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第39 讲 匀强磁场中的临界、极值和多解问题
——划重点之精细讲义系列
考点一 数学圆发巧解磁场中的临界问题
1.“放缩圆”法
适
用
条
件
速度方向
一定，大
小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场
时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度
的变化而变化
轨迹圆圆
心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，
速度v 越大，运动半径也越大。可以发现这
些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆
心在垂直初速度方向的直线PP′上
界
定
方
法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索
出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
2.“旋转圆”法
适用
条件
速度大
小一
定，方
向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带
电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做
匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度
为v0，则圆周运动半径为R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心
在以入射点P 为圆心、半径R＝的圆上
界定
方法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临
界条件，这种方法称为“旋转圆”法
【典例1】如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是
一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
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B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【典例2】如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里
边界跟y 轴相切于坐标原点O。O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的
某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已
知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
3.“平移圆”法
【典例3】如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未
画出)，AB 边长度为d，∠B＝。现垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速
度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为
t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子重力)。则下列说法正确的
是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d
D．粒子进入磁场时的速度大小为
考点二 带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现
象)的转折状态，它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状
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态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常
都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．
1．临界问题的分析思路
临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另
一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与
临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．
临界问题的一般解题模式：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量；
(4)分析临界量列出公式．
2．极值问题的分析思路
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解
的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借
助于几何图形进行直观分析．
【典例4】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平
面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子
的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方
射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，
并从OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距
离为( )
A.
B．
C.
D.
【典例5】(多选)如图所示，M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间
电压可取从零到某一最大值之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为
m(不计重力)，从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应
强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与N 板的夹角
为θ＝30°，孔Q 到板的下端C 的距离为L，当M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰
垂直打在CD 板上，则( )
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A．两板间电压的最大值Um＝
B．CD 板上可能被粒子打中区域的长度x＝L
C．粒子在磁场中运动的最长时间tm＝
D．能打在N 板上的粒子的最大动能为
【典例6】如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁
场，其边界AB、CD 相距为d，在左边界的Q 点处有一质量为m、带电量为q 的负粒子
沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子重力不计．求：
(1)带电粒子能从AB 边界飞出的最大速度；
(2)若带电粒子能垂直CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中
减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U 应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中
运动的时间是多少？
(3)若带电粒子的速度是(2)中的倍，并可以从Q 点沿纸面各个方向射入磁场，则粒
子能打到CD 边界的距离大小？
考点三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．多解形成原因一般包含下述几个方面
(1)带电粒子电性不确定形成多解；(2)磁场方向不确定形成多解；(3)临界状态不唯
一形成多解；(4)运动的往复性形成多解．
2．带电粒子在磁场中运动的多解模型
类型
分析
图例
带电粒子电性不确
定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也
可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子
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在磁场中运动轨迹不同，形成多解
如图，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如
带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
磁场方向不确定
在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应
强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确
定而形成多解
如图，带正电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，
若B 垂直纸面向里，其轨迹为a，若B 垂直纸面向
外，其轨迹为b
临界状态不唯一
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由
于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁
场，也可能转过180°从入射界面反向飞出，于是
形成多解
运动具有周期性
带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动
时，往往具有周期性，因而形成多解
【典例7】(多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁
感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q 的带正电粒
子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打
在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v 满足＜v＜
【典例8】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′
