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13 电磁感应
[-考点-04-] 动生电动势
1．导体平动切割磁感线产生感应电动势的算式E＝Blv 的理解
(1)直接使用E＝Blv 的条件是：在匀强磁场中，B、l、v 三者互相垂直．如果不相互垂直，
应取垂直分量进行计算．
(2)有效长度
公式E＝Blv 中的l 为导体两端点连线在垂直于速度方向上的投影长度．如图，导体的有效
长度分别为：
图甲：l＝sin β.
图乙：沿v 方向运动时，l＝.
图丙：沿v1方向运动时，l＝R；沿v2方向运动时，l＝R.
(3)相对速度
E＝Blv 中的速度v 是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系．
2．导体转动切割磁感线
如图，当长为l 的导体在垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)的平面内，绕一端以角速度ω 匀
速转动，当导体运动Δt 时间后，转过的弧度θ＝ωΔt，扫过的面积ΔS＝l2ωΔt，则E＝＝＝
Bl2ω(或E＝Bl＝Bl＝Bl＝Bl2ω)．
典例1 (有效长度问题)(多选)如图，光滑水平面上两虚线之间区域内存在垂直于纸面向里的
范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B.边长为a 的正方形导线框PQMN 沿图示速度
方向进入磁场，当对角线PM 刚进入磁场时线框的速度大小为v，方向与磁场边界成45°
角，若线框的总电阻为R，则( )
A．PM 刚进入磁场时线框中的感应电流大小为
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B．PM 刚进入磁场时线框所受安培力大小为
C．PM 刚进入磁场时两端的电压为
D．PM 进入磁场后线框中的感应电流逐渐变小
答案 AD
解析 PM 刚进入磁场时有效的切割长度等于a，产生的感应电动势为E＝Bav，感应电流
为I＝＝，方向沿逆时针，故A 正确；NM 边所受的安培力大小为F1＝BIa＝，方向垂直
NM 斜向下，PN 边所受的安培力大小为F2＝BIa＝，方向垂直PN 斜向下，线框所受安培力
大小F＝＝，故B 错误；PM 两端的电压为U＝I·＝，故C 错误；PM 进入磁场后，有效切
割长度逐渐减小，感应电动势逐渐减小，感应电流逐渐减小，故D 正确．
典例2 (平动切割磁感线)(多选)如图所示，三角形金属导轨EOF 上放有一金属杆AB，在外
力作用下，使AB 保持与OF 垂直，从O 点开始以速度v 匀速右移，该导轨与金属杆均由粗
细相同的同种金属制成，则下列判断正确的是( )
A．电路中的感应电流大小不变
B．电路中的感应电动势大小不变
C．电路中的感应电动势逐渐增大
D．电路中的感应电流逐渐减小
答案 AC
解析 设金属杆从O 点开始运动到题图所示位置所经历的时间为t，∠EOF＝θ，金属杆切
割磁感线的有效长度为L，故E＝BLv＝Bv·vttan θ＝Bv2·ttan θ，即电路中感应电动势的大
小与时间成正比，故B 错误，C 正确；电路中感应电流I＝＝，而l 为闭合三角形的周长，
即l＝vt＋vt·tan θ＋＝vt，所以I＝是恒量，故A 正确，D 错误．
典例3 (转动切割磁感线)如图所示，在半径为R 的圆形区域内存在垂直于平面向里的匀强
磁场，磁感应强度为B，圆外无磁场．一根长为2R 的导体杆ab 水平放置，a 端处在圆形磁
场的下边界，现使杆绕a 端以角速度ω 逆时针匀速旋转180°，在旋转过程中( )
A．b 端的电势始终高于a 端
B．ab 杆的电动势最大值E＝BR2ω
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C．全过程中，ab 杆平均电动势＝BR2ω
D．当杆旋转θ＝120°时，ab 间电势差Uab＝BR2ω
答案 C
解析 根据右手定则，a 端相当于电源正极，b 端为负极，a 端电势高于b 端电势，故A 错
误；当导体杆ab 和直径重合时，切割磁感线的有效长度l＝2R，此时产生的感应电动势最
大，ab 杆切割磁感线产生的感应电动势为E＝Bl2ω＝2BR2ω，故B 错误；根据法拉第电磁
感应定律可知，全过程中，ab 杆平均电动势为＝＝BR2ω，故C 正确；当θ＝120°时，ab 杆
切割磁感线的有效长度l′＝R，ab 杆切割磁感线产生的感应电动势为E′＝Bl′
2ω＝
BR2ω，故D 错误．
1.(2021·安徽怀宁二中月考)如图所示，abc 为一金属导体，ab＝bc＝l，置于均匀磁场B 中，
当导体以速度v 向右运动时，ac 上产生的感应电动势为( )
A.Blv
B.Blv
C.Blv
D.Blv＋Blv
答案 B
解析 ab 边不切割磁感线，bc 边在竖直方向的分量可视为切割磁场的有效长度，即根据感
应电动势公式E＝Blvsin 60°＝Blv，故A、C、D 错误，B 正确.
