文档内容
知识点 50：应用三大观点解决滑块与滑块碰撞问题
【知识思维方法技巧】
（1）解决力学问题的三种观点：
①动力学的观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
②能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
③动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
（2）力学规律的选用原则
①如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
②研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问
题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
③若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒
定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
④在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统
机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
⑤在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统
机械能与其他形式能量之间的转换．这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律
去解决．
（3）滑块与滑块碰撞问题解题策略
①抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解。
②可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：
v′＝v，v′＝v
1 1 2 1
③应着重分析物体的运动过程，明确它们之间的时间、空间关系，并注意临界、隐含和极
值等条件，然后用能量守恒和动量守恒等规律求解．
考点一：滑块与滑块弹性正碰模型
题型一：水平式运动模型
【典例1提高题】1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质子
大致相等的中性粒子(即中子)组成．如图，中子以速度v 分别碰撞静止的氢核和氮核，碰
0
撞后氢核和氮核的速度分别为v 和v.设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正
1 2
确的是( )
A．碰撞后氮核的动量比氢核的小 B．碰撞后氮核的动能比氢核的小
C．v 大于v D．v 大于v
2 1 2 0
【典例1提高题】【答案】B
【解析】设中子的质量为m，则氢核的质量也为m，氮核的质量为14m，设中子和氢核碰
撞后中子速度为v ，取v 的方向为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律可得mv ＝mv
3 0 0 1
＋mv ，mv 2＝mv 2＋mv 2联立解得v ＝v 。设中子和氮核碰撞后中子速度为v ，取v 的方
3 0 1 3 1 0 4 0
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学科网（北京）股份有限公司向为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律可得 mv ＝14mv ＋mv ，mv 2＝×14mv 2＋
0 2 4 0 2
mv 2联立解得v ＝v ，可得v ＝v>v ，碰撞后氢核的动量为p ＝mv ＝mv ，氮核的动量为
4 2 0 1 0 2 H 1 0
p ＝14mv ＝可得 p >p ，碰撞后氢核的动能为 E ＝mv 2＝mv 2，氮核的动能为 E ＝
N 2 N H kH 1 0 kN
×14mv 2＝，可得E >E ，故B正确，A、C、D错误．
2 kH kN
【典例1提高题对应练习】如图，光滑固定轨道PQO的水平段QO＝ ，轨道在O点与水
平地面平滑连接．一质量为m的小物块A从高h处由静止开始沿轨道下滑，在O点与质量
为4m的静止小物块B发生碰撞．A、B与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，重力加速度
为g.假设A、B间的碰撞为完全弹性碰撞，碰撞时间极短．求：
(1)第一次碰撞后瞬间A和B速度的大小；
(2)请计算说明物块A与B能否发生第二次碰撞．
【典例1提高题对应练习】【答案】见解析
【解析】(1)设碰撞前瞬间A的速度为v，对A下滑过程由动能定理有：mgh＝ mv2，得v＝
