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第 4 课时 机械能守恒定律及其应用
目标要求 1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。2.会用机械能守恒定律
解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
考点一 机械能守恒的判断
1．重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，重力做功不引起
物体机械能的变化。
(2)重力势能
①表达式：E＝mgh。
p
②重力势能的特点：重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有
关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
(3)重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负
功，重力势能增大，即W ＝E － E ＝ － Δ E 。
G p1 p2 p
2．弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能
增加。即W＝ － Δ E 。
p
3．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能
保持不变。
(2)表达式：mgh ＋mv2＝mgh ＋mv2或E ＋ E ＝E ＋E 。
1 1 2 2 k1 p1 k2 p2
(3)守恒条件：只有重力或弹力做功。
1．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。( × )
2．物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒。( × )
3．物体的速度增大时，其机械能可能减小。( √ )
例1 (多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有
一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从
A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
答案 BC
解析 当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半
圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错
误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小
球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形
槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。
机械能是否守恒的三种判断方法
1．利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。
2．利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或者虽受其他力，但其他
力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒。
3．利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与
其他形式能的转化，则机械能守恒。
考点二 单物体的机械能守恒问题
1．机械能守恒定律表达式
说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤例2 (2023·山东烟台市第一中学模拟)如图所示，在竖直面内固定三枚钉子a、b、c，三枚
钉子构成边长d＝10 cm的等边三角形，其中钉子a、b的连线沿着竖直方向。长为L＝0.3 m
的细线一端固定在钉子a上，另一端系着质量m＝200 g的小球，细线水平拉直，然后将小
球以v＝ m/s的初速度竖直向下抛出，小球可视为质点，不考虑钉子的粗细，重力加速度 g
0
＝10 m/s2，细线碰到钉子c后，小球到达最高点时，细线拉力大小为(g＝10 m/s2)( )
A．0 B．1 N C．2 N D．3 N
答案 C
解析 设小球到达最高点时速度大小为v，以初始位置所在水平面为参考平面，根据机械能
守恒定律有mv2＝mv2＋mgh
0
h＝L－d－d－＝L－d
代入数据联立解得v＝ m/s，小球在最高点时根据牛顿第二定律有F＋mg＝，解得细线拉力
大小为F＝2 N，故选C。
例3 (2022·全国乙卷·16)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环
顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于( )
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离D．它与P点的连线扫过的面积
答案 C
解析 如图所示，设小环下降的高度为 h，大圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根
据机械能守恒定律得mgh＝mv2
由几何关系可得h＝Lsin θ
sin θ＝
联立可得h＝，则v＝L
故C正确，A、B、D错误。
考点三 系统的机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况
为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE＝－ΔE 或ΔE ＝－ΔE 的形式。
k p A B
2．几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr知，v与r成正比。
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
