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第2 讲 磁场对运动电荷的作用
学习目标 1.会利用左手定则判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。 2.
会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
1.
1.思考判断
(1)粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。(×)
(2)带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用。(×)
(3)若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零，则该点的磁感应强度一定
为零。(×)
2.(多选)(教材改编题)1932 年，物理学家安德森在实验中发现了正电子，该发现
为确定反物质的存在提供了重要的证据。正电子在施加了磁场的云室中运动，其
穿过铅板前后的运动轨迹如图所示。已知正电子穿过铅板时会损失一部分动能，
则( )
1
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A.正电子由下向上穿过铅板
B.正电子由上向下穿过铅板
C.磁场方向垂直纸面向里
D.磁场方向垂直纸面向外
答案 AC
考点一 对洛伦兹力的理解和应用
1.洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向，所以洛伦兹力只改变速度
的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向
负电荷运动的反方向。
2.洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
例1 (2023·海南卷，2)如图1 所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的
匀强磁场，关于小球运动和受力说法正确的是( )
图1
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
2
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D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
答案 A
解析 小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场
时受到的洛伦兹力方向水平向右，A 正确；小球运动过程中，受重力和洛伦兹力
的作用，且合力不为零，所以小球运动过程中的速度变化，B 错误；小球受到的
重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化，C 错误；洛
伦兹力永不做功，D 错误。
(2022·北京卷，7)正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在
云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P 点发出两个电子和一个正电子，三个粒
子运动轨迹如图2 中的1、2、3 所示。下列说法正确的是( )
图2
A.磁场方向垂直于纸面向里
B.轨迹1 对应的粒子运动速度越来越大
C.轨迹2 对应的粒子初速度比轨迹3 的大
D.轨迹3 对应的粒子是正电子
答案 A
解析 三个粒子从P 点射入磁场，轨迹偏转方向相同的带同种电荷，所以轨迹2
对应的粒子是正电子，1、3 为电子，故D 错误；由左手定则可判断，磁场方向
3
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垂直纸面向里，故A 正确；对于轨迹1 的粒子运动半径越来越小，由r＝知，运
动速度越来越小，B 错误；对于轨迹2 和轨迹3 两种粒子，由于初始半径r2＜
r3，由r＝知v2＜v3，故C 错误。
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1.带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
基本思路
图例
说明
圆心的
确定
①与速度方向
垂直的直线过
圆心
②弦的垂直平
分线过圆心
P、M 点速度方向
垂线的交点
P 点速度方向垂线
与弦的垂直平分线
交点
半径的
确定
利用平面几何
知识求半径
常用解三角形法：
左图中，r＝或由
r2＝L2＋(r－d)2 求
得r＝
运动时
间的确
定
利用轨迹对应
圆心角θ 或轨
迹长度l 求时
间
①t＝T
②t＝
t＝T＝T＝T
t＝＝
2.带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图3 所示)
图3
4
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(2)平行边界：往往存在临界条件，如图4 所示。
图4
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图5 甲所示。粒子轨迹所对应的
圆心角一定等于速度的偏向角
②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为
θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。
③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场
区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有
最大速度或磁场有最小磁感应强度。
图5
角度
带电粒子在匀强磁场中运动
例2 匀强磁场垂直纸面向里，在磁场中某点同时释放两个带电粒子a 和b，速度
大小和方向均相同，运动轨迹如图6 所示。不计带电粒子的重力和粒子间的相互
作用力，下列判断正确的是( )
5
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图6
A.粒子a 带正电，粒子b 带负电
B.粒子a 的比荷较大
C.粒子b 的运动周期较大
D.粒子b 的向心加速度较小
答案 A
解析 带电粒子a 做逆时针方向的圆周运动，带电粒子b 做顺时针方向的圆周运
动，根据左手定则可知，粒子a 带正电，粒子b 带负电，A 正确；根据洛伦兹力
提供粒子做圆周运动的向心力可得qvB＝m，整理得＝，由于带电粒子a 做圆周
运动的半径较大，则粒子a 的比荷较小，B 错误；根据粒子在磁场中做圆周运动
的周期T＝，可知粒子b 的运动周期较小，C 错误；根据向心加速度a＝可知粒
子b 的向心加速度较大，D 错误。
角度
直线边界和平行边界的磁场
例3 如图7 所示，直线MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1 从磁场边界
上的a 点垂直MN 和磁场方向射入磁场，经t1时间从b 点离开磁场。之后电子2
也由a 点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b 连线
的中点c 离开磁场，则为( )
图7
A.3
B.2
C.
