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高考重点考点解读与针对性训练
第四章 抛体运动
考点26 平抛运动的临界极值问题
【考点解读】
1.常见的“临界术语”
（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，
表明题述的过程中存在临界点。
（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。
2.平抛运动临界、极值问题的分析方法
（1）确定研究对象的运动性质；
（2）根据题意确定临界状态；
（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
【高考真题】
【典例1】.（2024·浙江1 月选考8 题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到
水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶
底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（ ）
A. D
4 √
g
h
B. D
2 √
g
2h
1
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C.（√2+1）D
2
√
g
2h
D.（√2＋1）D√
g
2h
【典例2】. （2022 年高考河北卷）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以
为圆
心、
和
为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出
水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和
外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用
、
、
和
、
、
表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷
水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，
，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D. 若
，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【典例3】. （2023 高考湖北卷）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆
形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B 在桌面边缘，B 与半径为R 的固
定光滑圆弧轨道
在同一竖直平面内，过C 点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小
物块以某一水平初速度由A 点切入挡板内侧，从B 点飞出桌面后，在C 点沿圆弧切线方向
2
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进入轨道
内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为
，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D 点的速度大小；
（2）B 和D 两点的高度差；
（3）小物块在A 点的初速度大小。
【典例4】.[2023 新课标]将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地
飞向远方，俗称“打水漂”.要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速
度方向与水面的夹角不能大于θ.为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h
处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速
度大小为g）
【针对性训练】
1 .如图，小球从A 点斜向上抛出，恰好垂直撞到竖直墙壁的B 点，
已知小球在A 点速度大小为2√3m/s，与水平方向成60°角.g 取10m/s
2
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A.小球上升的最大高度为0.6m
B.小球在最高点时的速度大小为3m/s
C.小球从A 运动到B 的时间为0.3s
D.A、B 间的水平距离为1.6m
3
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2.[ 2023 昆明一中、银川一中联考/多选]如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为1
4 圆弧
bc，半径为R，O 为圆心，若在O 点以大小不同的初速度v0沿Oc 方向水平抛出小球，小球
落在坑内.空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A.小球落在圆弧面上的最小速度为√2 gR
B.小球落在圆弧面上的最小速度为√√3 gR
C.小球的运动时间与v0大小无关
D.无论调整v0大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧面上
3. 如图所示，蜘蛛在水平地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB 与地面之间
的夹角为45°，A 点到地面的距离为1m，已知重力加速度g 取10m/s2，空
气阻力不计.若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m 的C 点以水平速度v0跳出，要
到达蛛丝AB，水平速度v0至少为（ ）
A.1m/s
B.2m/s
C.2.5m/s
D.√5m/s
4 .如图所示，排球比赛中，某运动员在距网水平距离为4.8m、距地面3.2m 高处将排球沿
垂直网的方向以16m/s 的速度水平击出.已知网高为2.24m，排球场地长为18m，重力加速
度g 取10m/s2，可将排球视为质点，下列判断正确的是（ ）
A.球不能过网
B.球落在对方场地内
C.球落在对方场地端线上
D.球落在对方场地端线之外
5. 如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d＝0.4 m，某人在距离墙
壁L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m 处的P 点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速
度v 水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速
度取g＝10 m/s2，则可以实现上述要求的速度大小是（ ）
4
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A.2 m/s
B.4 m/s
C.8 m/s
D.10 m/s
6. 某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m 高的水平桌子
