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11 磁 场
[-考点-07-] 带电粒子在有界匀强磁场中的临界、极值
和多解问题
一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”
“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，
建立几何关系求解．
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁
场中的运动时间越长．
(3)当比荷相同，速率v 变化时，圆心角越大的，运动时间越长．
二、几种常见的求极值情况(速度一定时)
(1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切．
圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：
当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对
应的圆心角最大，粒子运动时间最长．
(2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直．
如图，P 为入射点，M 为出射点．此时在磁场中运动时最短．
三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不
确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题．解决带电
粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突
破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求
1
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解．
临界点常用的结论：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动
的时间越长．
(3)当速度v 变化时，圆心角越大，运动时间越长．
典例1 (带电粒子在磁场中运动的临界问题)(多选)如图所示，在坐标系的y 轴右侧存在有理
想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy 平面向里．一
个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O 射入磁场，速度方向与x 轴正方向
成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y 轴上的某点离开磁场．忽略粒子重
力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A．它的轨道半径为d
B．它进入磁场时的速度为
C．它在磁场中运动的时间为
D．它的运动轨迹与y 轴交点的纵坐标为d
答案 AB
解析 粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝d，故A 正确；
由qvB＝m，r＝d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝＝，故B 正确；由T＝＝，如图
由几何关系知t＝T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝，故C 错误；粒子运动轨迹与y 轴
交点的纵坐标为y＝－2rcos 30°＝－d，故D 错误．
典例2 (带电粒子在磁场中运动的极值问题)(多选)如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁
感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子
沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率
v 的最大值可能是( )
A.
B.
2
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C.
D.
答案 BD
解析 设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力
提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得R＝.带电粒子速率越大，轨道半径越大，
当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大．若粒
子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R＋Rcos 45°＝d，
解得R＝(2－)d，
对应的速率v＝.
若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示，
由几何知识得：R－Rcos 45°＝d，
解得R＝(2＋)d.
对应的速率v＝.故选B、D.
典例3 (磁场方向不确定形成多解)(多选)如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上
射出一束负离子，离子的重力忽略不计．为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂
直纸面的匀强磁场．已知O、A 两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP 与OQ
间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向可能是( )
A．B>，垂直纸面向里
B．B>，垂直纸面向里
3
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C．B>，垂直纸面向外
D．B>，垂直纸面向外
答案 BD
解析 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP 相切的轨迹如图甲所示，切点为M，
设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂
直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP 相切于N 点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由
几何关系s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D 正确，
A、C 错误．
典例4 (带电粒子电性不确定形成多解)(多选)如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域
内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子
碰到挡板则能够以原速率弹回．一质量为m、带电荷量为q 的粒子以某一速度垂直于磁场
方向从P 点射入磁场，恰好从Q 点射出．下列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为
答案 CD
解析 若粒子带正电，粒子与挡板MN 碰撞后恰好从Q 点射出，粒子运动轨迹如图甲所示，
设轨迹半径为r2，由几何知识得L2＋(r2－0.5L)2＝r2
2，解得r2＝L，根据牛顿第二定律得
qv2B＝m，解得v2＝，根据动量定理得I＝2mv2＝，故A 错误，C 正确；若粒子带负电，则
粒子的运动轨迹如图乙所示，
4
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粒子做圆周运动的半径为r1＝L，由牛顿第二定律得qv1B＝m，解得v1＝，此时半径最小，
速度也最小，故B 错误；若粒子带负电，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为时，粒
子在磁场中的运动时间为t＝T＝，故D 正确．
典例5 (临界状态不确定形成多解)(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP
将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部
分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直．
离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角．
已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则
离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为( )
A.kBL,0°
B.kBL,0°
C．kBL,60°
D．2kBL,60°
答案 BC
解析 若离子通过下部分磁场直接到达P 点，如图，
根据几何关系则有R＝L，由qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP 成
30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.当离子在两个磁场均运动一次时，
如图，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R＝L，
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根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，
即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需
满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分
磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，
故B、C 正确，A、D 错误．
1.如图所示，abcd 为边长为L 的正方形，在四分之一圆abd 区域内有垂直正方形平面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为＋q 的带电粒子从b 点沿ba 方
向射入磁场，粒子恰好能通过c 点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长
线通过a 点，磁场的半径为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得L＋r＝L，由洛伦兹
力提供向心力得：qvB＝m，联立解得v＝，故选C.
2.(多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一
带电粒子从a 点沿与ab 边成30°角方向射入磁场，恰好从b 点飞出磁场；另一带电粒子以
相同的速率从a 点沿ad 方向射入磁场后，从c 点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比
荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为( )
A.∶＝1∶1
B.∶＝2∶1
C．t1∶t2＝2∶3
D．t1∶t2＝1∶3
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答案 AC
解析 两粒子的运动轨迹如图；设正方形区域边长为L，则从b 点飞出的粒子的运动轨迹
半径为r1＝L；从c 点飞出的粒子的运动轨迹半径为r2＝L；根据qv0B＝m，可得＝，则∶＝
1∶1，选项A 正确，B 错误；根据T＝可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，两
粒子在磁场中转过的角度分别为60°和90°，根据t＝T，可得t1∶t2＝60°∶90°＝2∶3，选项
C 正确，D 错误．
3. (多选)如图所示，长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板
间距离也为l，极板不带电.现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从两极板
间边界中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法
是( )
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度<v<
答案 AB
解析 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r＝＋l2，又r1＝，所以v1＝，粒子
刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝，综合上述分析可知，选项A、B 正确.
