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高考易错点解读和针对训练
第二章 相互作用
易错点2.8 平衡中的临界极值问题
易错点解读
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
临界常见的种类：
（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
（2）绳子由松弛到绷紧，拉力F＝0。
（3）恰好离开接触面，支持力N＝0。
2.极值问题
平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解决极值问题和临界问题的方法
（1）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利
用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
（2）数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或
画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）。
但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或
说明。
【典例剖析】
典例1（2022·浙江1 月卷·T5）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩
与水平地面间的动摩擦因数为
，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻
绳与水平面间的夹角均为
，则下列说法正确的是（ ）
A. 轻绳的合拉力大小为
B. 轻绳的合拉力大小为
C. 减小夹角
，轻绳的合拉力一定减小
D. 轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【答案】B
【解析】对石墩受力分析，由平衡条件可知
联立解得
故A 错误，B 正确；
拉力的大小为
其中
，可知当
时，拉力有最小值，即减小夹角
，轻绳的合拉力不一
定减小，故C 错误；
摩擦力大小为
可知增大夹角
，摩擦力一直减小，当
趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小
时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D 错误；
【针对性训练】
1.（2025·山东潍坊模拟预测）小明同学喜欢体育运动，他拖拉重物时拉力最大为1 000❑√2
N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重物沿
斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为
❑√3
3 ，则他能拉动的重物质量最大为（
）
A.100 kg
B.100❑√3 kg
C.200 kg
D.200❑√3 kg
答案：C
解析：设拉力F 与斜面夹角为θ，则他恰好拉动重物时有Fcos θ＝mgsin 15°＋μ
(mgcos15°－F sinθ)，
整
理
可
得
F
＝
mgsin15°＋μmgcos15°
μsinθ＋cosθ
＝
mg
❑√1+ μ
2sin 45°
❑√1+ μ
2sin (θ＋φ)
＝mgsin 45°
sin (θ＋φ) ，故当sin(θ＋φ)＝1 时，m 最大，则他能拉动的重
物质量最大为m＝
F
gsin 45°＝200 kg，故选C。
2. 如图所示，三根轻质细线结于O 点，OA 另一端固定在天花板上的A 点（位于圆心O'的
正上方），OB、OC 另一端分别连接质量为m 的小球P（可视为质点）、质量为4m 的物体
Q。将物体Q 放置于粗糙水平面上，小球P 放置于半径为R 的光滑半圆柱上，当A、O、
O'处于同一竖直线上时，OC 处于水平且物体Q 恰好不滑动，此时
，
，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则物体Q 与水平面间的动摩擦因数为（ ）
A. 0.12
B. 0.16
C. 0.20
D. 0.25
【参考答案】A
【名师解析】
根据题意，对小球P 受力分析，受重力
，光滑半圆柱的支持力
和绳子的拉力
，小
球P 受力平衡，画出拉力
等大反向的力
，即为
和
的合力，如图所示
由相似三角形可得
代入数据解得
由余弦定理有
代入数据解得
则
对结点O 受力分析，如图所示
由O 点平衡条件有
且
与
大小相等，对物体Q 受力分析，如图所示
由平衡条件有，竖直方向
水平方向
又
与
大小相等，且
联立各式，代入数据解得
故选A。
3.如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m 和2m 的物块A、B，通
过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B 间的接触面和轻绳均与木板平行.A 与B 间、B 与木
板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当木板与水平面的夹角为45°时，
物块A、B 刚好要滑动，则μ 的值为（ C ）
A.1
3
B.1
4
C.1
5
D.1
6
答案 C
解析 根据题述，物块A、B 刚要滑动，可知A、B 之间的摩擦力fAB＝μmgcos45°，B 与木板
之间的摩擦力f＝μ·3mgcos45°.隔离A 分析受力，由平衡条件可得轻绳中拉力F＝fAB＋
mgsin45°.对AB 整体，由平衡条件有2F＝3mgsin45°－f，联立解得μ＝1
5，选项C 正确.
4.[2024 湖北武汉部分学校调研]某装备矢量发动机（其喷口可以偏转，以产生不同方向的
推力）的战斗机沿水平方向飞行.已知战斗机的质量为m，升阻比（升力与阻力之比，升力
主要由机翼上下表面空气流速不同产生，垂直机身向上，阻力平行机身向后）为k，重力
加速度取g.战斗机匀速巡航时，该发动机提供的最小推力为（ D ）
A.mg
B.mg
k
C.
❑√k
2+1
k
mg
D.
❑√k
2+1
k
2+1
mg
答案 D
解析 由题意可知战斗机在匀速巡航时受到的重力、升力、阻力的示意图如图所示，
由于F升
F阻
＝k 为一定值，所以升力和阻力的合力的方向是确定的，设此合力与阻力的夹角为
θ，则tanθ＝k，易知cosθ＝
❑√k
2+1
k
2+1
，将重力向左上平移至如图所示，由图示的几何关系
可知，当推力F 与升力和阻力的合力垂直时，推力最小，故最小推力Fmin＝mgcosθ＝
❑√k
2+1
k
2+1
mg，D 正确.
