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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题60 带电粒子在组合场中的运动
导练目标
导练内容
目标1
常见的两类组合场问题
目标2
带电粒子在交变电磁场中的运动
【知识导学与典例导练】
一、基础必备知识
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。
2．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1 步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。
第2 步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3 步中表图所示。
第3 步：用规律
3．“电偏转”与“磁偏转”的比较
垂直电场线进入
匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入
匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，
与速度v 无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v
而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法
利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，
半径：r＝
1
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x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2
偏转角φ 满足：tan φ＝＝
周期：T＝
偏移距离y 和偏转角φ 要结合圆的几何关系
利用圆周运动规律讨论求解
运动时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
二、常见的两类组合场问题
1.先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或
运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识
求粒子进入磁场时的速度。
【例1】如图所示，第I 象限存在垂直于平面向外的磁感应强度为B 的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y 轴正方
向的匀强电场，已知P 点坐标为
。一个质量为m，电荷量为q 的带电粒子以
的速度从P 点沿x
轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入匀强磁场中，不计粒子的重力，以下说法正确的是（ ）
2
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A．电场强度
B．带电粒子到达O 点时的速度大小
C．粒子射出磁场位置到O 点的距离
D．在磁场中带电粒子运动的时间
【答案】CD
【详解】粒子运动轨迹如图
A．由题知，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，根据类平抛运动规律知，沿x 轴方向有
沿y 轴方向有
解得
，A 错误；
B．沿y 轴方向有
解得
则到达O 点时速度大小为
，B 错误；
C．经分析知
则
由洛伦兹力提供向心力有
解得
由几何关系，粒
子运动的轨迹与x 轴的交点到O 点的距离
，C 正确；
3
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D．带电粒子在匀强磁场中运动的周期
在磁场中运动的时间为
，D 正确。
故选CD。
2.先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用
动能定理或运动学公式列式。
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知
识分析。
【例2】如图所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内，有场强大小为E、方向沿x 轴正方向的匀强电场，第
二象限内有一半径为L0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于xOy 平面向里，圆形
磁场边缘与x 轴相切于P 点，P 点坐标为（-2L0，0）。现有两个电子a、b 从P 点以相同速率
沿不同方向
同时射入匀强磁场区域，a、b 的速度方向与y 轴正方向夹角均为
。电子b 经过y 轴上的Q 点进入第一
象限（Q 点图中没画出），已知两个电子恰好都经过圆形磁场边缘的同一点K（K 点图中未画出），电子
质量m、电荷量为e，
，不计重力，则（ ）
4
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A．电子a、b 进入第一象限前在磁场中运动的时间差是
B．电子在电场中运动离y 轴最远距离为
C．Q 点的坐标为
D．电子a、b 同时到达K 点
【答案】BD
【详解】A．在磁场中，根据
解得
两个电子恰好都经过圆形磁场边缘的同一点K，电子离
开磁场进入电场到再次返回磁场的运动过程， a、b 两电子都平行x 轴，如图所示
所以a、b 两个电子的偏转角分别是
；
电子在磁场中的运动的周期为
则电子a、b
进入第一象限前在磁场中运动的时间差是
，A 错误；
B．在电场中，电子速度向右减速到零，则离y 轴最远，根据动能定理
解得
，
B 正确；
C．根据几何关系，Q 点的纵坐标
所以电子b 经过y 轴上的Q 点坐标为
5
