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2024 年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题58 带电粒子在有界磁场中的运动
特训目标
特训内容
目标1
带电粒子在直线边界磁场中运动（1T—3T）
目标2
带电粒子在平行边界磁场中运动（4T—6T）
目标3
带电粒子在圆形边界磁场中运动（7T—9T）
目标4
带电粒子在三角形边界磁场中运动（10T—12T）
目标5
带电粒子在四边形边界磁场中运动（13T—15T）
目标6
带电粒子在有界磁场中临界极值问题（16T—18T）
目标7
带电粒子在在有界磁场中多解问题（19T—21T）
【特训典例】
一、带电粒子在直线边界磁场中运动
1．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN 为其左边界，磁场中放置一半径
为R 圆柱形物体，其上涂有荧光物体，电子打到上面会发出荧光．圆柱形物体的圆心到边界MN 的距离为
．现有一束平行的电子束沿垂直于左边界MN 向右射人磁场区，已知电子质量为m，电量为e．
则下列分析判断正确的是（ ）
A．若电子初速度满足
，圆柱形物体上发光的弧线长度等于
B．若电子初速度满足
，圆柱形物体上发光的弧线长度等于
C．若电子初速度满足
，圆柱形物体上发光的弧线长度大于
1
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D．若电子初速度满足
，圆柱形物体上将不会发光
【答案】C
【详解】如图所示
A．设电子进入磁场回旋轨道半径为，根据洛伦兹力提供向心力
解得
若电子的初速度
满足
，则
应用平移圆可知电子均不能打到圆柱体表面上，不会发光，A 错误；
B．若电子初速度满足
，则
应用平移圆作图可得在圆柱形物体上
之间的一段劣弧发光，
B 错误；
C．若电子初速度满足
，则
应用平移圆作图可得在圆柱形物体上
之间的一段优弧发光，
C 正确；
D．若电子初速度满足
，则
应用平移圆作图可得圆柱形物体上所有部位都将会发光，D 错
误。
故选C。
2．如图所示，竖直线CD 右边的空间存在范围无限大且垂直向里的有界匀强磁场，带有同种电荷的M 粒
子和N 粒子同时从匀强磁场的边界CD 上的S 点分别以与边界的夹角为
和60°射入磁场，两粒子又恰
好同时到达
点。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（ ）
2
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A．M、N 两粒子的运动轨迹半径之比为
B．M、N 两粒子的运动轨迹半径之比为
C．M、N 两粒子的初速度大小之比为
D．M、N 两粒子的比荷之比为
【答案】AD
【详解】AB．设
，由题图可知，M 粒子在磁场中运动轨迹半径
运动轨迹所对应的圆心角为
300°，运动轨迹弧长
，N 粒子在磁场中运动轨迹的半径
所对应的圆心角为120°，运动轨
迹弧长
所以M、N 两粒子运动半径之比为
， B 错误A 正确；
C．因运动时间
而
即M、N 粒子的初速度大小之比为
，C 错误；
D．根据
得
故M、N 粒子的比荷之比为
，D 正确。故选AD。
3．如图所示，直线AD 为磁感应强度大小为B 的匀强磁场的边界线，AD 与水平线成θ=30°角，M、N 为竖
直放置的两个带有狭缝的金属板，板间电压为U。一带正电的粒子（初速度为零）经电场加速后从C 点水
平射入磁场，从CD 间的E 点离开磁场，C、E 间距离为L，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
3
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A．粒子的比荷为
B．粒子在磁场中的运动时间为
C．仅将加速电压变为原来的2 倍，粒子从CD 间某位置射出时出射点与入射点之间的距离为
L
D．仅加速电压变为原来的2 倍，粒子从CD 间某位置射出时粒子在磁场中运动时间为原来的
倍
【答案】BC
【详解】A．在C 点做水平速度的垂线，在E 点做速度的垂线，由对称性可知在E 点速度与边界成30°，所
以粒子运动的半径为
由质谱仪的公式
得
，A 错误；
Ｂ．粒子在磁场中速度改变了60°，运动时间
，B 正确；
C．若加速电压变为原来的2 倍，由公式
得半径变为原来的
倍，C 正确；
D．若加速电压变为原来的2 倍，粒子转过的角度仍然是60°，时间不变，D 错误。故选BC。
二、带电粒子在平行边界磁场中运动
4
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4．如图所示为一有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，MN、PQ 为其两个边界，两边
界间的距离为L.现有两个带负电的粒子同时从A 点以相同速度沿与PQ 成30°的方向垂直射入磁场，结果两
粒子又同时离开磁场．已知两带负电的粒子质量分别为2m 和5m，电荷量大小均为q，不计粒子重力及粒
