文档内容
训练二十三 电磁感应中的电路及图像问题
题型一 电磁感应中的电路问题
知识梳理
1．电磁感应中的电源
(1)做切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．
电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻．
(2)用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极．
2．分析电磁感应电路问题的基本思路
3．电磁感应中电路知识的关系图
考向1 感生电动势的电路问题
例1 如图所示，单匝正方形线圈A边长为0.2 m，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，磁感
应强度随时间变化的规律为B＝(0.8－0.2t) T．开始时开关S未闭合，R＝4 Ω，R＝6 Ω，C＝20 μF，
1 2
线圈及导线电阻不计．闭合开关S，待电路中的电流稳定后．求：
(1)回路中感应电动势的大小；
(2)电容器所带的电荷量．
答案 (1)4×10－3 V (2)4.8×10－8 C
解析 (1)由法拉第电磁感应定律有E＝S，
S＝L2，
代入数据得E＝4×10－3 V
(2)由闭合电路的欧姆定律得I＝，
由部分电路的欧姆定律得U＝IR，
2
电容器所带电荷量为Q＝CU＝4.8×10－8 C.
考向2 动生电动势的电路问题例2 (多选)如图所示，光滑的金属框CDEF水平放置，宽为L，在E、F间连接一阻值为R的定值电阻，
在C、D间连接一滑动变阻器R(0≤R≤2R)．框内存在着竖直向下的匀强磁场．一长为L、电阻为R的导体
1 1
棒AB在外力作用下以速度v匀速向右运动．金属框电阻不计，导体棒与金属框接触良好且始终垂直，下列
说法正确的是( )
A．ABFE回路的电流方向为逆时针，ABCD回路的电流方向为顺时针
B．左右两个闭合区域的磁通量都在变化且变化率相同，故电路中的感应电动势大小为2BLv
C．当滑动变阻器接入电路中的阻值R＝R时，导体棒两端的电压为BLv
1
D．当滑动变阻器接入电路中的阻值R＝时，滑动变阻器的电功率为
1
答案 AD
解析 根据楞次定律可知，ABFE回路电流方向为逆时针，ABCD回路电流方向为顺时针，故A正确；根据法
拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝BLv，故B错误；当R＝R时，外电路总电阻R ＝，因此导体棒两
1 外
端的电压即路端电压应等于BLv，故C错误；该电路电动势E＝BLv，电源内阻为R，当滑动变阻器接入电
路中的阻值R＝时，干路电流为I＝，滑动变阻器所在支路电流为I，容易求得滑动变阻器电功率为，故D
1
正确．
变式训练1 (多选)一种带有闪烁灯的自行车后轮结构如图所示，车轮与轮轴之间均匀地连接4根金属
条，每根金属条中间都串接一个小灯，每个小灯阻值恒为R＝0.3 Ω，金属条与车轮金属边框构成闭合回
路，车轮半径r＝0.4 m，轮轴半径可以忽略．车架上固定一个强磁铁，可形成圆心角θ＝60°的扇形匀强
磁场区域，磁感应强度B＝2.0 T，方向如图所示，若自行车正常前进时，后轮顺时针转动的角速度恒为ω
＝10 rad/s，不计其他电阻和车轮厚度，下列说法正确的是( )
A．金属条ab进入磁场时，a端电势高于b端电势
B．金属条ab进入磁场时，ab间的电压为0.4 V
C．运动过程中流经灯泡的电流方向一直不变
D．自行车正常前进时，4个小灯总功率的平均值为 W
答案 ABD
解析 当金属条ab进入磁场时，金属条ab相当于电源，由右手定则可知，电流从b流向a，故a端电势高
于b端电势，故A正确；E＝Br2ω＝1.6 V，由等效电路图(如图)可知R ＝＋R＝R，U＝·＝0.4 V，I＝
总 ab
＝4 A，故B正确；设车轮运动一周的时间为T，则每根金属条充当电源的时间为t＝T＝，则车轮运动一周电路中有电源的时间为t′＝4t＝T，可知一个周期内，4个小灯总功率的平均值为P＝EI＝ W，则自行车
正常前进时，4个小灯总功率的平均值为 W，故D正确；当金属条在磁场中时，该金属条中流经灯泡的电
流方向为从车轮边框流向轮轴，当该金属条在磁场外时，电流方向由轮轴流向车轮边框，故C错误．
题型二 电磁感应中电荷量的计算
知识梳理
计算电荷量的导出公式：q＝n
在电磁感应现象中，只要穿过闭合回路的磁通量发生变化，闭合回路中就会产生感应电流，设在时间Δt
内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式＝及法拉第电磁感应定律＝n，得q＝Δt＝Δt＝Δt
＝，即q＝n.