2.如图所示，平行导轨间距为d，其左端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向
垂直于平行金属导轨所在平面向上．一根金属棒与导轨成θ 角放置，金属棒与导轨的电阻
均不计．当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v 在导轨上滑行时，通过电阻R 的电流
大小是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 金属棒MN 垂直于磁场放置，运动速度v 与棒垂直，且v⊥B，即已构成两两相互垂
直的关系，MN 接入导轨间的有效长度为L＝，所以E＝BLv＝，I＝＝，故选项D 正确．
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3.(2023·上海市模拟)如图所示，由均匀导线制成的半径为R 的圆环，以速度v 匀速进入一
磁感应强度大小为B 的匀强磁场．当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b 两点的电
势差Uab为( )
A.BRv
B.BRv
C．－BRv
D．－BRv
答案 D
解析 有效切割长度即a、b 连线的长度，如图所示
由几何关系知有效切割长度为R，所以产生的电动势为E＝BLv＝B·Rv，电流的方向为
a→b，所以Uab<0，由于在磁场部分的阻值为整个圆的，所以Uab＝－B·Rv＝－BRv，故选
D.
4.如图所示，PQRS 为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN 为边界的匀强磁场中，
磁场方向垂直线框平面向里，MN 与水平方向成45°角，E、F 分别为PS 和PQ 的中点．则(
)
A．当E 点经过边界MN 时，感应电流最大
B．当P 点经过边界MN 时，感应电流最大
C．当F 点经过边界MN 时，感应电流最大
D．当Q 点经过边界MN 时，感应电流最大
答案 B
解析 当P 点经过边界MN 时，有效切割长度最长，感应电动势最大，所以感应电流最大，
故B 正确．
5.如图所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v 沿与
棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成长度相
等且相互垂直的两段，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角角平分
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线的方向以速度v 运动时，棒两端的感应电动势大小为E′.则等于( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，E＝BLv；折弯后，金属棒切割磁感线的有
效长度为l＝＝L，故产生的感应电动势为E′＝Blv＝B·Lv＝E，所以＝，故B 正确．
6.如图所示，导线OA 长为l，在方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中以角速度ω
沿图中所示方向绕通过悬点O 的竖直轴旋转，导线OA 与竖直方向的夹角为θ.则OA 导线中
的感应电动势大小和O、A 两点电势高低的情况分别是( )
A．Bl2ω O 点电势高
B．Bl2ω A 点电势高
C．Bl2ωsin2θ O 点电势高
D．Bl2ωsin2 θ A 点电势高
答案 D
解析 导线OA 切割磁感线的有效长度等于OA 在垂直磁场方向上的投影长度，即l′＝l·sin
θ，产生的感应电动势E＝Bl′2ω＝Bl2ωsin2θ，由右手定则可知A 点电势高，所以D 正确．
7.(多选)在农村，背负式喷雾器是防治病虫害不可缺少的重要农具，其主要由压缩空气装置、
橡胶连接管、喷管和喷嘴等组成．给作物喷洒农药的情景如图甲所示，摆动喷管，可将药
液均匀喷洒在作物上．一款喷雾器的喷管和喷嘴均由金属制成，喷管摆动过程可简化为图
乙所示，设ab 为喷管，b 端有喷嘴，总长为L.某次摆动时，喷管恰好绕ba 延长线上的O
点以角速度ω 在纸面内沿逆时针方向匀速摆动，且始终处于垂直纸面向里的磁感应强度为
B 的匀强磁场中，若Oa 距离为，则喷管在本次摆动过程中( )
A．a 端电势高
B．b 端电势高
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C．a、b 两端的电势差为BL2ω
D．a、b 两端的电势差为BL2ω
答案 AD
解析 喷管绕ba 延长线上的O 点以角速度ω 在纸面内沿逆时针方向匀速摆动，根据右手
定则可知，若ab 中有感应电流，其方向应为由b 到a，因ab 相当于电源，故a 端的电势高，
故A 正确，B 错误；根据法拉第电磁感应定律可得，E＝BL，所以a、b 两端的电势差为
Uab＝BL＝BL2ω，故C 错误，D 正确．
8.(多选)如图所示是法拉第制作的世界上第一台发电机的模型原理图．把一个半径为r 的铜
盘放在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，使磁感线水平向右垂直穿过铜盘，铜盘安装在
水平的铜轴上．两块铜片C、D 分别与转动轴和铜盘的边缘接触．G 为灵敏电流计．现使
铜盘按照图示方向以角速度ω 匀速转动，则下列说法正确的是( )
A．C 点电势一定低于D 点电势
B．圆盘中产生的感应电动势大小为Bωr2
C．电流计中的电流方向为由a 到b
D．铜盘不转动，所加磁场磁感应强度均匀减小，则铜盘中产生顺时针方向的感应电流(从
左向右看)
答案 AD
解析 将铜盘看作无数条由中心指向边缘的铜棒组合而成，当铜盘转动时，每根铜棒都在