子间的相互作用，则粒子射入磁场时的速度为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】ABCD．由于两粒子在磁场中运动时间相等，则两粒子一定是分别从MN 边和PQ 边离开磁场的，
如图所示，由几何知识可得质量为2m 的粒子对应的圆心角为300°，由
得质量为5m 的粒子对应的
圆心角为120°，由图可知△OCD 为等边三角形，可求得：
带入公式：
；
故B 正确，ACD 错误．
5．空间存在如图所示相邻的两个匀强磁场，磁场Ⅰ的宽度为d，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为
5
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B；磁场Ⅱ的宽度为
，方向垂直纸面向外。现让质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以大小为
的
水平速度垂直磁场Ⅰ从P 点射入磁场，粒子在磁场中运动后恰好从磁场Ⅱ的边缘C 处水平射出。不计粒子
所受的重力，取
．下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径为
B．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为
D．粒子在磁场中运动的总时间为
【答案】AD
【详解】A．粒子在磁场Ⅰ中运动的轨道半径为
选项A 正确；
B．由几何关系可知粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为r2=2r1根据
可得磁场Ⅱ的磁感应强度大小
为
选项B 错误；
C．粒子在磁场Ⅱ中运动的周期为
选项C 错误；
D．粒子在两磁场中运动时圆弧所对的圆心角均为37°，粒子在磁场Ⅰ中运动的周期为
6
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磁场中运动的总时间为
选项D 正确。故选AD。
6．如图所示，匀强磁场的左右边界相互平行，两个带电荷量绝对值相同的粒子a 和b 先后从O 点沿垂直于
左边界方向射入磁场，射出磁场时，a 粒子的速度方向与右边界夹角为30°，b 粒子的速度方向与右边界夹
角为60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是（ ）
A．粒子a 和b 在磁场中运动的半径之比为
B．粒子a 和b 在磁场中运动的动量大小之比为
C．粒子a 和b 在磁场中运动的动能之比为
D．粒子a 和b 在磁场中运动的时间之比为
【答案】AB
【详解】A．由几何关系可知a、b 运动轨迹的圆心角分别为
，
，则a、b 运动轨迹的半径
分别为
；
粒子a 和b 在磁场中运动的半径之比为
故A 正确；
B．由
；
可得
则粒子a 和b 在磁场中运动的动量大小之比为
故B 正
确；
7
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C．由动能与动量的关系可得
由于粒子质量未知，所以无法求出粒子a 和b 在磁场中运动的动能之
比，故C 错误；
D．粒子在磁场中运动的时间为
同理由于粒子质量未知，无法求出粒子a 和b 在磁
场中运动的时间，故D 错误。故选AB。
三、带电粒子在圆形边界磁场中运动
7．如图所示，半轻分别为r 和2r 的两个同心圆，其圆心为O，只在环形区域内存在着磁感应强度大小为
B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场（磁场区域包括边界）大量质量为m、电荷量为
的带电粒子从M 点
沿各个方向以不同速率射入磁场区域。不计粒子间的相互作用及重力，
。下列判断正确的是（
）
A．沿MO 方向射入磁场且恰好未能进入内部圆形区域的带电粒子的轨道半径为
B．沿MO 方向射入磁场且恰好未能进入内部圆形区域的带电粒子在磁场中运动的时间为
C．第一次穿过磁场后恰能经过O 点的带电粒子的最小入射速率为
D．第一次穿过磁场后恰能经过O 点的带电粒子的最小入射速率为
【答案】B
【详解】A．带电粒子从P 点沿
方向射入磁场，恰好未能进入内部圆形区域，说明运动轨迹恰好与内圆
相切，如图所示
8
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设圆弧的半径为
，圆心为
，连接OA、AM 和OM，在直角三角形OAM 中，由于
即
解得
故A 错误；
B．在直角三角形OAM 中，由于
则
整个圆弧轨道所对的圆心角为
，带电
粒子做圆周运动，则
；
解得
粒子在磁场中的运动时间为
故B 正确；
CD．带电粒子的入射速率最小，则粒子圆周运动的半径最小，粒子从M 点经圆周运动通过圆心O，根据逆
向运动，半径最小的圆周运动其圆弧与大圆相切，如图所示
设圆弧半径为
，圆心为D，其中M、D、O 在一条直线上，连接OM、CD，在直角三角形
中，由于
即
解得
带电粒子做圆周运动，则
解得
故CD 错误。故选B。
8．如图所示，纸面内存在一半径为R 的圆形有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，AB、CD 分别为
圆的水平直径和竖直直径。一质量为m、电荷量为q 的带电粒子从A 点以大小为v、方向与AB 夹角为
9
