文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
高考重点考点解读与针对性训练
第八章 动量守恒定律
考点54 人船模型
【考点解读】
1.人船模型问题
如图所示，两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒.
在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比.
2.人船模型的特点
（1）两物体满足动量守恒定律：m1v1－m2v2＝0.
（2）运动特点：人动船动，人静船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于
它们质量的反比；人船平均速度（瞬时速度）比等于它们质量的反比，即
x1
x2
＝
v1
v2
＝
m2
m1
.
（3）应用x1
x2
＝v1
v2
＝m2
m1
时要注意：v1、v2和x1、x2一般都是相对地面而言的.
3.“人船模型”的拓展
【高考真题】
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【典例1】.[2023 湖南]如图，质量为M 的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半
椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a 和b，长轴水平，短轴竖直.质量为m
的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑.以初始时刻椭圆中心的位置为
坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x 轴上.整个过
程凹槽不翻转，重力加速度为g.
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的
距离；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若M
m ＝
b
a－b ，求小球下降h＝b
2高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用a、b
及g 表示）.
答案 （1）√
2m
2 gb
M （m＋M ）
ma
M ＋m
（2）[( M ＋m）x－ma]
2
M
2a
2
＋y
2
b
2 ＝1（y≤0）
（3）2b√
g
a+3b
解析 （1）小球从静止到第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向上小球和凹槽组成的
系统动量守恒，有0＝mv1－Mv2
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
mgb＝1
2mv1
2＋1
2Mv2
2
联立解得v2＝√
2m
2 gb
M （m＋M ）
根据人船模型规律，在水平方向上有mx1＝Mx2
又由位移关系知x1＋x2＝a
解得凹槽相对于初始时刻运动的距离x2＝
ma
M ＋m
（2）小球向左运动过程中，凹槽向右运动，当小球的坐标为（x，y）时，小球向左运动的
位移x'1＝a－x，则凹槽水平向右运动的位移为x'2＝m
M （a－x）
小球在凹槽所在的椭圆上运动，根据数学知识可知小球的运动轨迹满足
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（x－x'❑2）
2
a
2
＋y
2
b
2 ＝1
整理得小球运动的轨迹方程为[( M ＋m）x－ma]
2
M
2a
2
＋y
2
b
2 ＝1（y≤0）
（3）若M
m ＝
b
a－b ，代入（2）问结果化简可得
[x－（a－b）]2＋y2＝b2
即小球的运动轨迹是半径为b 的圆
小球下降h＝b
2高度的过程，小球与凹槽组成的系统在水平方向动量守恒，有mv'1x＝Mv'2
对小球与凹槽组成的系统，由机械能守恒定律有
mgh＝1
2mv'❑1
2＋1
2Mv'❑2
2
由几何关系及速度的分解得v'1sin30°＝v'1x
联立解得v'1＝2b√
g
a+3b
.
【典例2】.[2021 山东/多选]如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面高度为H 处，
现将质量为m 的物资以相对地面的速度v0水平投出，落地时物资与热气球的距离为d.已知
投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断
正确的是（ BC ）
A.投出物资后热气球做匀加速直线运动
B.投出物资后热气球所受合力大小为mg
C.d＝（1＋m
M ）√
2 H v0
2
g
＋H
2
D.d＝√
2 H v0
2
g
＋（1+ m
M ）
2 H
2
答案 BC
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
解析 热气球开始携带物资时处于静止状态，所受合外力为0，初动量为0，水平投出重力
为mg 的物资瞬间，满足动量守恒，则热气球和物资的动量等大反向，有mv0＝Mv，则热气
球获得水平向左的速度，投出物资后，热气球所受合力恒为mg，方向竖直向上，故热气球
做匀加速曲线运动，A 项错误，B 项正确；热气球和物资的运动示意图如图所示，热气球
和物资所受合力大小均为mg，故热气球在竖直方向上加速度大小为a＝m
M g，设物资落地
过程所用的时间为t，则有H＝1
2gt2，落地时间为t＝√
2 H
g
，热气球在竖直方向上运动位移
为HM＝1
2at2＝1
2· m
M g·2 H
g ＝m
M H，热气球和物资在水平方向均做匀速直线运动，水平位
移分别为xm＝v0t＝v0√
2 H
g
，xM＝vt＝m
M v0·√
2 H
g
，则物资落地时，热气球和物资的距离d
＝√（xm＋xM ）
2＋（H ＋H M ）
2＝（1＋m
M ）√
2 H v0
2
g
＋H
2，C 项正确，D 项错误.
