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高考重点考点解读与针对性训练
第四章 抛体运动
考点23 小船渡河和关联速度
【考点解读】
考点1 小船渡河问题
1.船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情景
情况
图示
说明
渡河时间最短
当船体垂直于河岸时，渡河时间最短，最
短时间tmin＝d
v船
渡河位移最短
当v 水＜v 船时，如果满足v 水－v 船cosθ＝
0，合速度垂直于河岸，则渡河位移最短
（等于河宽d）
当v 水＞v 船时，如果船头方向（即v 船方
向）与合速度方向垂直，则渡河位移最
短，最短渡河位移smin＝dv水
v船
渡河船速最小
在水流速度v 水和船的航行方向（即v 合方
向）一定的前提下，当船头方向（即v 船方
向）与合速度方向垂直时，有满足条件的
最小船速，即v 船min＝v 水sinθ
方法总结 小船渡河问题的分析思路
1
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考点2 关联速度
1.模型特点
两物体或杆子之间通过绳（或杆）连接，且两物体在运动过程中绳（或杆）发生转动，这
里隐含沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。
2.思路与方法
合运动→绳（或杆）拉物体的实际运动速度v
分运动→{
其一：沿绳（或杆）的速度v∥
其二：与绳（或杆）垂直的分速度v⊥
方法：两分速度的合成遵循平行四边形定则。
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，这两分速度一定是
相互垂直的，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
方法总结
2
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三步法求解绳(杆或接触面)连接体的速度问题
【高考真题】
【典例1】.[2021 高考辽宁卷]1935 年5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河.首支共产
党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突.若河面宽300m，水流速度
3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（ D ）
A.75s
B.95s
C.100s
D.300s
答案 D
解析 木船船头垂直于河岸渡河时，所需时间最短，由d＝v 船t 解得最短时间t＝300 s，D
正确.
【针对性训练】
1. ( 2025 年5 月山西青桐鸣大联考)如图所示为拍电影时吊威亚的情景．工作人员B 向左运
动用绕过定滑轮的轻绳将小演员A 竖直向上吊起，定滑轮两边轻绳的夹角为
，A 运动的
速度大小为
，B 运动的速度大小为
，当
时，下列关系正确的是（ ）
3
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A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】将B 的速度分解为沿细绳和垂直细绳方向的速度，则A 的速度等于沿细绳方向的
速度，即绳两端沿绳方向速度相等，因此有
, 故选B。
2. ( 2025 年5 月山西青桐鸣大联考)如图所示为拍电影时吊威亚的情景．工作人员B 向左运
动用绕过定滑轮的轻绳将小演员A 竖直向上吊起，定滑轮两边轻绳的夹角为
，A 运动的
速度大小为
，B 运动的速度大小为
，当
时，下列关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】将B 的速度分解为沿细绳和垂直细绳方向的速度，则A 的速度等于沿细绳方向的
4
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速度，即绳两端沿绳方向速度相等，因此有
, 故选B。
3. （2025 年安徽阜阳重点高中3 月质检）如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，
左端与套在固定竖直杆上的物体A 连接，右端与放在水平面上的物体B 相连，到达如图所
示位置时，两段绳与水平面的夹角分别为37°、53°，两物体的速率分别为
、
，且此时
，
，
，则
的大小为（ ）
A. 3m/s
B. 3.5m/s
C. 4m/s
D. 5m/s
【参考答案】B
【名师解析】
两物体的速度沿绳方向的分速度相等，即
又
得
故选B。
4. (2025 年5 月广东部分重点高中联考)近年来，我国各地都有组织游泳横渡江河的活动以
倡导环保意识和体育精神。在一次横渡河流的游泳活动中，人在静水中的速度为1.25m/s，
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要渡过宽为500m、水流速度为1.0m/s 的河流，sin53°=0.8，cos53°=0.6，则下列说法正确的
是
A.人游到对岸的最短时间为400s
