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高考重点考点解读与针对性训练
第十二章 磁场
考点93 磁场中的动态圆模型
【考点解读】
考点1 “平移圆”模型
适用条件
同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点
不同但在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它
们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小
为v0，则圆周运动半径r＝m v0
qB
，如图所示（图
中只画出了粒子带负电的情境）
轨迹圆
圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，该直线与入
射点的连线平行
界定方法
将半径为r＝mv0
qB 的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件
考点2 “旋转圆”模型
适用条件
同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强
磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，
圆周转向相同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入
磁场时的速度为v0，则粒子做圆周运动的轨迹半径为R
＝mv0
qB ，如图所示（图中只画出粒子带正电的情境）
轨迹圆
圆心共圆
如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆
心在以入射点为圆心、半径R＝mv0
qB 的圆上
界定方法
将半径为R＝m v0
qB
的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运
动的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
1
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考点3 “放缩圆”模型
适用条件
同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒
子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化
轨迹圆
圆心共线
如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v 越
大，运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它
们运动轨迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从
而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
考点4 “磁聚焦”与“磁发散”模型
原理
图像
证明
磁聚
焦
如图甲所示，大量同种带正电的
粒子，速度大小相同，平行入射
到圆形磁场区域，不计粒子的重
力及粒子间的相互作用，如果轨
迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝
r），则所有的带电粒子将从磁场
圆的最低点B 点射出
图甲
四边形OAO'B 为菱形，
是特殊的平行四边形，对
边平行，OB 必平行于
AO'（即竖直方向），可
知从A 点入射的带电粒子
必然经过B 点
磁发
散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁
感应强度为B，圆心为O，P 点有
大量质量为m、电荷量为q 的带
正电粒子，以大小相等的速度v
沿不同方向射入有界磁场，不计
粒子的重力及粒子间的相互作
用，如果带正电粒子轨迹圆半径
与有界圆形磁场半径相等，则所
有粒子射出磁场的方向平行
图乙
所有粒子运动轨迹的圆心
与磁场圆圆心O、入射
点、出射点的连线为菱
形，也是特殊的平行四边
形，O1A、O2B、O3C 均平
行且等于PO，即出射速
度方向相同（均沿水平方
向）
【高考真题】
【典例1】.[2021 全国乙]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷
量为q（q＞0）的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场.若粒子射入磁场时
的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场
2
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时速度方向偏转60°.不计重力，则v1
v2
为（ B ）
A.1
2
B.√3
3
C.√3
2
D.√3
答案 B
解析 设圆形磁场区域的半径为R，粒子的运动轨迹如图所示，沿直
径MON 方向以速度v1 射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速
度方向偏转90°，则其轨迹半径为r1＝R，由洛伦兹力提供向心力得
qv1B＝mv1
2
r1
，解得v1＝qBR
m ；沿直径MON 方向以速度v2 射入圆形
匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转60°，由几何关系得tan30°＝R
r2
，可得其轨迹
半径为r2＝√3R，由洛伦兹力提供向心力得qv2B＝mv2
2
r2
，解得v2＝√3qBR
m
，则v1
v2
＝1
√3
＝√3
3 ，B 正确.
【典例2】(2021 高考湖南学业水平选择性考试)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制
备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为
、电荷量为
）以初速度
垂直
进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在
平面内的粒子，求解以下问
题。
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（1）如图（a），宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的
圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感应强度
的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线框
内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽度变为
，并沿
轴正方向射出。求该磁场磁感应强度
的大小和方向，以及该磁场区域的面
积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于
的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于
的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为
的
带电粒子流沿
轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点
，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为
，
并沿
轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大
小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。
【名师解析】本题考查洛伦兹力和牛顿运动定律及其相关知识点，主要考查灵
活运用知识能力.
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(1)最上面的粒子绕磁场边界到达O 点，即轨迹半径为r1，由qvB1=m
，解得B1=
（2）最上面的粒子绕磁场边界到达O 点，方向沿着x 轴负方向，则需要继续逆时针绕半圈
到达矩形边界的最低点，即轨迹半径为r2，由qvB2=m
，解得B2=
，由左手定则可判
断出磁场方向为垂直纸面向里，磁场区域面积为S=πr2
2.