【针对性训练】
1. (2025·四川绵阳市南山中学月考)如图所示，质量均为m 的两个小球A、B 用长为L 的轻
质细绳连接，B 球穿在光滑水平细杆上，初始时刻，细绳处于水平状态，将A、B 由静止
释放，空气阻力不计，重力加速度为g。从释放到A 球运动到最低点的过程中，下列说法
正确的是( )
A.A、B 组成的系统动量守恒
B.A 球运动到最低点时速度大小为√gL
C.A 球机械能减小了1
4
mgL
D.A 球运动到最低点时，B 球向右运动距离为L
2
答案 BD
解析 A、B 组成的系统，水平方向不受外力，水平方向动量守恒，故A 错误;当A 球摆到
B 球正下方时，A、B 球的速度大小分别为vA和vB，以小球A 摆到最低点所在平面为参考
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
平面，由水平方向动量守恒得mvA＝mvB，由机械能守恒定律得mgL＝1
2
mv A
2＋1
2
mvB
2，
解得vA＝vB＝√gL，即A 球运动到最低点时速度大小为√gL，故B 正确;A 球机械能减小量
ΔE＝mgL－1
2mv A
2＝1
2mgL，故C 错误;由水平方向动量守恒，有m x A
t
－m xB
t
＝0，xA＋xB
＝L，解得A 球运动到最低点时，B 球向右运动距离为L
2
，故D 正确。
2 有一只小船停靠在湖边码头，小船又窄又长.一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量.
他进行了如下操作：首先将船平行于码头自由停泊，轻轻从船尾上船，走到船头停下，而
后轻轻下船.用卷尺测出船后退的距离d，然后用卷尺测出船长L.已知他的自身质量为m，
水的阻力不计，则船的质量为（ B ）
A.m（L＋d ）
d
B.m（L－d ）
d
C.mL
d
D.m（L＋d ）
L
答案 B
解析 设船的质量为M，人走动的时候船的平均速度为v，人的平均速度为v'，人
从船尾走到船头用时为t，人的位移为L-d，船的位移为d，所以v＝d
t ，v'＝L−d
t
.以船后
退的方向为正方向，根据动量守恒定律有Mv-mv'＝0，可得Md
t ＝m( L−d)
t
，小船的质
量为M＝m( L−d)
d
，故B 正确.
3. [2024 云南曲靖模拟/多选]如图所示，一半圆槽滑块的质量为M，半圆槽半径为R，滑块
静止在光滑水平桌面上，一质量为m 的小型机器人（可视为质点）置于半圆槽的A 端，在
无线遥控器控制下，小型机器人从半圆槽A 端移动到B 端.下列说法正确的是（ CD ）
A.小型机器人与滑块组成的系统动量守恒
B.滑块运动的距离为
MR
M ＋m
C.滑块与小型机器人运动的水平距离之和为2R
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D.小型机器人运动的位移是滑块的M
m 倍
答案 CD
解析 小型机器人和滑块组成的系统只在水平方向动量守恒，A 错误；小型机器人从A 端
移动到B 端的过程中，由水平方向动量守恒得mx1＝Mx2，根据位移关系有x1＋x2＝2R，可
得小型机器人和滑块移动的距离分别为x1＝2 MR
M ＋m，x2＝2mR
M ＋m，即小型机器人运动的
位移与滑块运动的位移之比为
x1
x2
＝M
m ，故B 错误，C、D 正确.
