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第18 讲 机械能守恒定律及其应用
——划重点之精细讲义系列
考点一 机械能守恒的理解和判断
一．重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)公式：Ep＝mgh.
(2)特性：
①矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在
参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
②系统性：重力势能是物体和地球共有的．
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，
与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势
能就增加．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)
＝－
Δ E p.
二．弹性势能
1．大小
弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
三．机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总
的机械能保持不变．
(2)守恒的条件：只有重力或弹力做功．
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1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那
么系统的机械能守恒．
注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少．
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其
他力不做功，机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有
机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．
【典例1】关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
解析：选C.做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面
内则机械能不守恒，A、B 错误；合力做功不为零，机械能可能守恒，如自由落体运动，
D 错误，C 正确．
【典例2】(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A 将弹簧压缩的过程中，物体A 机械能守恒
B．乙图中，物体A 固定，物体B 沿斜面匀速下滑，物体B 的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A 加速下落，B 加速上升过程中，
A、B 组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
解析：选CD.甲图中重力和弹力做功，物体A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但
物体A 机械能不守恒，A 错．乙图中物体B 除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，
弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B 的机械能不守恒，B 错．丙图中绳子张力对A
做负功，对B 做正功，代数和为零，A、B 组成的系统机械能守恒，C 对．丁图中小球
的动能不变，势能不变，机械能守恒，D 对．
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【典例3】(多选) 如图所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由
静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能增加，机械能减小
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
解析：选AD.物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A 正确；
物体在下滑过程中，斜面做加速运动，其机械能增加，B 错误；物体沿斜面下滑时，
既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向
垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做
负功，C 错误；对物体与斜面组成的系统，只有物体的重力和物体与斜面间的弹力做
功，机械能守恒，D 正确．
【典例4】 (多选)如图所示，用轻弹簧相连的物块A 和B 放在光滑的水平面上，
物块A 紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B 后留在其中，由子弹、弹簧和
A、B 所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能守恒的是( )
A．子弹射入物块B 的过程
B．物块B 带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B 向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B 因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程
解析：选BCD.子弹射入物块B 的过程中，子弹和物块B 组成的系统，由于要克服
子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以机械能不守恒．
在子弹与物块B 获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B、弹簧和子
弹组成的系统，由于墙壁给A 一个推力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中
墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能
守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止．当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，
墙壁不再有力作用在A 上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机
械能守恒，综上所述，B、C、D 正确．
(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力
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或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”．
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能
必定不守恒．
(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
考点二 单个物体的机械能守恒定律的应用
1.应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象
(2)受力分析和各力做功情况分析，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明．
2.三种守恒表达式的比较
表达
角度
表达公式
表达意义
注意事项
守恒
观点
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′
系统初状态的机械能的
总和与末状态机械能的
总和相等
应用时应选好重力势能
的零势能面，且初、末
状态必须用同一零势能
面计算势能
转化
观点
ΔEk＝－ΔEp
表示系统(或物体)机械
能守恒时，系统减少(或
增加)的重力势能等于系
统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清重
力势能的增加量或减少
量，可不选零势能面而
直接计算初、末状态的
势能差
转移
观点
ΔE 增＝ΔE 减
若系统由A、B 两部分
组成，则A 部分物体机
械能的增加量与B 部分
物体机械能的减少量相
等
常用于解决两个或多个
物体组成的系统的机械
能守恒问题
【典例1】如图所示，将一质量为m＝0.1 kg 的小球自水平平台右端O 点以初速度
v0水平抛出，小球飞离平台后由A 点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好
通过最高点C，圆轨道ABC 的形状为半径R＝2.5 m 的圆截去了左上角127°的圆弧，
CB 为其竖直直径(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g 取10 m/s2，空气阻力不
计)，求：
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(1)小球经过C 点速度vC的大小；
(2)小球运动到轨道最低点B 时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O 点到A 点的竖直高度H.