5.[2024 湖南常德一中开学考]如图所示，质量均为m 的铁球和木块通过轻绳a 连接，轻绳b
一端拴接在铁球上，另一端连接在弹簧测力计的挂钩上，通过弹簧测力计牵引铁球和木块
一起沿水平方向做匀速直线运动.当轻绳b 与水平方向成30°角时弹簧测力计示数最小.已知
重力加速度为g，则（ D ）
A.木块与地面间的动摩擦因数为0.5
B.弹簧测力计示数的最小值为1
2mg
C.弹簧测力计示数最小时，轻绳a 上的拉力大小为1
2mg
D.弹簧测力计示数最小时，轻绳a 与竖直方向的夹角为60°
答案 D
解析 由于弹簧测力计牵引铁球和木块一起沿水平方向做匀速直线运动，则对铁球和木块
整体受力分析如图甲所示，当轻绳b 与水平方向成30°角时，弹簧测力计示数最小，此时轻
绳b 上的拉力T、整体的重力2mg，地面给木块的支持力FN与地面给木块的摩擦力f 的合力
F 合的关系如图乙所示，根据几何关系可知α＝30°，且tanα＝f
F N
、T＝2mgsinα、f＝μFN，
解得μ＝
❑√3
3 、T＝mg，故A、B 错误；弹簧测力计示数最小时，轻绳a 与竖直方向的夹角
为θ，则对铁球受力分析有Tsin30°＋Tacosθ＝mg、Tcos30°＝Tasinθ，联立解得θ＝60°、Ta＝T
＝mg，故C 错误、D 正确.
6.[2024 吉林长春质量监测]如图，质量为m 的光滑球体夹在竖直墙壁
和斜面体之间，斜面体的质量为2m，倾角θ＝37°，设斜面体与地面
间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若斜面体恰好不滑动，则斜面体
与水平地面间的动摩擦因数μ 为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（ A
）
A.1
4
B.3
8
C.2
3
D.4
9
答案 A
解析 对光滑球体受力分析，如图1 所示，则由平衡条件有N1＝N2sinθ，mg＝N2cosθ，联
立解得N1＝3
4 mg，对光滑球体与斜面体组成的整体受力分析，如图2 所示，则由平衡条件
有N1＝μN3，3mg＝N3，联立解得μ＝1
4 ，A 正确.
图1 图2
7. 如图所示，质量为m 的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速
下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多
大，都不能使物体沿斜面向上滑行。求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）这一临界角θ0的大小。
答案：（1）
❑√3
3 （2）60°
解析：（1）如图甲所示，未施加力F 时，对物体受力分析
由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcos 30°
解得μ＝tan 30°＝
❑√3
3 。
（2）设斜面倾角为α 时，物体无法向上滑行，受力情况如图乙所示，由平衡条件得
Fcos α＝mgsin α＋Ff'
FN'＝mgcos α＋Fsin α，Ff'≤μFN'
解得F≤mgsin α ＋μmgcosα
cosα －μsin α
当cos α－μsin α＝0，即tan α＝❑√3时
不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°。
8. (2024 年12 月四川成都石室中学适应性测试) 如图所示，轻绳
的一端与质量为
的物
块A 连接，另一端跨过定滑轮与轻绳
拴接于
点。与水平方向成
角的力
作用在
点，
质量为
的物块B 恰好与地面间没有作用力。已知
，定滑轮右侧的轻绳
与竖直
方向的夹角也为
，重力加速度为
。当
从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动
的
过程中，结点
、
的位置始终保持不变。则下列说法正确的是（ ）
A.
的最小值为
B.
C. 轻绳
对定滑轮的作用力变大
D. 地面对物块B 的支持力变小
【答案】A
【解析】物块
恰好与地面间没有作用力，根据受力分析可知
可知
,B 错误；
受力如图
由图可知，F 的最小值为
, A 正确；
F 从图中所示的状态顺时针转动90°的过程中，轻绳a 的拉力大小始终等于A 的重力大小，
轻绳对定滑轮的作用力不变，C 错误；
F 从图中所示的状态顺时针转动90°的过程中，轻绳b 的拉力变小，故地面对物块B 的支
持力变大，D 错误。
9. .(2024 广东中山期末) 如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结
点为 O ，轻绳 OB 水平且 B 端与放在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳 OA 与竖直
方向的夹角
，物体甲、人均处于静止状态。已知
。
g 取10
。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：
（1）轻绳 OA 、OB 受到的拉力分别是多大？
（2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？
（3）若人的质量
，人与水平面之间的动摩擦因数
，欲使人在水平
面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
【参考答案】（1）
、
；（2）
方向水平向左；（3）24kg
【名师解析】
（1）以结点O 为研究对象，如图所示
沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，将
分解，由平衡条件有
联立解得
（2）人水平方向受到OB 绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力如图所示
由平衡条件得
方向水平向左；
（3）当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值。
当人刚要滑动时，静摩擦力达到最大值
由平衡条件得
FOBm=fm
又
联立解得
即物体甲的质量
最大不能超过 24kg。
10. (2024 陕西宝鸡期末)如图所示，质量为m1=10kg 的物体甲通过三段轻绳相连，三段轻绳
的结点为O，轻绳OB 水平且B 端与站在水平地面上的质盘为m2=50kg 的人相连，轻绳OA
与竖直方向的夹角θ=37°。物体甲及人均处于静止状态（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取
10m/s2，计算时可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），求：
（1）求OA 绳的拉力FA的大小和OB 绳的拉力FB的大小；
（2）要保证人不会相对于地面滑动，人与水平地面间的动摩擦因数
至少是多少？
【参考答案】（1）
，
；（2）
【名师解析】
（1）以物体甲为对象，根据受力平衡可知，
点与甲之间轻绳拉力大小为
；以
点
为对象，根据受力平衡可得
，
解得
（2）以人为对象，根据受力平衡可得
，
要保证人不会相对于地面滑动，则有
可得
可知人与水平地面间的动摩擦因数
至少是
。