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，C 错误；
D．两个电子恰好都经过圆形磁场边缘的同一点K，电子离开磁场进入电场到再次返回磁场的运动过程，
如图所示
根据对称性可知K 点的坐标为（-2L0，2L0），且根据对称性可得a、b 在电场运动时间相同，在磁场运动
时间也相同，在无场区域运动时间相同，所以a、b 同时到达K 点，D 正确。 故选BD。
三、带电粒子在交变电磁场中的运动
（1）交变场的常见类型
①电场周期性变化，磁场不变。
②磁场周期性变化，电场不变。
③电场、磁场均周期性变化。
（2）分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
【例3】如图甲所示，在坐标系xOy 中，y 轴左侧有沿x 轴正方向的匀强电场，场强大小为E；y 轴右侧有
如图乙所示的大小和方向周期性变化的磁场，磁感应强度大小B0已知。磁场方向垂直纸面向里为正。t=0
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时刻，从x 轴上的P 点无初速度释放一带正电的粒子，粒子的质量为m，电荷量为q(粒子重力不计)，粒子
第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等。求：
（1）P 点到O 点的距离；
（2）粒子经一个周期(
)沿y 轴发生的位移。
【答案】（1）
，（2）
。
【详解】(1)设粒子第一次在电场中做匀加速运动的时间为t0，则：t0=
；Eq=ma 设O、P 间距离为x：x=
a
解得：x=
；
(2)如图所示：
根据洛伦兹力提供向心力：
设粒子在磁场中做圆周运动的半径分别为R1和R2，可知：R1=
；
R2=
又由动能定理得：Eqx=
m
粒子每经一个周期沿y 轴向下移动Δx：Δx=2R2－2R1=
。
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【综合提升专练】
1．如图所示，距离为L 的竖直虚线P 与Q 之间分布着竖直向下的匀强电场，A 为虚线P 上一点，C 为虚线
Q 上一点，水平虚线CD 与CF 之间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，虚线CF 与
虚线Q 之间的夹角
，质量为m、电荷量为q 的粒子从A 点以水平初速度
射出，恰好从C 点射入磁
场，速度与水平方向的夹角也为
，粒子重力可忽略不计。求：
（1）粒子带何种电荷？电场强度大小；
（2）粒子在磁场中运动的轨迹半径；
（3）粒子在磁场中运动的时间。
【答案】（1）正电，
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，电场力向下，与电场方向相同，则粒子带正电；设
带电粒子在匀强电场中运动时间为
，则有
；
由牛顿第二定律得
联立解得电场
强度大小为
（2）带电粒子进入磁场的速度大小为
带电粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
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（3）根据几何关系可得，带电粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
则粒子在磁场中运动的
时间为
联立解得
2．如图所示，直角坐标系xOy 中，x 轴上方存在竖直向下的匀强电场，x 轴下方存在垂直纸面向外的匀强
磁场。一带正电粒子从
轴上的P 点，以初速度
与y 轴正方向成
角射入第一象限，经x 轴后恰好
能通过坐标原点O。已知粒子经过x 轴时与其正方向也成
角，且
，不计粒子重力，
，
。
（1）求匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度大小之比；
（2）若仅改变匀强磁场的磁感应强度大小，使粒子从
轴上的P 点以同样方式射出后，进出磁场一次后
又恰好能回到P 点，求改变后的磁感应强度与改变前的磁感应强度大小之比。
【答案】（1）
；（2）
或
【详解】（1）设粒子质量为m、电荷量为q，电场强度为E，经过x 轴时的速度为v，磁感应强度为B。粒
子在电场中做斜上抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图
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在电场中，根据抛体运动规律
根据动量定理
根据动能定理
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
根据几何关系
联立解得
；
可得
（2）设改变后的磁感应强度为
，粒子运动轨迹如图所示
在第一象限
在第三四象限
在第二象限，根据运动学公式
；
根据牛顿第二定律
根据几何关系
联立解得
或
则
或
3．如图，水平虚线MN 上方一半径为R 的半圆区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，半圆磁场的圆心O
在MN 上，虚线下方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q 的带正电的粒
子从O 点以大小为v0的初速度垂直MN 平行纸面射入磁场，以最大半径从OM 穿出磁场，不计粒子的重力。
（1）求磁感应强度的大小；
（2）若粒子射入磁场的速度
与ON 的夹角
，粒子在磁场中运动后进入电场，一段时间后又从P
点进入磁场，且
，求电场强度大小；
（3）在（2）中，粒子在电场和磁场中运动的总时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）以最大半径穿出磁场，则有
根据牛顿第二定律有
解得
（2）根据题意，由粒子在电场中运动时轨迹的对称性，设粒子射出磁场的位置为Q，做出粒子运动轨迹如