例3 在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线
圈电阻为1 Ω.规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示．磁场的磁感应强
度B随时间t的变化规律如图乙所示．以下说法正确的是( )
A．在0～2 s时间内，I的最大值为0.02 A
B．在3～5 s时间内，I的大小越来越小
C．前2 s内，通过线圈某横截面的总电荷量为0.01 C
D．第3 s内，线圈的发热功率最大
答案 C
解析 0～2 s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，I＝＝＝0.01 A，A错误；3～5
s时间内电流大小不变，B错误；前2 s内通过线圈的电荷量q＝＝＝0.01 C，C正确；第3 s内，B没有变
化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误．
变式训练2 (2018·全国卷Ⅰ·17)如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，
O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接
触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角
速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程
Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有E＝＝，
1
根据闭合电路的欧姆定律，有I＝，且q＝IΔt
1 1 1 1
在过程Ⅱ中，有E＝＝
2
I＝，q＝IΔt
2 2 2 2
又q＝q，即＝
1 2所以＝，故选B.
题型三 电磁感应中的图像问题
知识梳理
1．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类
问题的关键．
2．解题步骤
(1)明确图像的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等；对切割磁感线产生感应电动势
和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像．
3．常用方法
(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负，增大还是减小，以及变化快慢，来排除错误选
项．
(2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．
考向1 感生问题的图像
例4 (多选)(2023·江西省宜春实验中学质检)如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁
场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图
乙所示．设图示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的电动势e、感应电流i、焦耳热Q
以及ab边的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是( )
答案 CD
解析 0～1 s内产生的感应电动势为e＝＝2 V，方向为逆时针，同理1～5 s内产生的感应电动势为e＝
1 2
1 V，方向为顺时针，A错误；0～1 s内的感应电流大小为i＝＝2 A，方向为逆时针(负值)，同理1～5 s
1
内的感应电流大小为i＝1 A，方向为顺时针(正值)，B错误；ab边受到的安培力大小为F＝nBiL，可知0
2
～1 s内0≤F≤4 N，方向向下，1～3 s内0≤F≤2 N，方向向上，3～5 s内0≤F≤2 N，方向向下，C正
确；线圈产生的焦耳热为Q＝eit,0～1 s内产生的热量为4 J,1～5 s内产生的热量为4 J，D正确．
考向2 动生问题的图像例5 如图所示，将一均匀导线围成一圆心角为90°的扇形导线框OMN，圆弧MN的圆心为O点，将O点置
于直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，第三
象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B.t＝0时刻，让导线框从图示位置开始以O点为
圆心沿逆时针方向做匀速圆周运动，规定电流方向ONM为正，在下面四幅图中能够正确表示电流i与时间
