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第2 讲 力的合成与分解
学习目标 1.会用平行四边形定则及三角形定则求合力。 2.能利用效果分解法和
正交分解法计算分力。
3.能应用力的合成与分解的知识，分析实际问题。
1.力的合成
2.力的分解
1
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3.矢量和标量
1.思考判断
(1)合力和分力可以同时作用在一个物体上。(×)
(2)两个力的合力一定比其分力大。(×)
(3)当一个分力增大时，合力一定增大。(×)
(4)几个力的共同作用效果可以用一个力来替代。(√)
(5)一个力只能分解为一对分力。(×)
(6)两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们夹角的增大而减小。(√)
(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)
2.物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示。其中F5大小为10 N，方向
水平向右。若撤去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为F；若将F5转过
120°，此时的合力为F′，则F 与F′大小之比为( )
A.1∶1
B.1∶
2
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C.1∶
D.1∶2
答案 C
解析 根据共点力的平衡条件可知其余四个力的合力一定与F5等大反向，若撤
去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为F＝F5，若将F5转过120°，此时
的合力为F′＝F5，则F 与F′大小之比为1∶，故C 正确。
3.(2024·浙江模拟预测)如图所示，吊环比赛中体操运动员双臂缓慢对称撑开，两
吊绳的张角逐渐增大的过程中，以下说法正确的是( )
A.每根吊绳的拉力变小
B.每根吊绳的拉力变大
C.两吊绳对运动员拉力的合力变小
D.两吊绳对运动员拉力的合力变大
答案 B
考点一 共点力的合成
1.共点力合成的常用方法
(1)作图法
(2)计算法
2.几种特殊情况的共点力的合成
类型
作图
合力的计算
3
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两力互
相垂直
F＝
tan θ＝
两力等大，
夹角为θ
F＝2F1cos
F 与F1夹角为
两力等大，
夹角为120°
F′＝F
F′与F 夹角为60°
3.两个共点力的合力的最大值与最小值
(1)当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。
(2)当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。
(3)合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
4.三个共点力的合力的最大值与最小值
(1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的
最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去
另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。
例1 (2023·6 月浙江选考，6)如图1 所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，
重为G 的光滑圆柱体静置其上，a、b 为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob 与重力
的夹角为37°，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb
大小为( )
图1
A.Fa＝0.6G，Fb＝0.4G
B.Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C.Fa＝0.8G，Fb＝0.6G
D.Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
答案 D
解析 以圆柱体为研究对象，受力分析如图所示，两侧半圆柱体对圆柱体的支持
4
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力的合力与重力等大反向，结合几何关系可知Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb＝Gcos
37°＝0.8G，D 正确。
1.(多选)两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。以下说法正确的是( )
图2
A.合力F 总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B.若F1和F2大小不变，θ 角减小，合力F 一定增大
C.若夹角θ 不变，F1大小不变，F2增大，合力F 可能减小
D.若F1和F2大小不变，合力F 与θ 的关系图像如图2 所示，则任意改变这两个
