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碰撞中的临界问题及多次碰撞问题
一、碰撞中的临界极值问题
碰撞中的临界极值问题，指的是相互作用中的物体“恰好不相撞”“相距最近”
“相距最远”或“恰上升到最高点”等，求解的关键是速度相等。常见类型有
(1)当小物块到达最高点时，两物体速度相同。
(2)弹簧最短或最长时，两物体速度相同，此时弹簧弹性势能最大。
(3)两物体刚好不相撞，两物体速度相同。
(4)滑块恰好不滑出长木板，滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同。
例1 如图1，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板
上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s
的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h
＝0.3 m(h 小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的
质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。重力加速度的大小取g＝10
m/s2。
图1
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
答案 (1)20 kg (2)不能，理由见解析
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解析 (1)规定向左为正方向。冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同
速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。对冰块与斜面体分析，由水平方
向动量守恒和机械能守恒得m2v0＝(m2＋m3)v
m2v＝(m2＋m3)v2＋m2gh
式中v0＝3 m/s 为冰块推出时的速度，联立并代入题给数据得v＝1 m/s，m3＝20
kg。
(2)设小孩推出冰块后的速度为v1，对小孩与冰块分析，由动量守恒定律有
m1v1＋m2v0＝0
代入数据得v1＝－1 m/s
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，对冰块与斜面体分析，由动量守
恒定律和机械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋m3v3
m2v＝m2v＋m3v
联立并代入数据得v2＝－1 m/s
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在小孩后
方，故冰块不能追上小孩。
1.(多选)(2024·辽宁大连模拟)如图2 所示，甲和他的冰车总质量M＝30 kg，甲推
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着质量m＝15 kg 的小木箱一起以速度v0＝2 m/s 向右滑行，乙和他的冰车总质量
也为M＝30 kg，乙以同样大小的速度迎面而来。为了避免相撞，甲将小木箱以
速度v 沿冰面推出，木箱滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，则
小木箱的速度v 可能为( )
图2
A.4 m/s
B.5 m/s
C.6 m/s
D.7 m/s
答案 CD
解析 对于甲和箱子根据动量守恒定律得(M＋m)v0＝Mv1＋mv，对于乙和箱子根
据动量守恒定律得mv－Mv0＝(M＋m)v2，甲、乙恰好不相碰，有v1＝v2，联立解
得v＝5.2 m/s，若要避免碰撞，则需要满足v≥5.2 m/s，故C、D 正确，A、B 错
误。
二、多次碰撞问题
多次碰撞问题的处理方法是数学归纳法，先利用所学知识把前几次碰撞过程理顺、
分析透彻。根据前几次数据利用数学归纳法，可写出之后碰撞过程中对应规律或
结果，然后可以计算全程的路程或发生碰撞的总次数等数据。多次碰撞问题涉及
的主要模型有：1.两个物体之间或物体与挡板之间发生多次碰撞；2.多个物体发
生连续碰撞。
例2 (2024·湖北黄冈高三检测)人和冰车的总质量为M，另有一个质量为m 的坚
固木箱，开始时人坐在冰车上静止在光滑水平冰面上，某一时刻人将原来静止在
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冰面上的木箱以速度v 推向前方弹性挡板，木箱与挡板碰撞后又反向弹回。设木
箱与挡板碰撞过程中没有机械能的损失，人接到木箱后又以速度v 将木箱推向挡
板，如此反复多次，试求人推多少次木箱后将不可能再接到木箱(已知M∶m＝
31∶2)。
答案 9
解析 人推木箱的过程，对于人和木箱组成的系统，由动量守恒定律有
第1 次推木箱前后：0＝Mv1－mv
第2 次推木箱前后：Mv1＋mv＝Mv2－mv……
第n 次推木箱前后：Mvn－1＋mv＝Mvn－mv
n 个式子相加得(n－1)mv＝Mvn－nmv
所以vn＝＝v
依题意可知vn≥v，则有n≥8.25，所以n＝9。
2.(多选)如图3 所示，质量分别为2m、km(k 未知且k>2)的小球B、C 静止放置在
光滑水平面上，一质量为m 的小球A 从小球B 的左侧以速度v 水平向右运动。
已知所有碰撞均为弹性碰撞，且碰撞时间极短，A 与B 只发生一次碰撞，则k 的
值可能为( )
图3
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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答案 AB
解析 A 与B 碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得mv＝mvA＋
2mvB，mv2＝mv＋×2mv，联立解得碰后A、B 的速度分别为vA＝－v，vB＝v，B
与C 碰撞过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得2mvB＝2mvB′＋kmvC，
×2mv＝×2mvB′2＋·kmv，联立解得碰撞后B 的速度为vB′＝v，为了保证A 与B 只
发生一次碰撞，需要满足|vB′|＝≤＝，由于k>2，则有≤，联立解得2<k≤6，故
A、B 正确，C、D 错误。
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