解析 (1)小球恰好运动到C 点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律知
mg＝m
解得vC＝＝5 m/s
(2)从B 点到C 点，由机械能守恒定律有
mv＋mg·2R＝mv
在B 点对小球进行受力分析，由牛顿第二定律有
FN－mg＝m
联立解得vB＝5 m/s，FN＝6.0 N
(3)从A 到B 由机械能守恒定律有
mv＋mgR(1－cos 53°)＝mv
所以vA＝ m/s
在A 点对小球进行速度的分解如图所示，
有vy＝vAsin 53°
所以H＝＝3.36 m
答案 (1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m
【典例2】(多选) 如图所示，竖直面内光滑的圆形导轨固定在一水平地面上，半
径为R.一个质量为m 的小球从距水平地面正上方h 高处的P 点由静止开始自由下落，
恰好从N 点沿切线方向进入圆轨道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．适当调整高度h，可使小球从轨道最高点M 飞出后，恰好落在轨道右端口N
处
B．若h＝2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mg
C．只有h 大于等于2.5R 时，小球才能到达圆轨道的最高点M
D．若h＝R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R 的位置，该过程重力做功
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为mgR
解析：选BC.球到达最高点时速度至少应满足mg＝m，解得v＝，小球离开最高点
后做平抛运动，下落高度为R 时，运动的水平距离为x＝vt＝ ＝R，故A 错误；从P 到
最低点过程由机械能守恒可得2mgR＝mv2，由向心力公式得FN－mg＝m，解得FN＝
5mg，由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为5mg，故B 正确；由机械能守恒得
mg(h－2R)＝mv2，代入v＝，解得h＝2.5R，故C 正确；若h＝R，则小球能上升到圆轨
道左侧离地高度为R 的位置，该过程重力做功为0，D 错误．
【典例3】 如图所示，竖直平面内的一半径R＝0.50 m 的光滑圆弧槽BCD，B 点
与圆心O 等高，一水平面与圆弧槽相接于D 点，质量m＝0.10 kg 的小球从B 点正上方
H＝0.95 m 高处的A 点自由下落，由B 点进入圆弧轨道，从D 点飞出后落在水平面上
的Q 点，DQ 间的距离x＝2.4 m，球从D 点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最
大高度h＝0.80 m，g 取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球经过C 点时轨道对它的支持力大小FN；
(2)小球经过最高点P 的速度大小vP；
(3)D 点与圆心O 的高度差hOD.
解析：(1)设经过C 点时速度为v1，由机械能守恒有
mg(H＋R)＝mv
由牛顿第二定律有FN－mg＝
代入数据解得FN＝6.8 N
(2)P 到Q 做平抛运动有
h＝gt2，＝vPt
代入数据解得vP＝3.0 m/s.
(3)由机械能守恒定律，有
mv＋mgh＝mg(H＋hOD)，
代入数据，解得hOD＝0.30 m.
答案：(1)6.8 N (2)3.0 m/s (3)0.30 m
机械能守恒定律的应用技巧
(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应
用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断．
(2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两
个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便．
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考点三 轻杆模型中的机械能守恒
1.模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为
机械能守恒中的轻杆模型．
2.模型条件
（1）忽略空气阻力和各种摩擦．
（2）平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
3.模型特点
（1）杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械
能不守恒．
（2）对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
【典例1】质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长
为L，在离P 球处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释
放，在Q 球顺时针摆动到最低点位置时，求：
(1)小球P 的速度大小；
(2)在此过程中小球P 机械能的变化量．
【规范解答】 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小
球
Q 摆到最低位置时P 球的速度为v，由于P、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是P
球运动半径的两倍，故Q 球的速度为2v.由机械能守恒定律得2mg·L－mg·L＝mv2＋
·2m·(2v)2，
解得v＝.
(2)小球P 机械能增加量为ΔE，
ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL.
【答案】 (1) (2)增加mgL
【典例2】如图所示，倾角为θ 的光滑斜面上放有两个质量均为m 的小球A 和B，
两球之间用一根长为L 的轻杆相连，下面的小球B 离斜面底端的高度为h.两球从静止
开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，
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求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)整个运动过程中杆对A 球所做的功．
【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑
地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
2mg(h＋sin θ)＝2×mv2
解得：v＝.
(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v 比B 单独从h 处自由滑下的速度大，增
加的机械能就是杆对B 做正功的结果．B 增加的机械能为
ΔEkB＝mv2－mgh＝mgLsin θ
因系统的机械能守恒，所以杆对B 球做的功与杆对A 球做的功的数值应该相等，
杆对B 球做正功，对A 球做负功，所以杆对A 球做的功W＝－mgLsin θ.
【答案】 (1) (2)－mgLsin θ
【典例3】如图所示，质量分别为2m、3m 的小球A 和小球B 分别固定在由轻质杆
构成的直角尺的两端，直角尺的定点O 处有光滑的固定转动轴，AO、BO 的长分别为
2L 和L，开始时直角尺的AO 杆部分处于水平位置而B 在O 的正下方，让该系统由静
止开始自由转动，求：
(1)当小球A 到达最低点时，小球A 的速度大小和小球A 对AO 杆作用力的大小；
(2)小球A 由初始位置到达最低点的过程中，杆AO 和杆BO 分别对小球A 和小球B
所做的功；
(3)B 球能上升的最大高度h.