t关系的是( )
答案 C
解析 在0～t时间内，线框沿逆时针方向从题图所示位置开始(t＝0)转过90°的过程中，产生的感应电
0
动势为E＝BωR2，由闭合电路的欧姆定律得，回路中的电流为I＝＝，根据楞次定律判断可知，线框中感
1 1
应电流方向为逆时针方向(沿ONM方向)．在t～2t时间内，线框进入第三象限的过程中，回路中的电流方
0 0
向为顺时针方向(沿OMN方向)，回路中产生的感应电动势为E＝Bω·R2＋·2BωR2＝BωR2＝3E，感应电
2 1
流为I＝3I.在2t～3t时间内，线框进入第四象限的过程中，回路中的电流方向为逆时针方向(沿ONM方
2 1 0 0
向)，回路中产生的感应电动势为E＝Bω·R2＋·2Bω·R2＝BωR2＝3E，感应电流为I＝3I，在3t～4t
3 1 3 1 0 0
时间内，线框出第四象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向(沿OMN方向)，回路中产生的感应电
动势为E＝BωR2，回路电流为I＝I，故C正确，A、B、D错误．
4 4 1
变式训练3 (多选)(2020·山东卷·12)如图所示，平面直角坐标系的第一和第二象限分别存在磁感应强
度大小相等、方向相反且垂直于坐标平面的匀强磁场，图中虚线方格为等大正方形．一位于Oxy平面内的
刚性导体框abcde在外力作用下以恒定速度沿y轴正方向运动(不发生转动)．从图示位置开始计时，4 s
末bc边刚好进入磁场．在此过程中，导体框内感应电流的大小为I, ab边所受安培力的大小为F，二者
ab
与时间t的关系图像可能正确的是( )答案 BC
解析 设虚线方格的边长为x，根据题意知abcde每经过1 s运动的距离为x.在0～1 s内，感应电动势E
1
＝2Bxv，感应电流I＝恒定；在1～2 s内，切割磁感线的有效长度均匀增加，故感应电动势及感应电流随
1
时间均匀增加，2 s时感应电动势E＝3Bxv，感应电流I＝；在2～4 s内，切割磁感线的有效长度均匀减
2 2
小，感应电动势和感应电流均匀减小，4 s时感应电动势E＝Bxv，感应电流I＝，故A错误，B正确．由
3 3
题意可知，在0～4 s内，ab边进入磁场的长度l＝vt，根据F＝BIl，在0～1 s内，I＝恒定，则F＝
ab
BI·vt＝t∝t；在1～2 s内，电流I随时间均匀增加，切割磁感线的有效长度l′＝[2x＋v(t－1)]∝t，
1
据F＝IlB可知F 与t为二次函数关系，图线是抛物线的一部分，且t＝2 s时，F＝；在2～4 s内，I随
ab ab
时间均匀减小，切割磁场的有效长度l″＝3x－v(t－2)＝5x－vt随时间均匀减小，故F 与t为二次函数
ab
关系，有极大值，当t＝4 s时，F＝，故C正确，D错误．
ab
强基固本练
1.如图所示是两个相互连接的金属圆环，小金属环的电阻是大金属环电阻的二分之一，匀强磁场垂直穿过
大金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在大环内产生的感应电动势为E，则a、b两点间的
电势差为( )
A.E B.E C.E D．E
答案 B
解析 a、b间的电势差等于路端电压，而小环电阻占电路总电阻的，故a、b间电势差为U＝E，选项B正
确．
2．如图甲所示，在线圈l中通入电流i后，在l上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示，l、l
1 1 2 1 2
中电流的正方向如图甲中的箭头所示．则通入线圈l中的电流i随时间t变化的图像是图中的( )
1 1
答案 D
解析 因为l中感应电流大小不变，根据法拉第电磁感定律可知，l中磁场的变化是均匀的，即l中电流
2 1 1
的变化也是均匀的，A、C错误；根据题图乙可知，0～时间内l中的感应电流产生的磁场方向向左，所以
2线圈l中感应电流产生的磁场方向向左并且减小，或方向向右并且增大，B错误，D正确．
1
3．(多选)(2023·广东省华南师大附中模拟)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场
中，有两根光滑的平行导轨，间距为L，导轨两端分别接有电阻R和R，导体棒以某一初速度从ab位置向
1 2
右运动距离x到达cd位置时，速度为v，产生的电动势为E，此过程中通过电阻R、R的电荷量分别为
1 2
q、q.导体棒有电阻，导轨电阻不计．下列关系式中正确的是( )
1 2
A．E＝BLv B．E＝2BLv
C．q＝ D.＝
1
答案 AD
解析 导体棒做切割磁感线的运动，速度为v时产生的感应电动势E＝BLv，故A正确，B错误；设导体棒
的电阻为r，根据法拉第电磁感应定律得＝＝，根据闭合电路欧姆定律得＝，通过导体棒的电荷量为q＝