B.人面对正对岸游动，其实际路线是曲线
C.人沿着与上游河岸夹角53°的方向游泳时，可以到达正对岸
D.人不可能垂直游到正对岸
【参考答案】.A
【名师解析】合运动和分运动之间具有等时性，所以当人沿着垂直河岸的方向游泳时，游
到对岸用时最短，最短时间为
，故A 项正确；人在静水中的速度
恒定（匀速），水流速度恒定（匀速），其合运动一定是匀速直线运动，故B 项错误；因
为
，则人沿着斜向上游方向游泳时，可以使沿河岸方向的速度为零，合速度垂直
河岸从而垂直过河，设人游泳的方向与上游河岸的夹角为
，有
，解得
，即
，故C、D 项错误。
5．（2025 年4 月江苏六校联考）在静水中速度为v1的小船，为垂直渡过宽度为d 的河流，
船头与河岸成θ 角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速vs与河岸间距离x 的关系
如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸的B 点，下列措施中可行的是（ ）
6
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A．保持船头方向不变，v1的大小不变
B．保持船头方向不变，v1先变小后增大
C．保持船速v1大小不变，θ 先增大后减小
D．保持船速v1大小不变，θ 先减小后增大
【参考答案】D
【名师解析】若保持船头方向不变，v1的大小不变，由于河水流速vs与河岸间距离x 的关
系如图乙，则不可能垂直渡过宽度为d 的河流，A 错误；若保持船头方向不变，v1先变小后
增大，由于河水流速vs与河岸间距离x 的关系如图乙，则不可能垂直渡过宽度为d 的河流，
B 错误；为垂直渡过宽度为d 的河流，由于河水流速vs与河岸间距离x 的关系如图乙，可以
保持船速v1大小不变，θ 先减小后增大，D 正确，C 错误。
6.（2025 年4 月河南名校联考）如图，某河流中水流速度大小恒为
处的下游
处有个
漩涡，漩浴与河岸相切于
点，漩涡的半径为
。为使小船从
点出发以恒定
的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为
A.
B.
C.
D.
【参考答案】B
【名师解析】
如图，当小船相对于地面的运动轨迹恰好与旋涡边界相切，且小船在静水中的速度v 船与其
相对于地面的速度垂直时，小船航行时在静水中速度最小。
由几何关系，sin∠CAB=r/2r=1/2
解得：∠CAB=30°
所以小船相对于地面的速度与河岸的夹角为θ=2∠CAB=60°，
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故 v 船=v1sin60°=
，B 正确。
7.（2025·高邮期初学情调研）已知河水流速稳定为2 m/s，汽艇在静水中的速度恒为1
m/s。图中实线为河岸，虚线为汽艇从河岸M 驶向对岸N 的实际航线。若以最短的航线渡
河，下列情形可能正确的是（ ）
答案 B
解析： 因为汽艇在静水中的速度小于河水的流速，可知汽艇合速度方向不能垂直于河对
岸，即汽艇不能垂直于河岸渡河；当汽艇的速度方向垂直于合速度的方向时，此时合速度
方向与河岸的夹角最大，汽艇的位移最短，故选B。
8.（2025·海南海口一模）一条两岸平直的宽度为d 的小河如图所示，河水流速恒定。一人
驾驶小船从上游渡口A 前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定，船在静水
中的速度大小与河水流速大小之比为√3∶1，行驶中船头始终垂直于河岸，则A、B 两渡口
沿河岸方向的距离为（ ）
A.√2
2 d
B.√3
3 d
C.√2d
D.√3d
答案：B
解析：设船在静水中速度为v1、河水流速为v2，船头垂直于河岸，小船实际行驶方向与河
岸之间夹角为α，则tan α＝v1
v2
＝√3，A、B 两渡口沿河岸方向的距离为x＝
d
tan α ＝√3
3 d，
8
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故B 正确。
9.[2024 辽宁新民高级中学校考]一条小河宽d＝200m，一条小船最快能40s 到达对岸，若要
到达正对岸，则需要50s.若小船船头斜向下游，与河岸方向成α＝37°角，船在静水中速度
大小不变，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（ BC ）
A.小船在静水中速度大小为4m/s
B.水流速度为3m/s
C.小船的实际速度大小为√58m/s
D.小船到达对岸的时间为45s
答案 BC
解析 设小船在静水中速度大小为v 船，水流速度为v 水，根据题意有tmin＝d
v船
＝40 s，t＝
d
√v船
2 −v水
2 ＝50 s，解得v 船＝5 m/s，v 水＝3 m/s，A 错误，B 正确；若小船船头斜向下游，
与河岸方向成α＝37°角，则小船沿河岸速度大小为vx＝v 水＋v 船 cos 37°＝7 m/s，垂直于河
岸速度大小为vy＝v 船 sin 37°＝3 m/s，小船的实际速度大小v＝√v x
2＋v y
2＝√7
2＋3
2 m/s＝
√58 m/s，到达对岸的时间为t'＝d
v y
＝200
3 s，C 正确，D 错误.
