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03 相互作用——力
[-考点-09-] 动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平
衡状态．
2．做题流程
受力分析――――――→画不同状态平衡图构造矢量三角形―――――→
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、
F2、F3′构成矢量三角形，即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三
角形．
动态分析常用方法
1．解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得
到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变
量的变化．
2．图解法：首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出
构成一个三角形(先画出大小、方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均
变化的力)，由题意改变方向变化的力的方向．由动态图解可知力的大小变化情况．
3．相似三角形法：找到物体变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相
似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化
从而得到力的变化．
4．动态圆法：一个力恒定，另外两个力方向一直变化，但它们的夹角不变，作出不同状态
的动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
5．“活结”分析法：“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ1＝
Fsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d 不变，则上下移
动悬线结点，θ 不变，若两杆距离d 减小，则θ 减小，2FTcos θ＝mg，FT＝也减小．
1
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典例1 (解析法)(多选)如图所示，质量分别为m、M 的两个物体系在一根通过轻质定滑轮
的轻绳两端，M 放在水平地板上，m 被悬在空中，若将M 沿水平地板向左缓慢移动少许
后，M 仍静止，则( )
A．绳中张力变小
B．M 对地面的压力变大
C．绳子对滑轮的力变大
D．M 所受的静摩擦力变大
答案 BD
解析 以m 为研究对象，得到绳子张力F＝mg.以M 为研究对象，分析受力，如图所示．
由平衡条件得
地面对M 的支持力FN＝Mg－Fcos α，静摩擦力Ff＝Fsin α，
M 沿水平地板向左缓慢移动少许后α 增大，由数学知识得到FN变大，Ff变大．
根据牛顿第三定律得知M 对地面的压力也变大．由力的平行四边形定则知，绳子对滑轮的
力变小，故选B、D.
典例2 (图解法)(多选)如图所示，在倾角为α 的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜
面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
2
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答案 BC
解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，
当挡板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件
得知，FN1和FN2的合力与重力mg 大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受
力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后
增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C 正确，A、D 错误．
典例3 (相似三角形法)如图所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AC 是上端带有滑轮的
固定支架，BC 为质量不计的轻杆，杆的一端C 用铰链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质
量为m 的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机上．开始时，杆BC 与AC 的夹角
∠BCA>90°，现使∠BCA 缓慢变小，直到∠BCA＝30°.在此过程中，杆BC 所产生的弹力(
)
A．大小不变
B．逐渐增大
C．先增大后减小
D．先减小后增大
答案 A
解析 以结点B 为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，
F、FN的合力F 合与G 大小相等、方向相反．
根据三角形相似得＝＝
又F 合＝G 得F＝ G，FN＝ G
3
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∠BCA 缓慢变小的过程中，AB 变小，而AC、BC 不变，则F 变小，FN不变，故杆BC 所产
生的弹力大小不变，故选A.
典例4 (动态圆法)(多选)(2017·全国卷Ⅰ·21)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某
点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间
的夹角为α(α＞)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α 不变．在OM 由竖直被拉到
水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐增大
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM 绳上拉力F2、MN 上拉力F1，由
题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角为π－α 不变，在F2
转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN 上的张力F1逐渐增大，
OM 上的张力F2先增大后减小，所以A、D 正确，B、C 错误．
典例5 (“活结”分析法)如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长
的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A 点，另一端从B
点沿支架缓慢地向C 点靠近(C 点与A 点等高)．则在此过程中绳中拉力大小( )
A．先变大后不变
B．先变大后变小
C．先变小后不变
D．先变小后变大
4
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答案 A
解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几
何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知：
F1＝F2＝①
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系
即sin θ＝②
其中d 为两端点间的水平距离，由B 点向C 点移动过程中，d 先变大后不变，因此θ 先变
大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A 正确．
1.质量为m 的物体用轻绳AB 悬挂于天花板上．用水平向左的力F 缓慢拉动绳的中点O，如
图所示．用FT表示绳OA 段拉力的大小，在O 点向左移动的过程中( )
A．F 逐渐变大，FT逐渐变大
B．F 逐渐变大，FT逐渐变小
C．F 逐渐变小，FT逐渐变大
D．F 逐渐变小，FT逐渐变小
答案 A
解析 以O 点为研究对象，受力如图所示，由共点力的平衡条件知：FT＝，F＝mgtan θ，
当用水平向左的力缓慢拉动O 点时，绳OA 与竖直方向的夹角θ 变大，所以F 逐渐变大，
FT逐渐变大，选项A 正确．
2.(多选)用轻绳AO、BO 悬挂一个重物，BO 水平，O 为半圆形支架的圆心，悬点A 和B 在
支架上．悬点A 固定不动，将悬点B 从图所示位置沿支架逐渐移动到C 点的过程中，绳
OA 和绳OB 上的拉力大小的变化情况是( )
5
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A．绳OA 上的拉力逐渐减小
B．绳OA 上的拉力先减小后增大
C．绳OB 上的拉力逐渐增大
D．绳OB 上的拉力先减小后增大
答案 AD
解析 将绳AO、绳BO 的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变绳OB 拉力的
方向，使FB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知FA逐渐减
小，且方向不变，而FB先减小后增大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小，故
A、D 正确．
3.如图所示，在倾角为θ 的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m
的重球B，开始板A 处于竖直位置，现使其下端绕O 沿逆时针方向缓缓转至水平位置，重
球B 对斜面和对挡板压力的变化情况是( )
A．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力也逐渐减小
B．对斜面的压力逐渐增大，对挡板的压力则逐渐减小
C．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先减小后增大
D．对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先增大后减小
答案 C
解析 分析球的受力，受到重力mg、挡板对球的弹力FA及斜面对球的支持力FB，如图所
示，球处于静止状态，弹力FA与FB的合力F 的大小等于重力大小，方向竖直向上．当挡板
下端绕O 沿逆时针方向缓慢转至水平位置的过程中，可以看出表示弹力FA的边的长度先变
小后变大，即弹力FA先减小后增大；表示支持力FB的边的长度一直变小，说明FB一直减
小．由牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先减小后增大，对斜面的压力逐渐减小．选项
C 正确．
6
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4.如图所示，用轻绳将重球挂在竖直墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，
则球对绳的拉力F1和球对墙的压力F2的变化情况是( )
A．F1增大，F2减小
B．F1减小，F2增大
C．F1和F2都减小
D．F1和F2都增大
答案 C
解析 对球受力分析，如图所示，由图解法可知F1′减小，墙对球的支持力F2′减小，故
由牛顿第三定律可知F1减小，F2也减小，故选C.
