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平抛运动的临界极值问题和空间抛体运动
一、平抛运动的临界极值问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存
在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过
程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中
存在着极值，这个极值点往往是临界点。
例1 (多选)如图1 所示，某运动员在乒乓球训练中，从左侧球台中心处，将球沿
垂直于球网的方向水平击出，球恰好通过球网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的
运动为平抛运动，下列判断正确的是( )
图1
A.击球点的高度与球网的高度之比为3∶2
B.击球点的高度与球网的高度之比为9∶8
C.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则
乒乓球落在球网的右侧
D.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则
乒乓球落在球网的左侧
答案 BD
解析 从击球点到球网，有x＝v0t1，h1＝gt，从击球点到右侧边缘，有3x＝
v0t2，h2＝gt，击球点的高度与球网的高度之比为＝，故A 错误，B 正确；乒乓球
的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，由空间位置关系可知，转
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动后乒乓球要想过网，乒乓球到达网的高度时水平位移需要增大，若球抛出的初
速度大小不变，从击球点抛出运动到球网高度时，球的水平位移不变，未能过网，
则乒乓球落在球网的左侧，故C 错误，D 正确。
例2 (2023·新课标卷，24)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上
一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，
石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一
同学将一石子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计
石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g)
答案
解析 设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，不计空
气阻力，石子做平抛运动，竖直方向有v＝2gh
可以观察到“水漂”时，有tan θ≥
联立解得v0≥
即抛出速度的最小值为vmin＝。
二、空间抛体运动
例3 (多选)(2022·山东卷，11)如图2 所示，某同学将离地1.25 m 的网球以13 m/s
的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零
时，击中墙壁上离地高度为8.45 m 的P 点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度
分量大小变为碰前的0.75 倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g 取10
m/s2，网球碰墙后的速度大小v 和着地点到墙壁的距离d 分别为( )
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图2
A.v＝5 m/s
B.v＝3 m/s
C.d＝3.6 m
D.d＝3.9 m
答案 BD
解析 设网球飞出时的速度为v0，竖直方向v＝2g(H－h)
代入数据得v0 竖直＝ m/s＝12 m/s
则v0 水平＝ m/s＝5 m/s
网球击出点到P 点水平方向的距离x 水平＝v0 水平t＝v0 水平·＝6 m
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0 水平⊥＝v0 水平·＝4 m/s
平行墙面的速度分量v0 水平∥＝v0 水平·＝3 m/s
反弹后，垂直墙面的速度分量v 水平⊥′＝0.75·v0 水平⊥＝3 m/s
则反弹后的网球速度大小为v＝＝3 m/s
网球落到地面的时间t′＝＝ s＝1.3 s
着地点到墙壁的距离d＝v 水平⊥′t′＝3.9 m
故B、D 正确，A、C 错误。
1.如图1 所示，猴子在地面与竖直墙壁之间跳跃玩耍，直杆AB 与水平地面之间
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的夹角为45°，A 点到地面的距离为5 m，已知重力加速度g 取10 m/s2，空气阻
力不计，若猴子从竖直墙上距地面3.2 m 的C 点以水平速度v0跳出，要到达直杆，
水平速度v0至少为( )
图1
A.3 m/s
B.4 m/s
C.5 m/s
D.6 m/s
答案 D
解析 运动轨迹与杆相切时如图所示，AC 之间的距离为5 m－3.2 m＝1.8 m，由
图可知x＝y＋1.8 m，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt2，平抛运动的轨迹与直
杆相切，则v0tan 45°＝gt，联立解得v0＝6 m/s，故D 正确。
2.(2024·河南开封模拟)如图2 所示，刚性圆柱形容器，上端开口，容器内侧高h
＝5 m，内径D＝1.6 m，现有一刚性小球(视为质点)从容器上端内边缘沿直径方
向以v0的初速度水平抛出，小球恰好可以击中容器底部中心位置。已知重力加
速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力，小球与容器内壁碰撞视为弹性碰撞(碰撞时间
不计)，则小球的初速度v0可能是( )
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图2
A.2 m/s
B.4 m/s
C.6 m/s
D.8 m/s
答案 B
解析 根据平抛运动的规律可知，竖直方向有h＝gt2，解得t＝＝1 s，而根据题
意，水平方向有D＝v0t(n＝0，1，2，…)，解得v0＝0.8(2n＋1) m/s(n＝0，1，