（3）粒子在匀强磁场中运动，3 和4 为粒子运动轨迹，1 和2 为粒子运动的磁场的圆周。
根据qvBIII=m
，可解得BIII=
根据qvBI=m
，解得BI=
图中箭头为粒子运动轨迹的边界，由对称性可知在第II 象限和第IV 象限中磁场区域最小面
积为月牙形，即SII=（π
2
-1）r3
2，SIV=（π
2 −1）r4
2。
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【典例3】．（2020 高考全国理综I）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面
向外，其边界如图中虚线所示，
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于
半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射
入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长
的粒子，其运动时间为
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A．
B．
C．
D．
【参考答案】C
【命题意图】 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动及其相关知识点，考查
的核心素养是运动和力的物理观念、科学思维。
【解题思路】
解法一 带电粒子在匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力qvB=mv2/r，解
得r=mv/qB，运动时间t=αr/v=αm/qB。经过分析可知，带电粒子运动轨迹经过
ab 连线中点的粒子在磁场中运动时间最长。轨迹所对的圆心角α 大于5π/4，小
于3π/2。所以在磁场中运动时间最长粒子的最长时间大于5πm/4qB，小于
3πm/2qB，对照四个选项可知，选项C 正确。
【科学思维】
带电粒子在匀强磁场中运动→由洛伦兹力提供向心力→运动时间→分析轨迹所
对的圆心角→得出粒子的最长时间
【一题多解】
解法二。 带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，qvB=mv2/r，解
得r=mv/qB，运动时间t=αr/v=αm/qB。做完整圆周运动的周期T=2πm/qB 与速度
无关，设ab 弧半圆的半径的半径为R，显然：
（1）当带电粒子的速度较小时，轨迹半径小于R/2，带电粒子将在ca 之间射出，其运动时
间为t=T/2=πm/qB。
（2）当带电粒子的速度较大时，轨迹半径大于3R/2，带电粒子将在bd 之间射出，其运动
时间为t=T/2=πm/qB。
（3）当带电粒子的速度处于上述之间时，轨迹半径大于R/2，小于3R/2，带电粒子将在
ab 弧上射出，其运动时间t＞T/2=πm/qB。由t=αr/v=αm/qB 可知，当轨迹圆弧所对
的圆心角α 越大，其运动时间越长。
我们设带电粒子运动轨迹半径为r，轨迹圆弧所对的圆心角为α=π+θ，如图所示。
对图1 中阴影部分的三角形O’OQ，由余弦定理可得：
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R2=r2+（2R-r）2-2r（2R-r）cosθ，
解得：cosθ=-1+
=-1+
当r=R 时，cosθ 最小，θ 有最大值。
cosθ 最小值为cosθ=-1+1.5=0.5，θ 最大值为π/3，如图2 所示。轨迹圆弧所对的
圆心角为α=π+θ=4π/3，在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为t==αr/v=4πm/
3qB。
解法三。粒子在磁场中做匀速圆周运动
，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
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则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放
缩圆解决该问题，粒子垂直ac 射入磁场，则轨迹圆心必在ac 直线上，将粒子的轨迹半径
由零逐渐放大。
当半径
和
时，粒子分别从ac、bd 区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运
动时间等于半个周期。
当0.5R<r<1.5R 时，粒子从半圆边界射出，逐渐将轨迹半径从0.5R 逐渐放大，粒子射出位
置从半圆顶端向下移动，轨迹圆心角从
逐渐增大，当轨迹半径为R 时，轨迹圆心角最大，
然后再增大轨迹半径，轨迹圆心角减小，因此当轨迹半径等于R 时轨迹圆心角最大，即轨
迹对应的最大圆心角
粒子运动最长时间为
,
故选C。
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【针对性训练】
1.（2025·湖北黄冈期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC 内充满着磁感应强度大小为
B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为＋q、速度为
v 的带正电粒子垂直AB 边射入磁场，已知从AC 边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，
离开磁场时速度垂直于AC 边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（
）
A.等腰三角形ABC 中AB 边的长度为√2mv
qB
B.粒子在磁场中运动的最长时间为π m
2qB
C.从AB 中点射入的粒子离开磁场时的位置与A 点的距离为mv
qB
D.若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
答案：AB
解析：依题意可知当粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹圆的圆心在A 点，且其轨迹与BC
边相切如图甲所示。根据几何关系可知ABsin 45°＝r，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周
运动，有qvB＝mv
2
r
，联立可得AB＝√2mv
qB
，故A 正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动的
周期为T＝2π r
v
，粒子在磁场中运动时间最长时，根据A 选项分析，可知粒子轨迹所对应
的圆心角为90°，则有t＝90°
360°T＝π m
2qB ，故B 正确；从AB 中点射入的粒子，其轨迹为
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上面所分析的粒子轨迹圆的圆心向下平移r－√2
2 r，得到此轨迹圆的圆心在A 点的正下方，
如图乙所示，由几何关系可知，粒子离开磁场时的位置与A 点的距离必然小于轨迹半径r，
即小于mv
qB ，故C 错误；若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角
为90°的轨迹，则粒子在磁场中运动的最长时间将变小，故D 错误。