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斜向下的速度沿纸面射入模场，运动中粒子恰好从D 点射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正确
的是（ ）
A．粒子带负电
B．粒子带正电
C．匀强磁场的磁感应强度大小为
D．粒子在磁场中的运动时间为
【答案】BD
【详解】AB.由左手定则知，粒子带正电，B 正确，A 错误；
C.由几何关系可知，AD 为粒子做匀速圆周运动的直径，则粒子的轨迹半径
由
可得，磁感应强度大小
，C 错误；
D.粒子在磁场中运动的弧长
则运动时间
，D 正确。故选BD。
9．如图所示，在纸面内半径为R 的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，一
带电微粒从图中A 点以速度v 垂直磁场射入，速度
的方向与过圆心的直线成30°，当该带电微粒离开磁场
时，速度方向刚好改变了180°，不计微粒的重力，下列说法正确的是（ ）
10
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A．该点电荷带负电
B．离开磁场时速度方向的反向延长线通过O 点
C．该点电荷的比荷为
D．该点电荷在磁场中的运动时间
【答案】AC
【详解】如图所示
点电荷在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系作出点电荷运动轨迹有电荷在电场中刚好运动
，电荷做
圆周运动的半径
A．根据电荷偏转方向，由左手定则可知，该电荷带负电，故A 正确；
B．如图，电荷离开磁场时速度方向与进入磁场时速度方向相反，其反向延长线不通过O 点，故B 错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力有
所以
故C 正确；
D．该电荷在磁场中运动的时间
故D 错误。故选AC。
四、带电粒子在三角形边界磁场中运动
10．如图所示，在直角三角形
区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一个电子从A 点
11
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沿
边进入磁场，从
边离开磁场，速度方向偏转了
。已知
，
，元电荷为e，电
子的质量为m，不计重力，则电子的速率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】电子从
边离开磁场，速度方向偏转了
，作出轨迹如图所示
根据几何关系有
解得
根据
解得
故选C。
11．如图所示，边长为
的正三角形
区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），正
三角形中心O 有一粒子源，可以沿
平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q.粒
子速度大小为v 时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
12
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A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．若发射粒子速度为
时，在磁场中运动的最短时间为
D．若发射粒子速度为
时，在磁场中运动的最短时间为
【答案】B
【详解】AB．磁场垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此粒子的直径等于过O 点垂直于
的
线段大小，设垂足为d，由几何关系得
所以半径
由于洛伦兹力提供向心力
解得
故A 错误，B 正确；
CD．当发射粒子速度为
时，由公式
解得
粒子在磁场中运动的最短时间就是
在磁场中转过最小的角度，当粒子从垂足d 出去时，时间最短，由几何关系可得，转过的角度为
，
则时间为
，又因为
即有
故CD 错误。故选B。
12．如图所示，直角三角形
位于纸面内，
，
边长为
。垂直于纸面向外的匀强磁场被
限定在直角三角形
区域内。质量为m、电荷量为
的粒子从A 点以速度v 沿纸面射入磁场区域，刚
好从C 点离开磁场。粒子重力不计，下列说法中正确的是（ ）
A．磁场磁感应强度的最大值为
13
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B．粒子通过磁场的最长时间为
C．粒子在磁场做匀速圆周运动的最小周期为
D．粒子在磁场做匀速圆周运动的最大角速度为
【答案】BD
【详解】根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的特点可知，粒子从C 点沿
方向射出磁场时，粒
子做匀速圆周运动的半径最小、磁场磁感应强度最大、通过磁场的时间最长、周期最小、角速度最大。当
粒子从C 点沿
方向射出磁场时，粒子的运动轨迹如图
设粒子的轨道半径为r，由几何知识可知
由
；
；
；
可得最大磁感应强度为
、通过磁场的最长时间为
、最小周期为
、最大角速度
。故选BD。
五、带电粒子在四边形边界磁场中运动
13．如图所示，长方形区域