解析 直角尺和两个小球组成的系统机械能守恒．
(1)由机械能守恒定律得：
2mg·2L＝3mg·L＋·2mv2＋·3m2
解得v＝
对A 球由牛顿第二定律得
F－2mg＝
解得F＝
由牛顿第三定律得球A 对AO 杆的作用力大小
F′＝F＝
(2)设杆AO 和杆BO 对小球A 和小球B 所做的功分别为WAO和WBO，则
2mg·2L＋WAO＝×2mv2
WBO－3mg·L＝×3m2
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解得WAO＝－，WBO＝
(3)设B 球上升到最高点时，AO 与竖直方向的夹角为θ，则由机械能守恒定律得
2mg·2Lcos θ＝3mg·L(1＋sin θ)
解得sin θ＝
则B 球上升的最大高度
h＝L(1＋sin θ)＝
答案 (1) (2)－ (3)
【典例4】如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水
平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环
由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超
过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：选B.圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重
力势能之和守恒，选项A、D 错误；弹簧长度为2L 时，圆环下落的高度h＝L，根据机
械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B 正确；圆环释放后，
圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离
时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C 错误．
【典例5】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A
和B，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h＝0.2 m，开始时让连着A 的细线
与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A 的速度
为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设B 不会碰到水平杆，
sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g＝10 m/s2)
解析：A、B 两物体组成的系统，只有动能和重力势能的转化，机械能守恒．设θ2
＝53°时，A、B 两物体的速度分别为vA、vB，B 下降的高度为h1，则有
mgh1＝mv＋mv
其中h1＝－
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vAcos θ2＝vB
代入数据解得vA＝1.1 m/s
由于绳子的拉力对A 做正功，使A 加速，至左滑轮正下方时速度最大，此时B 的
速度为零，此过程B 下降高度设为h2，则由机械能守恒定律得
mgh2＝mv
其中h2＝－h
代入数据解得vAm＝1.6 m/s
答案：1.1 m/s 1.6 m/s
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
（1）本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
（2）杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P 做正功从而使它的机械能增加
同时杆对小球Q 做负功，使小球Q 的机械能减少，系统的机械能守恒.
考点四 用机械能守恒定律解决非质点问题
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，
其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再
看成质点来处理．
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般
情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则：物体各部分的重心位置，根
据初末状态物体重力势能的变化列式求解．
【典例1】如图所示，AB 为光滑的水平面，BC 是倾角为α 的足够长的光滑斜面，
斜面体固定不动．AB、BC 间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条长为L 的均匀柔软链条
开始时静止的放在ABC 面上，其一端D 至B 的距离为L－a.现自由释放链条，则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D 端滑到B 点时，链条的速率为多大？
解析 (1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC 和AB 面均光滑，链条下滑
时只有重力做功，符合机械能守恒的条件．
(2)设链条质量为m，可以认为始末状态的重力势能变化是由L－a 段下降引起的，
高度减少量h＝sin α＝sin α
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该部分的质量为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得：(L－a)gh＝mv2，
可解得：v＝ .
答案 (1)见解析 (2)
【典例2】如图所示，粗细均匀，两端开口的U 形管内装有同种液体，开始时两
边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等
时，右侧液面下降的速度为( )
A.
B．
C.
D.
解析：选A.当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据
功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ .
【典例3】如图所示，长为L 的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌
边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(
)
A.
B.
C.
D．4
解析：选C.由机械能守恒定律ΔEp 减＝ΔEk 增，即mg·－mg·＝mv2，所以v＝.
1．下列关于机械能守恒的说法中，正确的是( )
A．若只有重力做功，则物体机械能一定守恒
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B．若物体的机械能守恒，一定是只受重力
C．做匀变速运动的物体机械能一定守恒
D．物体所受合力不为零，机械能一定守恒
解析：选A.若只有重力做功，则物体机械能一定守恒，A 正确；若物体的机械能
