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第1 讲 功与功率
学习目标 1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。 2.理解功率的
概念，会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析、解决机车启动的两类问题。
1.思考判断
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，就一定有力对物体做功。(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(√)
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(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。(×)
(4)由P＝Fv 既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(√)
(5)由P＝知，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率。(×)
(6)当F 为恒力时，v 增大，F 的功率一定增大。(×)
2.水平恒力F 两次作用在同一静止物体上，使物体沿力的方向发生相同的位移，
第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次力F 做的功和平均
功率的大小关系是( )
A.W1＝W2，P1＞P2
B.W1＞W2，P1＝P2
C.W1＞W2，P1＞P2
D.W1＝W2，P1＝P2
答案 A
考点一 恒力做功的分析和计算
1.判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据
适用情况
根据力和位移方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
2.恒力做功的计算方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α 计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求功，尤其适用于已知质量m 和加
速度a 的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求
合力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。
例1 (多选)(人教版必修第二册改编)一位质量m＝60 kg 的滑雪运动员从高h＝10
m 的斜坡自由下滑，如图1 所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力f＝50
N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g 取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关
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于各力做功的情况，下列说法正确的是( )
图1
A.重力做的功为6 000 J
B.阻力做的功为1 000 J
C.支持力不做功
D.各力做的总功为零
答案 AC
解析 对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000
J，阻力做功Wf＝－f·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，
支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W 总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C
正确，B、D 错误。
1.(多选)如图2 所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg 的物体置于斜面
上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s
的过程中。g 取10 m/s2，则( )
图2
A.斜面对物体的支持力做功900 J
B.斜面对物体的摩擦力做功－300 J
C.物体克服重力做功－800 J
D.合外力对物体做功400 J
答案 AD
解析 物体置于升降机内随升降机一起匀加速运动过程中，受力分析如图所示，
由牛顿第二定律得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝ma，代入数据
得Ff＝15 N，FN＝15 N，又x＝at2＝40 m，斜面对物体的支持力所做的功WN＝
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FNxcos θ＝900 J，故A 正确；斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffxsin θ＝300
J，故B 错误；物体所受重力做的功WG＝－mgx＝－800 J，则物体克服重力做功
800 J，故C 错误；合外力对物体做的功W 合＝WN＋Wf＋WG＝400 J，故D 正确。
考点二 变力做功的分析和计算
变力做功常见的五种计算方法
方法
情境说明
方法总结
微元法
质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，
运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1
＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3
＋…)＝Ff·2πR
等效
转换
法
恒力F 把物块从A 拉到B，绳子对物块做
的功为
W＝F·
平均
力法
弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2
的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝
FΔx＝·(x2－x1)
图像法
在F－x 图像中，图线与x 轴所围“面积”
的代数和就表示力F 在这段位移上所做的
功
动能定
理法
用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做
的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝
0，得WF＝mgL(1－cos θ)
例2 (多选)力F 对物体所做的功可由公式W＝Flcos α 求得。公式中力F 必须是
恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图3，对于甲、乙、
丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )
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图3
A.甲图中若F 大小不变，物块从A 到C 过程中力F 做的为W＝F(lOA－lOC)
B.乙图中，全过程中F 做的总功为72 J
C.丙图中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，小球从A 运动到B 过程中空气阻
力做的功W＝πRf
D.图丁中，F 始终保持水平，无论是F 缓慢将小球从P 拉到Q，还是F 为恒力将
小球从P 拉到Q，F 做的功都是W＝Flsin θ
答案 AB
解析 等效转换法：甲图中因力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A
到C 过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A 正确。
提示：轻绳对物体的拉力一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题
转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F 做的功相等。
图像法：乙图中，F－x 图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F 做的总
功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B 正确。
微元法：丙图中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，方向始终与运动方向相反，
可用微元法得小球从A 运动到B 过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C
错误。
动能定理法：图丁中，F 始终保持水平，当F 为恒力时将小球从P 拉到Q，F 做
的功是W＝Flsin θ，而F 缓慢将小球从P 拉到Q，F 为水平方向的变力，F 做的
功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F 做功，故D 错误。
除了以上求变力做功的方法外，还存在其他变力做功情况，如：
(1)用功率求功：机车类发动机保持功率P 恒定做变速运动时，牵引力是变力，
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牵引力做的功W＝Pt。
(2)恒力做功和变力做功均可应用动能定理求解。
2.如图4 所示，质量均为m 的A、B 两小物块用轻质弹簧相连，A 放置在光滑水
平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B 相连(连接物块B 的绳子恰好伸直
但不绷紧)，弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F 作用在轻绳上，使物块
B 缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A 物块恰好离开地面时，F 所做功为(
)
图4
A.F
B.F
C.