分力的夹角，能得到的合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
答案 BC
解析 合力F 的取值范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力F 不一定总比分力F1
和F2中的任何一个力都大，故A 错误；根据余弦定理可得合力大小为F＝，θ 角
减小，则合力F 一定增大，故B 正确；
5
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若夹角θ 为钝角，θ 不变，F1大小不变，F2增大，有可能有如图所示的情况，则
F 合′<F 合，故C 正确；由图像得，当θ＝180°时，F 合＝2 N，即|F1－F2|＝2 N，当
θ＝90°时，F 合′＝10 N，即＝10 N，解得F1＝6 N，F2＝8 N 或F1＝8 N，F2＝6
N，故2 N≤F≤14 N，故D 错误。
2.(2024·重庆一中月考)如图3 所示为某同学设计的简易晾衣装置，一轻绳两端分
别固定于天花板上A、B 两点，通过光滑轻质动滑轮和另一根轻绳将衣物竖直悬
挂在空中，两根轻绳所能承受的最大拉力相同，若晾晒的衣物足够重时绳OC 先
断，则( )
图3
A.α<120°
B.α＝120°
C.α>120°
D.不论α 为何值，总是绳OC 先断
答案 A
解析 根据对称性可知，OB 绳与OA 绳拉力大小相等，由平衡条件得FOC＝
2FOBcos ，当衣物足够重时OC 绳先断，说明FOC>FOB，则2FOBcos >FOB，解得
6
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α<120°，故A 正确。
考点二 力的分解的两种常用方法
1.力的分解的两种常用方法
(1)按照力的实际作用效果分解
(2)正交分解法
①建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分
解力为原则(使尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加
速度方向为坐标轴方向建立坐标系。
②分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x 轴、y 轴上。
x 轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y 轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝(如图4 所示)
合力方向：若F 与x 轴夹角为θ，则tan θ＝。
图4
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按效果进行分解，若这三
个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
角度
按照力的作用效果分解
7
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例2 如图5 所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、
BO(AO>BO)悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则( )
图5
A.绳AO 先被拉断
B.绳BO 先被拉断
C.绳AO、BO 同时被拉断
D.条件不足，无法判断
答案 B
解析 依据力的作用效果将铁球对结点O 的拉力分解，如图所示，根据平行四
边形定则可得FB>FA，又因为两绳承受的最大拉力相等，故当在球内不断注入铁
砂时，绳BO 受到的拉力先达到最大值，绳BO 先断，故B 正确。
3.(2023·辽宁葫芦岛模拟)有一种瓜子破壳器其简化截面如图6 所示，将瓜子放入
两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为
θ 的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B 之间，并用竖直向
下的恒力F 按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子重力，不考
虑瓜子的形状改变，不计摩擦，若保持A、B 距离不变，则( )
图6
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A.圆柱体A、B 对瓜子压力的合力为零
B.顶角θ 越大，圆柱体A 对瓜子的压力越小
C.顶角θ 越大，圆柱体A 对瓜子的压力越大
D.圆柱体A 对瓜子的压力大小与顶角θ 无关
答案 B
解析 圆柱体A、B 对瓜子压力的合力不为零，与恒力F 等大反向，A 错误；根
据力的作用效果分解如图所示，由三角函数得sin ＝，解得FA＝，合力F 恒定，
顶角θ 越大，FA越小，圆柱体A 对瓜子的压力大小等于FA，则压力越小，B 正确，
C、D 错误。
角度
力的正交分解法
例3 (2024·安徽合肥模拟预测)如图7，质量均为m 的小球A 和B 分别用轻质细
线a、b 悬于O 点，A、B 用轻质细线c 连接。给B 施加水平向右的拉力F，静止
时，细线a 与竖直方向的夹角为30°，细线b 与竖直方向的夹角为60°，细线c 刚
好水平，重力加速度为g，则拉力F 的大小为( )
图7
A.mg
B.mg
C.mg
D.mg
答案 C