守恒，物体不一定是只受重力，也许受其他力，但其他力不做功，B 错误；做匀变速
运动的物体，如果除重力外，其他力做功不为零，则机械能不守恒，C 错误；物体所
受合力不为零，但是如果除重力外的其他力做功不为零，则机械能不守恒，D 错误．
2．不计空气阻力，下列运动的物体中机械能不守恒的是( )
A．起重机吊起物体匀速上升
B．物体做平抛运动
C．圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动
D．一个轻质弹簧上端固定，下端系一个重物，重物在竖直方向上下振动(以物体
和弹簧整体为研究对象)
解析：选A.起重机吊起物体匀速上升，物体的动能不变而势能增加，故机械能不
守恒，A 正确；物体做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，B 错误；圆锥摆球在
水平面内做匀速圆周运动，没有力做功，机械能守恒，C 错误；一个轻质弹簧上端固
定，下端系一个重物，重物在竖直方向上下振动，只有重力和弹力做功，机械能守恒，
D 错误．
3. 在一次课外趣味游戏中，有四位同学分别将四个质量不同的光滑小球沿竖直放
置的内壁光滑的半球形碗的碗口内侧同时由静止释放，碗口水平，如图所示．他们分
别记下了这四个小球下滑速率为v 时的位置，则这些位置应该在同一个( )
A．球面
B．抛物面
C．水平面
D．椭圆面
解析：选C.因半球形碗的内壁光滑，所以小球下滑过程中机械能守恒，取小球速
率为v 时所在的平面为零势能面，则根据机械能守恒定律得mgh＝mv2，因为速率v 相
等，所以高度相等，与小球的质量无关，即这些位置应该在同一个水平面上，C 正确．
4. 如图所示，在离水平地面一定高处水平固定一内壁光滑的圆筒，筒内固定一轻
质弹簧，弹簧处于自然长度．现将一小球从地面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水
平进入圆筒中，不计空气阻力．下列说法中正确的是( )
A．弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出时的动能
B．弹簧获得的最大弹性势能等于小球抛出时的动能
C．小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中机械能守恒
D．小球抛出的初速度大小仅与圆筒离地面的高度有关
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解析：选A.小球从抛出到弹簧压缩到最短的过程中，只有重力和弹力做功，因此
小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即mv＝mgh＋Ep，由此得到Ep＜mv，选项A 正确，
B、C 错误；斜上抛运动可分解为竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动，在竖直方
向上有2gh＝vsin2θ－0(θ 为v0与水平方向的夹角)，解得v0＝，由此可知，选项D 错误．
5．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B 分别套在水平杆与竖直杆上，
A、B 用一根不可伸长的轻细绳相连，A、B 质量相等，且可看做质点，如图所示，开
始时细绳水平伸直，A、B 静止．由静止释放B 后，已知当细绳与竖直方向的夹角为
60°时，滑块B 沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B 的绳长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由运动的合成与分解可知滑块A 和B 沿绳伸长方向的速度大小相等，
有vAsin 60°＝vcos 60°，解得vA＝v，滑块A、B 组成的系统机械能守恒，设滑块B 下滑
的高度为h，有mgh＝mv＋mv2，解得h＝，由几何关系可知绳长L＝2h＝，故选项D
正确．
6．离心轨道是研究机械能守恒和向心力效果的一套较好的器材．如图甲所示，某
课外研究小组将一个压力传感器安装在轨道圆周部分的最低点B 处，他们把一个钢球
从轨道上的不同高处由静止释放．得到多组压力传感器示数F 和对应的释放点的高度
h 的数据后，作出了如图乙所示的Fh 图象．不计各处摩擦，取g＝10 m/s2.
(1)求该研究小组用的离心轨道圆周部分的半径；
(2)当h＝0.6 m，小球到达圆周上最高点C 点时，轨道对小球的压力多大？
解析：(1)小钢球从A 点滚至B 点的过程中，由机械能守恒定律得mgh＝
小钢球在B 点时，由牛顿第二定律得
F－mg＝
解得F＝＋mg
由题图乙可知：当h＝0 时，F＝mg＝4 N；当h＝0.6 m 时，F＝28 N，代入上式可
得R＝0.2 m.
(2)小钢球从A 点运动至C 点的过程中机械能守恒，则
mgh＝2mgR＋
小钢球在C 点时，由牛顿第二定律得
mg＋FN＝
解得FN＝4 N
13
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答案：(1)0.2 m (2)4 N
7. 如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg 和 2
kg 的可视为质点的小球A 和B，两球之间用一根长L＝0.2 m 的轻杆相连，小球B 距水
平面的高度h＝0.1 m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机
械能损失，g 取10 m/s2.则下列说法中正确的是( )
A．整个下滑过程中A 球机械能守恒
B．整个下滑过程中B 球机械能守恒
C．整个下滑过程中A 球机械能的增加量为 J
D．整个下滑过程中B 球机械能的增加量为 J
解析：选D.在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但
在B 球沿水平面滑行而A 沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B 球做功，所以A、B 球各自
机械能不守恒，故A、B 错误；根据系统机械能守恒得：mAg(h＋Lsin θ)＋mBgh＝(mA
＋mB)v2，解得v＝ m/s，系统下滑的整个过程中B 球机械能的增加量为mBv2－mBgh＝
J，故D 正确；A 球的机械能减小，C 错误．
8. (多选)如图所示，质量分别为m 和2m 的两个小球a 和b，中间用轻质杆相连，
在杆的中点O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在b 球顺时针摆动到最
低位置的过程中( )
A．b 球的重力势能减少，动能增加，b 球机械能守恒
B．a 球的重力势能增加，动能也增加，a 球机械能不守恒
C．a 球、b 球组成的系统机械能守恒
D．a 球、b 球组成的系统机械能不守恒
解析：选BC.b 球从水平位置下摆到最低点过程中，a 球升至最高点，重力势能增
加，动能也增加，机械能增加．由于a、b 系统只有重力做功，则系统机械能守恒，既
然a 球机械能增加，b 球机械能一定减少．可见，杆对a 球做了正功，杆对b 球做了负
功．所以，本题正确答案为B、C.(认为杆对小球的力沿杆的方向，对小球不做功，故
两球机械能均守恒，从而错选A.)