，第一次碰撞中由动量守恒得：mv＝mv′＋4mv ，由机械能守恒得： mv2＝ mv′2＋
B
×4mv 2，解得v′＝ v，v ＝ v，解得碰撞后瞬间A的速度：v′＝－ ，B的
B B
速度v ＝
B
(2)碰撞后A沿光滑轨道上升后又滑到O，然后向右减速滑行至停止，对此过程由动能定理
得：μmgx ＝ mv′2，解得x ＝ h，B沿地面减速滑行至停止，有μ·4mgx ＝ ×4mv 2，得
A A B B
x ＝ h，因为x >x ，所以会发生第二次碰撞．
B A B
题型二：斜面式运动模型
【典例2提高题】如图所示，质量相等的a、b两球从斜面上的A、B两点同时沿光滑斜面
向上推出，初速度大小分别为v、v，A、B间的距离为s，重力加速度为g，斜面的倾角
1 2
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学科网（北京）股份有限公司为θ＝37°.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.(v、g和θ为已知)
2
(1)若当b球向上运动的速度减为0时，a球刚好与它相碰，求v的大小；
1
(2)若当b球回到B点时，两球刚好发生弹性碰撞，则碰撞后b球再次回到B点所用的时间
为多少？
【典例2提高题】【答案】(1)v＋ (2)－
2
【解析】(1)由于斜面光滑，两球沿斜面向上运动的加速度为a＝gsin θ＝g，当b球运动到
最高点时所用的时间t ＝，位移：x ＝＝，b球速度为零时，a球刚好与b球相碰，则a球
1 2
向上运动的位移x＝s＋x＝s＋，x＝vt－at，解得v＝v＋
1 2 1 11 1 2
(2)当b球回到B点时，b球运动的时间为t ＝2＝，由对称性可知球a：s＝vt －at，解得：
2 12
v ＝v ＋，设碰撞前a球的速度大小为v′ ，b球速度大小为v′ ，则s＝(v ＋v′)t ，求得v′ ＝
1 2 1 2 1 1 2 1
－v ，v′ ＝v ，由于两球发生的弹性碰撞，且两球质量大小相等，设碰撞后a球的速度大小
2 2 2
为v″ ，b球的速度大小为v″ ，由动量守恒定律可得：mv′ －mv′ ＝mv″ －mv″ ，由机械能
1 2 1 2 2 1
守恒定律：mv′＋mv′＝mv″＋mv″，解得v″ ＝v′ ＝－v ，碰撞后b球再次回到B点所用的
2 1 2
时间t＝＝－.
3
【典例2提高题对应练习】竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆
弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图(a)所示．t＝0时刻，小物块A在倾
斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)；当A返回到倾
斜轨道上的P点(图中未标出)时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保
持静止．物块A运动的v－t图象如图(b)所示，图中的v 和t 均为未知量．已知A的质量为
1 1
m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力．
（1）求物块B的质量；
（2）在图(b)所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功．
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)3m (2)mgH
【解析】(1)根据题图(b)，v 为物块A在碰撞前瞬间速度的大小，为其碰撞后瞬间速度的大
1
小．设物块B的质量为m′，碰撞后瞬间的速度大小为v′.由动量守恒定律和机械能守恒定律
有mv ＝m＋m′v′，mv 2＝m2＋m′v′2，联立得m′＝3m；
1 1
(2)在题图(b)所描述的运动中，设物块A与轨道间的滑动摩擦力大小为F，下滑过程中所经
f
过的路程为s ，返回过程中所经过的路程为s ，P与B的高度差为h，整个过程中克服摩擦
1 2
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学科网（北京）股份有限公司力所做的功为W.由动能定理有mgH－Fs＝mv 2－0④－(Fs＋mgh)＝0－m2
f 1 1 f 2
从题图(b)所给出的v－t图线可知s＝vt，s＝··(1.4t－t)由几何关系得：＝
1 11 2 1 1
物块A在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为W＝Fs＋Fs 联立可得W＝mgH
f 1 f 2
题型三：竖直式运动模型
【典例3提高题】如图所示，两质量分别为m 和m 的弹性小球A、B叠放在一起，从高度
1 2
为h处自由落下，h远大于两小球半径，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A碰撞，所有