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解析 根据题意，分别对A、B 受力分析，如图所示，对小球A，竖直方向有
Facos 30°＝mg，水平方向有Fasin 30°＝FcA，对小球B，竖直方向有Fbcos 60°＝
mg，水平方向有FcB＋Fbsin 60°＝F，又有FcA＝FcB，联立解得F＝mg，故C 正确。
4.如图8 所示，某同学在家用拖把拖地，拖把由拖杆和拖把头构成。设某拖把头
的质量为m，拖杆质量可忽略，拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速
度为g。该同学用沿拖杆方向的力F 推拖把，让拖把头在水平地板上向前匀速移
动，此时拖杆与竖直方向的夹角为θ。则下列判断正确的是( )
图8
A.地面受到的压力FN＝Fcos θ
B.拖把头受到地面的摩擦力Ff＝μmg
C.推力F＝
D.推力F＝
答案 D
解析 拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡状态，受力如图所示，
建立直角坐标系，竖直方向上根据平衡条件可得FN′＝Fcos θ＋mg，根据牛顿第
三定律可得地面受到的压力为FN＝Fcos θ＋mg，故A 错误；根据滑动摩擦力的
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计算公式可得Ff＝μFN＝μ(Fcos θ＋mg)，故B 错误；拖把头在水平地板上向前匀
速移动，水平方向根据平衡条件可得Fsin θ＝Ff，即Fsin θ＝μ(Fcos θ＋mg)，
解得推力F＝，故C 错误，D 正确。
考点三 “活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”的问题
角度
“活结”和“死结”模型分析
模型结构
模型解读
模型特点
“活结”模型
“活结”把绳子分为两
段，且可沿绳移动，“活
结”一般由绳跨过滑轮或
绳上挂一光滑挂钩而形
成，绳子因“活结”而弯
曲，但实际为同一根绳
“活结”两侧的绳子上的
张力大小处处相等
“死结”模型
“死结”把绳子分为两
段，且不可沿绳移动，
“死结”两侧的绳因结而
变成两根独立的绳
“死结”两侧的绳子上张
力不一定相等
例4 如图9 所示，将三段轻绳相结于O 点，其中OA 绳的一端拴在墙上，OB 绳
的下方悬挂甲物体，OC 绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体。OC 绳与竖直方向的夹
角为α＝70°。OA 绳与竖直方向的夹角为β(未知)。若甲、乙两物体的质量均为m
＝2 kg，重力加速度g 取10 m/s2，sin 55°≈0.82。根据所学的知识，不需计算，
推理出OA 绳的拉力约为( )
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图9
A.16 N
B.23 N
C.31 N
D.41 N
答案 B
解析 甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，则OC 绳的拉力与OB 绳的拉力均为
20 N，这两个力的合力与OA 绳的拉力大小相等，方向相反。由几何关系可知
OC 绳的拉力与OB 绳的拉力夹角为110°，而夹角为120°大小均为20 N 的两个力
的合力大小为20 N，所以OC 绳的拉力与OB 绳的拉力的合力略比20 N 大。由
于OA 绳的拉力大小等于OC 绳与OB 绳拉力的合力，所以可推理出OA 绳的拉力
约为23 N，故B 正确。
5.(多选)如图10 所示，在竖直平面内有固定的半径为R 的半圆轨道，其两端点
M、N 连线水平。将一轻质小环A 套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M 点，
另一端系一质量为m 的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力
加速度为g，下列说法正确的是( )
图10
A.细线对M 点的拉力大小为mg
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B.轨道对轻环的支持力大小为mg
C.细线对轻环的作用力大小为mg
D.图示位置时MA＝R
答案 BD
解析 轻环两边细线的拉力大小相等，均为T＝mg，则细线对M 点的拉力大小
为mg，故A 错误；轻环两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等，
设为θ，由OA＝OM 得∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，得θ＝30°，轻环受力平
衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcos θ＝mg，故B 正确；细线对轻环的
作用力是轻环两侧细线拉力的合力，大小为FN′＝FN＝mg，此时MA＝2Rcos θ＝
R，故C 错误，D 正确。
角度
“动杆”和“定杆”模型分析
模型结构
模型解读
模型特点
“动杆”模型
轻杆用光滑的转轴或铰链
连接，轻杆可围绕转轴或
铰链自由转动
当杆处于平衡状态时，杆
所受的弹力方向一定沿杆
“定杆”模型
轻杆被固定在接触面上，
不能发生转动
杆所受的弹力方向不一定
沿杆，可沿任意方向