9. (多选)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB 部分为半径为R 的圆弧，BC 部分水平，
质量均为m 的小球a、b 固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小．开始时
a 球处在圆弧上端A 点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正
确的是( )
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A．a 球下滑过程中机械能保持不变
B．a、b 两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变
C．a、b 滑到水平轨道上时速度为
D．从释放到a、b 滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a 球做的功为
解析：选BD.由机械能守恒的条件得，a 球机械能不守恒，a、b 系统机械能守恒，
所以A 错误，B 正确．对a、b 系统由机械能守恒定律得：mgR＋2mgR＝2×mv2，解得
v＝，C 错误．对a 由动能定理得：mgR＋W＝mv2，解得W＝，D 正确．
10．(多选)如图所示，一根长为L 不可伸长的轻绳跨过光滑的水平轴O，两端分别
连接质量为2m 的小球A 和质量为m 的物块B，由图示位置释放后，当小球转动到水平
轴正下方时轻绳的中点正好在水平轴O 点，且此时物块B 的速度刚好为零，则下列说
法中正确的是( )
A．物块B 一直处于静止状态
B．小球A 从图示位置运动到水平轴正下方的过程中机械能守恒
C．小球A 运动到水平轴正下方时的速度大于
D．小球A 从图示位置运动到水平轴正下方的过程中，小球A 与物块B 组成的系
统机械能守恒
解析：选CD.当小球转动到水平轴正下方时轻绳的中点正好在水平轴O 点，所以
小球A 下降的高度为，物块B 会上升一定的高度h，由机械能守恒得·2mv2＝2mg·－
mgh，所以小球A 运动到水平轴正下方时的速度v>，A 错误，C 正确；在整个过程中
小球A 与物块B 组成的系统机械能守恒，B 错误，D 正确．
11．(多选)重10 N 的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a 点由静止下滑，到b 点
接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c 点开始弹回，返回b 点离开弹簧，最后又回到a
点，已知ab＝1 m，bc＝0.2 m，那么在整个过程中( )
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c 到b 弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
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D．整个过程系统机械能守恒
解析：选BCD.以滑块和弹簧为系统，在滑块的整个运动过程中，只发生动能、重
力势能和弹性势能之间的相互转化，系统机械能守恒，D 正确；滑块从a 到c 重力势能
减小了mgacsin 30°＝6 J，全部转化为弹簧的弹性势能，A 错误，B 正确；从c 到b 弹
簧恢复原长，通过弹簧的弹力对滑块做功，将6 J 的弹性势能全部转化为滑块的机械能，
C 正确．
12．如图所示，质量分别为m、2m、m 的三个物体A、B、C 通过轻绳与劲度系数
为k 的轻弹簧相连接，并均处于静止状态。现在将B、C 之间的细绳剪断，弹簧始终在
弹性限度内，不考虑一切阻力，下列说法正确的是（ ）
A．在C 落地前，A、B、C 三者组成的系统机械能守恒
B．剪断细绳前，弹簧的伸长量为
C．剪断细绳后，当B 的速度最大时B 增加的重力势能为
D．剪断细绳瞬间，A、B 的加速度大小为
【答案】C
【详解】A．在C 落地前，弹簧弹力对A、B、C 三者组成的系统做功，三者系统机械能
不守恒，故A 错误；
B．剪断细绳前，物体A 受力平衡，根据平衡条件有
解得
故B 错误；
C．剪断细绳后，A、B 物体做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，B 的速度最大，
此时对A 物体有
解得
在此过程弹簧的形变量为
则物体B 增加的重力势能为
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故C 正确；
D．剪断细绳瞬间，以A 为研究对象，根据牛顿第二定律有
对B 有
解得
剪断细绳瞬间，A、B 的加速度大小为
，故D 错误；
故选C。
13．如图所示，质量为m 的小球，用轻软细绳系在边长为a 的正方形截面木柱的
边A 处（木柱水平放置，图中画斜线部分为其竖直横截面），软绳长4a，质量不计，
它所能承受的最大拉力为6mg。开始绳呈水平状态，若以竖直向下的初速度
抛出小
球，为使绳能绕在木柱上，且小球始终沿圆弧运动，最后击中A 点，则小球允许的初
速度
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】为使绳能绕在木柱上，则小球通过最高点的最小速度满足
解得
此过程由动能定理，得
解得
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为使绳能绕在木柱上，则小球通过最低点的最大速度满足
解得
此过程由动能定理，得
解得
所以小球允许的初速度
范围为
故选B。
14．如图所示，某一斜面与水平面平滑连接，一小木块从斜面由静止开始滑下，
已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数相同，取水平面为参考平面，重力势能