的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖直方向、碰撞时间均可忽略不计．已知m ＝3m ，则
2 1
A反弹后能达到的高度为( )
A．h B．2h C．3h D．4h
【典例3提高题】【答案】D
【解析】所有的碰撞都是弹性碰撞，所以不考虑能量损失．设竖直向上为正方向，根据机
械能守恒定律和动量守恒定律可得，(m ＋m)gh＝(m ＋m)v2，mv－mv＝mv ＋mv ，(m
1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1
＋m)v2＝mv＋mv，mv＝mgh，将m＝3m 代入，联立可得h＝4h，选项D正确．
2 1 2 1 1 1 2 1 1
【典例3提高题对应练习】如图所示，质量分别为m 和m 的两个小球叠放在一起，从高
1 2
度为h处由静止释放，它们一起下落，不计空气阻力。
(1)在下落过程中，两个小球之间是否存在相互作用力？请说明理由。
(2)已知h远大于两球半径，所有的碰撞都没有机械能损失，且碰撞前后小球都沿竖直方向
运动，若碰撞后m 恰处于平衡状态，求：
2
①落地前瞬间，两个小球的速度大小v；
0
②两个小球的质量之比m∶m；
1 2
③小球m 上升的最大高度H。
1
【典例3提高题对应练习】【答案】(1)在下落过程中，两个小球之间不存在相互作用力，
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学科网（北京）股份有限公司任意时刻它们均处于完全失重状态，其速度和加速度都相同，不会相互挤压，因而没有相
互作用力。(2)① ②1∶3 ③4h
【解析】(1)在下落过程中，两个小球之间不存在相互作用力，任意时刻它们的速率和加速
度都相同，不会相互挤压，其间没有相互作用力。
(2)①根据机械能守恒定律：(m ＋m)v2＝(m＋m)gh，解得v＝
1 2 0 1 2 0
②m ，m 以相同的速度v 落到地面，m 先与地面发生弹性碰撞，碰撞前后速度大小不变，
1 2 0 2
方向反向；接着与m 碰撞，碰后m 的速度恰好减为零，m 的速度为v ，取向上为正方向，
1 2 1 1
根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有—mv＋mv＝mv，mv2＋mv2＝mv2，解得v
1 0 2 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1
＝2v＝2，m∶m＝1∶3。
0 1 2
③根据机械能守恒定律，有mv2＝mgH，解得H＝4h。
1 1 1
题型四：弹性正碰+组合式运动模型
【典例4提高题】如图所示，AB为光滑水平面，BC部分位于竖直平面内半径为R的半圆
轨道，B点是最低点，C点是最高点，C点切线方向水平，圆管截面半径r≪R.有一个质量
为m的a球以水平初速度向右运动碰撞到原来静止在水平面上的质量为3m的b球，两球
发生对心碰撞，碰撞时间极短，并且碰撞时没有能量损失，碰撞后 b球顺利进入光滑圆管
(B点无能量损失，小球的半径比圆管半径r略小)，它经过最高点C后飞出，最后落在水平
地面上的A点，已知AB的距离为2R.已知重力加速度为g.求：
(1)小球b运动到C点时对轨道的压力．
(2)碰后小球a的速度．
【典例4提高题】【答案】(1)0 (2)，方向向左
【解析】(1)b球从C点做平抛运动，则：水平方向x＝2R＝v t，竖直方向：y＝2R＝gt2，
C
解得：v ＝，在C点根据牛顿第二定律得：3mg＋F ＝3m，解得：F ＝0，由牛顿第三定
C N N
律知小球对轨道的压力为0
(2)b球从B到C，由机械能守恒得：3mg·2R＝×3mv－×3mv，解得：v ＝，a球与b球发生
B
弹性碰撞，则：mv ＝mv ＋3mv ，mv＝mv＋×3mv，解得：v＝－，方向向左．
0 a B a
【典例4提高题对应练习】如图所示，光滑曲面AB与粗糙水平轨道BC相切于B点，一质
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学科网（北京）股份有限公司量为m＝0.1 kg的小滑块1从离BC高为H＝0.8 m处由静止开始下滑，与静止在B处的质
1
量为m＝0.3 kg的小滑块2发生弹性碰撞，碰撞后滑块2恰好运动到C处停止．已知BC
2
间距离为s＝1 m，O在C的正下方，C离水平地面高为h＝0.45 m，两滑块均可看作质点，
不计空气阻力，g＝10 m/s2.
(1)求两滑块碰撞前瞬间滑块1的速度大小v；
0
(2)求滑块2与水平轨道BC间的动摩擦因数μ；
(3)若增加滑块1 的质量，碰撞后滑块2从C点水平飞出后落在水平地面上的D点，则D
与C的水平距离最大不会超过多少？
【典例4提高题对应练习】【答案】(1)4 m/s (2)0.2 (3) m
【解析】(1)滑块1从A到B，由动能定理有：mgH＝ mv2，解得v＝4 m/s.