思考 以上图中，轻绳(或轻杆)对A、B物体均做功，系统机械能为何仍守恒？
答案 轻绳(或轻杆)对A、B的力属于系统内力，做功使机械能在A、B之间转移，单个物
体机械能不守恒，但系统机械能守恒。
例4 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻软细线连接，跨过固定在地面上、
半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高，将
A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B. C. D.
答案 C
解析 设B球的质量为m，则A球的质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根
据机械能守恒定律得2mgR＝×(2m＋m)v2＋mgR，B球继续上升的过程由动能定理可得－
mgh＝0－mv2，联立解得h＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选C。
拓展 若细绳质量不可忽略，如图所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻小滑
轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好
全部离开滑轮。不计一切摩擦，重力加速度为g，在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物
块和软绳的机械能各改变多少？
答案 物块的机械能减少了mgl，软绳的机械能增加了mgl
解析 设软绳刚离开滑轮的时候，物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有mg·＋·＝
×2m·v2，计算可得v＝，则物块机械能的减少量为E ＝mg·－mv2＝mgl，系统的机械能是
减
守恒的，由于物块的机械能减少了mgl，所以软绳的机械能增加了mgl。
例5 (多选)(2023·福建省厦门一中检测)如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长
的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮
中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是( )
A．物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量
B．物块B的重力势能减少量为mgLtan θ
C．物块A的速度大于物块B的速度
D．物块B的末速度为
答案 ABD
解析 在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltan θ，则B
重力势能减少量为ΔE ＝mgLtan θ，物块A沿斜面上升的距离为x＝－L，设此时物块A的
pB
速度为v ，物块B的速度为v ，A、B组成的系统运动过程中只有重力做功，故系统机械能
A B
守恒，所以物块B的机械能减少量等于物块A的机械能增加量，有mgLtan θ－mv 2＝mv 2
B A
＋mgxsin θ，A物块沿斜面上升时动能和势能都增加，故A、B正确；将物块B的速度分解
为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，则v ＝v ＝v sin θ，则物块A的速度小于物块B
A 绳 B
的速度，故C错误；联立以上表达式可得v ＝，故D正确。
B
例6 (2023·湖南省长沙一中检测)如图所示，一根长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，两
端固定质量均为m的小球A和B，A到O的距离为L，现使杆在竖直平面内转动，B运动到
最高点时，恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为
g。当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，下列说法正确的是( )
A．杆对B球做正功
B．B球的机械能守恒
C．轻杆转至水平时，A球速度大小为
D．轻杆转至水平时，B球速度大小为
答案 D
解析 由题知B运动到最高点时，恰好对杆无作用力，有mg＝m，B在最高点时速度大小
为v＝，因为A、B角速度相同，A的转动半径只有B的一半，所以A的速度大小为，当B
由最高点转至与O点等高时，取O点所在水平面的重力势能为零，根据A、B系统机械能
守恒，mg·2L－mgL＋m()2＋mv2＝mv 2＋mv 2，v ＝2v ，解得v ＝，v ＝，故C错误，D正
A B B A A B确；设杆对B做的功为W，对B由动能定理得mg·2L＋W＝mv 2－mv2，解得W＝－mgL，所
B
以杆对B做负功，B的机械能不守恒，故A、B错误。
课时精练
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，在火箭升空的过程中，若火箭匀速升空，则机械能守恒，若火箭加速升空，则
机械能不守恒
B．乙图中的物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中的小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中的弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动，机械能守恒
答案 CD
解析 甲图中，不论是匀速升空还是加速升空，由于推力都对火箭做正功，所以火箭的机械
能都增加，故A错误；物体匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能增加，故 B错
误；小球在做匀速圆周运动的过程中，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；弹丸
在光滑的碗内做复杂的曲线运动，只有重力做功，所以弹丸的机械能守恒，故D正确。
2.(2024·河北邯郸市第一次调研)如图所示为某运动员做蹦床运动的简化示意图，A为运动员