D.
6
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答案 A
解析 电子1、2 在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，
如图所示，电子1 垂直边界射入磁场，从b 点离开，则运动了半个圆周，ab 即为
直径，c 点为圆心；电子2 以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b
连线的中点c 离开磁场，根据半径r＝可知，电子1 和2 的半径相等，根据几何
关系可知，△aOc 为等边三角形，则电子2 转过的圆心角为60°，所以电子1 运动
的时间t1＝＝，电子2 运动的时间t2＝＝，所以＝3，故A 正确，B、C、D 错误。
方法总结
解析法解决带电粒子在匀强磁场中的运动问题
角度
圆形边界磁场
7
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例4 (多选)如图8 所示，在纸面内半径为R 的圆形区域中有垂直于纸面向外的匀
强磁场。一带电粒子从图中A 点以水平速度v0垂直磁场射入，速度的方向与过
圆心及A 点的直线成60°角，当该带电粒子离开磁场时，速度方向刚好改变了
120°角，下列说法正确的是( )
图8
A.该粒子带正电
B.该粒子带负电
C.该粒子在磁场中运动的半径为r＝R
D.该粒子在磁场中运动的时间为t＝
答案 ACD
解析 根据带电粒子的偏转方向，由左手定则可知，该粒子带正电，A 正确，B
错误；粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系，粒子做圆周运动的半径为r＝
＝R，C 正确；粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中的运动时间
为t＝＝，D 正确。
角度
三角形或多边形边界磁场
8
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例5 (多选)(2024·吉林长春模拟)如图9 所示，在直角三角形CDE 区域内有磁感
应强度为B 垂直纸面向外的匀强磁场，P 为直角边CD 的中点，∠C＝30°，CD
＝2L，一束相同的带负电粒子以不同的速率从P 点垂直于CD 射入磁场，粒子的
比荷为k，不计粒子间的相互作用和重力，则下列说法正确的是( )
图9
A.速率不同的粒子在磁场中运动时间一定不同
B.从CD 边飞出的粒子最大速率为
C.粒子从DE 边飞出的区域长度可以大于L
D.从CE 边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
答案 BD
解析 速率小的粒子在CD 边射出时，粒子在磁场中的运动轨迹为半圆，运动时
间为周期一半，而粒子做圆周运动的周期相同，从CD 边飞出的粒子在磁场中运
动时间可能相同，故A 错误；根据左手定则，粒子向左偏转，从CD 边飞出的粒
子最远从D 点飞出，此时半径为R＝，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，解得
v＝，即从CD 边飞出的粒子最大速率为，故B 正确；粒子与CE 相切从DE 飞出
时，是粒子从DE 飞出的最远点，如图所示，由几何关系得DE＝CD＝L，粒子从
DE 边飞出的区域长度最大为L，故C 错误；粒子与CE 相切飞出时在磁场中运
动的时间最长，由几何关系可得∠FDC＝60°，粒子在磁场中运动的最长时间为t
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＝×＝，故D 正确。
例6 (多选)(2024·辽宁大连模拟)如图10，在一个边长为a 的正六边形区域内，
存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，三个相同的带正电粒子，
比荷为，先后从A 点沿AD 方向以大小不等的速率射入匀强磁场区域，已知粒子
只受磁场的作用力，则( )
图10
A.从F 点飞出磁场的粒子速度大小为
B.所有从AF 边上飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间都相同
C.从E 点飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间为
D.从ED 边上的某一点垂直ED 飞出磁场的粒子，其轨道半径为2a
答案 BCD
解析 设从F 点飞出的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为r1，洛伦
兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，由几何关系可得r1＝＝，联立解
得v＝，故A 错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，所有从AF 边
上飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角均为120°，则在磁场中的运动时间
均为t＝T＝×＝，故B 正确；由几何关系可得，从E 点飞出的粒子在磁场中转过
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的圆心角60°，粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝×＝，故C 正确；由几何关系
可得，从ED 边上的某一点垂直ED 飞出磁场的粒子，在磁场中转过的圆心角为
30°，则有AE＝2acos 30°＝a，r3＝＝2a，故D 正确。
A 级 基础对点练
对点练1 对洛伦兹力的理解和应用
1.如图1 是电子射线管的示意图，接通电源后，电子由阴极沿x 轴正方向射出，
在荧光屏上会看到一条亮线，要使荧光屏上的亮线向上(z 轴正方向)偏转，现在
射线管的正下方附近放一通电直导线，导线中的电流方向应该是( )
图1
A.沿x 轴正方向
B.沿x 轴负方向
C.沿y 轴正方向
D.沿y 轴负方向
答案 A
解析 要使荧光屏上的亮线向上偏转，即使电子受到向上的洛伦兹力，据左手定
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则可知，射线管处的磁场应沿y 轴负方向，结合通电直导线产生的磁场特点可知，
在射线管正下方放置的通电直导线的电流方向应沿x 轴正方向，故A 正确。
2.图2 中a、b、c、d 为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个
顶点上，导线中通有大小相等的电流，方向如图2 所示。一带正电的粒子从正方
形中心O 点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )
图2
A.向上
B.向下
C.向左
D.向右
答案 B
解析 根据题意，由安培定则可知，b、d 两通电直导线在O 点产生的磁场相互
抵消，a、c 两通电直导线在O 点产生的磁场方向均向左，所以四根通电直导线
在O 点产生的合磁场方向向左，由左手定则可判断带正电粒子所受洛伦兹力的
方向向下，B 正确。
对点练2 带电粒子在匀强磁场中的运动
3.(2024·河南开封高三联考)如图3 所示，虚线框MNQP 内存在匀强磁场，磁场方
向垂直纸面向里。a、b、c 三个带电粒子，它们在纸面内从PQ 边的中点垂直于
PQ 边射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，
则( )
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图3
A.粒子a 带负电，粒子b、c 带正电
B.若三个粒子比荷相同，则粒子c 在磁场中的加速度最大
C.若三个粒子入射的速度相同，则粒子c 在磁场中的加速度最大
D.若三个粒子入射的动量相同，则粒子b 的带电荷量最大
答案 C
解析 由左手定则可知a 带正电，b、c 带负电，由图可知Rb>Ra>Rc，由粒子在
磁场中运动时洛伦兹力提供向心力有qvB＝m＝ma，解得R＝，a＝，若三个粒
子比荷相同，则粒子c 在磁场中的运动速度最小，加速度最小，故A、B 错误；
若三个粒子入射的速度相同，则粒子c 的比荷最大，粒子c 在磁场中的加速度最
大，故C 正确；若三个粒子入射的动量相同，则粒子c 的带电荷量最大，故D
错误。
4.(多选)如图4 所示，质量相同的带电粒子M、N 分别沿x 轴和y 轴正方向从坐标
原点O 飞入匀强磁场，两粒子恰好均能通过第一象限内的P 点，已知M、N 粒
子的速度分别为vM、vN，且vM＝vN，O、P 两点连线与x 轴正方向之间的夹角为
θ＝，不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
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图4
A.M 粒子带负电，N 粒子带正电
B.M、N 粒子运动的轨迹半径之比为∶3
C.M、N 粒子所带电荷量大小之比为∶1
D.M、N 粒子从O 点运动到P 点所用时间之比为∶1
答案 BC
解析 根据题图及左手定则可知，M 粒子带正电，N 粒子带负电，故A 错误；
设OP 之间的距离为L，画出粒子轨迹如图所示，由几何关系可得RN＝，RM＝，
解得RM∶RN＝∶3；由洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有qvB＝m，又vM
＝vN，解得qM∶qN＝∶1；由几何关系可知，M、N 两粒子转过的圆心角α 分别为
2θ 和π－2θ，又由粒子做圆周运动的周期T＝，在第一象限从O 点到P 点运动的
时间t＝T，两式联立解得tM∶tN＝2∶，故B、C 正确，D 错误。
5.(多选)(2024·云南师大附中高三月考)如图5 所示，在0≤x≤a 的区域内存在与
xOy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B0。一束速率等于v0的相同带电