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例5 (多选)(2024·山东济南外国语学校期末)图11 甲中，轻杆AB 一端与墙上的光
滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B 点下方悬挂质
量为m 的重物。图乙中，轻杆CD 一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳
绕过滑轮挂住质量为m 的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于
墙，两图中重物都静止，则下列说法中正确的是( )
图11
A.与轻杆AB 连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
B.轻杆CD 上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
C.两根杆中弹力方向均沿杆方向
D.若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂
答案 AD
解析 甲图中B 点受力如图(1)，杆在B 点的作用力方向沿杆，由平行四边形定
则可知，FN1＝＝mg，FT1＝＝2mg，则与轻杆AB 连接的铰链受到杆的弹力大小
为mg，故A 正确；乙图中D 点受力如图(2)，D 点滑轮受到杆的作用力方向不沿
杆，绳中两个拉力大小相同，可知小滑轮受到杆的弹力FN2＝FT1′＝FT2′＝mg，故
B、C 错误；若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，但甲、乙图中绳子拉力大小
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关系为FT1>FT1′，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，故D 正确。
(1) (2)
6.一质量为m 的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上，光滑铰链(不计质量)与轻杆
连接，轻杆通过光滑铰链分别与固定点O 和O′连接，如图12 所示。已知两轻杆
与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°，重力加速度为g，则下面轻杆和上面轻
杆受到铰链的作用力大小分别为( )
图12
A.mg，mg
B.mg，mg
C.mg，mg
D.mg，mg
答案 B
解析 由题可知，两轻杆为两个“动杆”，而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对铰
链进行受力分析，铰链所受轻绳拉力大小为mg，方向竖直向下，下面轻杆对铰
链的弹力方向沿轻杆斜向下，设为F1，上面轻杆
对铰链的弹力方向沿轻杆斜向上，设为F2，
如图所示。在力的矢量三角形中，由正弦定理有＝＝，解得F1＝mg，F2＝mg，
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选项B 正确。
A 级 基础对点练
对点练1 共点力的合成
1.(2023·重庆卷，1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受
到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图1 所示)，则该牙所受两牵引
力的合力大小为( )
图1
A.2Fsin
B.2Fcos
C.Fsin α
D.Fcos α
答案 B
解析 根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F 合＝2Fcos
，故B 正确。
2.如图2 所示是由F1、F2、…、F6六个力分别首尾相连构成的几何图形，已知F4
＝10 N，方向水平向右，则这六个力的合力的大小和方向为( )
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图2
A.10 N，水平向左
B.30 N，水平向右
C.10 N，水平向右
D.20 N，水平向右
答案 B
解析 由矢量的叠加可知F1、F2、F3三个力的合力等于F4，F5、F6两个力的合力
等于F4，则这六个力的合力的大小为F 合＝3F4＝30 N，方向水平向右，故B 正
确，A、C、D 错误。
3.(2023·浙江嘉兴市模拟)如图3 所示，某物体同时受到共面的三个共点力作用，
坐标纸小方格边长的长度对应1 N 大小的力。甲、乙、丙、丁四种情况中，关于
三个共点力的合力大小，下列说法正确的是( )
图3
A.甲图最小
B.乙图为8 N
C.丙图为5 N
D.丁图为1 N
答案 D
解析 由题图可知，F 甲＝2 N，方向竖直向上；F 乙＝ N，方向斜向右下；F 丙＝
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N，方向斜向左上；F 丁＝1 N，方向竖直向上。则丁图的合力最小，为1 N，故
D 正确。
对点练2 力的分解的两种常用方法
4.(2023·广东卷，2)如图4 所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁
面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，