10. 一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条宽为150m、水流速度为4m/s 的河流中渡河，
则该小船（ C ）
A.能到达正对岸
B.渡河的时间可能少于50s
C.以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m
D.以最小位移渡河时，位移大小为250m
答案 C
解析 因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，A 错误；当船
头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t＝d
v船
＝50 s，故渡河时间不能少于50 s，B 错误；
以最短时间渡河时，小船沿水流方向的位移大小为x＝v 水t＝200 m，C 正确；当v 船与实际
运动方向垂直时渡河位移最小，设此时船头与河岸的夹角为θ，则 cos θ＝3
4 ，渡河位移大
9
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小为s＝
d
cosθ ＝200 m，D 错误.
11 如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N 分别是甲、乙
两船的出发点，两船头与河岸均成α 角，甲船船头恰好对准N 点的正对岸P 点，经过一段
时间乙船恰好到达P 点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法
正确的是（ ）
A.水流方向向右，大小为v0cos α
B.甲船沿岸方向水平位移为d cosα
sin α
C.甲、乙两船不会在NP 上某点相遇
D.两船同时到达河对岸，渡河时间均为
d
v0sin α
答案 AD
解析： 由于乙船恰好到达P 点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于
水流的速度，即v 水＝v0cos α，故A 正确；设甲船的过河时间为t，则d＝v0tsin α，甲船沿
岸方向水平位移x 甲＝（v0cos α＋v 水）t，联立解得x 甲＝2d cosα
sin α
，故B 错误；由于乙船沿
NP 运动，在水流的作用下，甲船到达对岸时，应在P 点的右侧，而甲、乙两船在垂直于河
岸方向速度相同，所以一定会相遇，且在NP 上某点相遇，故C 错误；两船在垂直于河岸方
向的分速度都为v 垂直＝v0sin α，河宽d 一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝
d
v垂直
＝
d
v0sin α ，故D 正确。
12. (2024·河南名校联盟期末)在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾
冲锋舟要渡过一条两岸平行的河流。已知冲锋舟在静水中的速度大小为v1＝5
m/s，河水的流速大小为v2＝4 m/s，冲锋舟渡河的最短时间为t＝40 s。若冲锋
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舟在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，河宽不变，则冲锋舟渡河
的最短距离为( )
A.225 m
B.238 m
C.242 m
D.250 m
答案 D
解析 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，由题意可知，冲锋舟渡河的
最短时间为t＝40 s，由运动学公式有河宽d＝v1t＝200 m。若冲锋舟在静水中的
速度大小为v2，河水的流速大小为v1，则冲锋舟在静水中的速度小于水速，设
合速度方向与河岸夹角为θ，由几何关系可知，当船头方向垂直于合速度时，
此时小船渡河位移最短，sin θ＝，则渡河的最短距离s＝＝＝250 m，D 正确。
13 (2024·福建福州模拟)洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的
身影。如图5 所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿与平直河
岸成30°角的线路把被困群众从A 处送到对岸安全地B 处，采取以最小速度和
最短时间两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的最小速度v1和以最短时间行驶
冲锋舟的速度v2之比为( )
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图5
A.1∶2
B.1∶
C.2∶
D.∶2
答案 D
解析 冲锋舟以最小速度v1和最短时间分别从A 到B，冲锋舟最小速度v1垂直
于AB 连线，有v1＝vsin 30°，最短时间行驶时冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，
有v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故选项D 正确。
14 有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为
v，且v＞v0。若小船以最短位移过河，所用的时间为t；若小船以最短时间过河，所用的时
间为1
3t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为（ ）
A.v0
v
＝1
2
B.v0
v
＝√3
3
C.v0
v
＝√2
2
D.v0
v
＝2√2
3
答案：D
解析：当合速度垂直于河岸时，船以最短位移过河，如图所示船以最短位移过河所用的时
间为t＝
d
√v
2－v0
2，当船头垂直于河岸时，即v 垂直于河岸时，最短时间为tmin＝d
v ＝1
3t，
联立解得v0
v ＝2√2
3
，故选D。
15.（2025·福建福州模拟）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。