内存在方向垂直纸面向内的匀强磁场，P 为
边上的点，
，
边足够长。现有一粒子从P 点沿与
成
角且沿纸面射入磁场中，则（ ）
A．若粒子从C 点射出，则粒子带负电
B．若粒子从D 点射出，则粒子的轨迹半径为a
14
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C．若粒子能从
边射出磁场，则粒子恰好不从
边射出的临界轨迹半径为
D．若粒子能从
边射出磁场，则粒子在磁场中的运动时间与其速度大小无关
【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知，若粒子从C 点射出，则粒子带正电，故A 错误；
B．若粒子从D 点射出，由几何知识可知粒子的轨道半径大于a，故B 错误；
C．若粒子能从
边射出的磁场，且粒子恰好不从
边射出，则根据几何知识可得其临界轨迹的半径为
，故C 错误；
D．若粒子能从
边射出磁场，则粒子在磁场中的运动的轨迹所对应的圆心角都相同，均为
，
结合
可知，粒子在磁场中的运动时间与其速度大小无关，故D 正确。故选D。
14．如图所示，有一矩形区域abcd，水平边长
，竖直边长
，当该区域只存在大小为
、方向竖直向下的匀强电场时，一比荷为
的正粒子由a 点沿ab 方向以速率
进入该
区域，粒子运动轨迹恰好通过该区域的几何中心。当该区域只存在匀强磁场时，另一个比荷也为
的负粒子由c 点沿cd 方向以同样的速率
进入该区域，粒子运动轨迹也恰好通过该区域的几何
中心，不计粒子的重力，则（ ）
A．正粒子离开矩形区域时的速率
B．磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向外
15
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C．正、负粒子各自通过矩形区域所用时间之比为
D．正、负粒子各自离开矩形区域时的动能相等
【答案】C
【详解】粒子在电场或磁场中的运动轨迹如图所示
A．正粒子在电场中做类平抛运动，根据题意，水平方向有
竖直方向有
，
联立解得
正粒子进入矩形区域的速率为
，但是离开
矩形区域时的速率大于
，故A 错误；
B．负粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子进入磁场后所受的洛伦兹力向上，由左手定则判断磁场的方向
垂直纸面向里，设粒子的轨迹半径为r，由几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心
力可得
解得
故B 错误；
C．设正粒子通过矩形区域所用时间为
，则有
解得
由以上分析可知，负粒子在磁场中的
半径满足
所以负粒子轨迹的圆心在b 点，则其通过磁场的时间为
则有
故C 正确；
D．负粒子通过磁场中洛伦兹力不做功，动能不变，而正粒子通过电场时电场力做功，动能增加，所以正、
负粒子各自离开矩形区域时的动能不相等，故D 错误。故选C。
16
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15．如图所示，正方形区域内有匀强磁场，现将混在一起的质子H 和粒子加速后从正方形区域的左下角
沿BC 方向射入磁场，经过磁场后质子H 从磁场的左上角沿DA 方向射出，粒子从磁场右上角沿CD 方向
射出，由此可知射入磁场时（ ）
A．质子H 和粒子具有相同的速度
B．质子H 和粒子具有相同的动量
C．质子H 和粒子具有相同的动能
D．质子H 和粒子由同一电场从静止加速
【答案】A
【详解】A．设正方形的边长为L，由运动轨迹可知，质子H 的轨道半径为
，α 粒子的轨道半径为
Rα=L
粒子的电荷量为质子的2 倍，粒子的质量为质子的4 倍，粒子在磁场中运动，有
，
解得vH=vα，A 正确；
B．根据上述，质子H 和粒子速度相等，质量不同，所以动量不同，B 错误；
C．根据上述，质子H 和粒子速度相等，质量不同，所以动能不同，C 错误；
D．若由同一电场加速，则有
可得
可得电场加速后速度之比为
两粒子速度不相等，与之前结论不符，D 错误。故选A。
六、带电粒子在有界磁场中临界极值问题
16．等腰梯形AFCD 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AF、CD
长度分别为L 和2L，∠D＝60°，下底CD 的中点E 处有一个α 粒子放射源，可以向CD 上方射出速率不等
17
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的α 粒子，α 粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力及重力，已知质子的电荷量为e，
质量为m，下列说法正确的是（ ）
A．若AF、AD 边有粒子射出，则FC 边一定有粒子射出
B．若粒子可以到达F 点，则其最小速度为
C．到达A 点和到达F 点的粒子一定具有相同的速率
D．运动轨迹与AD 边相切(由CD 边出磁场)的速率最小的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】BD
【详解】A．如图甲所示，当AF、AD 边恰有粒子射出时，由几何关系可知，粒子运动轨迹没有到达FC 边，
A 错误；
B．如图乙所示
由几何关系可知，当β＝