Ep、动能Ek、机械能E 和产生的内能Q 与水平位移x 的关系图线错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设动摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，小木块开始下滑位置到水平面的高度
为H；
A．小木块在斜面上运动时的重力势能为
解得
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小球在水平面上运动时
A 正确，不符合题意；
B．木块在斜面上运动时，根据动能定理得
解得
木块在水平面上运动时，设初动能为Ek0，根据动能定理得
解得
B 正确，不符合题意；
D．木块克服摩擦力做功转化为内能，木块在斜面上时
解得
木块在水平面上运动时
木块在斜面上运动和在水平面上运动，图像的斜率相同，D 正确，不符合题意；
C．木块在斜面上运动时，根据能量守恒定律得
解得
木块在水平面上运动时，设初始机械能为E0，根据能量守恒定律得
木块在斜面上运动和在水平面上运动，图像的斜率相同，C 错误，符合题意。
故选C。
15．如图所示，小滑块P、Q 的质量均为m，P 套在固定光滑竖直杆上，Q 放在光
滑水平面上。P、Q 间通过铰链用长为L 的轻杆连接，轻杆与竖直杆的夹角为α，一水
平轻弹簧左端与Q 相连，右端固定在竖直杆上。当α = 30°时，弹簧处于原长，P 由静
止释放，下降到最低点时α 变为60°，整个运动过程中，P、Q 始终在同一竖直平面内，
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弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P 下降过程中（ ）
A．P、Q 组成的系统机械能守恒
B．弹簧弹性势能最大值为
C．竖直杆对滑块P 的弹力始终大于弹簧弹力
D．滑块P 的动能达到最大时，Q 受到地面的支持力大于2mg
【答案】B
【详解】A．根据能量守恒定律知，P、Q、弹簧组成的系统机械能守恒，A 错误；
B．根据能量守恒定律知，弹簧弹性势能的最大值
B 正确；
C．以整体为研究对象，系统水平方向先向左加速运动后向左减速运动，所以水平方向
合力先向左，后向右，因此水平方向加速阶段竖直杆弹力大于弹簧弹力，水平方向减
速阶段竖直杆弹力小于弹簧弹力，C 错误；
D．P 由静止释放，开始向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，P 的速
度达到最大，此时滑块P 的动能最大，对P、Q 和弹簧组成的系统整体受力分析，在竖
直方向，根据牛顿第二定律可得
解得
D 错误。
故选B。
16．（多选）如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C 相连，另一端与物
体A 相连。物体A 置于光滑固定斜面上，斜面的倾角
。A 上端连接一轻质细线，
细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连且始终与斜面平行。开始时托住B，A 静止且细线
恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B 的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，
当地重力加速度为g，B 始终未与地面接触。从释放B 到B 第一次下落至最低点的过程
中，下列说法正确的是（ ）。
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A．刚释放物体B 时，物体A 受到细线的拉力大小为
B．物体A 到最高点时，A 所受合力大小为
C．物体B 下落至最低点时，A 和弹簧组成系统的机械能最大
D．物体A 的最大速度为
【答案】ACD
【详解】A．刚释放物体B 时，以A、B 组成的系统为研究对象，有
解得
对B 研究
解得
故物体A 受到细线的拉力大小为
，故A 正确；
BC．对于A、B 物体以及弹簧组成的系统，只有弹簧的弹力和重力做功，系统机械能守
恒，B 减小的机械能转化为A 的机械能以及弹簧的弹性势能，故当B 下落至最低点时，
A 和弹簧组成系统的机械能最大，且此时A 上升到最高位置，根据对称性可知B 产生的
加速度大小也为
故对B 受力分析，根据牛顿第二定律可知
解得
故AB 整体研究，可得
解得
对A 研究，A 受到弹簧拉力、重力和绳子的拉力，则
21
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故B 错误，C 正确；
D．手拖住物块B 时，物块A 静止，设此时弹簧的压缩量为
，对物块A 根据平衡条件
可得
解得
当物体A 上升过程中，当A 和B 整体的加速度为0 时速度达到最大值
，此时细线对A
的拉力大小刚好等于
，设此时弹簧的伸长量为
，则
解得
所以此时弹簧的弹性势能与初始位置时相同，对A、B 和弹簧组成的系统，根据机械能
守恒定律得
解得
故D 正确。
故选ACD。
17．（多选）如图，长为
的不可伸长轻绳一端系于固定点O。另一端系
一质量
的小球，将小球从O 点左侧与O 点等高的A 点以一定初速度
水平向
右抛出，经一段时间后小球运动到O 点有下方的B 点时，轻绳刚好被拉直，此后小球
以O 为圆心在竖直平面内做圆周运动。已知O、A 的距离为
，轻绳刚被拉直
时与竖直方向的夹角为
。重力加速度取
。
，不计空气阻力。
下列说法正确的是（ ）
22
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A．小球抛出时的初速度大小
B．轻绳被拉直前瞬间小球的速度为
C．小球做圆周运动摆到最低点时的动能为