如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿与平直河岸成30°角的线路
把被困群众从A 处送到对岸安全地B 处，采取以最小速度和最短时间两种方案行驶，则两
种方案中冲锋舟的最小速度v1和以最短时间行驶冲锋舟的速度v2之比为（ ）
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A.1∶2
B.1∶√3
C.2∶√3
D.√3∶2
答案 D
解析： 冲锋舟以最小速度v1和最短时间分别从A 到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB 连线，
有v1＝vsin 30°，最短时间行驶时冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，有v2＝vtan 30°，可知
v1
v2
＝cos 30°＝√3
2 ，故选项D 正确。
16 （2025·河南名校联盟期末）在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾冲锋舟要
渡过一条两岸平行的河流。已知冲锋舟在静水中的速度大小为v1＝5 m/s，河水的流速大小
为v2＝4 m/s，冲锋舟渡河的最短时间为t＝40 s。若冲锋舟在静水中的速度大小为v2，河
水的流速大小为v1，河宽不变，则冲锋舟渡河的最短距离为（ ）
A.225 m
B.238 m
C.242 m
D.250 m
答案：D
解析：当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，可得河宽d＝v1t＝200 m。若冲锋舟在
静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，则冲锋舟在静水中的速度小于水速，设合
速度方向与河岸夹角为θ，当船头方向垂直于合速度时，此时小船渡河位移最短，有sin θ
＝v2
v1
，则冲锋舟渡河的最短距离s＝d
sinθ ＝v1d
v2
＝250 m，D 正确。
17（2025·福建宁德期末）如图，一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻小滑轮，将A、B 两
物体连在一起，B 物体在外力作用下以速度v0向右匀速运动。当轻绳与水平方向成θ 角时
（0＜θ＜90°），下列说法正确的是（ ）
A.A 物体的速度为v0cos θ，轻绳的拉力大于A 物体重力
B.A 物体的速度为v0cos θ，轻绳的拉力小于A 物体重力
C.A 物体的速度为v0sin θ，轻绳的拉力大于A 物体重力
D.A 物体的速度为v0sin θ，轻绳的拉力小于A 物体重力
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答案：A
解析：将B 物体的速度沿绳和垂直于绳进行分解，可知A 物体的速度为vA＝v0cos θ，当B
向右匀速运动时，夹角θ 不断增大，A 物体的速度不断减小，因此A 物体做减速运动，加
速度向上，即轻绳的拉力大于A 物体的重力，A 正确，B、C、D 错误。
18 甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，
甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿
水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m 时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所
示，下列说法正确的是（ ）
A.v1∶v2＝√7∶3
B.v1∶v2＝3√7∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
答案：B
解析：设当乙球距离起点3 m 时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿轻杆方向的分量
为v1 杆＝v1cos θ，v2在沿轻杆方向的分量为v2 杆＝v2sin θ，而v1 杆＝v2 杆，由题意知cos θ＝
√7
4 ，sin θ＝3
4 ，联立解得v1
v2
＝3√7
7
，选项A 错误，B 正确；甲球即将落地时，θ＝90°，
此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D 错误。
19. 如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球a、b，小球a、b 分别套在水平杆和竖直杆
上，某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°，此时a、b 两
球的速度大小之比
va
vb
为（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（ A ）
A.4
3
B.3
4
C.25
9
D.25
16
答案 A
解析 将a、b 两小球的速度分解为沿细线方向的速度与垂直于细线方向的速度，则a 球沿
细线方向的速度大小为v1＝va sin 37°，b 球沿细线方向的速度大小为v2＝vb cos 37°，又v1
＝v2，解得va
vb
＝cos37°
sin37° ＝4
3 ，A 正确.
20.. 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A 和B（均可视
为质点），将其放在一个光滑球形容器中，其从位置1 开始下滑，如
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图所示，当轻杆到达位置2 时，球A 与球形容器的球心等高，其速度大小为v1.已知此时轻
杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v2，则（ C ）
A.v2＝1
2v1
B.v2＝2v1
C.v2＝v1
D.v2＝√3v1
答案 C
解析 将v1、v2均沿杆方向和垂直于杆方向分解如图所示，两球沿杆方向的速度大小相等，
即v1 sin θ＝v2 sin θ，得v1＝v2，故C 正确.