机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F 的作用，磁力垂直壁面。下
列关系式正确的是( )
图4
A.Ff＝G
B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ
D.F＝Gsin θ
答案 C
解析 如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿
斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C 正确，A、B、D 错
误。
5.(2024·陕西渭南模拟)如图5 所示是安装工人移动空调外机的情境。两工人分别
在与窗户边缘等高的M、N 两点通过1、2 两根绳子使空调外机静止在P 点，此
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时P 点到M 点的距离小于P 点到N 点的距离，绳子质量忽略，若用F1、F2分别
表示PM、PN 的拉力，则( )
图5
A.F1的水平分力小于F2的水平分力
B.F1的水平分力大于F2的水平分力
C.F1的竖直分力小于F2的竖直分力
D.F1的竖直分力大于F2的竖直分力
答案 D
解析 设1、2 两绳子与竖直方向夹角分别为α、β，对空调外机受力分析可知，
水平方向F1sin α＝F2sin β，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项A、B 错
误；因α<β，则F1>F2，则两个力的竖直分量满足F1cos α>F2cos β，选项C 错误，
D 正确。
6.如图6 所示，开口向下的“ ”形框架两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中
点固定一定滑轮。两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过光滑定滑轮相连，并处于静
止状态，此时连接滑块A 的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B 的绳与水平方向
的夹角为2θ，则A、B 两滑块的质量之比为( )
图6
A.1∶2cos θ
B.2cos θ∶1
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C.2sin θ∶1
D.1∶2sin θ
答案 A
解析 对两个滑块分别受力分析，如图所示，根据平衡条件可知，mAg＝F1sin
θ，mBg＝F2sin 2θ，又F1＝F2，因此＝＝，A 正确。
对点练3 “活结”和“死结”与“定杆”和“动杆”的问题
7.(2024·上海市大同中学月考)水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有一小滑轮
B，轻绳的一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重力为G＝100 N 的
重物，∠CBA＝30°，如图7 所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为( )
图7
A.50 N
B.50 N
C.100 N
D.100 N
答案 C
解析 由题意可得，对B 点受力分析如图所示，滑轮受到绳子的作用力应为图
中两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳张力处处相等，大小都等于重物
的重力，即F1＝F2＝G＝100 N，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则由几何知识
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得F＝100 N，所以滑轮受绳的作用力为100 N，故C 正确。
8.(2023·四川南充模拟)如图8，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆
M、N 上的a、b 两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。
如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
图8
A.绳的右端上移到b′，绳子拉力变小
B.将杆M 向左移一些，绳子拉力变小
C.换用稍长一些的轻质晾衣绳，绳子拉力变小
D.绳的两端高度差越小，绳子拉力变小
答案 C
解析 如图所示，因为同一根绳子上的拉力相等，所以两侧绳子是对称的，与竖
直方向夹角是相等的。设绳子的长度为x，则两杆之间的距离等于xcos θ，绳子
一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ 角度不变，
所以F1＝F2＝，所以绳子上的拉力不变，绳的两端高度差的大小，对绳子的拉力
没有影响，故A、D 错误；当杆M 向左移一些，两杆之间的距离变大，绳长不变，
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所以θ 角度减小，sin θ 减小，绳子拉力变大，故B 错误；换用稍长一些的轻质
晾衣绳，θ 角度变大，绳子拉力变小，故C 正确。
B 级 综合提升练
9.如图9 所示，图甲中X 轴和Y 轴相互垂直，图乙中X′轴和Y′轴的夹角为127°。