2 （2025·山东济南期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边
界如图中虚线所示，ab
⏜
为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一
束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子
具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为
（ ）
A.7 π m
6qB
B.5 π m
4 qB
C.4 π m
3qB
D.3 π m
2qB
答案：C
解析：带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
v
2
r
，解得r＝mv
qB ，运动时间t＝θr
v ＝θm
qB ，θ 为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，
粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩圆法，粒子垂直ac 射入磁场，则
轨迹圆圆心必在直线ac 上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当r≤0.5R（R 为ab
⏜的
半径）和r≥1.5R 时，粒子从ac、bd 区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R＜r
＜1.5R 时，粒子从弧ab 上射出，轨迹半径从0.5R 逐渐增大，粒子射出位置从a 点沿弧向
右移动，轨迹所对圆心角从π 逐渐增大，当轨迹半径等于R 时，轨迹所对圆心角最大，再
增大轨迹半径，轨迹所对圆心角减小，因此轨迹半径等于R 时，所对圆心角最大，为θmax
＝π＋π
3 ＝4 π
3 ，粒子最长运动时间为4 π m
3qB ，故C 正确。
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3 垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒
子经过磁场的区域（阴影部分）可能是（ C ）
答案 C
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A 点，
最右端发射的粒子落在B 点，故选C.
4. 如图所示，半径为R 的1
4 圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，磁场的左边垂直x 轴放置一线形粒子发射装置，能在0≤y≤R 的区间内各处沿x 轴正
方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的
重力及粒子间的相互作用力，若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y 轴上的
同一位置，则下列说法中正确的是（ D ）
A.粒子都击中O 点处
B.粒子的初速度为BqR
2m
C.粒子在磁场中运动的最长时间为π m
qB
D.粒子到达y 轴上的最大时间差为π m
2qB －m
qB
答案 D
解析 由题意，某时刻发出的粒子都击中y 轴上一点，由最高点射出的粒子只能击中（0，
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R），可知击中的同一点就是（0，R），A 错误；从最低点射入的粒子也击中（0，R），
由几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝mv
2
R ，
则速度v＝BqR
m ，B 错误；偏转角最大的粒子在磁场中的运动时间最长，显然从最低点射
入的粒子偏转角最大，为90°，故其在磁场中的运动时间最长，时间t＝1
4 T＝1
4 ×2π m
qB ＝
π m
2qB ，C 错误；从最高点直接射向（0，R）的粒子到达y 轴的时间最短，则最长与最短的
时间差为Δt＝t－R
v ＝π m
2qB －m
qB ，D 正确.
5.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与
圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子
质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，
磁场的磁感应强度最小为（ C ）
A.3mv
2ae
B.mv
ae
C.3mv
4 ae
D.3mv
5ae
答案 C
解析 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆
周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，轨迹圆圆心为M，磁场的磁感应
强度最小为B，由几何关系有√r
2＋a
2＋r＝3a，解得r＝4
3 a，电子在匀强磁场中做匀速圆
周运动有evB＝mv
2
r ，解得B＝3mv
4 ae ，选项C 正确.
6 .[2023 四川德阳期末]如图所示，竖直平行线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向
里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度大小为B，MN 上O 处的粒子源
能沿不同方向释放速度大小相等、方向均垂直磁场的带负电粒子，已知粒子
的电荷量为q，质量为m.粒子间的相互作用及重力不计，其中沿θ＝60°射入
的粒子，恰好垂直PQ 射出，则（ D ）
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为√3a
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B.粒子的速率为aqB
m
C.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为π m
3qB
D.PQ 边界上有粒子射出的长度为2√3a
答案 D
解析 粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直PQ 射出，则粒子在磁场中转过30°，如图甲所示，
由几何关系有Rsin30°＝a，解得R＝2a，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv
2
R ，则v＝
2aqB
m
，故AB 错误.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为t＝30°
360°T＝1
12×
2π R
v
＝π R
6 v ＝π m
6qB ，故C 错误.如图乙所示，θ＝0°时，粒子从PQ 上离开磁场的位置与B
点的距离为√3a，当θ 增大
时，粒子从PQ 上离开磁场的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ 相切；θ 继续增大，则粒
子不能从PQ 边界射出；粒子运动轨迹与PQ 相切时，由半径R＝2a 可知，粒子转过的角度
为60°，所以出射点在PQ 上O 点的水平线下方√3a 处；所以PQ 边界上有粒子射出的长度
为2√3a，故D 正确.