D.
答案 D
解析 开始时弹簧的压缩量为x1＝，此时F1＝0，当A 物块恰好离开地面时弹簧
伸长量为x2＝，此时F2＝2mg，则力F 做功W＝(x1＋x2)＝，故D 正确。
3.(2024·山东威海模拟)水平桌面上，长6 m 的轻绳一端固定于O 点，如图5 所示
(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg 的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不
变的力F＝10 N，F 拉着物体从M 点运动到N 点，F 的方向始终与小球的运动方
向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，取g＝10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
图5
A.拉力F 对小球做的功为16π J
B.拉力F 对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
答案 A
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解析 将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F 在每小段上做的功为W1，
W2，…，Wn，因拉力F 大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，故WF＝W1＋W2＋…＋Wn
＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝16π J，故A 正确，B 错误；同理可得小球
克服摩擦力做的功Wf＝μmg·＝8π J，故C、D 错误。
考点三 功率的分析与计算
1.公式P＝和P＝Fv 的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv 是功率的计算式。
2.平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。
3.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度。
(2)P＝FvF，其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。
(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力。
例3 (2023·山东卷，4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田
里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径约为R 的水轮，以角速度ω 匀速
转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n 个，与水轮间无相对滑动，每个
水筒离开水面时装有质量为m 的水，其中的60%被输送到高出水面H 处灌入稻
田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为( )
图6
A.
B.
C.
D.nmgωRH
答案 B
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解析 由题知，水轮转一圈灌入农田的水的总质量为m 总＝2πRnm×60%＝
1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒车对
灌入稻田的水做功的功率为P＝，又T＝，联立解得P＝，故B 正确。
4.如图7 所示，质量为m＝2 kg 的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，
斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°
＝0.8，g 取10 m/s2，则前2 s 内重力的平均功率和2 s 末重力的瞬时功率分别为(
)
图7
A.48 W 24 W
B.24 W 48 W
C.24 W 12 W
D.12 W 24 W
答案 B
解析 木块所受的合外力F 合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2
m/s2，前2 s 内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s 内做的功
为W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s 内的平均功率P＝＝24
W，木块在2 s 末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s 末重力的瞬时功率P＝
mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，故选项B 正确。
考点四 机车启动问题
两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t 图像
和
v－t 图像
O
A
过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a ＝不变⇒F 不变，v↑⇒P ＝
Fv↑直到P＝P 额＝Fv1
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段
运动
性质
加速度减小的加速直线运
动
匀加速直线运动，维持时间t1＝
A
B
段
过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
B
C
段
过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
运动
性质
以vm做匀速直线运动
转折点
在转折点A，牵引力与阻
力大小相等，此时加速度
为零，速度达到最大，为
vm＝
在转折点A，功率达到额定功
率，匀加速运动结束，此时v1
＝；在转折点B，速度达到最
大，为vm＝
角度
恒定功率启动问题
例4 (多选)发展新能源汽车是当前一项国家战略，更是世界发展的潮流。假设有
一辆纯电动客车质量m＝1×103 kg，客车沿平直的公路以恒定功率P 从静止开
