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11 磁 场
[-考点-06-] 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动．
2．带电粒子以速度v 垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，
则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动．
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝.
(2)轨迹半径：r＝.
(3)周期：T＝＝，可知T 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强
度有关．
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T.
(5)动能：Ek＝mv2＝＝.
3．当带电粒子的速度v 与B 的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线．
一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F 的方向，其交点即为
圆心，如图甲．
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点
即为圆心，如图乙．
(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力
方向距离为r 的位置为圆心，如图丙．
2．半径的计算方法
方法一 由R＝求得
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得
例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得
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常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α.
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α.
3．时间的计算方法
方法一 利用圆心角、周期求得t＝T
方法二 利用弧长、线速度求得t＝
二、带电粒子在有界磁场中的运动
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．
(2)不沿径向射入时，如图乙所示．
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.
4．在多边形边界或角形区域磁场
带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要
把握以下两点：
(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入．
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(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出．
①当α≤θ 时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，
如图甲所示．
②当α>θ 时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙
所示．
典例1 (带电粒子在直线边界磁场中运动) (多选)如图所示，虚线MN 上方存在匀强磁场，
磁感应强度大小为B.一群电子以不同速率从边界MN 上的P 点以相同的入射方向射入磁
场．其中某一速率为v 的电子从Q 点射出边界．已知电子入射方向与边界MN 的夹角为
θ，则( )
A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B．所有电子在磁场中的轨迹半径相等
C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长
D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ
答案 AD
解析 由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A 正确；由洛伦兹力提供向
心力可得qvB＝m，整理得r＝，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，
B 错误；由周期公式T＝可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过
程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝T，
故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C 错误，D 正确．
典例2 (带电粒子在圆形边界磁场中运动) (多选)如图所示，在圆形边界的磁场区域，氕核
H 和氘核H 先后从P 点沿圆形边界的直径入射，从射入磁场到射出磁场，氕核H 和氘核H
的速度方向分别偏转了60°和120°角，已知氕核H 在磁场中运动的时间为t0，轨迹半径为
R，则( )
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A．氘核H 在该磁场中运动的时间为2t0
B．氘核H 在该磁场中运动的时间为4t0
C．氘核H 在该磁场中运动的轨迹半径为R
D．氘核H 在该磁场中运动的轨迹半径为R
答案 BD
解析 由题意，作出两核在磁场中的运动轨迹示意图如图所示，两核在磁场中做匀速圆周
运动，由洛伦兹力提供向心力，qvB＝m，T＝＝，两核在磁场中运动时间t＝T＝，H 和H
的比荷之比为2∶1，圆心角之比为1∶2，代入可得氘核H 在该磁场中运动的时间为t′＝