Δt，导体棒相当于电源，电阻R和R并联，则通过电阻R和R的电流之比＝，通过电阻R、R的电荷量
1 2 1 2 1 2
之比＝＝，结合q＝q＋q，解得q＝，故C错误，D正确．
1 2 1
4．(多选)如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5 Ω，边长L＝20 cm，匀强磁场垂直于线框平
面向里，磁感应强度的大小随时间变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
A．线框中的感应电流沿逆时针方向，大小为2.4×10－2 A
B．0～2 s内通过ab边横截面的电荷量为4.8×10－2 C
C．3 s时ab边所受安培力的大小为1.44×10－2 N
D．0～4 s内线框中产生的焦耳热为1.152×10－3 J
答案 BD
解析 由楞次定律判断感应电流为顺时针方向，由法拉第电磁感应定律得电动势E＝S＝1.2×10－2 V，感
应电流I＝＝2.4×10－2 A，故选项A错误；电荷量q＝IΔt，解得q＝4.8×
10－2 C，故选项B正确；安培力F＝BIL，由题图乙得，3 s时B＝0.3 T，代入数值得：F＝1.44×
10－3 N，故选项C错误；由焦耳定律得Q＝I2Rt，代入数值得Q＝1.152×10－3 J，故D选项正确．
5.在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形线框abcd，被限制在沿ab方向的水平直轨道上自由滑
动．bc边右侧有一正直角三角形匀强磁场区域efg，直角边ge和ef的长也等于L，磁场方向竖直向下，其
俯视图如图所示，线框在水平拉力作用下向右以速度v匀速穿过磁场区，若图示位置为t＝0时刻，设逆时
针方向为电流的正方向．则感应电流i－t图像正确的是(时间单位为)( )答案 D
解析 bc边的位置坐标x从0～L的过程中，根据楞次定律判断可知线框中感应电流方向沿
a→b→c→d→a，为正值．线框bc边有效切线长度为l＝L－vt，感应电动势为E＝Blv＝B(L－vt)·v，随
着t均匀增加，E均匀减小，感应电流i＝，即知感应电流均匀减小．同理，x从L～2L的过程中，根据楞
次定律判断出感应电流方向沿a→d→c→b→a，为负值，感应电流仍均匀减小，故A、B、C错误，D正确．
6.(2023·重庆市巴蜀中学高三月考)如图所示，线圈匝数为n，横截面积为S，线圈电阻为R，处于一个均
匀增强的磁场中，磁感应强度随时间的变化率为k，磁场方向水平向右且与线圈平面垂直，电容器的电容
为C，两个电阻的阻值均为2R.下列说法正确的是( )
A．电容器上极板带负电 B．通过线圈的电流大小为
C．电容器所带的电荷量为 D．电容器所带的电荷量为
答案 D
解析 由楞次定律和右手螺旋定则知，电容器上极板带正电，A错误；因E＝nkS，I＝＝，B错误；又U＝
I×2R＝，Q＝CU＝，C错误，D正确．
7．(2023·山东省模拟)如图甲所示，一长为L的导体棒，绕水平圆轨道的圆心O匀速顺时针转动，角速度
为ω，电阻为r，在圆轨道空间存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B.半径小于的区域内磁场竖直向
上，半径大于的区域内磁场竖直向下，俯视图如图乙所示，导线一端Q与圆心O相连，另一端P与圆轨道
连接给电阻R供电，其余电阻不计，则( )
A．电阻R两端的电压为 B．电阻R中的电流方向向上
C．电阻R中的电流大小为 D．导体棒的安培力做功的功率为0
答案 C
解析 半径小于的区域内，E＝B·＝，半径大于的区域，E＝B·＝，根据题意可知，两部分电动势相
1 2
反，故总电动势E＝E－E＝，根据右手定则可知圆心为负极，圆环为正极，电阻R中的电流方向向下，电
2 1
阻R上的电压U＝E＝，故A、B错误；电阻R中的电流大小为I＝＝，故C正确；回路有电流，则安培力不
为零，故导体棒的安培力做功的功率不为零，故D错误．
8.(多选)如图，PAQ为一段固定于水平面上的光滑圆弧导轨，圆弧的圆心为O，半径为L.空间存在垂直导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场．电阻为R的金属杆OA与导轨接触良好，图中电阻R＝R＝R，
1 2
其余电阻不计．现使OA杆在外力作用下以恒定角速度ω绕圆心O顺时针转动，在其转过的过程中，下列
说法正确的是( )
A．流过电阻R的电流方向为P→R→O B．A、O两点间电势差为
1 1
C．流过OA的电荷量为 D．外力做的功为
答案 AD
解析 由右手定则判断出OA中电流方向由O→A，可知流过电阻R的电流方向为P→R→O，故A正确；OA
1 1