始启动，如图8 所示为牵引力F 与速度v 的关系图像，加速过程在图中的B 点结
束，所用的时间t＝10 s，10 s 后客车做匀速运动。若客车所受阻力始终不变，下
列说法正确的是( )
图8
A.客车的功率P＝64 kW
B.图中A 点对应的时刻为5 s
C.图中A 点对应时刻客车的加速度大小为4 m/s2
D.0～10 s 客车通过的路程为128 m
答案 ACD
解析 客车以恒定功率P 启动，由图可得P＝Fv＝64 kW，故A 正确；客车以额
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定功率启动，作出其v－t 图像如图曲线所示，如果客车是做初速度为零的匀加
速直线运动，则v－t 图像如图中的直线所示，当速度为8 m/s 时直线对应的时间
刚好是5 s，而A 点对应曲线的时间tA小于5 s，故B 错误；10 s 后客车做匀速运
动，此时客车受到的牵引力与阻力大小相等，故f＝4 000 N，图中A 点，FA＝8
000 N，根据牛顿第二定律可得aA＝＝4 m/s2，故C 正确；设0～10 s 客车通过的
路程为s，根据动能定理可得Pt－fs＝mv，代入数据解得s＝128 m，故D 正确。
角度
恒定加速度启动问题
例5 (多选)质量m＝200 kg 的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，如图9
甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。
设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s 末汽车的速度恰好达到最大，则下列说
法正确的是( )
图9
A.汽车受到的阻力为800 N
B.8～18 s 过程中汽车牵引力逐渐增大
C.0～8 s 过程中汽车牵引力做的功为6.4×104J
D.0～18 s 过程中汽车的位移大小为127.5 m
答案 AD
解析 当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，由P＝Fvm＝fvm得f＝＝ N＝800
N，故A 正确；v－t 图像中图线的斜率表示加速度，根据图甲可知，8～18 s 过程
中汽车加速度不断减小，又因为阻力不变，由F－f＝ma 知，汽车牵引力是逐渐
减小的，故B 错误；P－t 图像中图线与时间轴围成的面积表示牵引力做的功，
所以根据图乙可知0～8 s 过程中汽车牵引力做的功为W＝ J＝3.2×104 J，故C
错误；v－t 图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，故0～8 s 过程中汽车的
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位移为x1＝ m＝32 m，8～18 s 过程中，根据动能定理可得Pt－fx2＝mv－mv，代
入数据解得x2＝95.5 m，则0～18 s 过程中汽车的位移大小为x＝x1＋x2＝32 m＋
95.5 m＝127.5 m，故D 正确。
掌握三个重要关系式
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝
(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F 阻)。
2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是
最大，v＝＜vm＝。
3.机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F 阻x＝
ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
5.(2023·湖北卷，4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到
的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻
力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意可知对两节动车分别有P1＝f1v1，P2＝f2v2，当将它们编组后有P1＋
P2＝(f1＋f2)v，联立可得v＝，故D 正确。
A 级 基础对点练
对点练1 恒力做功的分析和计算
1.(多选)(2024·河南新乡高三期中)如图1 所示，滑块A 和B 叠放在固定的斜面体
上，它们从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知B 与斜面体的
接触面光滑，则在A、B 下滑的过程中，下列说法正确的是( )
图1
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A.B 对A 的支持力做负功
B.B 对A 的作用力不做功
C.A 对B 的摩擦力做正功
D.斜面体对B 的支持力做负功
答案 AB
解析 B 对A 的支持力竖直向上，与A、B 的运动方向之间的夹角大于90°，B 对
A 的支持力做负功，A 正确；以A、B 整体为研究对象，应用牛顿第二定律得(mA
＋mB)gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，隔离A 分析，如图所示，则mAgsin θ
＋Ffcos θ－FNsin θ＝mAa，得Ffcos θ＝FNsin θ，Ff与FN的合力方向与斜面垂直，
所以B 对A 的作用力不做功，B 正确；A 对B 的摩擦力沿着水平面向右，与运动
方向之间的夹角大于90°，则A 对B 的摩擦力做负功，C 错误；斜面体对B 的支
持力与斜面体垂直，即与B 下滑的速度方向垂直，不做功，D 错误。
2.如图2 所示，长为L 的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大
小为F 的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物
块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中( )
图2
A.摩擦力对小物块做的功为Ffs
B.摩擦力对系统做的总功为0
C.力F 对小车做的功为FL
D.小车克服摩擦力所做的功为Ffs
答案 D
解析 由题意知，小物块对地的位移方向向右，大小为s－L，小物块受到的摩
擦力方向水平向右，则摩擦力对小物块做的功为W1＝Ff(s－L)，故A 错误；物块