图所示
由几何关系有
粒子从P 点进入磁场，粒子在电场中做类斜上抛运动，根据对称
性可知
，
又有
解得
（3）粒子从P 点进入磁场后，根据对称性可知，粒子的运动轨迹仍刚好与磁场边界相切，并从O 点射出
磁场，则粒子在磁场中运动的时间
粒子在电场中运动的时间
因此粒子在电场、磁场中运动的总时间
4．电子对湮灭是指负电子（-1
0e）和正电子（1
0e）碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电
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子发射计算机断层扫描（PET）及正电子湮灭谱学（PAS）的物理基础。如图所示，在平面直角坐标系xOy
上，P 点在x 轴上，且
，Q 点在负y 轴上某处。在第Ⅰ象限内有平行于y 轴的匀强电场，在第Ⅱ象
限内有一圆形区域，与x、y 轴分别相切于A、C 两点，
，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中
未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面向里。一束速度
大小为v0的电子束从A 点沿y 轴正方向射入磁场，经C 点沿x 轴正向射入电场，最后从P 点射出；另一束
速度大小为
的正电子束从Q 点沿与y 轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形磁场区
域，离开磁场时正好到达P 点，且恰好与从P 点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向
相反。已知正、负电子质量均为m、电量均为e，电子的重力不计。求：
（1）负电子（-1
0e）和正电子（1
0e）碰撞后湮灭后可以产生一对光子γ，写出方程式
（2）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B 的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E 的大小；
（3）电子从A 点运动到P 点所用的时间；
（4）Q 点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积S。
【答案】（1） -1
0e + 1
0e → 2γ；（2）
，
；（3）
；（4）－4L，πL2
【详解】（1）根据题意可得负电子（-1
0e）和正电子（1
0e）碰撞后湮灭后产生一对光子γ 的方程式为
（2）运动图象如图所示
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根据洛伦兹力提供向心力
由题意可得：电子在磁场中运动的半径
得
电子在电场中做类平抛运动，水平方向
竖直方向
根据牛顿第二定律
联立可得
（3）在电场中运动时间
在磁场中运动的周期
电子在磁场中运动了四分之一圆周
故从A 到P 的时间
（4）正电子在磁场中运动的半径
故Q 点的纵坐标
磁场圆的直径
故磁场圆的面积
5．如图所示，在空间直角坐标系中，速度选择器的上、下极板均平行于
平面，两极板间距离为d，上
极板带正电，下极板带负电，形成的电场为匀强电场；两极板间还有沿轴负方向的匀强磁场（图中未画
出），磁感应强度大小为B。将速度选择器两极板右端与
平面之间的区域记为区域I，区域I 沿x 方向
的宽度为L；
平面与垂直于x 轴的足够大的光屏之间的区域记为区域Ⅱ，光屏与x 轴交点的x 坐标为
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。在区域I 内存在沿y 轴方向的匀强电场（图中未画出）；在区域Ⅱ内存在沿x 轴正方向的匀强磁
场，磁感应强度大小也为B。在速度选择器左侧x 轴上有一粒子源，粒子源发出所有粒子的质量均为m，
带电量均为
，只有初速度大小为
的粒子才能沿着x 轴通过速度选择器进入区域I，其他粒子都不能进
入区域I，所有粒子经过
平面时的坐标都为
，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，忽略上、
下极板的边缘效应。求：
（1）速度选择器两极板间的电势差大小。
（2）区域I 中匀强电场的电场强度大小。
（3）粒子在区域Ⅱ内运动的时间。
（4）粒子击中光屏时的位置坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）进入区域I 的粒子在速度选择器中受力平衡，有
又
联立解得，速度选择
器两极板间的电势差大小
（2）粒子在区域I 中的运动过程，平行于
轴方向有
平行于
轴方向有
又
联立解
得，区域I 中匀强电场的电场强度大小
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（3）粒子在区域Ⅱ中沿x 轴方向以速度
做匀速直线运动，有
解得
（4）粒子在区域I 中的运动过程，平行于
轴方向有
联立解得
粒子在区域Ⅱ中垂直于
轴的方向做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
粒子做圆周运动的周期
联立解得
由题意可知，粒子在区域Ⅱ中垂直于x 轴方向运动
个周期，则粒子击中光屏时的y 坐
标
粒子击中光屏时的坐标
联立解得粒子击中光屏时的坐标为
6．如图所示，Oxyz 为空间直角坐标系，在x<0 的空间I 内存在沿z 轴正方向的匀强磁场B1。在0<x＜d 的空
间II 内存在沿y 轴正方向的匀强电场E，在x>d 的空间III 存在磁感应强度大小
、方向沿x 轴正方
向的匀强磁场。现将一带负电的粒子从x 轴上的A（
，0，0）点以初速度v0射入空间I 的磁场区域，
经磁场偏转后从y 轴上的C（0，d，0）点垂直y 轴进入空间II，并从x 轴上的D（d，0，0）点进入空间
III。已知粒子的电荷量大小为q，质量为m，不计重力。求：