4. 如图，棱长为a、大小形状相同的立方体木块和铁块，质量为m 的木块在上、质量为M
的铁块在下，正对用极短细绳连结悬浮在平静的池中某处，木块上表面距离水面的竖直距
离为h。当细绳断裂后，木块与铁块均在竖直方向上运动，木块刚浮出水面时，铁块恰好
同时到达池底。仅考虑浮力，不计其他阻力，则池深为（ ）
A. M ＋m
M
h
B. M ＋m
m
（h＋2a）
C. M ＋m
M
（h＋2a）
D. M ＋m
M
h＋2a
答案：D
解析：设铁块竖直下降的位移为d，对木块与铁块组成的系统，系统外力为零，由动量守
恒定律（人船模型）可得0＝mh－Md，池深H＝h＋d＋2a，解得H＝M ＋m
M
h＋2a，D 正
确。
5. （2024 年4 月湖北部分重点高中期中联考物理）如图所示，质量为M 的带有四分之一
光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，圆弧的半径为R(未知)，一质量为m 的小球
以速度v0水平冲上小车，恰好达到圆弧的顶端，此时M 向前走了0.25 R，接着小球又返回
小车的左端。若M =2m，重力加速度为 g，则( )
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A. 整个过程小车和小球组成系统动量和机械能都守恒
B. 圆弧的半径为R = v0
2
3 g
C. 小球在弧形槽上上升到最大高度所用的时间为8 v0
15 g
D. 整个过程小球对小车做的功为4 mv0
2
9
【答案】BD
【思路分析】本题考查了单一方向动量守恒、系统机械能守恒、动能定理等。
整个过程小车和小球组成系统仅在水平方向动量守恒；根据系统水平方向动量守恒和机械
能守恒分析解题。求变力做功时往往使用动能定理。
本题涉及到了第二类人船模型，即分析初始动量不为零的系统位移问题，同学们应该掌握
解答中描述的这种方法。
【名师解析】
整个过程小车和小球组成系统仅在水平方向动量守恒，系统的机械能守恒，故A 错误；
从滑上轨道到到达顶端，规定向右为正，根据水平方向动量守恒可得m v0=(M +m)v，根
据机械能守恒可得1
2 mv0
2=mgR+ 1
2
(M +m)v
2，联立可得v = v0
3
、R = v0
2
3 g
，故B 正确；
规定向右为正，设小球返回小车左端时的速度大小为v1、小车的速度大小为v2，根据水平
方向动量守恒可得m v0= M v2−m v1，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
根据机械能守恒可得1
2 m v0
2= 1
2 m v1
2+ 1
2 M v2
2，其中M =2m，联立可得v2= 2v0
3
，对小车
根据动能定理可得W = 1
2 M v2
2−0= 4 mv0
2
9
，故D 正确；
小球从滑上轨道到到达顶端，设小球与弧形槽相对地面的水平位移分别为x1，x2，
则根据题意可得x1=1.25 R，x2=0.25 R，
在水平方向任一时刻都满足m v0=m v1' + M v2'，
则有m v0t =∑m v1' t +∑M v2' t =m x1+ M x2，
结合M =2m，R = v0
2
3 g
，
可解得t = 7 v0
12 g
，故C 错误。
6. (2025 河北十县联考)（16 分）如图所示，光滑水平面左侧放置质量M=3kg、半径R=4m
的
光滑圆弧槽b，右侧固定粗糙斜面体ABC，斜面体AB 和BC 的倾角均为60°，B 离地
面高度h=1.6m，另有一个质量m=1kg 的小滑块a（可视为质点）从圆弧槽某位置静止释放，
圆弧槽圆心与小滑块的连线与竖直方向夹角为θ..。滑块与斜面AB 之间的动摩擦因数
，且滑块通过A 点时无机械能损失.sin37°=0.6，重力加速度g=10m/s2.
（1）若圆弧槽b 固定不动且小滑块a 静止释放位置θ=37°，求a 第一次滑至圆弧槽最低点
时小滑块的向心加速度大小；
（2）若圆弧槽b 不固定且小滑块a 静止释放位置θ=90°，求a 滑至圆弧槽最低点时小滑块
的位移大小及圆弧槽对小滑块的支持力大小；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（3）若圆弧槽b 固定不动，小滑块从某一位置静止释放，小滑块沿斜面AB 通过B 点后恰
好落在C 点，求：小滑块在B 点时的速度及释放位置的θ 角度.