2，…)，因此v0 的可能值为0.8 m/s、2.4 m/s、4.0 m/s、5.6 m/s、7.2 m/s、8.8
m/s，故B 正确。
3.如图3 所示，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个
小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为
x，小孔P 到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，
不计空气阻力，在这段时间内，下列说法正确的是( )
图3
A.水从小孔P 射出的速度大小为
B.y 越小，则x 越大
C.x 与小孔的位置无关
D.当y＝时，x 最大，最大值为h
答案 D
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解析 取水面上质量为m 的水滴，从小孔喷出时，由机械能守恒定律可知mgy＝
mv2，解得v＝，A 错误；水从小孔P 射出时做平抛运动，则x＝vt，h－y＝gt2，
解得x＝v＝2，可知x 与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝
h 时，x 最大，最大值为h，并不是y 越小x 越大，D 正确，B、C 错误。
4.(2024·山东潍坊高三期末)如图4 所示的正方体空间，其面ABCD 水平。现将一
小球先后两次从A 点水平抛出，当以速度v1沿AC 方向抛出时打在C′点，且在C′
点的速度与竖直方向夹角为θ1；当以速度v2沿AD 方向抛出时打在DD′中点E，
且在E 点的速度与竖直方向夹角为θ2。不计空气阻力，则( )
图4
A.v1∶v2＝1∶1
B.v1∶v2＝1∶
C.tan θ1∶tan θ2＝1∶1
D.tan θ1∶tan θ2＝∶1
答案 A
解析 根据题意，设正方体的棱长为a，由几何关系可知，当沿AC 方向抛出时，
水平位移为x1＝＝a，则有a＝v1t1，竖直方向上有a＝gt，解得v1＝，在C′点时
的竖直分速度为v1y＝gt1＝，则有tan θ1＝＝，当沿AD 方向抛出时，水平方向上
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有a＝v2t2，竖直方向上有＝gt，v2y＝gt2，解得v2＝，v2y＝，则有tan θ2＝＝1，
则v1∶v2＝1∶1，tan θ1∶tan θ2＝1∶，故A 正确。
5.如图5 所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′距桌面的高度
为h，发射器O′A 部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A 点以初速度v0
水平发射出去，其中≤v0≤2，设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球
自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90°角的范围内来回缓慢
水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S
是( )
图5
A.2πh2
B.3πh2
C.4πh2
D.8πh2
答案 C
解析 根据平抛运动规律h＝gt2，解得t＝，以最小速度v1＝发射的乒乓球，水
平位移最小，为x1＝v1t＝＝2h，对应的与桌面相碰区域的圆半径为r1＝h＋x1＝
3h；以最大速度v2＝2 发射的乒乓球，水平位移最大，为x2＝v2t＝2＝4h，对应
的与桌面相碰区域的圆半径为r2＝h＋x2＝5h，乒乓球第一次与桌面相碰区域的
最大面积S＝π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故C 正确。
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6.(2024·广东茂名高三期中)如图6，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|
AA1|，将可视为质点的小球从顶点A 在∠BAD 所在范围内(包括边界)分别沿不同
方向水平抛出，落点都在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不计空气阻力，则小球(
)
图6
A.抛出速度最大时落在B1点
B.抛出速度最小时落在D1点
C.落在B1D1中点的速度与落在D1点的速度相等
D.从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等
答案 D
解析 设AA1高度为h，由h＝gt2得t＝，则从抛出到落在B1D1线段上任何一点
所需的时间都相等，D 正确；设平抛的水平位移为x，抛出速度v0＝，落在C1点
水平位移最大，因此抛出速度最大时落在C1点，A 错误；水平位移小于A1D1时，
比落在D1点抛出速度更小，落在A1点的抛出速度最小，B 错误；由v＝2gh 得，
落在B1D1中点的竖直方向分速度与落在D1点的竖直方向分速度均为vy＝，落在
B1D1中点时水平位移大于落在D1点时的水平位移，可知落在B1D1中点的水平分
速度大于落在D1点的水平速度，由v＝得，落在B1D1中点的速度大于落在D1点
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的速度，C 错误。
7.(多选)(2024·山东临沂模拟)如图7 所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线
中点正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)，
球员顶球点O 距地面的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气
阻力)，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
图7
A.足球位移OP的大小为
B.足球位移OP的大小为
C.足球刚落到P 点的速度大小为
D.足球刚落到P 点的速度大小为
答案 BC
解析 足球在水平方向的位移为x＝，足球位移OP的大小为l＝＝，A 错误，B
正确；足球运动的时间为t＝，则足球的水平速度为vx＝，竖直方向速度为vy＝
gt，可得足球刚落到P 点的速度大小为vP＝＝＝，C 正确，D 错误。
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