5.如图所示，一光滑小球静止放置在固定的光滑半球面底端，用竖直放置的光滑挡板水平
向右缓慢推动小球，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面)，挡板对小球的推力
F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况正确的是( )
A．F1增大，F2增大
B．F1减小，F2减小
C．F1增大，F2减小
D．F1减小，F2增大
答案 A
解析 对小球进行受力分析，如图所示，根据平衡条件得，F1＝mgtan θ，F2＝，由于θ 不
断增大，故F1增大，F2增大，A 正确．
6.如图所示，可视为质点的小球拴接了轻质弹簧和细线，并在它们的作用下保持静止．轻
质弹簧与竖直方向有一定夹角，细线处于水平状态．现保持弹簧与竖直方向夹角不变，将
轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态，则( )
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A．弹簧的长度逐渐变长
B．弹簧的长度逐渐变短
C．细线上的拉力逐渐增大
D．细线上的拉力逐渐减小
答案 B
解析 小球受力情况如图所示，重力G 大小和方向都不变，保持弹簧与竖直方向夹角θ 不
变，则弹簧弹力F 弹方向不变，弹簧弹力与细线拉力FT的合力和小球受到的重力等大反向，
保持不变，由图可以看出，将轻质细线由水平状态缓慢转至竖直状态的过程中，细线上的
拉力先减小后增大，弹簧的弹力一直减小，由胡克定律可知，弹簧的长度逐渐变短，A、
C、D 错误，B 正确．
7.如图所示，轻杆A 端用铰链固定在竖直墙上，B 端吊一重物．通过轻绳跨过定滑轮O 用
拉力F 将B 端缓慢上拉，滑轮O 在A 点正上方(滑轮大小及摩擦均不计)，且OA＞AB，在轻
杆达到竖直位置前( )
A．拉力F 增大
B．拉力F 大小不变
C．轻杆的弹力增大
D．轻杆的弹力大小不变
答案 D
解析 以B 端为研究对象，受力分析：受重物的拉力FT(等于重物所受的重力G)、轻杆的
弹力FN和轻绳的拉力F，作出受力分析图如图所示．由平衡条件知，FN和F 的合力与FT
大小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又FT′＝FT＝G，解得FN＝G，F＝G；
拉力F 将B 端缓慢上拉，∠BAO 缓慢减小，AB、AO 保持不变，BO 减小，则轻杆弹力大小
保持不变，拉力F 减小，故D 正确，A、B、C 错误．
8
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8.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB 固定在竖直平面内，A 端与水平面相切．穿在轨
道上的小球在拉力F 作用下，缓慢地由A 向B 运动，F 始终沿轨道的切线方向，轨道对球
的弹力为FN.在运动过程中( )
A．F 增大，FN增大
B．F 减小，FN减小
C．F 增大，FN减小
D．F 减小，FN增大
答案 C
解析 对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示：
根据共点力平衡条件有：FN＝mgcos θ，F＝mgsin θ，其中θ 为支持力FN与竖直方向的夹
角，当小球向上移动时，θ 变大，故FN减小，F 增大，故选C.