上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力
作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（ ）
A.0
B.0.1 m
C.0.2 m
D.0.3 m
7. 如图所示，水平面上固定一半径为5m 的四分之一圆弧轨道，O 为轨道的圆心，圆弧轨
道与水平面相切于B 点.在圆心O 右侧同一水平线上的某点水
平向左抛出一个小球，小球可视为质点，恰好垂直击中轨道上
的C 点，C 点到水平面的高度为2m，取g＝10m/s2，则小球抛
出时的速度大小为（ ）
A.3√5
2
m/s
B.4√5
3
m/s
C.8√15
3
m/s
D.4√15
3
m/s
8.如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO'距桌面的高度为h，发射器
O'A 部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A 点以初速度v0 水平发射出去，其中
√2 gh≤v0≤2√2 gh，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力
不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时
间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S 是（ ）
A.2πh2
B.3πh2
5
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C.4πh2
D.8πh2
9.（2025·云南昆明模拟）如图所示，从高H＝5 m 处的A 点先后水平抛出两个小球1 和
2。球1 与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板落在水平地面上的E 点，
已知碰撞前后的水平分速度不变、竖直分速度等大反向。球2 的初速度v0＝3 m/s，也恰好
越过挡板落在E 点，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是（
）
A.小球2 的水平射程为5 m
B.小球1 平抛运动的初速度为1.5 m/s
C.抛出点A 与竖直挡板顶端D 点的高度差h＝5
3 m
D.抛出点A 与竖直挡板顶端D 点的高度差h＝1.25 m
10.（2025·湖北荆州期末）如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速
度v0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，B 到斜面
底边的竖直高度为H，则下列说法中正确的是（ ）
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝2v0 tanθ
g
B.若小球以最小位移到达斜面，则v0＝√
gH
2
sin θ
C.若小球能击中斜面中点，则t＝2v0
g tanθ
D.若小球垂直击中斜面，则t＝v0 tanθ
g
11.（2025·湖北武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上
M 点的正上方0.2 m 处由静止下落，在M 点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N 点。已知小
6
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球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量不变，沿垂直于斜面方向的分量大小不变，
方向相反，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻
力，则小球从M 点运动至N 点所用的时间为（ ）
A.0.2 s
B.0.3 s
C.0.4 s
D.0.5 s
12.（2025·河北邢台二中模拟）如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙（厚度不计）高h＝
3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m。为使小球从屋顶水平飞
出落在围墙外的空地上，重力加速度g 取10 m/s2，求：
（1）小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
（2）小球落在空地上的最小速度。
13.[2024 江西赣州大余中学校考]如图所示，某同学在游戏中模拟直升机投弹后炸弹在空中
的运动情况，直升机在距离水平地面一定高度处，以速度v0＝50m/s 水平向右匀速飞行，
某时刻在空中O 点释放一颗质量为m 的炸弹，炸弹下落t1＝2.5s 后到达虚线PQ 上的A 点，
虚线PQ 与水平地面间的区域有水平横风，能给炸弹水平向
左的恒力F＝4
3 mg，炸弹进入横风区域后会经过速度最小的
B 点（未画出），最后恰好竖直向下砸向地面.炸弹下落过程
中，除了考虑重力和水平风力外，不考虑空气阻力，重力加
速度g 取10m/s2.求：
（1）OA 间的距离；
（2）炸弹在空中运动的时间；
（3）炸弹在B 点的速度大小和方向.
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14. (山东青岛2025 年高三年级第三次适应性检测) 如图所示，半径为R 的光滑球固定在水
平面上的A 点，球上B 点与球心O 等高，C 点位于A 点正上方，水平面上距A 点x 处的P 点
与O、A 在同一竖直面内。在POA 面内将小球从P 点以某一速度抛出，要使小球能够到达
球的右侧，下列说法正确的是（ ）
A. 小球抛出的最小速度为
B. 若小球恰好从C 点掠过球面，则抛出的最小速度为
C. 若
，小球恰好从C 点掠过球面，则抛出速度大小为
D. 小球抛出后可从圆弧B 点以上任一点切入球面，沿球面到达右侧
15. (山东德州2025 年5 月冲刺模拟)如图甲所示，“天鲲号”不仅是我国疏浚装备制造技
术的巅峰之作，更是综合国力提升的重要象征。不计空气阻力，“天鲲号”在吹沙填海工
程中喷出泥沙的运动可视为斜上抛运动，以排泥管口为坐标原点，建立图乙所示坐标系。
排泥管口的仰角为
，距海面的高度h，泥沙喷出的初速度大小为
，在排泥过程中“天
鲲号”始终保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. 喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为
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B. 泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
C. 喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为
D. 调整仰角
，泥沙在海面落点
坐标的最大值为
16.[2024 江西赣州模拟]某同学在水平地面上方高h 处以一定大小的速度v0抛出一小球，当
其速度方向不同时，落地点与抛出点的水平距离即射程大小也不同，若不计空气阻力，则
最大射程为（ ）
A.√2v0
2
g
B.v0
2+2 gh
g
C.h＋v0
2
g
D.v0√v0
2+2 gh
g
9