粒子从原点O 发射，速度方向与y 轴正方向的夹角等概率的分布在0°～90°范围
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内。其中，沿y 轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的P 点(图中未标出)离开磁
场，其偏向角为120°。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是( )
图5
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为a
B.带电粒子的比荷为
C.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D.能从右边界射出的粒子占总粒子数的
答案 AC
解析 根据题意作出沿y 轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的运动轨
迹如图甲所示，圆心为O′，根据几何关系r＋rcos 60°＝a，可知粒子做圆周运动
的半径为r＝a，故A 正确；由qv0B＝m，＝＝，故B 错误；在磁场中运动时间
最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为，
在磁场中的运动时间t＝＝＝，故C 正确；结合甲、乙两图可知，能从右边界射
出的粒子的速度方向与y 轴正方向的夹角等概率的分布在0°～60°范围内，占总
粒子数的，故D 错误。
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6.(2024·安徽合肥高三联考)如图6 所示，在直角三角形abc 区域(含边界)内存在
垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ac＝2ab，边长bc＝L，一个
粒子源在a 点将质量为3m、电荷量为q 的带正电粒子以大小和方向不同的速度
射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，下列说法正确的是( )
图6
A.粒子运动时间为
B.入射点与出射点的间距为L
C.粒子运动速度的最大值为
D.与ac 边的最大距离为
答案 D
解析 根据题意可知，粒子沿ab 边界方向射入磁场从ac 边射出磁场时转过的圆
心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子速度最大时运动轨迹与bc 相切，
粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可得∠a＝60°，∠b＝90°，bc＝L，则ab＝
L，因为四边形abdO 是正方形，所以粒子做圆周运动的半径r＝L，粒子做圆周
运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvmB＝3m，解得vm＝，从ac 边
出射的粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，其中速度最大的粒子入射点与出射
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点的间距为d＝r＝L，与ac 边的最大距离为dm＝r－rsin 30°＝，故D 正确。
7.(2024·福建福州高三月考)如图7 所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀
强磁场，比荷相同的两个粒子沿直径AB 方向从A 点射入磁场中，分别从圆弧上
的P、Q 两点射出，下列说法正确的是( )
图7
A.两粒子分别从A 到P、Q 经历时间之比为3∶1
B.粒子在磁场中做匀速圆周运动周期之比为2∶1
C.粒子在磁场中速率之比为1∶3
D.粒子在磁场中运动轨道半径之比为3∶1
答案 D
解析 作出带电粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系可知，到达Q 点的粒子
在磁场中转过的角度为120°，到达P 点的粒子在磁场中转过的角度为60°，而粒
子在磁场中做圆周运动的周期T＝，比荷相同且在同一磁场中做圆周运动，因此
周期相同，则可得tP＝T＝，tQ＝＝，可得tP∶tQ＝1∶2，故A、B 错误；设圆形
磁场的半径为R，根据几何关系可得＝tan 30°，＝tan 30°，解得rP∶rQ＝3∶1，
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而根据v＝，可得vP∶vQ＝3∶1，故C 错误，D 正确。
8.(2024·四川成都模拟)如图8 所示，边长为L 的正方形区域ABCD 内存在着垂直
纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子以速度v 从D 点射入磁场，