9.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N 两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套
有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N
两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是( )
A．F1和F2都变大
B．F1变大，F2变小
C．F1和F2都变小
D．F1变小，F2变大
答案 C
解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等．木棒绕其左端逆时针缓慢
转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于小金属环的重力，保
9
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持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C 正确，A、B、D 错误．
10.如图所示，一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A 运动到B 的过
程中( )
A．树枝对小鸟的合力先减小后增大
B．树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大
C．树枝对小鸟的弹力先减小后增大
D．树枝对小鸟的弹力保持不变
答案 B
解析 树枝对小鸟的合力是弹力和摩擦力的合力，由二力平衡得，合力与小鸟所受的重力
等大反向，因小鸟所受重力不变，所以树枝对小鸟的合力不变，A 项错误．对小鸟进行受
力分析如图所示，则树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大，对小鸟的弹力先增大后减小，B
项正确，C、D 项错误．
11.(多选)如图所示，质量均为m 的小球A、B 用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B 球用长为L
的细绳悬挂于O 点，A 球固定在O 点正下方，当小球B 平衡时，细绳所受的拉力为FT1，弹
簧的弹力为F1；现把A、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2＞k1)的另一轻弹簧，
在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.则
下列关于FT1与FT2、F1与F2大小的比较，正确的是( )
A．FT1＞FT2
B．FT1＝FT2
C．F1＜F2
D．F1＝F2
答案 BC
解析 以B 为研究对象，分析受力情况，如图所示．由平衡条件可知，弹簧的弹力F 和细
绳的拉力FT的合力F 合与其重力mg 大小相等、方向相反，即F 合＝mg，由力的三角形和几
何三角形相似得＝＝.当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB 的长度增加，而
OB、OA 的长度不变，故FT1＝FT2，F2>F1，故A、D 错误，B、C 正确．
10
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12.如图所示，竖直墙面AO 光滑，水平地面OB 粗糙．另有一根轻杆两端各固定有可视为
质点的小球P 和Q，当轻杆与水平方向的夹角为θ 时，P、Q 处于静止状态．若使夹角θ 增
大些，P、Q 仍能静止，则下列说法正确的是( )
A．轻杆对小球P 的弹力增大
B．竖直墙面AO 对小球P 的弹力增大
C．水平地面OB 对小球Q 的摩擦力减小
D．水平地面OB 对小球Q 的支持力增大
答案 C
解析 对P、Q 受力分析如图，对P，有FNP＝，F＝，当θ 增大时，轻杆对P 的弹力F 减
小，竖直墙面AO 对P 的弹力FNP减小，故A、B 错误；对Q，有F′cos θ＝Ff，F′＝F，
F 减小，θ 增大，cos θ 减小，则小球Q 受到的摩擦力Ff减小，故C 正确；对P、Q 整体受
力分析，水平地面对整体的支持力FN＝FNQ＝GP＋GQ，大小不变，故D 错误．
13.如图所示，质量分别为3m 和m 的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并
通过另一细线将小球a 与天花板上的O 点相连，为使小球a 和小球b 均处于静止状态，且
Oa 细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b 朝某一方向施加一拉力F.若已知
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g，则当F 的大小达到最小时，Oa 细线对小球a
的拉力大小为( )
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A．2.4mg
B．3mg
C．3.2mg
D．4mg
答案 C
解析 以两个小球组成的整体为研究对象，作出F 在三个方向时整体的受力图．根据平衡
条件得知F 与FT的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可以知道当F
与绳子Oa 垂直时F 有最小值，即图中2 位置，此时Oa 细线对小球a 的拉力大小为FT＝
4mgcos 37°＝3.2mg，故C 正确，A、B、D 错误．
14.(2021·湖南卷·5)质量为M 的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，
A 为半圆的最低点，B 为半圆水平直径的端点．凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m
的小滑块．用推力F 推动小滑块由A 点向B 点缓慢移动，力F 的方向始终沿圆弧的切线方
向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是( )
A．推力F 先增大后减小
B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C．墙面对凹槽的压力先增大后减小
D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
答案 C
解析 对滑块受力分析，由平衡条件有F＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，θ 为F 与水平方向的夹
角，
滑块从A 缓慢移动到B 点时，θ 越来越大，则推力F 越来越大，支持力FN越来越小，所以
A、B 错误；对凹槽与滑块整体受力分析，墙面对凹槽的压力为FN′＝Fcos θ＝mgsin θcos
θ＝mgsin 2θ，则θ 越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C 正确；水平地面
对凹槽的支持力为FN 地＝(M＋m)g－Fsin θ＝(M＋m)g－mgsin2θ，则θ 越来越大时，水平地
面对凹槽的支持力越来越小，所以D 错误．
15．(多选)如图所示，某工厂将圆柱形工件a 放在倾角为θ 的斜面上，为防止工件滚动，在
其下方垫一段半径与a 相同的半圆柱体b.若逐渐减小斜面倾角，a、b 始终处于静止状态，
12
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不计a 与接触面的摩擦，b 的质量很小．则( )
A．斜面对a 的弹力变大
B．斜面对a 的弹力先变大后变小
C．b 对a 的弹力逐渐变小
D．b 对a 的弹力不变
答案 AC
解析 对a 进行受力分析，如图甲所示
根据平衡，斜面对a 的弹力F1、b 对a 弹力F2的合力与a 的重力等大反向，则在斜面倾角
逐渐减小过程中，斜面对a 的弹力F1 和b 对a 的弹力F2 的变化过程如乙图所示分析可得，
斜面对a 的弹力F1变大，b 对a 的弹力F2逐渐变小．故选A、C.
13
