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高考重点考点解读与针对性训练
第二章 相互作用
考点11 平衡中的临界极值问题
【考点解读】
平衡中的临界与极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
临界常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。
（3）恰好离开接触面，支持力N＝0。
2.极值问题
平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解决极值问题和临界问题的方法
（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利
用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或
画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。
但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或
说明。
（3）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；
临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量
推向极端，即极大或极小.
【高考真题】
【典例1】. （2023 高考河北卷）如图，轻质细杆
上穿有一个质量为
的小球
，将
杆水平置于相互垂直的固定光滑斜面上，系统恰好处于平衡状态。已知左侧斜面与水平面
成
角，则左侧斜面对杆
支持力的大小为（ ）
1
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A.
B.
C.
D.
【典例2】.[2022 浙江1 月]如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石礅，石礅
与水平地面间的动摩擦因数为μ.工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石礅时，两平行轻绳
与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（ ）
A.轻绳的合拉力大小为μmg
c osθ
B.轻绳的合拉力大小为
μmg
c osθ＋μsinθ
C.减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D.轻绳的合拉力最小时，地面对石礅的摩擦力也最小
【针对性训练】
1.（2025·株洲一模）碗内部为半球形，半径为R，碗口水平。生米与碗内侧间的动摩擦因
数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d 为（
）
A.R√1+ μ
2
B.R√1－μ
2
2
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C.R√
1
1－μ
2
D.R√
1
1+ μ
2
2 .如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m 和2m 的物块A、B，通
过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B 间的接触面和
轻
绳均与木板平行.A 与B 间、B 与木板间的动摩擦因数均
为
μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的
夹
角为45°时，物块A、B 刚好要滑动，则μ 的值为（
）
A.1
3
B.1
4
C.1
5
D.1
6
3. 如图所示为两个挡板夹一个小球的纵截面图，每个挡板和竖直方向
的夹角均为θ.挡板与小球间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小球静
止不动.小球的质量为m，与两挡板之间的动摩擦因数均为μ（μ＜
tanθ），重力加速度为g.则每个挡板的弹力N 的范围为多少？
4. [2024 吉林长春质量监测]如图，质量为m 的光滑球体夹在竖直墙
壁和斜面体之间，斜面体的质量为2m，倾角θ＝37°，设斜面体与地
面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若斜面体恰好不滑动，则斜面
体与水平地面间的动摩擦因数μ 为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（
）
A.1
4
B.3
8
C.2
3
D.4
9
5 . [2024 黑龙江鸡西实验中学校考]建筑工人用如图所示的
方式将重物从平台缓慢下放到地面上，固定重物的光滑圆环套
在轻绳上，轻绳的一端固定在竖直墙上，工人手握的部分有足
够长的绳子，工人站在平台上的位置保持不变，缓慢释放手中
的绳子，重物缓慢下降，则在重物下降的过程中（ ）
A.绳对圆环的作用力逐渐减小
B.工人对绳的拉力不变
C.平台对工人的支持力逐渐增大
3
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D.平台对工人的摩擦力逐渐减小
6.[2024 辽宁鞍山模拟]如图所示，装卸工人利用斜面将一质量为m、表面光滑的油桶缓慢
地推到汽车上.在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由与水平方向成60°角斜向上逐
渐变为水平向右，已知斜面的倾角为θ＝30°，重力加速度为g，则关于工人对油桶的推力
大小，下列说法正确的是（ ）
A.不变
B.逐渐变小
C.逐渐变大
D.最小值为mg
2
7.[2024 湖北武汉部分学校调研]某装备矢量发动机（其喷口可以偏转，以产生不同方向的
推力）的战斗机沿水平方向飞行.已知战斗机的质量为m，升阻比（升力与阻力之比，升力
主要由机翼上下表面空气流速不同产生，垂直机身向上，阻力平行机身向后）为k，重力
加速度取g.战斗机匀速巡航时，该发动机提供的最小推力为（ ）
A.mg
B.mg
k
C.√k
2+1
k
mg
D.√k
2+1
k
2+1
mg
8. 重庆南开中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼.在某次锻炼过程中，一学
生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°，保持两手之间夹角不变，将右手由图示
位置缓慢旋转60°至水平位置.不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是（
）
A.右手对铅球的弹力增加
B.右手对铅球的弹力先增加后减小
C.左手对铅球的弹力增加
D.左手对铅球的弹力先增加后减小
9 .[2024 湖南常德一中开学考]如图所示，质量均为m 的铁球和木块通过轻绳a 连接，轻
绳b 一端拴接在铁球上，另一端连接在弹簧测力计的挂钩上，通过弹簧测力计牵引铁球和
木块一起沿水平方向做匀速直线运动.当轻绳b 与水平方向成30°角时弹簧测力计示数最小.
已知重力加速度为g，则（ ）
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A.木块与地面间的动摩擦因数为0.5
B.弹簧测力计示数的最小值为1
2mg
C.弹簧测力计示数最小时，轻绳a 上的拉力大小为1
2mg
D.弹簧测力计示数最小时，轻绳a 与竖直方向的夹角为60°
10.[2024 山西大同一中阶段练习/多选]如图所示，木板B 放在粗糙水平地面上，O 为光滑铰
链.轻杆一端与铰链O 固定连接，另一端固定连接重为G 的小球A.现将轻绳一端拴在小球A
上，另一端通过光滑定滑轮O'由力F 牵引，定滑轮位于O 的正上方，整个系统处于静止状
态.现改变力F 的大小使小球A 和轻杆从图示位置缓慢运动到O 点正上方，木板始终保持静
止，则在小球A 运动过程中（ ）
A.牵引力F 逐渐减小
B.轻杆对小球的作用力先减小后增大
C.地面对木板的支持力逐渐减小
D.地面对木板的摩擦力逐渐减小
11 （2025·贵州贵阳模拟）如图所示，三根细轻绳系于O 点，其中OA 绳另一端固定于A 点，
OB 绳的另一端与放在粗糙水平地面上质量为60 kg 的物体乙相连，乙与水平地面的动摩擦
因数为0.2，OC 绳的另一端悬挂物体甲，轻绳OA 与竖直方向的夹角θ＝37°，OB 绳水平。
欲使乙物体静止，则甲物体的质量最大为（已知重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8；最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ）
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A.24 kg
B.20 kg
C.16 kg
D.12 kg
12 （2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1 000
√2 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重
物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为√3
3 ，则他能拉动的重物质量最大为（
）
A.100 kg
B.100√3 kg
C.200 kg
D.200√3 kg
13 如图所示，质量为m 的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速
下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多
大，都不能使物体沿斜面向上滑行。求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）这一临界角θ0的大小。
14 如图（a）所示，小球系在细绳的一端，放在倾角为α＝30°的光滑斜面体上，细绳的
另一端固定在天花板上，开始细绳沿竖直方向，现用力将斜面体在水平桌面上缓慢向左推
动.
（1）如果斜面体足够高，小球缓慢地沿斜面运动的过程中，细绳的拉力与小球所受的支持
力如何变化？（图解法）
（2）如果细绳与斜面平行，细绳的拉力为多大？（正交分解法）
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（3）如果细绳与斜面成15°角，细绳的拉力为多大？（正弦定理法）
（4）如果将斜面体换为固定的光滑半圆柱体，如图（b）所示，放在半圆柱体上的小球被
一绕过定滑轮的绳用力F 拉着由半圆柱体的底端缓慢地到顶端的过程中，分析绳的拉力F
及半圆柱体对小球的支持力F 支的变化情况.（相似三角形法）
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