4t0，故A 错误，B 正确；设磁场圆半径为r，氕核H 和氘核H 的轨迹圆圆心分别为O1、
O2，分别从A 点、C 点射出磁场，氘核H 在磁场中运动的轨迹半径为R′，则对△PAB，由
几何关系可得R＝r，对△O2OC，由几何关系可得R′＝r，可得出R′＝R，故C 错误，D
正确．
典例3 (带电粒子在平行边界磁场中运动) 如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷
相同的带电粒子a 和b 依次从O 点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射
出，带电粒子a 和b 射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，
下列判断正确的是( )
A．粒子a 带负电，粒子b 带正电
B．粒子a 和b 在磁场中运动的半径之比为1∶
C．粒子a 和b 在磁场中运动的速率之比为∶1
D．粒子a 和b 在磁场中运动的时间之比为1∶2
答案 B
解析 a 粒子向上偏转，由F＝qvB 得，a 粒子带正电；b 粒子向下偏转，b 粒子带负电，故
A 错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶，故B 正
确；由qvB＝m 得v＝，比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶，故C 错误；粒子运
动周期T＝，Ta＝Tb，a 运动时间ta＝Ta＝Ta＝T，b 运动时间tb＝Tb＝Tb＝T，故ta∶tb＝
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2∶1，故D 错误．
典例4 (带电粒子在多边形边界或角形区域磁场中运动) (多选)(2023·河北石家庄市模拟)如
图所示，△AOC 为直角三角形，∠O＝90°，∠A＝60°，AO＝L，D 为AC 的中点．△AOC
中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O 点放置一粒子源，可以向
各个方向发射质量为m、电荷量为－q、速度大小均为v0＝的粒子．不计粒子间的相互作用
及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的半径为L
B．与OC 成45°角入射的粒子将从AC 边射出
C．在AC 边界上有粒子射出的区域长度为L
D．所有从OA 边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等
答案 ABC
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝，解得粒子在磁场
中运动的半径为r＝＝L，故A 正确；如图甲所示，当粒子恰好从A 点射出时，根据几何关
系可得粒子与OC 成60°角入射，所以与OC 成45°角入射的粒子将从AC 边射出，故B 正确；
如图乙所示，根据几何关系可知沿OC 方向入射的粒子将恰好从D 点射出，结合上面B 项
分析可知AD 为AC 边界上有粒子射出的区域，其长度为L，故C 正确；所有粒子在磁场中
运动的周期均相同，设为T，设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为α，则粒子运动时间
为t＝T，由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆，从OA 射出的粒子，其轨迹所截AO 的
长度不同，对应转过的圆心角不同，所以所有从OA 边界射出的粒子在磁场中运动的时间
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不等，故D 错误．
1.质量和带电荷量都相等的带电粒子M 和N，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场并
最终打在金属板上，运动的半圆轨迹如图中虚线所示，不计重力，下列表述正确的是(
)
A．M 带负电，N 带正电
B．M 的速率小于N 的速率
C．洛伦兹力对M、N 做正功
D．M 的运动时间大于N 的运动时间
答案 A
解析 根据左手定则可知N 带正电，M 带负电，A 正确；因r＝，而M 的轨迹半径大于N
的轨迹半径，所以M 的速率大于N 的速率，B 错误；洛伦兹力不做功，C 错误；M 和N 的
运动时间都为t＝，D 错误．
2.(多选)如图所示，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场垂直纸面向里，且范围足够大．纸面
上M、N 两点之间的距离为d，一质量为m 的带电粒子(不计重力)以水平速度v0从M 点垂
直进入磁场后会经过N 点，已知M、N 两点连线与速度v0的方向成30°角．以下说法正确
的是( )
A．粒子可能带负电
B．粒子一定带正电，电荷量为
C．粒子从M 点运动到N 点的时间可能是
D．粒子从M 点运动到N 点的时间可能是
答案 BCD
解析 由左手定则可知，粒子带正电，选项A 错误；由几何关系可知，r＝d，由qv0B＝m
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可知电荷量为q＝，选项B 正确；粒子运动的周期T＝，第一次到达N 点的时间为t1＝T
＝，粒子第三次到达N 点的时间为t2＝2T＋t1＝＋＝，选项C、D 正确．
3.如图，ABCD 是一个正方形的匀强磁场区域，两相同的粒子甲、乙分别以不同的速率从
A、D 两点沿图示方向射入磁场，均从C 点射出，则它们的速率之比v 甲∶v 乙和它们通过该
磁场所用时间之比t 甲∶t 乙分别为( )
A．1∶1,2∶1
B．1∶2,2∶1
C．2∶1,1∶2
D．1∶2,1∶1
答案 C
解析 根据qvB＝m，得v＝，根据题图可知，甲、乙两粒子的轨迹半径之比为2∶1，又因
为两粒子相同，故v 甲∶v 乙＝r 甲∶r 乙＝2∶1，粒子在磁场中的运动周期T＝，两粒子相同，
可知甲、乙两粒子的周期之比为1∶1，根据轨迹图可知，甲、乙两粒子转过的圆心角之比
为1∶2，故两粒子在磁场中经历的时间之比t 甲∶t 乙＝1∶2，选C.
