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高考易错点解读和针对训练
运动和力的关系
易错点3.1 牛顿第二定律的瞬时性
易错点解读
1.“等时圆”模型
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，
到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体
沿直径做自由落体运动所用的时间。
2.模型的三种情况
(1)物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间
相等，如图甲所示。
(2)物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，
如图乙所示。
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由
静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。
【典例剖析】
【典例1】（2024 吉林重点高中质检）如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA 杆
竖直放置，OB 杆与OD 杆等长，OC 杆与斜面垂直放置，每根杆上都套一个小滑环（图中
未画出），四个环分别从O 点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD 滑到斜面上所用的时间
依次为
。下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【参考答案】．BC
【名师解析】：以OA 为直径画圆，如图所示
若设杆与竖直方向的夹角为θ，对小滑环受力分析，由牛顿第二定律可得
解得
由几何关系，小滑环沿弦下滑的位移
据
解得
即从圆上最高点沿任一条光滑弦滑到底所用的时间相同．则沿OA 和OC 滑到斜面的时间相
同，有
OB 不是一条完整的弦，时间最短；OD 的长度超过一条弦，时间最长；综上
故选BC。
【针对性训练】
1.（2025 安徽名校联考）如图所示，从圆上一点
引三条倾角不同的粗糙斜面轨道
、
、
到圆周上，已知斜面的动摩擦因数均为
，其中
是一条竖直面，
是圆的直径，
。现将小球
从
点分别沿
、
、
三个斜面静
止释放，设小球到达圆周上的速率分别为
、
、
，经历的时间分别为
、
、
，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设AE=L，从AB 右侧任意一个与竖直方向夹角为θ 的斜面下落，如图。
根据牛顿第二定律，
，
可得
根据位移公式，
又
整理可得
解得
由此可知，t 与粗糙斜面轨道倾角无关，所以
，D 正确C 错误。
根据
，可知斜面与AB 夹角θ 越小，加速度越大，根据
，可知，加速度越大，位移越大。
由动能定理，
可知x 越大，速度越大，所以，
，AB 错误。
2. （2024 江苏泰州3 月调研）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板
、
、
，其下端都固定于容器底部
点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长
度
。若三个滑块同时从A、B、C 处开始由静止下滑（忽略阻力），则（
）
A. A 处滑块最先到达
点
B. B 处滑块最先到达
点
C. C 处滑块最先到达
点
D. 三个滑块同时到达
点
【参考答案】D
【名师解析】设半球形容器的半径为R，滑板的倾角为θ，对滑块进行分析，根据牛顿第二
定律有：
，
滑块沿倾斜下滑，设下滑时间为t，根据位移公式有，
，解得
。由
可知下滑时间t 与滑板的倾角
和板的长度均无关，故三个滑块同
时到达
点，D 正确。
3． 如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A 点为
，且与A 等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g，则（ ）
A. 如果小朋友在A 点沿滑梯AB、AC 由静止滑下，
B. 如果小朋友分别从A 点和B 点沿滑梯AC，BD 由静止滑下
C. 若设计一部上端在P 点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，
在滑梯上运动的最短时间是
D. 若设计一部上端在P 点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，
在滑梯上运动的最短时间是
【参考答案】C
【名师解析】
假设AB、AC 与AD 的夹角分别为
、
，则从AB、AC、BD 下滑时有
解得
故AB 错误；
由AB 项分析，画出以P 点为最高点的半径为r 的等时圆，如图，
当两圆相切时时间最短，有
解得
所以最短时间为
故C 正确，D 错误。
4. （2024 江苏新高考基地学校第三次大联考） 如图所示，
为圆的竖直直径，
、
为两条粗糙轨道，其中
过圆心
。在A、C 两点由静止释放小滑块，使其分别沿
、
和
运动到圆上，小滑块与轨道间的动摩擦因数相同，则（ ）
A. 滑块沿
的运动时间最短
B. 滑块沿
的运动时间最短
C. 滑块沿
的运动时间最短
D. 滑块沿三个路径运动时间相同
【参考答案】B
【名师解析】
设圆的直径为d，滑块沿CD 运动时，有
解得
设AB 与竖直方向的夹角为
，滑块沿AB 运动时，有
解得
可知
设AD 与竖直方向的夹角为
，滑块沿AD 运动时，有
解得
可知
所以滑块沿
的运动时间最短。B 正确。
5. （2024 湖南省华南师范大学附中质检） 如图所示，竖直的圆环置于水平向左的匀强电
场中，三个完全相同的带正电的绝缘小球（未画出）分别套在固定于AB、AC、AD 的三根
光滑细杆上，其中AB 与竖直方向夹角为60°，AC 经过圆心，AD 竖直。现将小球无初速度
地从A 端释放，小球分别沿AB、AC、AD 下滑到B、C、D 三点。已知小球所受电场力大小
与重力大小之比为
，则小球在三根细杆上运动的时间关系为（ ）
A.