（1）空间I 内磁场的磁感应强度大小B1和空间II 内电场的电场强度大小E；
（2）粒子运动过程中，距离x 轴的最大距离；
（3）粒子进入空间III 后，每次经过x 轴时的横坐标。
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子在空间I 的磁场中的轨迹半径为
，由几何关系可得
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
粒子在空间II 做类平抛运动，沿y 轴方向的加速度大
小
沿x 轴方向运动有
沿y 轴方向运动有
解得
（2）根据类平抛运动规律可知，粒子速度偏向角正切值为
粒子经过D 点时，沿
轴负方
向的分速度大小为
沿x 轴正方向的分速度大小为
粒子在空间III 内垂直于磁场的分速度
使粒子在
平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
粒子做圆周运
动距x 轴的最大距离为
（3）粒子在空间III 内做圆周运动的周期为
粒子在空间III 内沿x 轴方向做匀速直线运动，
粒子在一个周期内沿x 轴正方向运动的距离
所以粒子在空间III 中每次经过x 轴时的横坐标为
7．如图甲所示，在y 轴左侧有一半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁场边界与y 轴相切于O 点，在竖直平面
内存在着方向竖直向上的周期性变化的电场，电场强度随时间变化的规律如图乙所示，电场强度的最小值
为E0，最大值为3E0，在y 轴右侧
处放置竖直方向的挡板，在0~6t0时间内的某时刻一带电粒子
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由A 点（-2R，0）射入磁场，经一段时间后带电粒子由B 点（图中未画出）离开磁场且又刚好在B 点以离
开时的速率返回磁场，最终在22t0时粒子垂直击中挡板，击中点与x 轴的距离
。已知粒子在磁场中
做圆周运动，所受重力不能忽略，求：
（1）粒子的初速度大小；
（2）带电粒子运动的总时间；
（3）圆形磁场区域中磁感应强度的大小。
【答案】（1）
；（2）18t0；（3）
【详解】（1）由题意分析可知，粒子第一次从B 点射出磁场时，速度方向沿y 轴负方向，连接A、B 作AB
的垂直平分线，此垂直平分线过磁场圆的圆心O1和粒子轨迹圆的圆心Q1，根据几何关系可知粒子在磁场
中做匀速圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场的半径，由分析可知，粒子必从O 点第二次射出磁场，作出粒
子的运动轨迹，如图所示
由题意知，粒子在6t0~14t0的时间内在B 点正下方做竖直方向的匀变速直线运动，初、末速度等大反向，
由运动学公式可得
设粒子在第四象限中向右下做匀速直线运动的时间为t3，速度方向与水平
方向的夹角为θ，在20t0~22t0时间内，水平方向做匀速运动，竖直方向做匀减速运动至速度为零，由运动
学公式可得
；
；
联立解得
，
，
17
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（2）粒子在磁场中运动的第一段时间为
粒子在磁场中运动的第二段时间为
粒子在第三象限中做匀速直线运动的时间为
所以粒子运动的总时间为
（3）设带电粒子的电荷量为q，质量为m，由题意可知，粒子做匀速圆周运动时电场力等于重力，由受力
分析可得
粒子在6t0~14t0的时间内做匀变速直线运动时，由牛顿第二定律可得
粒子做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律可得
联立解得
8．如图甲所示，在y 轴左侧存在沿x 轴正方向的匀强电场，在y 轴右侧的矩形虚线空间存在垂直于纸面的
周期性的磁场，磁感应强度大小为
，磁场上边界在
处，下边界在
处，右边界在
处，
磁场的变化规律如图乙所示，规定垂直纸面向里的方向为磁场的正方向。
时刻，一质量为m、电荷量
为q 的带正电粒子从位置坐标为
的A 点以速度v 沿y 轴负方向射入磁场，若粒子恰能垂直打到放置
在下边界处的水平挡板上的B 点（图中B 点未标出），并经碰撞后原速率反弹（不计碰撞时间和电荷量的
变化），最终粒子会从A 点垂直上边界向上射出，离开磁场区域。不计粒子重力，不考虑变化的磁场所产
生的电场。求：
（1）带电粒子在磁场中的运动半径与运动周期；
（2）若使粒子从A 点运动到B 点的时间最短，问图乙中
的最小值；
（3）
取第（2）问的数值，使带电粒子从与B 点碰后运动到A 点的时间最短，则此条件下所加的电场强
度E 的大小。
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子从A 点以速度v 沿y 轴负方向射入磁场，在
时间内，磁感应强度等于零，粒子做
匀速直线运动，粒子的位移为
可知粒子垂直经x 轴到下方磁场中，粒子在磁场中做匀速
圆周运动，设运动半径为R，由洛伦兹力提供向心力，则有
；
粒子的运动周期为
（2）由左手定则可知，粒子在磁场中向右偏转，转动一个周期后又在x 轴上
点处射入x 轴下方的磁
场，若此时磁场的磁感应强度等于零，则有粒子做匀速直线运动垂直打在下边界处的水平挡板上的B 点。
因此要使粒子从A 点运动到B 点的时间最小，则粒子在磁场中转动一个周期
则
最小值是
（3）以上计算可知，带电粒子从与B 点磁后返回，在磁场中向左偏转，先做
的圆周运动，粒子垂直y 轴
射入电场，在电场中的加速度大小为
加速度方向与粒子运动方向相反，做匀减速直线运动，经
时间返回，又以原速度大小垂直y 轴射入磁场
带电粒子从与B 点碰后运动到A 点
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有最短时间，即粒子在一个周期内在x 轴下方磁场和电场中运动，然后在x 轴上方做匀速直线运动，直到
再次从A 点垂直上边界射出磁场。由此可知，粒子在电场中运动时间等于
时，所用时间最短，则有
解得
20