某次下落过程的最高点，B为运动员下落过程中刚接触蹦床时的位置，C为运动员下落过程
的最低点。若A、B之间的竖直距离为h，B、C之间的竖直距离为Δx，运动员的质量为m，
重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是( )A．下落过程中运动员与蹦床组成的系统势能一直在减小
B．从最高点A运动到最低点C，运动员的机械能守恒
C．从B点至C点过程中，运动员的机械能守恒
D．蹦床的最大弹性势能是mg(h＋Δx)
答案 D
解析 不计空气阻力，运动员与蹦床组成的系统在整个运动过程中只有重力与弹力做功，蹦
床与运动员组成的系统机械能守恒，运动员的动能在整个过程中先变大后变小，则运动员与
蹦床组成的系统势能先变小后变大，故A错误；A至B，运动员先做自由落体运动，只有重
力做功，运动员机械能守恒，从B运动到C，运动员速度先增大后减小，蹦床逐渐发生形变，
蹦床弹力对运动员做负功，运动员和蹦床组成系统机械能守恒，运动员的机械能不守恒，故
B、C错误；下落至C点时蹦床弹性势能最大，以C点所在平面为零势能面，有E ＝mg(h
pm
＋Δx)，D正确。
3.(2021·海南卷·2)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。
如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0 m，末端到水面的高度h＝1.0 m。取重力加速度g
＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为(
)
A．4.0 m B．4.5 m C．5.0 m D．5.5 m
答案 A
解析 设人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝mv2，解
得v＝4 m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可
知t＝＝ s＝ s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为 x＝vt
＝4× m＝4.0 m，故选A。
4.如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的
小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端
A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为 g，下列说法正确
的是( )A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
答案 D
解析 对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；两个小球组成
的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有 mgR＋mg(2R)＝×2mv2，解得v＝，C
错误；a球在下滑过程中，杆和重力对a球做功，故根据动能定理可得W＋mgR＝mv2，其中
v＝，联立解得W＝mgR，D正确。
5.(2023·湖北武汉市联考)如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半在光滑的
足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，
当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)(
)
A．2.5 m/s B. m/s C. m/s D. m/s
答案 A
解析 设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面的重力势能为零，链条的机
械能为E＝－×2mg·sin 30°－×2mg·＝－mgL，链条全部滑出后，动能为E′＝×2mv2，重
k
力势能为E′＝－2mg·，由机械能守恒定律可得E＝E′＋E′，即－mgL＝mv2－mgL，解
p k p
得v＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
6.如图所示，一个半径为r、质量均匀的圆盘套在光滑固定的水平转轴上，一根轻绳绕过圆
盘，两端分别连接着物块A和B，A放在地面上，B用手托着，A、B均处于静止，此时B
离地面的高度为7r，圆盘两边的轻绳沿竖直方向伸直，A和圆盘的质量均为m，B的质量为
2m，快速撤去手，在物块B向下运动的过程中。绳子始终与圆盘没有相对滑动，已知圆盘
转动的动能为E ＝mr2ω2，其中ω为圆盘转动的角速度，则物块A上升到最高点时离地面
kC
的高度为(A上升过程中未与圆盘相碰)( )A．7r B．8r C．9r D．10r
答案 C
解析 设B刚落地时速度为v，则根据机械能守恒有2mg×7r＝mg×7r＋×3mv2＋mv2，解
得v＝2，当物块B落地后，A还能上升的高度h＝＝2r，因此A上升到最高点离地面的高度
为9r。故选C。
7.(多选)(2024·重庆市巴蜀中学月考)如图所示，一轻杆长为L，一端固定在O点，杆可绕O
点无摩擦转动。质量为3m的小球A固定在杆的末端，质量为m的小球B固定在杆的中点，
重力加速度为g，轻杆从水平位置由静止释放，小球均可视为质点，则当杆运动至竖直位置
时，下列说法正确的有( )
A．该过程中，轻杆对两小球均不做功
B．处于竖直位置时，A球的速率一定是B球的两倍
C．处于竖直位置时，A球的速率为2
D．该过程中，B球机械能增加了mgL
答案 BC
解析 A、B两球为同轴转动，故角速度相等，由v＝ωr可知处于竖直位置时，A球的速率
一定是B球的两倍，故B正确；下落过程中A、B组成的系统只有重力做功，对A、B组成
的系统由机械能守恒定律得3mgL＋mg·＝mv 2＋×3mv 2，且v ＝2v ，解得v ＝2，v ＝，
B A A B A B
故C正确；对B小球由动能定理得W＋mg·＝mv 2，解得W＝－，即杆对小球B做负功，则
B
小球B的机械能减少，故A、D错误。
8.(多选)(2023·黑龙江哈尔滨市期中)如图所示，不可伸长的轻绳一端系一质量为m的重物，
