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11 磁 场
[-考点-09-] 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替
出现．
2．解决带电粒子在组合场中的运动所需知识
典例1 (磁场与磁场的组合)如图所示，在无限长的竖直边界AC 和DE 间，上、下部分分别
充满方向垂直于平面ADEC 向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF 为
上、下磁场的水平分界线．质量为 m、带电荷量为＋q 的粒子从AC 边界上与O 点相距为a
的P 点垂直于AC 边界射入上方磁场区域，经OF 上的Q 点第一次进入下方磁场区域，Q 点
与O 点的距离为3a.不考虑粒子重力．
(1)求粒子射入时的速度大小；
(2)要使粒子不从AC 边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小B1应满足的条件；
(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直DE 边界飞出，求边界 DE 与AC 间距
离的可能值．
典例2 (电场与磁场的组合)如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y
轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L 的圆形匀强磁场，磁场圆心在M(L，
0)点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q(－2L，－L)点以速
度v0沿x 轴正方向射入电场，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P(2L，0)点射出磁场，不计
粒子重力，求：
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(1)电场强度与磁感应强度大小的比值；
(2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值．
典例3 (粒子多次进出电场、磁场的运动)(2021·广东卷·14)图是一种花瓣形电子加速器简化
示意图，空间有三个同心圆a、b、c 围成的区域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐
射状电场，圆b 与圆c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各
区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能Ek0从圆b 上P 点沿径
向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间
电势差为U，圆b 半径为R，圆c 半径为R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，
取tan 22.5°＝0.4.
(1)当Ek0＝0 时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角
θ 均为45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、
电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q 点出射时的动能；
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当Ek0＝keU 时，要保证
电子从出射区域出射，求k 的最大值．
1.(多选)一带负电粒子的质量为m、电荷量为q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2间的
电压为U.将此粒子在靠近极板S1的A 处无初速度释放，经电场加速后，经O 点进入磁感应
强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行于S2)，图中虚线Ox 垂直于
极板S2，当粒子从P 点离开磁场时，其速度方向与Ox 方向的夹角θ＝60°，如图所示，整
个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则( )
A．极板S1带正电
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B．粒子到达O 点的速度大小为
C．此粒子在磁场中运动的时间t＝
D．若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O 点后恰好不能从右侧离开该有界
磁场，则该有界磁场区域的宽度d＝
2．(多选)(2023·辽宁沈阳市模拟)圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度大小为
B、方向垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A 点有一带正电粒子源，半径OA 竖
直，MN 与OA 平行，且与圆形边界相切于B 点，在MN 的右侧有范围足够大且水平向左的
匀强电场，电场强度大小为E.当粒子的速度大小为v0且沿AO 方向时，粒子刚好从B 点离
开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是( )
A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外
B．粒子的比荷为
C．粒子在磁场中运动的总时间为
D．粒子在电场中运动的总时间为
3．平面直角坐标系xOy 中，第二象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，第三、
四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示．一质量为m，带电荷量为q 的正粒
子从坐标为(－L，L)的P 点沿y 轴负向进入电场，初速度大小为v0＝，粒子第二次到达x 轴
的位置为坐标原点．不计粒子的重力．
(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)若粒子由P 点沿x 轴正方向入射，初速度仍为v0＝，求粒子第二次到达x 轴时与坐标原
点的距离．
4.如图所示的xOy 坐标系中，第一象限存在与xOy 平面平行的匀强电场E，且与y 轴负方向
的夹角θ＝30°，第二象限存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带正电粒
子自O 点射入第二象限，速度v 与x 轴负方向的夹角θ＝30°，粒子经磁场偏转后从y 轴上
的P 点进入第一象限，并由x 轴上的M 点(未画出)离开电场．已知OM 距离为3L，粒子的
比荷为，不计粒子重力．
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(1)求OP 两点的距离；
(2)求粒子在磁场中运动的时间；
(3)当该粒子经过P 点的同时，在电场中的N 点由静止释放另一个完全相同的带电粒子，若
两粒子在离开电场前相遇且所需时间最长，求N 点的坐标．
5.(2023·河北唐山市模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线OP 与x 轴正方向的夹角为30°，其
上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度方向与x 轴负方向
的夹角为60°，如图所示．质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以速度v 从坐标原点沿y 轴
正方向进入磁场，经磁场偏转后由P 点进入电场，最后从x 轴上的Q 点离开电场，已知
O、P 两点间距离为L，PQ 连线平行于y 轴．不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
(2)匀强电场的电场强度E 的大小．
6.如图所示，一对足够长平行栅极板M、N 水平放置，极板与可调电源相连．极板外上方
和下方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场B1和B2，B1和B2的大小未知，但满足
B2＝B1，磁场左边界上距M 板距离为2l 的A 点处的粒子源平行极板向右发射速度为v 的带
正电粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，粒子第1 次离开M 板的位置为C 点，已
知C 点距离磁场左边界距离为l.忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受
重力．
(1)求磁感应强度B1的大小；
(2)当两板间电势差UMN＝0 时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C 点再次返回极板上
方的磁场，求两板间距d 的大小；
(3)当两板间所加的电势差UMN＝－时，在M 板上C 点右侧P 点处放置一粒子靶(忽略靶的
大小)，用于接收从M 板上方打入的粒子．问当P 点离磁场左边界多远的地方能接收到粒
子？
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7.(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy 平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感
应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速
度均为v.甲第1 次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．甲经过Q 时，
乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力
影响．求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值．
8.(2023·广东省高三检测)如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，
圆形区域内ac、df 为互相垂直的竖直和水平两条直径，沿df 方向距f 点为R 的g 点处固定
一足够长的挡板，挡板与fg 方向的夹角α＝60°，粒子打到挡板上会被吸收，圆形磁场区域
以外空间存在竖直向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为q 的带负电粒子(不计重力)自c
点沿ca 方向以速度v 射入磁场，经磁场偏转后从f 点沿fg 方向射出磁场，之后恰好未打在
挡板上，图中已画出粒子在电场中运动的轨迹．
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
(2)求匀强电场的电场强度大小E；
(3)若将原电场换为方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小B2＝kB1(0<k≤1)，求
粒子返回圆形磁场区域边界时的位置到f 点的距离．
9.如图，直角坐标系xOy 中，在第一象限内有沿y 轴负方向的匀强电场；在第三、第四象
限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的
粒子从y 轴上P 点(0，h)以初速度v0垂直于y 轴射入电场，再经x 轴上的Q 点沿与x 轴正方
向成45°角进入磁场．粒子重力不计．
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(1)求匀强电场的场强大小E；
(2)要使粒子能够进入第三象限，求第四象限内磁感应强度B 的大小范围；
(3)若第四象限内磁感应强度大小为，第三象限内磁感应强度大小为，且第三、第四象限的
磁场在y＝－L(L>2h)处存在一条与x 轴平行的下边界MN(图中未画出)，则要使粒子能够垂
直边界MN 飞出磁场，求L 的可能取值．
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