21.[多选]河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时
间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则（ BD ）
A.船渡河的最短时间是60s
B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C.船在河水中航行的轨迹是一条直线
D.船在河水中的最大速度是5m/s
答案 BD
解析 当船头垂直于河岸渡河时，过河时间最短，为tmin＝100 s，选项A 错误，B 正确；因
河水的速度是变化的，故船相对于岸的速度的大小和方向均是变化的，船在河水中航行的
轨迹不是一条直线，当船在河中心时，船速最大，vmax＝5 m/s，选项C 错误，D 正确.
22.如图所示，一根长为L 的轻杆OA，O 端用铰链固定在水平面上，
轻杆靠在一个高为h 的物块上，某时刻杆与水平方向的夹角为θ，
物块水平向右运动的速度为v，则此时A 点的速度为（ C ）
A. Lv sinθ
h
B. Lv c osθ
h
C. Lv sin
2θ
h
D. Lv c o s
2θ
h
答案 C
解析 根据运动的效果，可将物块水平向右运动的速度沿垂直于杆和平行于
杆
的方向分解成v2和v1，如图所示.根据平行四边形定则可得v1＝v cos θ，v2
＝
v sin θ，根据几何关系可得LOB＝h
sinθ ，由于B 点的线速度为v2＝v sin θ＝
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LOB·ω，所以ω＝v sinθ
LOB
＝v sin
2θ
h
，所以A 点的线速度vA＝Lω＝Lv sin
2θ
h
，C 正确.
23.[2024 安徽安庆模拟/多选]如图所示，直角斜面ABC 固定在水平面上，∠A＝30°、∠C＝
90°，粗细均匀的直杆竖直立在地面上的B 点，小滑环Q 套在杆上，小物块P 放在斜面上，
P 和Q 用绕过C 点定滑轮的细线连接.现让物块P 以速度v 沿斜面向上匀速运动，不计滑轮
的大小，当Q 运动到离B、C 距离相等的位置时（ AC ）
A.Q 的速度大小为2v
B.Q 的速度大小为1
2v
C.Q 的加速度向上
D.Q 的加速度为零
答案 AC
解析 如图所示，当Q 运动到离B、C 距离相等的位置时，根据几何关
系有∠QBC＝∠QCB＝90°－60°＝30°，设CQ 与杆的夹角为θ，可得θ＝
∠QBC＋∠QCB＝60°，根据沿细线方向速度相等可得v＝vQ2＝vQ cos
θ，Q 的速度大小为vQ＝2v，A 正确，B 错误；根据v＝vQ cos θ 可知，滑环Q 沿杆向下运动
时，θ 减小，滑环Q 沿杆向下运动的速度vQ减小，Q 的加速度向上，C 正确，D 错误.
24.[2024 河南信阳高级中学校考]曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞
的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示.曲轴
可绕固定的O 点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A
点和活塞上的B 点，若曲轴绕O 点做匀速圆周运动，转速
n＝1800r/min，OA＝20cm，AB＝60cm.下列说法正确的是
（ B ）
A.活塞在水平方向上做匀速直线运动
B.当OA 竖直时，活塞的速度为12πm/s
C.当OA 与AB 共线时，活塞的速度为12πm/s
D.当OA 与AB 垂直时，活塞的速度为4πm/s
答案 B
解析 根据题意可知，活塞在水平方向上做往复运动，选项A 错误；由公式v＝2πrn 得，A
点线速度为vA＝12π m/s，当OA 竖直时，将A 点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图甲
所示，由几何关系可得vB＝vA＝12π m/s，B 正确；同理可知，当OA 与AB 共线时(两种情
况)，A 点在沿连杆方向的分速度是0，如图乙所示，所以活塞的速度为0，C 错误；同理可
知，当OA 与AB 垂直时，A 点的速度沿连杆方向，所以有vB cos α＝vA，其中α 是vA与vB
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之间的夹角，由几何关系得 cos α＝
AB
√A B
2＋O A
2＝3√10
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，联立解得vB＝4π√10 m/s，
D 错误.
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