切割磁感线，相当于电源，由右手定则可知，铜盘边缘为电源正极，中心为负极，C 点电
势低于D 点电势，此电源对外电路供电，电流方向由b 经电流计再从a 流向铜盘，故A 正
确，C 错误；回路中产生的感应电动势E＝Br＝Br2ω，故B 错误；若铜盘不转动，使所加
磁场的磁感应强度均匀减小，则铜盘中产生顺时针方向的感应电流(从左向右看)，故D 正
确．
9.(多选)(2022·山东卷·12)如图所示，xOy 平面的第一、三象限内以坐标原点O 为圆心、半
径为L 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场．边长为L 的正方形金属框绕其始终
在O 点的顶点、在xOy 平面内以角速度ω 顺时针匀速转动，t＝0 时刻，金属框开始进入第
一象限．不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势E 随时间t 变化规律的描述正确的是(
)
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A．在t＝0 到t＝的过程中，E 一直增大
B．在t＝0 到t＝的过程中，E 先增大后减小
C．在t＝0 到t＝的过程中，E 的变化率一直增大
D．在t＝0 到t＝的过程中，E 的变化率一直减小
答案 BC
解析 在t＝0 到t＝的过程中，金属框的有效切割长度先变大再变小，当t＝时，有效切割
长度最大，为L，此时，感应电动势最大，所以在t＝0 到t＝的过程中，E 先增大后减小，
故B 正确，A 错误；在t＝0 到t＝的过程中，设转过的角度为θ，由几何关系可得θ＝ωt，
在t＝0 到t＝的过程中，切割磁感线的有效长度d＝，则感应电动势为E＝Bd2ω＝，可知在
t＝0 到t＝的过程中，E 的变化率一直增大，故C 正确，D 错误．
10.如图所示，直角三角形金属框abc 放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行
于ab 边向上．当金属框绕ab 边以角速度ω 逆时针转动(俯视)时，a、b、c 三点的电势分别
为φa、φb、φc.已知bc 边的长度为l.下列判断正确的是( )
A．φa＞φc，金属框中无电流
B．φb＞φc，金属框中电流方向沿abca
C．Ubc＝－Bl2ω，金属框中无电流
D．Uac＝Bl2ω，金属框中电流方向沿acba
答案 C
解析 金属框abc 平面与磁场方向平行，转动过程中磁通量始终为零，所以无感应电流产
生，故B、D 错误；转动过程中bc 边和ac 边均切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则
判断φa<φc，φb<φc，故A 错误；由＝BL 得，Ubc＝－Bl2ω，故C 正确．
11.(多选)(2021·山东潍坊期末)如图所示，等边三角形导体框abc 边长为l，bd⊥ac，导线框
绕轴bd 以角速度ω 匀速转动，导体框所在空间有竖直向上磁感应强度为B 的匀强磁场.下
列说法正确的是( )
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A.导体框中无感应电流
B.导体框中产生正弦交变电流
C.a、d 两点间电势差为0
D.a、d 两点间电势差大小为Bl2ω
答案 AD
解析 导体框绕bd 转动过程中，穿过线圈的磁通量总是零，故无感应电流产生，A 正确，
B 错误；a、d 两点间电势差大小为Uad＝Bω＝Bωl2，C 错误，D 正确.
12.如图所示，半径为r 的金属圆盘在垂直于盘面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场中，绕
O 轴以角速度ω 沿逆时针方向匀速运动，则通过电阻R 的电流的方向和大小是(金属圆盘的
电阻不计)( )
A．由c 到d，I＝
B．由d 到c，I＝
C．由c 到d，I＝
D．由d 到c，I＝
答案 D
解析 由右手定则，圆盘相当于电源，其电流方向为从边缘指向圆心，所以通过电阻R 的
电流的方向是由d 到c；而金属圆盘产生的感应电动势E＝Br2ω，由I＝知通过电阻R 的电
流大小是I＝，D 正确．
13.如图甲所示，两根足够长的水平放置的平行的光滑金属导轨，导轨电阻不计，间距为
L，导轨间电阻为R.PQ 右侧区域处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B；
PQ 左侧区域两导轨间有一面积为S 的圆形磁场区，该区域内磁感应强度随时间变化的图象
如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向，图象中B0和t0都为已知量.一根电阻为r、质量为
m 的导体棒置于导轨上，0～t0时间内导体棒在水平外力作用下处于静止状态，t0时刻立即
撤掉外力，同时给导体棒瞬时冲量，此后导体棒向右做匀速直线运动，且始终与导轨保持
良好接触.求：
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(1)0～t0时间内导体棒ab 所受水平外力的大小及方向；
(2)t0时刻给导体棒的瞬时冲量的大小.
答案 (1) 水平向左 (2)
解析 (1)由法拉第电磁感应定律得
E1＝＝＝
所以此时回路中的电流为
I＝＝
根据右手螺旋定则知电流方向为a 到b
因为导体棒在水平外力作用下处于静止状态，故外力等于此时的安培力，
即F＝F 安＝BIL＝
由左手定则知安培力方向向右，故水平外力方向向左.
(2)导体棒做匀速直线运动，切割磁感线产生电动势为E2＝BLv
由题意知E1＝E2
所以联立解得v＝
所以根据动量定理知t0时刻给导体棒的瞬时冲量的大小为I＝mv－0＝.
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