4.(多选)如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场的磁感应强度大小
均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠A 的角平分
线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有
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质子恰能通过D 点，已知质子的比荷＝k，则质子的速度可能为( )
A.
B．BkL
C.
D.
答案 ABD
解析 质子可能的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcos 60°＝L(n＝1,2，…)，由洛
伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，联立解得v＝＝(n＝1,2，…)，所以A、B、D 正确，C
错误．
5.如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.磁
场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相
等的带正电的粒子(重力和粒子间的相互作用力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为
2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹
对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，则圆心角最大为，故t
＝＝＝，故选项C 正确．
6.(2023·辽宁·期中)如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab 是圆的直径．
一带电粒子从a 点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab 成30°角时，恰好从b 点飞出磁场，
且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a 点沿ab 方向射入磁场，也经时间t 飞
出磁场，则其速度大小为( )
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A.v1 B.v1 C.v1 D.v1
答案 C
解析 画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时
间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确
定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝Rtan 60°＝R，由洛伦
兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，则＝＝，所以当粒子沿ab 方向射入时，v2＝v1，
A、B、D 错误，C 正确．
7.(多选)如图所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂直纸面向外的匀强
磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位
于MN 上的a 点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q＞0)的同
种粒子，所有粒子均能通过MN 上的b 点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )
A.
B.
C.
D.
答案 AB
解析 由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所
以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力
提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1,2,3，…)，选项A、B 正确．
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8.如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B
的匀强磁场，在ad 边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad 边夹角θ＝30°、大小
为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad 边长为L，ab 边足够长，
粒子重力不计，求：
(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01；
(2)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小v02；
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间．
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示，
若粒子速度大小为v0，则
qv0B＝m，解得：v0＝.
(1)设圆心在O1处对应圆弧与cd 边相切，对应速度大小为v01
由几何关系得：R1sin θ＝，解得R1＝L
则有：v01＝＝.
(2)设圆心在O2处对应圆弧与ab 边相切，对应速度大小为v02
由几何关系得：R2＋R2sin θ＝，解得R2＝
则有：v02＝＝.
(3)由t＝T 和T＝＝可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α 越大，在磁场中运动的
时间越长．当在磁场中运动的半径r<R2时，运动时间最长
则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝
所以最长时间为t＝T＝×＝.
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9.(2023·安徽十校检测)如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂
直纸面向里，磁感应强度大小为B，A 是内侧边界上的一点。在圆心O 处沿平行纸面方向
射出一个质量为m、电荷量为q 的带电粒子，粒子速度方向与OA 成60°角，粒子经磁场第
一次偏转后刚好从A 点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A.粒子一定带正电
B.粒子第一次在磁场中运动的时间为
C.粒子运动的速度大小为
D.磁场外边界圆的半径至少为r
答案 D
解析 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断粒子带负电，故A 错误；
粒子第一次在磁场中运动的时间为t＝T＝，故B 错误；根据图中几何关系可得粒子在磁场
中做圆周运动的半径为R＝rtan 30°＝r，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v
＝，故C 错误；磁场外边界圆的半径至少为r′＝R＋＝r，故D 正确。
10.如图甲所示，M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一
个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙
所示(垂直于纸面向里的磁场方向为正方向).有一群正离子在t＝0 时垂直于M 板从小孔O 射
入磁场.已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁
感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重
力.求：
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(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值.
答案 (1) (2)(n＝1，2，3，…)
解析 (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力qv0B0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得磁感应强度B0＝.
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动
一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n 个周期即nT0时，有R＝(n＝1，2，
3，…)
联立求解，得正离子的速度的可能值为
v0＝＝(n＝1，2，3，…).
11.(多选)(2021·海南卷·13)如图，在平面直角坐标系Oxy 的第一象限内，存在垂直纸面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电量为q 的相同粒子从y 轴上的P(0，L)
点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹
角为α(0≤α≤180°)．当α＝150°时，粒子垂直x 轴离开磁场．不计粒子的重力．则( )
A．粒子一定带正电
B．当α＝45°时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为3L
答案 ACD
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解析 粒子垂直x 轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A 正确；当α＝150°时，粒
子垂直x 轴离开磁场，运动轨迹如图甲，
粒子运动的半径为 r＝＝2L，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子入射速率v＝，
C 正确；若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，
根据几何关系可知粒子离开磁场时与x 轴不垂直，B 错误；粒子离开磁场的位置到O 点距
离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，运动轨迹如图丙，
根据几何关系可知(2r)2＝(L)2＋xm
2，解得xm＝3L，D 正确．
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