产生的感应电动势为E＝，将OA当成电源，外部电路R与R并联，则A、O两点间的电势差为U＝·＝，故
1 2
B错误；流过OA的电流大小为I＝＝，转过弧度所用时间为t＝＝，流过OA的电荷量为q＝It＝，故C错
误；转过弧度过程中，外力做的功为W＝EIt＝，故D正确．
9.(多选)(2019·全国卷Ⅱ·21)如图，两条光滑平行金属导轨固定，所在平面与水平面夹角为θ，导轨电
阻忽略不计．虚线ab、cd均与导轨垂直，在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场．将
两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放，两者始终与导轨垂直且接触良好．已知PQ
进入磁场时加速度恰好为零．从PQ进入磁场开始计时，到MN离开磁场区域为止，流过PQ的电流随时间变
化的图像可能正确的是( )
答案 AD
解析 根据题述，PQ进入磁场时加速度恰好为零，两导体棒从同一位置释放，则两导体棒进入磁场时的速
度相同，产生的感应电动势大小相等，PQ通过磁场区域后MN进入磁场区域，MN同样匀速直线运动通过磁
场区域，故流过PQ的电流随时间变化的图像可能是A；若释放两导体棒的时间间隔较短，在PQ没有出磁
场区域时MN就进入磁场区域，则两棒在磁场区域中运动时回路中磁通量不变，感应电动势和感应电流为
零，两棒不受安培力作用，二者在磁场中做加速运动，PQ出磁场后，MN切割磁感线产生感应电动势和感应
电流，且感应电流一定大于刚开始仅PQ切割磁感线时的感应电流I，则MN所受的安培力一定大于MN的重
1
力沿导轨平面方向的分力，所以MN一定做减速运动，回路中感应电流减小，流过PQ的电流随时间变化的
图像可能是D.
10．如图甲所示，虚线MN左、右两侧的空间均存在与纸面垂直的匀强磁场，右侧匀强磁场的方向垂直纸面
向外，磁感应强度大小恒为B；左侧匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，规定垂直
0
纸面向外为磁场的正方向．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固
0定在纸面内，圆心O在MN上．求：
(1)t＝时，圆环受到的安培力；
(2)在0～t内，通过圆环的电荷量．
0
答案 (1)，垂直于MN向左 (2)
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律，圆环中产生的感应电动势E＝S
上式中S＝
由题图乙可知＝
根据闭合电路的欧姆定律有I＝
根据电阻定律有R＝ρ
t＝t时，圆环受到的安培力大小F＝BI·(2r)＋I·(2r)
0 0
联立解得F＝
由左手定则知，方向垂直于MN向左．
(2)通过圆环的电荷量q＝·Δt
根据闭合电路的欧姆定律和法拉第电磁感应定律有＝，＝
在0～t内，穿过圆环的磁通量的变化量为
0
ΔΦ＝B·πr2＋·πr2
0
联立解得q＝.
11．如图所示，光滑的足够长的平行水平金属导轨MN、PQ相距l，在M、P和N、Q间各连接一个额定电压
为U、阻值恒为R的灯泡L、L，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的有界匀
1 2 0
强磁场，磁感应强度为B，且磁场区域可以移动，一电阻也为R、长度大小也刚好为l的导体棒ab垂直固
0
定在磁场左边的导轨上，离灯泡L 足够远．现让匀强磁场在导轨间以某一恒定速度向左移动，当棒ab刚
1
处于磁场时两灯泡恰好正常工作．棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计．
(1)求磁场移动的速度大小；
(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，两灯泡中有一灯泡正
常工作且都有电流通过，设t＝0时，磁感应强度为B.试求出经过时间t时磁感应强度的可能值B.
0 t
答案 (1) (2)B±t
0
解析 (1)当ab刚处于磁场时，ab棒切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，灯泡刚好正常工作，则
电路中路端电压U ＝U
外
由电路的分压之比得U ＝2U
内
则感应电动势为E＝U ＋U ＝3U
外 内
由E＝Blv＝3U，可得v＝
0(2)若保持磁场不移动(仍在cdfe矩形区域)，而使磁感应强度B随时间t均匀变化，可得棒与L 并联后再
1
与L 串联，则正常工作的灯泡为L，所以L 两端的电压为U，电路中的总电动势为
2 2 2
E＝U＋＝
根据法拉第电磁感应定律得E＝＝ld
0
联立解得＝，所以经过时间t时磁感应强度的可能值B＝B±t.
t 0