7. （2025·河北石家庄模拟）如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，
磁感应强度的大小B＝0.60 T。磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距
ab 为l＝16 cm 处，有一个点状的α 粒子放射源S，它向各个方向发射α 粒子，α 粒子的速
率都是v＝3.0×106 m/s。已知α 粒子的电荷量与质量之比q
m＝5.0×107 C/kg。现只考虑
在纸面内运动的α 粒子，求ab 板上被α 粒子打中区域的长度。
答案：20 cm
解析：α 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动。根据洛伦兹力提供向心
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力，有qvB＝mv
2
R
，
解得R＝mv
qB ，
代入数据解得R＝10 cm，可见R＜l＜2R。
因朝不同方向发射的α 粒子的轨迹圆都过S，由此可知，某轨迹圆在N 左侧与ab 相切，则
此切点P1 就是α 粒子能打中的左侧最远点，为确定P1 点的位置，可作平行于ab 的直线
cd，cd 到ab 的距离为R，以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，
它与ab 的交点即为P1。从图中几何关系得NP1＝√R
2－（l－R）
2。任何α 粒子在运动
中离S 的距离不可能超过2R，以2R 为半径、S 为圆心作圆弧，交ab 于N 右侧的P2点，此
即右侧能打到的最远点。
从图中几何关系得NP2＝√（2 R）
2－l
2，
所求长度为P1P2＝NP1＋NP2，
代入数据解得P1P2＝20 cm。
8 （2025·江苏南通模拟）如图所示，半径为R、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场，MN 是
一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P 以速率v 沿不
同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m，
电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正
确的是（ ）
A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C.若粒子速度大小均为v＝qBR
m ，出射后均可垂直打在MN 上
D.若粒子速度大小均为v＝qBR
m ，则粒子在磁场中的运动时间一定小于π m
qB
答案：ACD
解析：对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，弧长越长，
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轨迹对应的圆心角越小，由t＝θ
2π T＝θm
qB 可知，运动时间越短，故选项A 正确，B 错误；
粒子速度大小均为v＝qBR
m 时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r＝mv
qB ＝
R，根据几何关系可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场
时的轨迹半径与PO 平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN 垂直，出射后均可垂直打在
MN 上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜
1
2T＝π m
qB ，故选项C、D 正确。
9.（2025·江苏南京期中）如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e 是ad 的中点，
f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的带电粒子，恰好从e 点射
出，不计粒子重力，则（ ）
A.只改变粒子的速度使其分别从e、d、f 点射出时，从f 点射出所用时间最长
B.只把磁场的磁感应强度变为原来的三分之一，粒子将从d 点射出
C.只把粒子的速度增大为原来的三倍，粒子将从f 点射出
D.只把粒子的速度增大为原来的三倍，粒子出射时的速度偏转角大于45°
答案 D
解析： 只改变粒子的速度使其分别从e、d、f 三点射出时，其运动轨迹如图，轨迹的圆
心角是从f 点射出时最小，根据公式t＝θ
2π T＝θ
2π ·2π m
qB ＝θm
qB ，可知粒子从f 点射出时运
动时间最短，故A 错误；由几何关系可知，粒子从e 点射出的半径与从d 点射出的半径关
系为2re＝rd，根据qvB＝mv
2
r
，解得r＝mv
qB ，可知只把磁场的磁感应强度变为原来的二分
之一，则半径变为原来的2 倍，粒子将从d 点射出，故B 错误；设正方形的边长为2a，则
粒子从e 点射出时，轨迹半径为r1＝√2
2 a，如果粒子的速度变为原来的3 倍，由半径公式r
＝mv
qB ，可知，半径将变为原来的3 倍，即r3＝3√2
2
a，轨迹如图所示，由几何关系得AB＝
r3－r3sin 45°≈0.6a 由于dD＜AB＝0.6a＜df＝a，所以粒子从f、d 之间射出磁场。由图可
知，粒子出射时的速度偏转角大于45°，故C 错误，D 正确。
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10.如图所示为边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A
点沿AB 方向射入磁场，恰好从C 点飞出磁场；若带电粒子以相同的速
度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，则从DC 边的M 点飞出磁场（M
点未画出）.设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t1，从P 点运动到
M 点所用的时间为t2.带电粒子重力不计，则t1∶t2为（ C ）
A.2∶1
B.2∶3
C.3∶2
D.1∶2
答案 C
解析 画出粒子从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹
向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C 点射出的粒子运动时间
为t1＝T
4 ；由P 点运动到M 点所用时间为t2，圆心角为θ，cosθ＝
R
2
R
＝1
2
，则θ＝60°，故t2＝T
6 ，所以t1
t2
＝
T
4
T
6
＝3
2，C 正确.