1 1 0 0
(2)滑块1、2发生弹性碰撞，则有mv＝mv＋mv， mv2＝ mv2＋ mv2，联立以上两
1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2
式得：v＝ ＝2 m/s，对滑块2，从B到C由动能定理有：－μm gs＝0－ mv2，得μ
2 2 2 2
＝0.2.
(3)由v＝ 可知当m 远大于m 时，发生弹性碰撞后物块2速度最大，为v ＝2v＝8
2 1 2 2m 0
m/s，对滑块2，从B到C由动能定理有：－μm gs＝ mv 2－ mv 2，离开C后滑块2做
2 2 C 2 2m
平抛运动，有h＝ gt2，x ＝v t，联立以上各式解得x ＝ m.
m C m
考点二：滑块与滑块完全非弹性正碰模型
题型一：完全非弹性正碰模型
【典例1提高题】半圆形光滑轨道固定在水平地面上，如图所示，并使其轨道平面与地面
垂直，物体m、m 同时由轨道左、右最高点释放，二者碰后粘在一起向上运动，最高能上
1 2
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学科网（北京）股份有限公司升到轨道M点，已知OM与竖直方向夹角为60°，则两物体的质量之比m∶m 为(
1 2
)
A．(＋1)∶(－1) B．∶1
C．(－1)∶(＋1) D．1∶
【典例1提高题】【答案】C
【解析】两球到达最低的过程由动能定理得：mgR＝mv2解得：v＝，所以两球到达最低点
的速度均为；设向左为正方向，则m 的速度v＝－，则m 的速度v＝，
1 1 2 2
由于碰撞瞬间动量守恒得：mv ＋mv ＝(m ＋m)v 解得：v ＝，二者碰后粘在一起向左
2 2 1 1 1 2 共 共
运动，最高能上升到轨道P点，对此过程由动能定理得：
－(m＋m)gR(1－cos 60°)＝0－(m＋m)v解得：＝2
1 2 1 2
整理得：m∶m＝(－1)∶(＋1)，故选C.
1 2
【典例1提高题对应练习】如图所示，内壁光滑半径为R的圆形轨道，固定在竖直平面内．
质量为m 的小球静止在轨道最低点，另一质量为m 的小球(两小球均可视为质点)从内壁上
1 2
与圆心O等高的位置由静止释放，运动到最低点时与m 发生碰撞并粘在一起．求：
1
(1)小球m 刚要与m 发生碰撞时的速度大小；
2 1
(2)碰撞后，m、m 能沿内壁运动所能达到的最大高度(相对碰撞点)．
1 2
【典例1提高题对应练习】【答案】(1) (2)
【解析】(1)设小球m 刚要与m 发生碰撞时的速度大小为v.由机械能守恒定律，得mgR＝
2 1 0 2
mv①，解得v＝ ②
2 0
(2)设两球碰撞后，m 、m 两球粘在一起的速度为 v，由动量守恒定律，得 mv ＝(m ＋
1 2 2 0 1
m)v③，设两球碰撞后上升的最大高度为h，由机械能守恒得(m ＋m)v2＝(m ＋m)gh④，
2 1 2 1 2
由②③④三式解得h＝
题型二：完全非弹性正碰+组合式运动模型
【典例2提高题】小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨
道、水平直轨道AB和倾角θ＝37°的斜轨道BC平滑连接而成．质量m＝0.1 kg的小滑块从
弧形轨道离地高H＝1.0 m处静止释放．已知R＝0.2 m，L ＝L ＝1.0 m，滑块与轨道AB
AB BC
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学科网（北京）股份有限公司和BC间的动摩擦因数均为μ＝0.25，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力．g
＝10 m/s2
（1）求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；
（2）通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；
（3）若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为2m的小滑块相碰，碰后一
起运动，动摩擦因数仍为0.25，求它们在轨道BC上到达的高度h与x之间的关系．(碰撞
时间不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【典例2提高题】【答案】（1）8 N，方向水平向左（2）不会冲出（3）h＝x－( m