B.
C.
D. 无法确定
【参考答案】B
【名师解析】
小球所受电场力大小与重力大小之比为
，可知小球所受重力与电场力的合力F 的方向恰
好与
平行，且由A 指向B。延长
，作
交
于M，以
为直径画一
个圆（图中虚线），
与该圆交于N。
设
，则小球沿
杆运动的加速度为
位移为
由
得
与
无关，由等时圆模型知
而
，
，故
故选B。
6 .(2004 全国理综卷2)如图所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，
a、b、c、d 位于同一圆周上， a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆
上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初
速为0），用t1、、、t2、、t3 依次表示各滑环到达d 所用的时间，则
A．t1 <t2 <t3 B．t1、>、t2、>t3
C．t3 > t1、>t2、 D．t1=、t2、=t3
【参考答案】D
【名师解析】：设圆的直径为s1，小滑环从a 处下落，做自由落体运动，由s1=
gt1
2，解得t1=
；
设bd 与ad 的夹角为θ ，小滑环从b 处下滑，由牛顿第二定律可知
mgcosθ=ma，加速度为a=gcosθ，由s2=
gcosθ t2
2，s2= s1cosθ，解得t2=
；
同理，小滑环从c 处下滑，解得t3=
.。
7 .在倾角为α 的传送带正上方，有一发货口A。为了使货物从静止开始从A 点沿光滑
斜槽以最短时间到达传送带，则斜槽与竖直方向夹角β 应为
A．α B。α/2 C。α/3 D。2α
题【参考答案】B
【名师解析】过A 点为最高点做圆与传送带相切，由等时圆模型可知沿AB 设置滑槽，则
下滑时间最短，由几何知识可求得斜槽与竖直方向夹角β 应为β=α/2.，选项B 正确。
9965：
0
8. 88.如图所示，在竖直平面内有半径为R 和1.5R 的两个圆，两圆的最高点相切，切点为
a，b 和c 分别是小圆和大圆上的两个点，其中ab 长为1.6R，ac 长为3R.现沿ab 和ac 建立
两条光滑轨道，自a 处由静止释放小球，已知小球沿ab 轨道运动到b 点所用时间为t1，沿
ac 轨道运动到c 点所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A．2∶3 B．5∶8
C. D.
∶
∶
【参考答案】C．
【名师解析】
设ab 和ac 间的夹角为θ，根据几何关系可知，cos θ＝＝＝0.8，小球沿ab 做匀加速直
线运动，根据牛顿第二定律得a＝＝0.8g，根据运动学基本公式得1.6R＝at①，小球从a 运
动到c 做自由落体运动，则有3R＝gt②，根据①②解得＝，故C 正确．
9．（2023 湖南衡阳高一期末）倾角为θ=30 的长斜坡上有C、O、B 三点，CO=OB=10m，在
O 点竖直地固定一长10m 的直杆AO。A 端与C 点间和坡底B 点间各连有一光滑的钢绳，且
各穿有一钢环（视为质点），两环从A 点由静止开始，同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，
如图所示，小环在钢绳上滑行的时间t1和t2分别为（）
A．2s 和2s B．1s 和2s C．2s 和
s D．以上答案均不正确
【参考答案】A
【名师解析】以O 为圆心，以r=10m 为半径画圆，则A 在竖直面内圆的最高点，CB 在圆周
上，根据等时圆模型，可知小环在钢绳上滑行的时间t1=t2，选项A 正确。
10. （2022 山东临沂质检）如图所示，倾角为θ 的斜面固定在水平地面上，由斜面上方A
点伸出三根光滑轻杆至斜面上BCD 三点，其中轻杆AC 与斜面垂直，且∠BAC=∠DAC＜θ，
把可以看出质点的质量为m 的圆环依次从A 点沿轻杆AB、AC、AD 由静止滑下，滑到斜面
用时分别为tB、tC、tD，下列说法正确的是
A. tB＞tD＞tC， B. tB=tC=tD， C. tB＜tC＜tD， D. tB＞tC=tD，
【参考答案】A。
【名师解析】以A 为最高点，以AC 为弦做一竖直平面内的圆，根据等时圆模型可知，选项
A 正确。
11.(2024 陕西咸阳名校联考)如图所示,竖直墙与水平地面交点为O,从竖直墙上的A、B 两点