11.[2021 全国乙]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，
质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子从圆周上的M 点沿直径
MON 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场
时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时
速度方向偏转60°.不计重力，则v1
v2
为（ B ）
A.1
2
B.√3
3
C.√3
2
D.√3
答案 B
解析 设圆形磁场区域的半径为R，粒子的运动轨迹如图所示，沿直
径MON 方向以速度v1 射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速
度方向偏转90°，则其轨迹半径为r1＝R，由洛伦兹力提供向心力得
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qv1B＝mv1
2
r1
，解得v1＝qBR
m ；沿直径MON 方向以速度v2 射入圆形匀强磁场区域的粒子
离开磁场时速度方向偏转60°，由几何关系得tan30°＝R
r2
，可得其轨迹半径为r2＝√3R，由
洛伦兹力提供向心力得qv2B＝mv2
2
r2
，解得v2＝√3qBR
m
，则v1
v2
＝1
√3＝√3
3 ，B 正确.
12. 如图所示，空间中存在一半径为R、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场，MN 是一竖直放
置的足够长的感光板.大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P 以速率v 沿不同方向垂直
磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子.粒子质量为m，电荷量为q，
不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力.关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ACD
）
A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短
B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长
C.若粒子速度大小均为v＝qBR
m ，出射后均可垂直打在MN 上
D.若粒子速度大小均为v＝qBR
m ，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
π m
qB
答案 ACD
解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的
圆心角越小，由t＝θ
2π T＝θm
qB 可知，运动时间越短，故A 正确，B 错误.粒子速度大小均
为v＝qBR
m 时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径r＝mv
qB ＝R，根据几何关系
可知，入射点P、O、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与
PO 平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN 垂直，出射后均可垂直打在MN 上；根据几
何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t＜1
2T＝π m
qB ，故
C、D 正确.
13.[2023 豫北名校联考/多选]如图所示，直角三角形ABC 区域内有一方向垂直纸面向里、
磁感应强度大小为B 的匀强磁场，∠A＝30°，AB＝L.在A 点有一个粒子源，可以沿AB 方
向发射速度大小不同的带正电的粒子.已知粒子的比荷均为k，不计粒子间相互作用及重力，
则下列说法正确的是（ CD ）
A.随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变短
B.随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏转角变大
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C.从AC 边射出的粒子的最大速度为2√3
3
kLB
D.从AC 边射出的粒子在磁场中的运动时间为π
3kB
答案 CD
解析
14.[多选]如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，
O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子（重力忽略不计）从O 点沿纸面
以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t0 刚好从c 点射出
磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向（如图中虚线所示）且以
各种不同的速率射入正方形区域内，那么下列说法正确的是（ AD ）
A.该带电粒子不可能从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为3
2t0
C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为3
2t0
D.若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定为5
3t0
答案 AD
解析 带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0 刚好从
c 点射出磁场，则知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝2t0.如
图所示，随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可
以知道粒子在四个边射出时，不可能从四个顶点射出，故A 正确；由几何关系可知粒子从
ab 边射出时经历的时间小于半个周期t0，从bc 边射出时经历的时间小于2
3T，从cd 边射出
时轨迹所对的圆心角都是300°，经历的时间为5T
6 ＝5t0
3 ，故B、C 错误，D 正确.