相对于小车的位移大小为L，则摩擦力对系统做的总功为－FfL，故B 错误；小
车对地位移大小为s，则力F 对小车做的功为Fs，故C 错误；小车受到的摩擦力
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方向水平向左，位移方向向右，大小为s，则小车克服摩擦力所做的功为Ffs，故
D 正确。
3.(2023·北京卷，11)如图3 所示，一物体在力F 作用下沿水平桌面做匀加速直线
运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为
μ，重力加速度为g，在物体移动距离x 的过程中( )
图3
A.摩擦力做功大小与F 方向无关
B.合力做功大小与F 方向有关
C.F 为水平方向时，F 做功为μmgx
D.F 做功的最小值为max
答案 D
解析 设力F 与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做
的功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，则摩擦力做功与F 的方向有关，选项A 错误；合力
做功W＝F 合x＝max，可知合力做功与力F 方向无关，选项B 错误；当力F 水平
时，有F－μmg＝ma，力F 做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C 错误；因合外
力做功为max 大小一定，而合外力做的功等于力F 与摩擦力Ff做功的代数和，
而当Fsin θ＝mg 时，摩擦力Ff＝0，则此时摩擦力做功为零，此时力F 做功最小，
最小值为max，选项D 正确。
对点练2 变力做功的分析和计算
4.(2023·新课标卷，15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速
率竖直下落。一质量为m 的雨滴在地面附近以速率v 下落高度h 的过程中，克服
空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)( )
A.0
B.mgh
C.mv2－mgh
D.mv2＋mgh
答案 B
解析 雨滴在地面附近下落过程中做匀速运动，对雨滴下落高度h 的过程，由动
能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B 正确，A、C、D 错误。
5.如图4 所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，
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已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变
化。该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为( )
图4
A.
B.
C.ρgL2
D.ρgL4
答案 B
解析 设浸入的深度为h，则浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2h，可见浮力与浸入水
中的深度成正比。由平均值法知克服浮力做的功为W＝L＝L＝，故B 正确。
对点练3 功率的分析与计算
6.(2024·山东济宁高三期末)如图5 所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻
绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s 末轮胎的速度大小为4
m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
图5
A.前2 s 内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s 内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s 内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s 末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
答案 B
解析 前2 s 内的位移为x＝t＝4 m，前2 s 内绳子拉力对轮胎所做的功为W＝
Fxcos 37°＝50×4×0.8 J＝160 J，故A 错误；根据v＝at，解得a＝2 m/s2，第2 s
内的位移为x′＝x－at＝3 m，第2 s 内运动员克服绳子拉力所做的功为W′＝Fx′cos
37°＝50×3×0.8 J＝120 J，故B 正确；前2 s 内绳子拉力对轮胎做功的平均功率
为P＝＝80 W，故C 错误；第2 s 末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率P＝Fvcos
37°＝50×4×0.8 W＝160 W，故D 错误。
7.(2023·山东卷，8)质量为M 的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F 和受
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到的阻力f 均为恒力。如图6 所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m 的
物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为s1时，小车达到额定功率，
轻绳从物体上脱落，物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为s2。物体与地面
间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为( )
图6
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设物体与地面间的动摩擦因数为μ，小车拖动物体行驶的位移为s1的过程
中，有F－f－μmg＝(m＋M)a，v2＝2as1，P0＝Fv；轻绳从物体上脱落后，a2＝
μg，v2＝2a2(s2－s1)，联立解得P0＝，故A 正确。
对点练4 机车启动问题
8.复兴号动车在世界上首次实现速度350 km/h 自动驾驶功能，成为我国高铁自主