分别搭两条光滑轨道到M 点,∠AMO=60°,∠BMO=45°,M 点正上方与A 等高处有一C 点。现
同时将a、b、c 球分别从A、B、C 三点由静止开始释放,忽略空气阻力,则( )
A.c 球最先到达M 点
B.b 球最先到达M 点
C.b 球最后到达M 点
D.a 球和c 球同时到达M 点
【参考答案】.A
【名师解析】 设BO 距离为R,对于AM 轨道,位移x1=2R,加速度为a1=mgsin 60°
m
=gsin
60°=❑√3
2
g,根据x1=1
2
a1t1
2解得t1=❑√
2 x1
a1
= ❑
√
2×2 R
❑√3
2 g
= ❑√
8 R
❑√3 g
;对于BM 轨道,位移x2=❑√2R,加速
度为a2=mgsin 45°
m
=gsin 45°=
❑√2
2
g,根据x2=1
2
a2t2
2,解得t2=❑√
2 x2
a2
= ❑
√
2×❑√2 R
❑√2
2 g
= ❑√
4 R
g
;对
于C 到M 过程,有❑√3R=1
2 gt3
2,解得t3=❑√
2❑√3 R
g
。综上所述,c 球最先到达M 点,故选A。
12. 如图所示，Oa、Ob 和da 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d 位
于同一圆周上，c 为圆周的最高点，a 为最低点，O′为圆心。每根杆上都套着一个小滑环
(未画出)，两个滑环从O 点无初速释放，一个滑环从d 点无初速释放，用t1、t2、t3分别表
示滑环沿Oa、Ob、da 分别到达a、b、a 所用的时间。下列关系正确的是( )
A.t1＝t2
B．t2>t3
C．t1<t2
D．t1＝t3
【参考答案】BCD
【名师解析】 设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da 三细杆交于圆的最低
点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d 无初速度释放的小滑环到
达a 点的时间相等，即tca＝t1＝t3；而由c→a 和由O→b 滑动的小滑环相比较，滑行位移大
小相同，初速度均为零，但加速度aca>aOb，由x＝at2可知，t2>tca，故选项A 错误，选项B、
C、D 均正确。
13 .如图3 所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点
恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、
COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角
关系为α＞β＞θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小
物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为( )
图3
A.tAB＝tCD＝tEF
B.tAB＞tCD＞tEF
C.tAB＜tCD＜tEF
D.tAB＝tCD＜tEF
【参考答案】 B
【名师解析】 如图所示，过D 点作OD 的垂线与竖直虚线交于G，以OG 为
直径作圆，可以看出F 点在辅助圆内，而B 点在辅助圆外，由等时圆结论可知，
tAB＞tCD＞tEF，B 项正确。
14 .(2024·山东临沂高三期末)如图4 所示，倾角为θ 的斜面固定在水平地面上，
在与斜面共面的平面上方A 点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D 三点，
其中AC 与斜面垂直，且∠BAC＝∠DAC＝θ(θ<45°)，现有三个质量均为m 的小
圆环(看作质点)分别套在三根细杆上，依次从A 点由静止滑下，滑到斜面上B、
C、D 三点所用时间分别为tB、tC、tD，下列说法正确的是( )
图4
A.tB>tC>tD
B.tB＝tC<tD
C.tB<tC<tD
D.tB<tC＝tD
【参考答案】 B
【名师解析】 由于∠BAC＝θ，则可以判断出AB 竖直向下，以AB 为直径作圆，
则必过C 点，如图所示，圆环在杆AC 上运动过程，由牛顿第二定律及运动学
公式可得mgcos θ＝ma，2Rcos θ＝at，联立解得tC＝，可见从A 点出发，到达
圆周各点所用的时间相等，与细杆的长短、倾角无关，则tB＝tC＝tE<tD，故B 正
确。