15 .如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里.P
为屏上的一个小孔，PC 与MN 垂直.一群质量为m、带电荷量为－q 的粒子（不计重力），
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以相同的速率v 从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B 垂直的
平面内，且散开在与PC 夹角为θ 的范围内.则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为（ D
）
A.2mv
qB
B.2mv c osθ
qB
C.2mv （1－sinθ）
qB
D.2mv （1－c osθ）
qB
答案 D
解析 当粒子初速度方向与MN 垂直时，粒子打中屏MN 上被粒子打中的区域的最右端，
到P 点的距离x1＝2r＝2mv
qB ；当粒子初速度方向与PC 夹角为θ 时，粒子打中屏MN 上被
粒子打中的区域的最左端，到P 点的距离x2＝2rcosθ＝2mv c osθ
qB
，故在屏MN 上被粒子
打中的区域的长度为x1－x2＝2mv （1－c osθ）
qB
，D 正确.
16. 如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为
－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，
要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设
计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强
度可以是下列选项中的（其中B0＝mv0
qL ，A、C、D 选项
中曲线均为半径为L 的1
4 圆弧，B 选项中曲线为半径为L
2
的圆）（ AB ）
A B C D
答案 AB
解析 根据磁汇聚和磁发散模型可知磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项
中的AB。
17 .如图所示，正方形区域abcd 内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝
0.4l，大量带正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不
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计粒子重力和粒子间的相互作用.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强
度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）若带电粒子从ad 边离开磁场，求v0的取值范围.
答案 （1）143 π m
90qB （2）qBl
4 m ＜v0≤5qBl
9m
解析 （1）粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲
所示
有qBv0＝m v0
2
R
，又T＝2π R
v0
，解得T＝2π m
Bq
又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间
t＝360°－74°
360°
T＝143 π m
90qB
（2）粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨迹半径为R1，由几何
关系可得
R1＋R1sin37°＝0.4l
又qBv01＝mv01
2
R1
，解得v01＝qBl
4 m
粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨迹半径为R2，由几何
关系可得
R2＋R2cos37°＝l
又qBv02＝mv02
2
R2
，解得v02＝5qBl
9m
综上可得qBl
4 m ＜v0≤5qBl
9m .
18.[2024 湖北武汉部分学校调研/多选]如图所示，在xOy 平面的第一象限内存在方向垂直纸
面向里、磁感应强度大小B＝0.5T 的有界匀强磁场（未画出），磁场右边界满足曲线方程
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x
2
2 ＋y
2
4 ＝1（其中x≥0，y≥0，单位：m），M 点的坐标为（1
2m，√3
2 m）.从O 点沿x 轴
正方向以不同速率射出大量质量m＝1×10－6kg、电荷量q＝＋2×10－4C 的同种粒子，不计
粒子的重力及粒子间的相互作用力，已知所有粒子均不从磁场右边界射出.下列说法正确的
是（ BD ）
A.所有粒子在磁场中运动的时间不同
B.粒子的最大速率为100m/s
C.磁场中有粒子出现的区域面积为π
3 m2
D.某粒子从O 点运动到M 点的过程，动量改变量大小为1×10－4kg·m/s
答案 BD
解析 由题意可知所有的粒子应从y 轴上沿x 轴负方向离开磁场，则所有粒子在磁场中的
运动时间均为T
2 ＝π m
qB ，又所有粒子的质量和电荷量均相同，所以所有粒子
在磁场中的运动时间相同，A 错误；当粒子在磁场中的运动轨迹与磁场右边界相切时，粒
子的运动轨迹半径最大，速率最大，又粒子的最大轨迹圆方程为x2＋（y－rm）2＝rm
2 ，磁场
右边界的曲线方程为x
2
2 ＋y
2
4 ＝1，则联立所得方程的判别式Δ＝0，解得rm＝1m，根据粒
子在磁场中运动时有qvmB＝mvm
2
rm
，可得vm＝qBrm
m
＝100m/s，B 正确；根据题意可知磁场
中有粒子出现的区域面积为粒子在磁场中运动的最大轨迹圆面积的1
2，即S＝1
2πrm
2 ＝π
2
m2，C 错误；作出粒子运动过程中经过M 点的轨迹如图所示，则由几何关系有r2＝（1
2
m）2＋（√3
2 m－r）2，解得r＝√3
3 m，则粒子的速率为v＝qBr
m ＝100√3
3
m/s，根据图中的
几何关系可知粒子在M 点时速度方向与y 轴正方向的夹角满足cosθ＝
1
2
√3
3
＝√3
2 ，即θ＝
30°，则粒子从O 点运动到M 点的过程，速度改变量的大小为Δv＝2vsin30°+90°
2
＝√3
v＝100m/s，所以此过程动量改变量的大小为Δp＝mΔv＝1×10－4kg·m/s，D 正确.
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