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11 磁 场
[-考点-08-] 动态圆
一、“平移圆”
(1)“平移圆”模型：粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种
带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半
径R＝，如图所示
(2)“平移圆”法：将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫
“平移圆”法.
二、“旋转圆”
(1)“旋转圆”模型：粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，
它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径
为R＝，如图所示
(2)“旋转圆”法：将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，
这种方法称为“旋转圆”法.
三、“放缩圆”
(1)“放缩圆”模型：如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也
越大．可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线
PP′上
(2)“放缩圆”法：以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而
探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法.
四、“磁聚焦”与“磁发散”模型
1．带电粒子的会聚
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如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨
迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会
聚)
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方
向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷
量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果
正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平
行四边形，O1A、O2B、O3C 均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
典例1 (“平移圆”模型)(多选)(2021·江西红色七校一联)如图所示，在直角三角形ABC 内
充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d，∠B＝.现垂直AB 边射入一群
质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的
粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子重
力).则下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B.该匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D.粒子进入磁场时的速度大小为
典例2 (“旋转圆”模型)(2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy
平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为
B(B 未知)．坐标原点O 处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀
地辐射出质量为m、电荷量为q 的正离子．在y 轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M 点
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坐标为(0，a)，N 点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远
到N 点，最近到M 点．不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例．
典例3 (“放缩圆”模型)(多选)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁
场，O 点是cd 边的中点．若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边
的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点
沿纸面以与Od 成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(
)
A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
典例4 (“磁聚焦”与“磁发散”模型)(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B 的圆形
匀强磁场，MN 是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高
点P 以速率v 沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒
子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子
的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN 上
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D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
1.如图所示，在xOy 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆形匀强磁场，
线状粒子源从y 轴左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的
带正电粒子．磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy 向里．不考虑粒子间的相互作
用，不计粒子受到的重力．所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长
为( )
A. B. C. D.
2.(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，磁场方向
分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC 与边界MN 平行，
Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，入射速度垂
直AD 且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为
B．粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为
3.(多选)如图所示，挡板MN 位于水平面x 轴上，在第一、二象限y≤L 区域存在磁感应强度
为B 的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在MN 上O 点放置了粒子发射源，能向第
二象限发射各个方向的速度为v0＝的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，
不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的
是( )
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A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．所有粒子运动的区域面积为πL2
D．所有粒子运动的区域面积为
4.(多选)(2023·湖南省模拟)在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带
电粒子的运动．如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场(图
中未画出)，PQ、EF 是两条相互垂直的直径，圆形区域左侧有一平行EF、关于PQ 对称放
置的线状粒子源，可以沿平行于PQ 的方向发射质量为m、电荷量为q、速率均为v0的带正
电的粒子，粒子源的长度为R，从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从F 点射出磁场．
不计粒子重力及粒子间的相互作用．下列说法正确的是( )
A．匀强磁场的方向垂直纸面向里
B．粒子源发射的粒子均从F 点射出磁场
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．粒子在磁场中运动的最短时间为
5.(多选)如图，一长度为a 的竖直薄挡板MN 处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中，磁
感应强度为B.O 点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m 的带电
粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同．已知初速度与夹角为60°发射的粒子恰好经过
N 点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，＝a，⊥MN，不计粒子重力，不考虑粒
子间的相互作用，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的
D．若调节初速度v 大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v 的最小值为
6.(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量
电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L 的PQ 区域以相同速度与水平方向成θ
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＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝.所有从上
方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转
后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为
7.(2021·湖南卷·13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一．带电粒
子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子
之间的相互作用．对处在xOy 平面内的粒子，求解以下问题．
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x 轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀
强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2)．在虚线框内设计
一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并
沿x 轴正方向射出．求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写
出面积最小的证明过程)；
(3)如图(b)，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方
形．在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子
流沿x 轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x 轴
正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束．求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及
Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)．
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