速度方向与CD 边夹角为60°，垂直BC 边射出磁场，则下列说法正确的是( )
图8
A.粒子一定带正电
B.粒子的比荷为
C.粒子在磁场中的运动时间为
D.减小粒子的速度，粒子不可能从CD 边射出
答案 C
解析 由图可知，粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，根据左手定则可知粒子
带负电，故A 错误；如图所示，根据几何关系可得粒子做圆周运动的半径r＝＝
L，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，联立解得粒子的比荷＝，故B 错误；由
几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为60°，粒子在磁场中的运
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动时间t＝×＝，故C 正确；粒子的速度减小，粒子在磁场中做圆周运动的半径
减小，粒子可能从CD 边射出，故D 错误。
B 级 综合提升练
9.如图9 所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a 和b 依次
从O 点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a 和b
射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°。不计粒子的重力，下列判断
正确的是( )
图9
A.粒子a 带负电，粒子b 带正电
B.粒子a 和b 在磁场中运动的半径之比为1∶
C.粒子a 和b 在磁场中运动的速率之比为∶1
D.粒子a 和b 在磁场中运动的时间之比为1∶2
答案 B
解析 粒子a 向上偏转，由左手定则可判断，粒子a 带正电，而粒子b 向下偏转，
则粒子b 带负电，故A 错误；由几何关系可知，磁场宽度d＝Rasin 60°＝Rbsin
30°，解得Ra∶Rb＝1∶，故B 正确；由qvB＝m，可得v＝，比荷相同，磁场相
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同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶，故C 错误；粒子运动的周期T＝，则Ta＝Tb，a 运
动的时间ta＝Ta＝Ta＝T，b 运动的时间tb＝Tb＝Tb＝T，有ta∶tb＝2∶1，故D 错误。
10.如图10 所示，边长为L 的正方形ABCD 边界内有垂直纸面向里的匀强磁场
B，E 为AD 上一点，ED＝L。完全相同的两个带电粒子a、b 以不同速度分别从
A、E 两点平行AB 向右射入磁场，且均从C 点射出磁场。已知a 粒子在磁场中
运动的时间为t，不计粒子的重力和相互作用，则b 粒子在磁场中运动的时间为(
)
图10
A.t
B.t
C.t
D.t
答案 C
解析 根据题意可知粒子做圆周运动的轨迹如图所示，由图可知a 粒子运动轨迹
所对的圆心角为θa＝90°。对b 粒子根据几何知识有＋L2＝R，得b 粒子的轨道半
径R2＝L，sin θb＝＝，所以b 粒子运动轨迹所对的圆心角为θb＝60°，根据T
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＝，t＝T，所以＝＝，b 粒子在磁场中运动的时间为tb＝ta＝t，故C 正确。
C 级 培优加强练
11.如图11 所示，有一磁感应强度B＝9.1×10－3 T 的匀强磁场，C、D 为垂直于
磁场方向的同一平面内的两点，它们之间的距离l＝0.1 m，今有一电子在此磁场
中运动，它经过C 点的速度v 的方向和磁场垂直，且与CD 之间的夹角θ＝30°
(电子的质量m＝9.1×10－31 kg，电荷量e＝1.6×10－19 C)。
图11
(1)电子在C 点时所受的磁场力的方向如何？
(2)若此电子在运动过程中经过D 点，则它的速度应是多大？
(3)电子从C 点到D 点所用的时间是多少？
答案 (1)见解析 (2)1.6×108 m/s (3)6.5×10－10 s
解析 (1)电子以垂直磁场方向的速度在磁场中做匀速圆周运动，电子质量较小，
重力可忽略，洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可判断电子在C 点所受磁场
力的方向垂直于速度方向斜向下方。
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(2)电子在洛伦兹力作用下在磁场中做匀速圆周运动，且速度方向与CD 连线夹角
θ＝30°，根据几何知识可知圆弧CD 所对的圆心角α 为60°，即∠DOC＝60°，则
△CDO 为等边三角形，则轨道半径R＝l①
由牛顿第二定律有evB＝②
联立①②解得v＝＝1.6×108 m/s。③
(3)电子在磁场中做圆周运动的周期T＝④
设电子从C 点到D 点所用时间为t，则有t＝T⑤
联立④⑤解得t≈6.5×10－10 s。
22