D．小球做圆周运动摆到最低点时，轻绝对小球的拉力大小为
【答案】AD
【详解】A．小球抛出后经时间t 轻绳刚好被拉直，根据平抛运动规律有
解得
，
选项A 正确；
B．轻绳刚被拉直前，小球竖直方向的分速度大小为
此时小球的瞬时速度
选项B 错误；
C．轻绳被拉直后沿着轻绳方向的速度为零，垂直于轻绳的速度
小球之后做圆周运动摆到最低点过程中，则根据机械能守恒定律有
解得
选项C 错误；
D．小球圆周运动摆到最低点时，根据牛顿第二定律有
其中
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解得
选项D 正确。
故选AD。
18．（多选）如图所示，有两条位于同一竖直平面内的光滑水平轨道，相距为，
轨道上有两个物体
和B，质量均为
，它们通过一根绕过定滑轮
的不可伸长的轻
绳相连接。在轨道间的绳子与轨道成
角的瞬间，物体
在下面的轨道上的运动速率
为。此时绳子
段的中点处有一与绳相对静止的小水滴
与绳子分离。设绳长
远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．位于图示位置时物体B 的速度大小为
B．小水滴
与绳子分离的瞬间做平拋运动
C．在之后的运动过程中当轻绳
与水平轨道成
角时，物体B 的动能为
D．小水滴
脱离绳子时速度的大小为
【答案】AC
【详解】A．将物体B 的速度分解到沿绳和垂直于绳方向如图甲所示，在轨道间的绳子
与轨道成
角的瞬间，有
故A 正确；
D．绳子
段一方面向
点以速度收缩，另一方面绕
点逆时针转动，在轨道间的
绳子与轨道成
角的瞬间，其角速度
点既有沿绳子斜向下的速度，又有垂直于绳子斜向上的转动的线速度
P 点的合速度即小水滴
的速度为
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故D 错误；
B．
点沿绳的分速度与物体B 沿绳的分速度相同，垂直于绳的分速度小于物体B 垂直
于绳的分速度，物体B 的合速度水平向左，则小水滴
的合速度斜向左下，如图乙所
示，故水滴做斜抛运动，故B 错误；
C．当轻绳
与水平轨道成
角时，物体B 沿绳方向的分速度为0，物体
的速度为
0，物体运动过程中，物体AB 组成的系统机械能守恒，从题图示位置到轻绳
与水平
轨道成
角时，根据机械能守恒定律得
解得
故C 正确。
故选AC。
19．如图所示，一个半径为R 的圆周的轨道，O 点为圆心，B 为轨道上的一点，
OB 与水平方向的夹角为37°.轨道的左侧与一固定光滑平台相连，在平台上一轻质弹簧
左端与竖直挡板相连，弹簧原长时右端在A 点．现用一质量为m 的小球(与弹簧不连
接)压缩弹簧至P 点后释放．已知重力加速度为g，不计空气阻力．
(1)若小球恰能击中B 点，求刚释放小球时弹簧的弹性势能；
(2)试通过计算判断小球落到轨道时速度能否与圆弧垂直；
(3)改变释放点的位置，求小球落到轨道时动能的最小值．
解析：(1)小球离开O 点做平抛运动，设初速度为v0，由
Rcos 37°＝v0t
Rsin 37°＝gt2
解得：v0＝
由机械能守恒Ep＝mv＝mgR.
(2)设落点与O 点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动，
有Rcos θ＝v0t，Rsin θ＝gt2
位移方向与圆弧垂直tan θ＝＝
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设速度方向与水平方向的夹角为α
tan α＝＝＝2tan θ
所以小球不能垂直击中圆弧．
(3)设落点与O 点的连线与水平方向的夹角为θ，小球做平抛运动，
Rcos θ＝v0t Rsin θ＝gt2
由动能定理mgRsin θ＝Ek－mv
解得Ek＝mgR
当sin θ＝时，取最小值Ek＝mgR.
答案：(1)mgR (2)不能垂直击中圆弧 (3)mgR
20．如图所示，竖直固定的四分之一粗糙圆轨道下端B 点水平，半径R1=1m，质
量M=1kg 的长薄板静置于倾角θ=37°的粗糙斜面CD 上，其最上端刚好在斜面顶端C 点。
一质量为m=1.5kg 的滑块（可看做质点）从圆轨道A 点由静止滑下，运动至B 点时对
轨道的压力大小为FN=39N，接着从B 点水平抛出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板
最上端，并在薄板上开始向下运动；当小物体落到薄板最上端时，薄板无初速度释放
并开始沿斜面向下运动，其运动至斜面底端时与竖直固定的光滑半圆轨道DE 底端粘
接在一起。已知斜面CD 长L2=7.875m，薄板长L1=2.5m，厚度忽略不计，其与斜面的
动摩擦因数μ1=0.25，滑块与长薄板间的动摩擦因数为μ2=0.5，滑块在斜面底端的能量
损失和运动过程中空气阻力均忽略不计，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，试求：
（1）滑块运动至B 点时速度大小v 及滑块由A 到B 运动过程中克服摩擦力做的功Wf；
（2）滑块运动到D 点时的速度大小；
（3）如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R2需要满足什么条件？
【答案】（1）4m/s；3J；（2）8m/s；（3）R2≥3.2m 或1.28m≥R2>0
【详解】（1）滑块在B 点由牛顿第二定律可得
代入数据解得
v=4m/s
从A 到B 点的过程中，根据动能定理得
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mgR1−Wf=
mv2
代入数据解得
Wf=3J
（2）从B 到C 滑块做平抛运动，在C 点
代入数据解得
v=5m/s
设小滑块在薄板上向下滑行的加速度为a1，根据牛顿第二定律有
代入数据解得
a1=2m/s2