另一端绕过光滑定滑轮系一质量也为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，定滑轮与直
杆的距离为d，定滑轮的大小不计。杆上的A点与定滑轮等高，AB的距离为d，现将环从A
点由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当环下落至B点时，以下说法正确的是(
)A．环与重物的速度大小之比为5∶4
B．环的速度为
C．环从A到B的过程，克服绳的拉力做的功等于此过程中环减少的机械能
D．环从A到B的过程，重物的机械能守恒
答案 AC
解析 环下落距离为d时，由几何关系可知此时绳子与竖直方向的夹角为 37°，设此时环的
速度为v，则重物的速度为v·cos 37°＝v，故环与重物的速度之比为5∶4，故A正确；对系
统，由机械能守恒定律可得mg·d＝mv2＋m(v)2＋mg(－1)d，解得v＝，故B错误；环从A到
B的过程，由功能关系可知，环克服绳的拉力做的功等于此过程中环减少的机械能，故 C正
确；环从A到B的过程，重物的动能和势能都增加，机械能增加，故D错误。
9.(多选)(2023·山东泰安市模拟)如图所示，跨过轻质滑轮a、b的一根轻质细线，上端接在天
花板上，下端与小物块A相接，A放在长为L、倾角为30°的光滑斜面上，斜面放在水平地
面上。物块B用细线悬挂在滑轮a的下方，细线Ab段与斜面平行，动滑轮两侧细线均竖直。
A与B的质量分别为m、2m，重力加速度大小为g，不计动滑轮与细线之间的摩擦以及空气
阻力。现将A从斜面底端由静止释放，一段时间后，A沿斜面匀加速上滑到斜面的中点，此
时B尚未落地，整个过程中斜面始终处于静止状态。下列说法正确的是( )
A．该过程中，A和B的总重力势能不变
B．该过程中，地面对斜面的摩擦力大小为mg
C．A到达斜面中点的速率为
D．该过程中，细线的拉力大小为mg
答案 BD
解析 由于A沿斜面匀加速上滑，B沿竖直方向匀加速下降，即A和B的总动能增加，A、
B组成的系统机械能守恒，故总重力势能减少，A错误；A沿斜面匀加速上滑到斜面中点的
过程中，据机械能守恒可得2mg·＝mg·sin 30°＋×2mv 2＋mv 2，又v ＝v ，
B A B A
联立解得v ＝，v ＝，C错误；
A B
设细线上的拉力大小为F，设A的加速度大小为a，由于B的加速度为A的加速度的一半，
对A、B分别由牛顿第二定律可得F－mgsin 30°＝ma，2mg－2F＝2m·a，
联立解得a＝g，F＝mg，D正确；
A对斜面的压力大小为F ＝mgcos 30°，对于斜面，在水平方向由平衡条件可得，地面对斜
N
面的摩擦力大小为F＝F sin 30°＝mg，B正确。
f N
10.(2024·江苏扬州市仪征中学检测)如图所示，质量均为m(m大小未知)的重物A、B和质量
为M的重物C(均可视为质点)用不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高的轻小定滑轮(半
径可忽略)连接，C与滑轮等高时，到两定滑轮的距离均为l，现将系统由静止释放，C竖直
向下运动，下落高度为l时，速度达到最大，已知运动过程中A、B始终未到达滑轮处，重
力加速度大小为g。
(1)求C下落l时绳的拉力大小F ；
T
(2)求C下落l时C的速度大小v ；
C
(3)若用质量为m的D替换C，将其静止释放，求D能下降的最大距离d。
答案 (1)Mg (2)2 (3)2l
解析 (1)设C下落l时，绳与竖直方向的夹角为θ，由几何关系可得tan θ＝＝，所以θ＝
30°
对C，其速度最大时，加速度为0，合力为0，有2F cos θ＝Mg，解得F ＝Mg。
T T
(2)当C的加速度为0时，A、B的加速度也为0，故F ＝Mg＝mg，解得M＝m，
T
由几何关系，当C下落l时，
A和B上升的高度为h＝－l＝l
对A、B、C组成的系统，根据机械能守恒定律有
Mg·l－2mgh＝Mv 2＋2×mv 2
C A
v ＝v cos θ
A C
解得v ＝2＝2
C
(3)设D下落至最低点时，轻绳与竖直方向的夹角为α，对A、B、D组成的系统，由机械能
守恒定律有mgd＝2mg(－l)，由几何关系得d＝
解得d＝2l。
11.(多选)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆M、N，两杆无限接近但不接触，两
杆间的距离可忽略不计。两个小球a、b(可视为质点)的质量相等，a球套在竖直杆M上，b
球套在水平杆N上，a、b通过铰链用长度为L＝0.5 m的刚性轻杆连接，将a球从图示位置由静止释放(轻杆与N杆的夹角为θ＝53°)，不计一切摩擦，已知重力加速度的大小为g＝10
m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。在此后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．a球下落过程中，其加速度大小始终不大于g
B．a球由静止下落0.15 m时，a球的速度大小为1.5 m/s
C．b球的最大速度为3 m/s
D．a球的最大速度为2 m/s
答案 BC
解析 a球和b球所组成的系统只有重力做功，则系统机械能守恒，以 b球为研究对象，b
球的初速度为零，当a球运动到两杆的交点时，球在水平方向上的分速度为零，所以b球此
时的速度也为零，由此可知从a球释放至a球运动到两杆的交点过程中，b球速度是先增大
再减小，当b球速度减小时，轻杆对a、b都表现为拉力，对a分析，此时拉力在竖直方向
上的分力与a的重力方向相同，则此时其加速度大小大于g，故A错误；由a、b机械能守
恒得mgΔh＝mv2＋mv2，当a下落Δh＝0.15 m时，由几何关系可知轻杆与N杆的夹角α＝
a b
30°，此时vsin α＝vcos α，联立解得v＝1.5 m/s，故B正确；当a球运动到两杆的交点后
a b a
再向下运动L距离，此时b达到两杆的交点处，a的速度为零，b的速度最大，设为v ，由
bm
机械能守恒得mg(L＋Lsin θ)＝mv 2，解得v ＝3 m/s，故C正确；a球运动到两杆的交点处，
bm bm
b的速度为零，设此时a的速度为v ，由机械能守恒得mgLsin θ＝mv 2，解得v ＝2 m/s，
a0 a0 a0
此时a球的加速度大小为g，且方向竖直向下，与速度方向相同，a球会继续向下加速运动，
速度会大于2 m/s，故D错误。