4.如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.磁
场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相
等的带正电的粒子(重力和粒子间的相互作用力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为
2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹
对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，则圆心角最大为，故t
＝＝＝，故选项C 正确．
5.如图所示，abcd 为边长为L 的正方形，在四分之一圆abd 区域内有垂直正方形平面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一个质量为m、电荷量为＋q 的带电粒子从b 点沿ba 方
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向射入磁场，粒子恰好能通过c 点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长
线通过a 点，磁场的半径为L，设粒子的轨道半径为r，由几何关系得L＋r＝L，由洛伦兹
力提供向心力得：qvB＝m，联立解得v＝，故选C.
6.如图所示，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)，
一带电粒子从紧贴铝板上表面的P 点垂直于铝板向上射出，从Q 点穿越铝板后到达PQ 的
中点O.已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板
上方和下方的磁感应强度大小之比为( )
A．2∶1 B.∶1 C．1∶1 D.∶2
答案 D
解析 根据几何关系可知，带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨迹半径r1是其在铝板
下方做匀速圆周运动的轨迹半径r2的2 倍，设粒子在P 点的速度大小为v1，动能为Ek，根
据牛顿第二定律可得qv1B1＝，则B1＝＝；同理，B2＝＝＝，则＝＝，D 正确．
7.(多选)如图，在直角坐标系第一象限中y 轴与直线y＝x 所夹范围内存在匀强磁场，磁感应
强度大小为B、方向垂直于纸面向里．一带负电的粒子以速度v0自y 轴上a 点垂直射入磁
场，一段时间后，该粒子垂直直线y＝x 射出磁场，自x 轴上b 点(图中未画出)离开第一象
限．已知Oa＝L，不计粒子重力．则下列判断正确的是( )
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A．粒子在磁场中运动的轨道半径为L
B．b 点的横坐标为L
C．粒子在第一象限磁场中的运动时间为
D．粒子在第一象限的运动时间为(＋)
答案 AB
解析 如图，轨迹圆心为O 点，所以R＝L，根据几何关系Ob＝L，粒子在磁场中的运动时
间t＝＝，在第一象限运动的路程s＝(＋1)L，所以时间t 总＝＝(＋1)，故选A、B.
8.(多选)如图所示，A 粒子和B 粒子先后以同样大小的速度从宽度为d、方向垂直纸面向外
的有界匀强磁场的边界上的O 点，分别以与边界成37°和53°角的方向射入磁场，sin 37°＝
0.6，sin 53°＝0.8，又都恰好垂直另一边界飞出，若粒子重力不计，则下列说法中正确的是
( )
A．A、B 两粒子均带正电
B．A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是4∶3
C．A、B 两粒子比荷之比是4∶3
D．A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的时间之比是53∶37
答案 AC
解析 作出A 粒子运动轨迹如图，根据左手定则可判断粒子A 带正电，同理可知，B 也带
正电，A 正确；由几何关系可得R＝，所以A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比＝
＝，B 错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，所以＝，则A、B 两粒子比荷之比∶＝
＝，C 正确；根据T＝得，粒子在磁场中做圆周运动的时间t＝T＝，所以＝＝×≠，D 错误．
9.如图所示，匀强磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁
感应强度大小为B，A 是内侧边界上的一点．在圆心O 处沿平行于纸面的方向射出一个质
量为m、电荷量为q 的带电粒子，粒子速度方向与OA 成60°角，粒子经磁场第一次偏转后
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刚好从A 点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．粒子第一次在磁场中运动的时间为
C．粒子运动的速度大小为
D．磁场外边界圆的半径至少为r
答案 D
解析 根据题意，画出粒子第一次在磁场中运动的轨迹如图，根据左手定则可以判断出粒
子带负电，选项A 错误；粒子第一次在磁场中运动的时间为t＝T＝，选项B 错误；粒子在
磁场中做匀速圆周运动的半径R＝rtan 30°＝r，根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得v＝，
选项C 错误；磁场外边界圆的半径至少为r′＝R＋＝r，选项D 正确．
10.如图所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面
向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心射入磁场，通过磁场区域
后速度方向偏转了60°.