创新的又一重大标志性成果。一列质量为m 的动车，初速度为v0，以恒定功率P
在平直轨道上运动，经时间t 达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受
到的阻力f 保持不变。动车在时间t 内( )
图7
A.做匀加速直线运动
B.牵引力的功率P＝fvm
C.当动车速度为时，其加速度为
D.牵引力做功W＝mv－mv
答案 B
解析 动车以恒定功率启动，由P＝F 牵v 可知动车的速度增大，则牵引力减小，
由牛顿第二定律F 牵－f＝ma 可得动车的加速度逐渐减小，A 错误；当动车的加
速度为零时，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，则P＝fvm，B 正确；当动
车速度为时，牵引力为F 牵′＝＝＝3f，根据牛顿第二定律可得F 牵′－f＝ma1，则
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此时其加速度为a1＝，C 错误；设动车在时间t 内的位移为x，由动能定理得W
－fx＝mv－mv，则牵引力所做的功为W＝fx＋mv－mv，D 错误。
9.(多选)下列各图是反映汽车(额定功率为P 额)从静止开始匀加速启动，最后做匀
速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图
像，其中正确的是( )
答案 ACD
解析 汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得F0－f＝ma，可知牵
引力在匀加速阶段保持不变，由功率P＝F0v，可知在匀加速阶段，功率与速度
成正比，随着速度的增大而增大，当P＝P 额时，功率保持不变，设此时的速度
为v1，则有v1＝＝，之后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速
度逐渐减小的加速运动，当牵引力F＝f 时，加速度为零，汽车速度达到最大
vm，汽车做匀速直线运动，则有vm＝＝，由以上分析可知，A、C、D 正确，B
错误。
B 级 综合提升练
10.(多选)(2024·四川成都模拟)如图8 甲所示，有长度均为x0的AB、BC 两段水平
路面，AB 段光滑，BC 段粗糙。在A 处静止的小物体质量为m(可视为质点)在水
平恒力F 作用下，从A 点开始运动，到C 点恰好停下，BC 段动摩擦因数自左往
右逐渐增大，具体变化如图乙所示，重力加速度为g。下列判断正确的是( )
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图8
A.水平恒力F 的大小F＝μ0mg
B.水平恒力F 在AB、BC 两段路面上做功不相等
C.水平恒力F 在AB 段的平均功率等于BC 段的平均功率
D.水平恒力F 在AB 段中间时刻瞬时功率小于在BC 段中间时刻瞬时功率
答案 AD
解析 根据动能定理，在AC 段水平恒力F 做的功等于克服摩擦力做的功，有
F·2x0－μ0mgx0＝0，解得F＝μ0mg，故A 正确；F 在AB、BC 两段做的功相同，
故B 错误；小物体在AB 段做匀加速直线运动，在BC 段先做加速度减小的加速
运动再做加速度增加的减速运动，在AB 段运动的时间大于在BC 段运动的时间，
则水平恒力F 在AB 段的平均功率小于BC 段的平均功率，故C 错误；小物体在
AB 段中间时刻的瞬时速度小于在BC 段中间时刻的瞬时速度，则水平恒力F 在
AB 段中间时刻瞬时功率小于在BC 段中间时刻瞬时功率，故D 正确。
11.(2024·山东济南模拟)一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW 的
恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a 的关系如图9 所示，已
知赛车在跑道上所受到的阻力不变，赛车到达终点前已达到最大速度。下列说法
中正确的是( )
图9
A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s 时，加速度大小为50 m/s2
答案 C
解析 由牛顿第二定律有－f＝ma，赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，整
理得＝a＋，可知图像的斜率恒定为，与纵轴的截距为，结合图像可得＝0.05
s/m，＝ s3 /m2，解得m＝25 kg，f＝500 N，代入v＝5 m/s，解得a＝60 m/s2，故
C 正确，A、B、D 错误。
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C 级 培优加强练
12.(2024·山东临沂高三月考)某学校科技小组对一辆自制小遥控车的性能进行研
究，他们让小车在水平地面上由静止开始运动，将小车运动的全过程记录下来，
通过数据处理得到如图10 所示的v－t 图像。已知小车在0～2 s 内做匀加速直线
运动，2～10 s 内小车牵引力的功率保持不变，在10 s 末停止遥控，关闭电动机，
小车的质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力保持不变，求：
图10
(1)小车所受的阻力的大小和小车在0～2 s 内所受牵引力的大小；
(2)小车在2～10 s 内牵引力的功率；
(3)小车在14 s 内阻力做的功。
答案 (1)2 N 4 N (2)16 W (3)－144 J
解析 (1)小车在10 s 后的加速度大小为a2＝＝ m/s2＝2 m/s2
所受阻力为f＝ma2＝2 N
在0～2 s 内加速度为a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
由牛顿第二定律有F－f＝ma1
解得F＝4 N。
(2)由7～10 s 内小车做匀速运动可得，小车牵引力功率
P＝Fv＝fvm＝16 W。
(3)小车在0～2 s 内位移为x1＝a1t＝4 m
在2～7 s 内，由动能定理有Pt2－fx2＝mv－mv，其中t2＝5 s
解得在2～7 s 内位移为x2＝28 m
在7～10 s 内位移为x3＝vmt3＝24 m
在10～14 s 内位移为x4＝vmt4＝16 m
小车运动的总位移为x＝x1＋x2＋x3＋x4＝72 m
小车在14 s 内阻力做的功为W＝－fx＝－144 J。
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