是它的两条边界．现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．
要使粒子不能从边界NN′射出，求粒子入射速率v 的最大值可能是多少．
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【典例9】如图所示，在x 轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x 轴下方有一
匀强电场，电场强度为E.屏MN 与y 轴平行且相距L.一质量m，电荷量为e 的电子，在
y 轴上某点A 自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN 上，那么：
(1)电子释放位置与原点O 的距离s 需满足什么条件？
(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
1．(多选)如图所示，宽d＝4 cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂
直纸面向里．现有一群正粒子从O 点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子
在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r＝10 cm，则( )
A．右边界：－8 cm<y<8 cm 有粒子射出
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B．右边界：0<y<8 cm 有粒子射出
C．左边界：y>8 cm 有粒子射出
D．左边界：0<y<16 cm 有粒子射出
2．(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为
B，其边界为一边长为L 的正三角形(边界上有磁场)，A、B、C 为三角形的3 个顶点．
今有一质量为m、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以速度v＝从AB 边上的某点P 既垂
直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，若该粒子能从BC 边上某点Q 射出，则(
)
A．PB≤L
B．PB≤L
C．QB≤L
D．QB≤L
3．(多选)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN
垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1 cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55 cm，MN 与SO
直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度B＝2.0×10－4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电量e＝－1.6×10－19C，不计
电子重力，电子源发射速度v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的
区域的长度为l，则( )
A．θ＝90°时，l＝9.1 cm
B．θ＝60°时，l＝9.1 cm
C．θ＝45°时，l＝4.55 cm
D．θ＝30°时，l＝4.55 cm
4．(多选)如图所示是半径为R 的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大
小为B，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小不等的
在一定范围内的同种带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)，不计重力，
现粒子以沿正对cO 中点且垂直于cO 方向射入磁场区域，发现带电粒子恰能从bd 之间
飞出磁场．则( )
A．从b 点飞出的带电粒子的速度最大
B．从d 点飞出的带电粒子的速度最大
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C．从d 点飞出的带电粒子的运动时间最长
D．从b 点飞出的带电粒子的运动时间最短
5．如图所示，在x 轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在
xOy 平面内，从原点O 处沿与x 轴正方向成θ 角(0<θ<π)以速率v 发射一个带正电的粒
子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若v 一定，θ 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若v 一定，θ 越大，则粒子在离开磁场的位置距O 点越远
C．若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
6．(多选)如图所示，在半径为R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度为B，方
向垂直于圆平面(未画出)．一群比荷为的负离子以相同速率v0(较大)由P 点在纸平面内
向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)(
)
A．离子飞出磁场时的动能一定相等
B．离子在磁场中运动半径一定相等
C．由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
D．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大
7．如图所示，直角三角形
区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小
为
的匀强磁场。
，
，在
点有一个粒子源，可以沿
方向发射速
度大小不同的带正电的粒子。已知粒子的比荷均为
，不计粒子间相互作用及重力，
则下列说法正确的是（ ）
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A．随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变小
B．随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏向角越大
C．从
边射出的粒子的最大速度为
D．从
边射出的粒子，在磁场中的运动时间为
8．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上
的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。
若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子
射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相
互作用。则v2∶v1为（ ）
A．
∶2
B．
∶1
C．
∶1
D．3∶
9．如图所示，内圆半径为r、外圆半径为3r 的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感
应强度为B 的匀强磁场．圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U，靠近M 板处静止
释放质量为m、电荷量为q 的正离子，经过电场加速后从N 板小孔射出，并沿圆环直
径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．求：
(1)离子从N 板小孔射出时的速率；
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(2)离子在磁场中做圆周运动的周期；
(3)要使离子不进入小圆区域，电压U 的取值范围．
10．如图所示，M、N、P 为很长的平行边界面，M、N 与M、P 间距分别为l1、
l2，其间分别有磁感应强度为B1和B2的匀强磁场区，磁场Ⅰ和Ⅱ方向垂直纸面向里，
B1≠B2，有一带正电粒子的电荷量为q，质量为m，以某一初速度垂直边界N 及磁场方
向射入MN 间的磁场区域．不计粒子的重力．求：
(1)要使粒子能穿过磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，粒子的初速度v0至少应为多少？
(2)若粒子进入磁场Ⅰ的初速度v1＝，则粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间t1是多少？
(3)粒子初速度v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域．
11．如图所示，以O 为原点建立平面直角坐标系Oxy，沿y 轴放置一平面荧光屏，
在y＞0,0＜x＜0.5 m 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小B＝
0.5 T．在原点O 放一个开有小孔的粒子源，粒子源能同时放出比荷为＝4.0×106 C/kg
的不同速率的正离子束，沿与x 轴成30°角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧
光屏发亮，入射正离子束的速率在0 到最大值vm＝2.0×106 m/s 的范围内，不计离子
之间的相互作用，也不计离子的重力．
(1)求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；
(2)求离子打到荧光屏上的范围；
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(3)实际上，从O 点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与x 轴成30°～
60°角内进入磁场，则某时刻(设为t＝0 时刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的
离子，经过×10－7 s 时这些离子可能出现的区域面积是多大？
12．如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P 有一速度为v0的带正电粒子平
行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计．
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；
(3)若粒子以速度v0从P 点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板
上．
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