【名师解析】：（1）从释放位置到最低点由动能定理
求得
所以最低点向心加速度
（2）a 与b 水平方向动量守恒且总动量等于零，满足
且
所以可得滑块水平位移
而竖直位移为4m，则根据勾股定理可知，总位移大小为5m.（1 分）
a 滑下过程中ab 组成的系统总能量守恒
a 与b 水平方向动量守恒可得
可得
a 相对b 的速度大小
小滑块由合力提供向心力
所以
（3）B 点飞出到C 点过程中，小滑块做斜抛运动，在水平方向匀速运动，则时间为
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
在竖直方向竖直上抛，取向下为正方向，则
得
释放位置到B 点由动能定理
解得
所以
7.(9 分)如图所示,光滑固定水平杆上套有质量均为m=0.5 kg 的滑块A 和B。长
l=1.0 m 的轻质细线一端固定在滑块B 上,另一端系住一质量为m0=1.0 kg 的小球
C。现将C 球向左拉起至细线与竖直方向成θ=53°角的位置,然后由静止释放C
球,已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
(1)A、B 两滑块分离时,A、B、C 的速度大小;
(2)A、B 两滑块分离时,滑块A 的位移大小;
(3)A、B 两滑块分离后,C 球能向上摆动的最大高度。
【参考答案】 (1)2 m/s 2 m/s 2 m/s (2)0.4 m (3) 4
15 m
【名师解析】 (1)C 摆到最低点的过程中,A、B、C 组成的系统水平方向动量守
恒,机械能守恒,则有0=2mvAB-m0vC
(1 分)
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
m0gl(1-cos 53°)=1
2×2mv AB
2 +1
2m0vC
2 (1 分)
解得vAB=vC=2 m/s,即vA=vB=vC=2 m/s(1 分)
(2)C 运动到最低点时,A、B 恰要分离,A、B、C 组成的系统在水平方向上动量守
恒,有2mxA=m0xC(1 分)
又xA+xC=l sin 53°
(1 分)
解得xA=0.4 m(1 分)
(3)A、B 分离后,B、C 组成的系统水平方向动量守恒,机械能守恒,则有m0vC-
mvB=(m+m0)v 共(1 分)
1
2m0vC
2+1
2mvB
2=1
2×(m0+m)v共
2 +m0gh
(1 分)
解得h= 4
15 m(1 分)
8. (2024 湖北名校联考)如图所示，匀质斜面体放在光滑水平地面上，其高和底分别为b 和
2b。质量为m 的可视为质点的小滑块，初始时刻从斜面体顶端由静止开始下滑，运动到斜
面底端时，斜面体的位移大小为b，滑块与斜面间因摩擦产生的热量为Q。整个过程斜面
体不翻转，重力加速度为g。求：
（1）斜面体的质量；
（2）滑块运动到斜面底端时，斜面体速度的大小。
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）设斜面体质量为M，由水平动量守恒得
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
方程式两边同时对时间进行累积，整理有
又因为位移关系有
解得
（2）设滑块运动到斜面底端时速度为
，将其分解，则其水平分速度大小为
，竖直分
速度大小为
，设斜面倾角为
，则有
设M 速度为
，该系统水平方向上动量守恒，有
由系统能量守恒，有
解得
9．（15 分）（2024 河北沧州期末）如图所示，在足够大的光滑水平面上，静止着两个半
径均为
的光滑四分之一圆弧体
、
，两圆弧面的最底端与水平面相切，圆弧
体
的质量
，质量
的小球由圆弧体
的顶端静止滑下，一段时间后冲
上圆弧体
。重力加速度
取
。求：
（1）小球刚离开圆弧体A 时的速度大小；
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（2）小球从圆弧体
上下滑过程中，圆弧体
滑行的距离及小球第一次滑上圆弧体
瞬
间对圆弧体的压力大小；（结果可用分式表示）
（3）若使小球不能再次滑上圆弧体
，圆弧体
的质量应满足的条件。
答案：（1）
（2）
（3）
（或
）
解析：（1）设小球离开
时速度大小为
，
的速度大小为
根据能量守恒定律有
根据动量守恒定律有
解㥂
，
（2）设小球由
上下滑的过程中，
向右滑动距离为
。小球水平位移大小为
，对小
球与
，水平方向动量守恒，根据动量守恒定律得
，
解得
小球第一次滚上圆孤体
的瞬间，由牛顿第二定定律可得
解得
根据牛顿第三定律可知，小球对圆弧体
