负
电粒子(不计重力)自c 点沿ca 方向以速度v 射入磁场，经磁场偏转后
从f 点沿fg 方向射出磁场，之后恰好未打在挡板上，图中已画出粒子
在电场中运动的轨迹．
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
(2)求匀强电场的电场强度大小E；
(3)若将原电场换为方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大
小B2＝kB1(0<k≤1)，求粒子返回圆形磁场区域边界时的位置到f 点的
距离．
9.如图，直角坐标系xOy 中，在第一象限内有沿y 轴负方向的匀强电
场；在第三、第四象限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀
强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从y 轴上P 点(0，h)以
初速度v0垂直于y 轴射入电场，再经x 轴上的Q 点沿与x 轴正方向成
45°角进入磁场．粒子重力不计．
(1)求匀强电场的场强大小E；
(2)要使粒子能够进入第三象限，求第四象限内磁感应强度B 的大小
范围；
(3)若第四象限内磁感应强度大小为，第三象限内磁感应强度大小为，且
第三、第四象限的磁场在y＝－L(L>2h)处存在一条与x 轴平行的下边界
MN(图中未画出)，则要使粒子能够垂直边界MN 飞出磁场，求L 的可能
取值．
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