已知力F＝25 N，sin 37°＝0.6，下列关于力F 的说法正确的是( )
图9
A.图甲中力F 沿X 轴的分力为15 N
B.图甲中力F 沿Y 轴的分力为20 N
C.图乙中力F 沿X′轴的分力为20 N
D.图乙中力F 沿Y′轴的分力为18.75 N
答案 D
解析 将力F 沿坐标轴进行分解如图所示，图(a)中FX＝Fcos 37°＝20 N，FY＝
Fsin 37°＝15 N，A、B 错误；图(b)中FX′＝＝31.25 N，FY′＝Ftan 37°＝18.75 N，
C 错误，D 正确。
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10.(2024·广东茂名模拟)2023 年春节，为增加节日的喜庆气氛，某街道两旁用如
图10 所示的装置挂上了大红灯笼。OA、OC 为轻绳，OA 与竖直墙壁的夹角为
53°，OB 为轻弹簧，弹簧的劲度系数为1 000 N/m，弹簧处于水平方向上，已知
灯笼质量为6 kg，sin 53°＝0.8，重力加速度大小g 取10 m/s2，则下列说法正确
的是( )
图10
A.弹簧可能处于拉伸状态，也可能处于压缩状态
B.弹簧和轻绳OA 对O 点的作用力大小为30 N
C.弹簧的形变量为8 cm
D.轻绳OA 上的弹力大小为50 N
答案 C
解析 以O 点为研究对象，轻绳OC 对O 点的拉力方向竖直向下，轻绳OA 对O
点的拉力方向沿OA 指向左上方，则弹簧对O 点的弹力方向应为水平向右，所以
弹簧应处于压缩状态，故A 错误；弹簧和轻绳OA 对O 点的作用力大小与轻绳
OC 对O 点竖直向下的拉力大小相等、方向相反，轻绳OC 对O 点竖直向下的拉
力大小等于灯笼重力大小，即FOC＝mg＝60 N，故B 错误；根据共点力的平衡条
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件和力的正交分解可得，水平方向上有FOAsin 53°＝kx，竖直方向上有FOAcos 53°
＝mg，两式联立解得FOA＝100 N，x＝0.08 m＝8 cm，选项C 正确，D 错误。
11.(2024·四川达州诊断性考试)如图11 所示，两光滑直硬杆1、2 一端固定在水平
面上(两杆在同一竖直平面内)，与水平面之间的夹角分别为30°、97°，轻质小环
套在杆2 上，质量m＝0.2 kg 的小球套在杆1 上，轻质细线连接环和球，给小球
一个沿杆1 斜向上的拉力F＝2.0 N，当环与球静止时，细线的弹力为T。重力加
速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则T 的大小为( )
图11
A.1.5 N
B.1.0 N
C.1.25 N
D.2.0 N
答案 C
解析 对小环受力分析，轻质小环受力平衡，则细线的弹力T 的方向应垂直于杆
2，对小球受力分析，如图所示，根据几何关系可知T 方向与杆1 夹角为37°，小
球受力平衡，对小球受力进行正交分解，在沿杆1 方向上有Tcos 37°＋mgsin 30°
＝F，代入数据解得T＝1.25 N，故C 正确。
12.(2024·江苏南京师范大学附属中学期末)如图12 所示，两个质量均为m 的小球
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a 和b 套在竖直固定的光滑圆环上，圆环半径为R，一不可伸长的细线两端各系
在一个小球上，细线长为2R。用竖直向上的力F 拉细线中点O，可使两小球保
持等高静止在圆上不同高度处。当a、b 间的距离为R 时，力F 的大小为(重力加
速度为g)( )
图12
A.2mg
B.3mg
C.2mg
D.3mg
答案 B
解析 a、b 等高且距离为R，O 为细线中点且细线长为2R，则Oa＝Ob＝R，三
角形Oab 为等边三角形，如图。选取左侧小球进行分析，记O′为圆心，由图中
几何关系可得，圆环弹力沿O′a 向外，与水平方向夹角为30°，则小球所受重力
与圆环弹力的合外力为F 合＝2mgcos 30°＝mg，与细线拉力FT等大，力F 的大小
与细线拉力的合力等大反向，两细线夹角为60°，则F＝2FTcos 30°＝FT＝3mg，
故B 正确。
C 级 培优加强练
13.(多选)不可伸长的细绳的两端分别系于两竖立圆环水平直径的两端，图13 甲
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通过轻质光滑滑轮悬挂重物，图乙通过绳结在正中间悬挂重物。现将两圆环均缓
慢地顺时针转动一个小角度，稳定后各段绳的拉力变化情况正确的是( )
图13
A.a、b 端绳上拉力仍相等，均变小
B.a、b 端绳上拉力仍相等，均变大
C.c 端绳上拉力变大、d 端绳上拉力变小
D.c 端绳上拉力变小、d 端绳上拉力变大
答案 AC
解析 对甲图，绳上张力处处相等，两边绳与水平方向的夹角相等(“活结”模
型)。设绳与水平方向的夹角为θ，a、b 连线的水平距离为d，绳总长为L，有
cos θ＝，2Tasin θ＝mg，解得Ta＝Tb＝，圆环缓慢地顺时针转动一个小角度，d
变小，a、b 端绳上拉力仍相等，均变小，A 正确，B 错误；对乙图，圆环缓慢地
顺时针转动一个小角度，两绳上拉力方向都变化，但两拉力方向夹角保持不变
(“死结”模型)，对结点受力分析，如图所示。由力的矢量三角形可知，旋转前
Tc＝Td，旋转后，c 端绳上拉力变大、d 端绳上拉力变小，C 正确，D 错误。
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