的压力大小
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（3）规定向左为正方向，设小球离开圆弧体
时小球的速度为
、圆孤体
的速度为
，
根据动量守恒定律有
对小球及B，根据能量守恒定侓有
若小球不能再次滑上圆孤体
，则需要满足小球从
上滑下时速度向左，即
或速度向右，即
且
联立解得
或
所以圆弧体
的质量应满足
10．（16 分）（2025 年5 月山东联考）为研究物体间相对运动规律，先将一质量为M 的匀
质凹槽放在水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a
和b，长轴水平，短轴竖直。再将质量为m 的小球由不同位置释放，装置如图所示。问：
（1）若凹槽、地面均粗糙，将小球从椭圆轨道长轴最右端正上方h 处由静止自由释放，刚
好能到达该半长轴最左端。该过程中，凹槽始终静止，试求出小球到达轨道最右端时地面
对凹槽的摩擦力，及该过程中凹槽内部摩擦力对小球所做的功（椭圆半长轴端点处的曲率
半径
）；
（2）若凹槽、地面均光滑，小球初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。求出
小球第一次运动到轨道最低点时凹槽的速度大小；
（3）若保持（2）中条件，且
。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在
竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系
，椭圆长轴位于x 轴上。整个过程凹槽不翻
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
转，重力加速度为g。试求出在平面直角坐标系
中小球运动的轨迹方程。
【解析】.（16 分）
（1）小球从
处释放至凹槽最右端
，
得
，方向向左
小球从
处释放到凹槽最左端
（2）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正
小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒
联立解得
（3）因水平方向在任何时候都动量守恒即
两边同时乘可得
小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为
时，此时凹槽水平向右运动的
位移为
，根据上式有
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则小球在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为
整理得
将
代入小球的轨迹方程化简可得
11．（16 分）（2024 湖南新高考教研联盟一模）如图，质量为m 的a 球（中间有一个小
孔）穿在足够长的光滑水平杆上。b 球质量为km，a 球和b 球用长为L 的轻杆相连。从图
示位置，先给b 球一个竖直向上的初速度
，让b 球越过最高点，假设b 球连同轻杆在运
动过程中均不会与水平杆相碰（稍微错开，但错开距离忽略不计，重力加速度为g）。
（1）求b 球到达最高点时，a 球的位移大小；
（2）以a 球初始位置为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，求b
球运动的轨迹方程；
（3）当b 球运动到水平杆下方，且轻杆与水平杆正方向夹角为
时，求b 球的速度
大小。
【解析】（1）b 球运动到最高点，水平方向动量守恒：
，
即：
①，
几何关系：
②，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由①②得
。
（2）设球b 的坐标为
时，a 球水平向左移动距离为
，b 球水平向右距离为
：
以a 球和b 球为整体，水平方向动量守恒：
，
用小球水平方向位移表示为
③，
以a 球为参考系，b 球轨迹为圆
④，
由③④得
或
。
b 球的轨迹是一个椭圆。
（3）设b 球的水平速度为
，竖直速度为
，a 球水平速度为
，
以a 球和b 球为整体，水平方向动量守恒：
⑤，
以a 球和b 球为整体，机械能守恒，以水平杆为零势能面：
⑥，
当b 球运动到水平杆下方，且轻杆为水平杆正方向夹角
时，以a 球为参考系，此时b
球速度方向与水平方向夹角为
：
⑦，
⑧，
由⑤⑥⑦⑧得
。
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
18