设薄板在斜面上向下滑行的加速度为a2，根据牛顿第二定律有
代入数据解得
a2=7m/s2
设经过时间t1 小滑块与薄板达到共同速度v1，小滑块位移为x1，薄板位移为x2，则
有
解得
t1=1s
v1=a2t1=7m/s
小滑块相对薄板的相对位移
Δx=x1-x2=2.5m=L1
小滑块刚好到达薄板的最下端，由于μ2>μ1，之后二者一起以a 共沿斜面加速下滑，
由牛顿第二定律有
（M+m）gsin37°−μ1（M+m）gcos37°=（M+m）a 共
代入数据解得
a 共=4m/s2
设整体刚好到达斜面的最下端D 点速度为v，则由运动学公式可得
解得
v=8m/s
（3）在E 点，当竖直半圆轨道DE 半径为
时，滑块刚好到达半圆轨道顶点，在半圆
轨道的顶点，根据牛顿第二定律有
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从D 到E 的过程中，滑块机械能守恒，则有
联立解得
=1.28m
如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R2 需要满足
1.28m≥R2>0
当竖直半圆轨道DE 半径为
时，滑块刚好到达半圆轨道最左端，由机械能守恒得
代入数据解得
则有滑块在沿半径为
竖直半圆轨道DE 滑动中，最高滑到半圆轨道最左端，就不会
脱离竖直半圆轨道，则有
R2≥3.2m
因此如果要使滑块不会中途脱离竖直半圆轨道DE，其半径R2 需要满足
1.28m≥R2>0 或R2≥3.2m
21．如图所示，四分之一光滑圆弧轨道和水平传送带固定在同一竖直平面内，圆
弧轨道半径
，其底端切线水平且通过一段光滑水平轨道与传送带连接，传送
带长度为
，离地高度为
，沿逆时针方向转动的速度为
，在距传
送带右侧水平距离
处有一离地高度
的平台。一质量
的小物
块（可视为质点）从圆弧顶点处由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数
，
不计物块经过轨道连接处时的动能损失，且传送带转动轮足够小，g 取
，求：
（1）若传送带长度为
，请通过计算判断物块能否到达右侧平台；
（2）若传送带长度为
，物块能否返回圆弧轨道？若能，求物块在圆弧轨道能
上升的最大高度H。
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【答案】（1）物块能到达右侧平台；（2）
【详解】（1）设物块恰能到达传送带最右端时的传送带长度为
，则物块从圆弧轨道
滑至水平传送带上有
物块在传送带上运动至速度为零时
联立解得
由
可知，物块在传送带上一直向右做匀减速直线运动，有
假设物块能到达右侧平台
联立解得：
故假设成立，物块能到达右侧平台。
（2）由
可知，物块在传送带上向右匀减速运动
后反向匀加速运动。设物块
向左运动s 时和传送带等速
解得
即物块向左加速
后以
保持匀速运动，并返回圆弧轨道，有
解得
22．如图所示，倾角θ=37°的斜面固定在水平面上，斜面顶点B 处固定一个厚度不
计的挡板，挡板与斜面垂直，挡板上端固定着光滑圆弧轨道EF，O 点为圆心，F 在O
点正上方，OF=R，OE 垂直斜面。在斜面下端A 点静置着一块长为2R、质量为m 的木
板，木板的厚度与斜面上端挡板的高度相同，在木板左端静置着一可视为质点的、质
量也为m 的木块。若同时给木板和木块一个沿斜面向上的相同的初速度
，
木板和木块将保持相对静止沿斜面减速上滑，木板上端恰好能运动到B 点；现对静止
的木板施加沿斜面向上的恒力F=2mg，同时给木块一初速度v0，木板运动到斜面上端
与挡板相撞后粘在一起的同时撤去F，木块恰好能运动到木板上端边缘。已知木板与
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斜面间的动摩擦因数μ1=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，
sin37°=0.6。求：
（1）斜面长度s；
（2）木块与木板间的动摩擦因数μ2；
（3）如果s 的大小可以改变，要使木板能在与木块共速前到达B 端且木块进入圆弧
EF 后不脱离圆弧，试确定s 的取值范围。
【答案】（1）
；（2）0.6；（3）
【详解】（1）当同时给木块和木板一沿斜面向上的初速度v0 时，木块与木板保持相
对静止向上做匀减速直线运动，对木块与木板整体有
解得
根据题意，此过程木板上端恰能到达B 点，则有
解得
（2）当给木板施加恒力F、给木块初速度v0 时，设经历时间t1，两者达到相等速度
v1，则共速前对木块有
对木板有
速度关系
之后，由于
两者将做匀速直线运动，木板到达B 后，木块进一步向上做匀减速直线运动，因木块
恰好能运动到木板上端边缘，即木块减速运动到E 点时速度恰好等于0，则有
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解得
，
（3）若木块在圆弧中恰好做完整的圆周运动，则在最高点F，有
解得
令木块此过程在E 点的速度为
，则有
解得
若木块在圆弧中恰好到达与圆心等高位置速度减为0，令木块此过程在E 点的速度为
，则有
解得
改变s 的大小，使木板能在与木块共速前到达B 端，则此过程中，木块一直以加速度
向上做匀减速直线运动，当减速至
时，s 为最大值，则
解得
斜面长度不可能小于木板的长度，表明上述情景不存在；
当减速至
时，s 为最小值，则
解得
斜面长度不可能小于木板的长度，所以最小值取2R；
根据（2）可知在木板粘在挡板上之前与之后加速度不变，所以木块在木板上做匀减速
的最大位移为
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综合所述，s 的取值范围为
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