(1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，
需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d 为多少？
答案 (1) (2)R
解析 (1)粒子的轨迹半径r＝
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
解得粒子的比荷＝
粒子的运动周期T＝
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粒子在磁场中的运动时间t＝T
解得t＝.
(2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．
由图可知sin θ＝
平移距离d＝Rsin θ
解得d＝R.
11.如图所示，在x 轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在
xOy 平面内，从原点O 处与x 轴正方向成θ 角(0<θ<π)，以速率v 发射一个带正电的粒子(重
力不计)，则下列说法正确的是( )
A．若v 一定，θ 越大，则粒子离开磁场的位置距O 点越远
B．若v 一定，θ 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
C．若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
答案 B
解析 画出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由几何关系得，轨迹对应的圆心角α＝2π
－2θ，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝，可得，若v 一定，θ 越大，粒子在磁场中运动
的时间t 越短，若θ 一定，则粒子在磁场中的运动时间一定，故B 正确，D 错误；设粒子的
轨迹半径为r，则r＝，由图有，AO＝2rsin θ＝，可得，若θ 是锐角，θ 越大，AO 越大，
若θ 是钝角，θ 越大，AO 越小，故A 错误；粒子在磁场中运动的角速度ω＝，又T＝，则
得ω＝，与速度v 无关，故C 错误．
12.(多选)(2021·海南卷·13)如图，在平面直角坐标系Oxy 的第一象限内，存在垂直纸面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电量为q 的相同粒子从y 轴上的P(0，L)
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点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹
角为α(0≤α≤180°)．当α＝150°时，粒子垂直x 轴离开磁场．不计粒子的重力．则( )
A．粒子一定带正电
B．当α＝45°时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为3L
答案 ACD
解析 粒子垂直x 轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A 正确；当α＝150°时，粒
子垂直x 轴离开磁场，运动轨迹如图甲，
粒子运动的半径为 r＝＝2L，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子入射速率v＝，
C 正确；若α＝45°，粒子运动轨迹如图乙，
根据几何关系可知粒子离开磁场时与x 轴不垂直，B 错误；粒子离开磁场的位置到O 点距
离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，运动轨迹如图丙，
根据几何关系可知(2r)2＝(L)2＋xm
2，解得xm＝3L，D 正确．
13.(多选)速度均为v0的H 和He 的混合粒子流沿着与直径ab 夹角为α(α 角未知)的方向垂直
12
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进入圆柱形匀强磁场区域(未画出)，一种粒子的出射方向恰与直径ab 平行向右，另一种粒
子刚好从直径的另一点b 出射．已知元电荷为e，H 的质量为3m，He 的质量为4m，不计
粒子的重力和粒子间相互作用力，该区域的磁感应强度大小为B，则( )
A．出射方向恰与直径ab 平行的粒子为He
B.He 的速度偏转角是H 速度偏转角的2 倍
C．α＝60°
D．磁场圆的半径为
答案 BCD
解析 作出粒子运动轨迹图如图所示，由qv0B＝m，解得r＝，则＝＝＝，设水平向右射出
的粒子半径为r2 ，从b 点射出的粒子半径为r1，磁场圆的半径为R，则r1＝，R2＝[r2(1－
cos α)]2＋(r2sin α－R)2，解得r2＝，则＝＝<1，所以r2对应的是H，即出射方向恰与直径
ab 平行的粒子为H，故A 错误；由几何分析可知He 的速度偏转角为2α，H 的速度偏转角
为α，故B 正确；由A 项分析有＝，解得α＝60°，故C 正确；由A 项分析有r1＝＝rHe＝，
解得R＝，故D 正确．
13