π 时，速度最小，其轨迹半径r＝
由
可得v＝
，
B 正确；
18
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C．到达A 点和到达F 点的粒子半径可以不相同，速率就不同，C 错误；
D．如图丙所示
当α＝
π 时，速度最小，由t＝
得t＝
，D 正确。故选BD。
17．如图所示，在直角坐标xOy 平面内，有一半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方
向垂直于纸面向里，边界与x、y 轴分别相切于a、b 两点，ac 为直径。一质量为m，电荷量为q 的带电粒
子从b 点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x 轴正方向进入磁场区域，从a 点垂直于x 轴离开磁场，
不计粒子重力。下列判断正确的是（ ）
A．该粒子的速度为
B．该粒子从b 点运动到a 点的时间为
C．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a 点
D．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是
【答案】ACD
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【详解】AB．粒子从b 点以某一初速度
沿平行于x 轴正方向进入磁场区域，从a 点垂直于
轴离开磁场，
如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
由几何关系可得
联立解得
该粒子从b 点运动到a 点
的时间为
故A 正确，B 错误；
C．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
该种粒子从边界出射的最远点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，如图所示
由几何关系可知
可知该种粒子从边界出射的最远点恰为a 点，故C 正确；
D．以
从b 点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为
当该粒子在磁场中
运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示
20
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由几何关系可知，最大圆心角为
，则最长时间为
故D 正确。故选ACD。
18．如图所示，在水平荧光屏MN 上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏
处
有一粒子源，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射同种带正电的粒子，不计粒子的重力，已知水平
向左射出的粒子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，则（ ）
A．所有粒子均会打到荧光屏上
B．粒子从射出到打到荧光屏上的最长时间为
C．粒子从射出到打到荧光屏上的最短时间为
D．粒子能打到荧光屏上的区域长度为
【答案】BCD
【详解】A．由左手定则可知，带正电粒子在磁场中逆时针方向做匀速圆周运动，已知水平向左射出的粒
子经过时间刚好垂直打在荧光屏上，如图所示
21
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由图可知，粒子在磁场中的轨迹半径为
周期为
若粒子以水平向右方向射出，由图可知粒子不会
打到荧光屏上，故A 错误；
B．当粒子打到荧光屏左侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最长，
如图所示
由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为
，则有
故B 正确；
C．当粒子打到荧光屏位置处于正下方时，粒子从射出到打到荧光屏上的时间最短，如图所示
由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为
，则有
故C 正确；
D．当粒子打到荧光屏左侧位置对应的弦为直径时，该位置为打到荧光屏的最左端；当粒子打到荧光屏右
侧位置的速度方向刚好与荧光屏相切时，该位置为打到荧光屏的最右端；如图所示
22
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由图中几何关系，粒子能打到荧光屏上的区域长度为
故D 正确。故选BCD。
七、带电粒子在在有界磁场中多解问题
19．江苏省科技水平截至2022 年底在全国已处于领先地位，如图5 是江苏省某校兴趣小组正在操作的一个
实验装置，在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于
纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP 与磁场
左右边界垂直。他们使用离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP
成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子
的入射速度和对应θ 角的可能组合为（ ）
A．
kBL，0°
B．
kBL，0°
C．kBL，60°
D．2kBL，60°
【答案】BC
【详解】符合条件的粒子有两种情况：
奇数次回旋后从P 点射出，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
这种情况粒子从P 点出射时，出射方向与入射方向成60°。
偶数次回旋后从P 点射出，由几何关系有
由洛伦兹力提供向心力，有
联立解得
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这种情况粒子从P 点出射时，方向与入射方向相同。故AD 错误；BC 正确；
故选BC。
20．如图所示，在直角坐标系xOy 中，x≥0，y≥0 范围内有两个匀强磁场区域I 和II，磁场方向均垂直纸面
向里，虚线
为它们的分界线，区域I 的磁感应强度大小为B0，区域II 的磁感应强度大小可调，P 点
为它们分界线上的某一点，已知OP=4L。质量为m，带电量为－q 的粒子从O 点沿+y 轴方向射入磁场I 中，
速度大小为
，不计粒子所受重力。求：
（1）粒子不会飞出第一象限，求粒子在区域II 磁场中做圆周运动的半径大小应满足的条件；
（2）粒子在第一象限内运动的过程中，恰好能经过P 点，求区域II 磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
【答案】（1）
；（2）若粒子是从II 区通过
点，磁感应强度可能为：
，
；若粒子是
从I 区通过
点，磁感应强度为
【详解】（1）两磁场分界线与x 轴夹角为θ=37°，设粒子在磁场I 和II 区内运动的半径分别是R1、R2，粒子
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在磁场I 内运动时，洛伦兹力提供向心力
解得R1=L 由几何知识：粒子每在磁场I 中运动一次，
到达OP 直线的位置向前推进2R1cos37°，每在磁场II 中运动一次，到达OP 直线的位置向后倒退
2R2cos37°。
粒子不会飞出第一象限，需满足(2R1cos37°－2R2cos37°)sin37°≥R2解得
（2）粒子在磁场II 内运动时，洛伦兹力提供向心力
若粒子是从II 区通过P 点
n(2R1cos37°－2R2cos37°)=4L 解得
，其中n=1，2，3…符合条件的有n=3 时
对应的B2=6B0
n=4 时
对应的
若粒子是从I 区通过P 点n(2R1cos37°－2R2cos37°)+ 2R1cos37°=4L
解得
，其中n=1，2，3…符合条件的有n=2 时
对应的B2=4B0综上所述，若粒子是从II
区通过P 点，磁感应强度可能为6B0、
；若粒子是从I 区通过P 点，磁感应强度为4B0。
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内有一直角三角形，其顶点坐标分别为（0，0），（0，
d），
（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x 轴下方有沿着y 轴负方向
的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q 的粒子从y 轴上的某点M 由静止释放，粒子第
一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。
（1）求M 点到O 点的距离；
（2）改变粒子在y 轴上的释放点，使粒子由N 点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，
求N 点到O 点的距离；
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（3）在（2）过程中，求粒子从N 点由静止释放到射出磁场的运动时间。
【答案】（1）
；（2）
（n=0，1，2…）；（3）
（n=0，1，
2，…）
【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R0，由几何关系可知
解得
由牛顿第二定律得
设M 点到O 点的距离为y0，由动能定理得
解得
（2）要使粒子由N 点静止释放后能沿垂直于斜边的方向射出磁场，则粒子在磁场中运动轨迹的半径R 满
足：
由牛顿第二定律得
设N 点到O 点的距离为y，由动能定理有
解得
（n=0，1，2…）
（3）设粒子在电场中的加速度为a，则qE=ma 设粒子在电场中每单程的运动时间为t0，则
粒子在电场中总的运动时间t1=(2n+1）t0（n=0，1，2，…）解得
粒子在磁场中做圆周运动的周期
粒子在磁场中总的运动时间
（n=0，1，2，……）解得
（n=0，1，
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2，…）
粒子从N 点由静止释放到射出磁场运动的总时间
（n=0，1，2，……）
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