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第1 讲 交变电流的产生和描述
学习目标 1.理解正弦式交变电流的产生过程，能正确书写交变电流的函数表达
式。 2.理解并掌握交变电流图像的意义。 3.理解描述交变电流的几个物理量，
会计算交变电流的有效值。 4.正确理解交变电流的四值，并进行有关计算。
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1.思考判断
(1)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流。(×)
(2)线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也
最大。(×)
(3)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时，线圈中的感应电动势为零，
电流方向发生改变。(√)
(4)交流电器设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。(√)
(5)交变电流的峰值总是有效值的倍。(×)
(6)我国使用的交变电流周期是0.02 s，电流方向每秒改变100 次。(√)
2.某交流发电机的线圈在匀强磁场中匀速转动时，磁通量Φ 随时间t 变化的关系
如图所示，则下列说法正确的是( )
A.t＝0 时刻，线圈平面与中性面平行
B.1 s 内线圈中感应电流方向改变50 次
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C.t＝0.015 s 时刻，线圈中的感应电流最大
D.t＝0.01 s 时刻，图像的切线斜率为40π Wb/s
答案 D
考点一 正弦式交变电流的产生及变化规律
1.交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
规律
物理量
函数表达式
图像
磁通量
Φ＝Φmcos ωt＝BScos ωt
电动势
e＝Emsin ωt＝nωBSsin ωt
电压
u＝Umsin ωt＝sin ωt
电流
i＝Imsin ωt＝sin ωt
2.书写交变电流瞬时值表达式的步骤
(1)确定正弦交变电流的峰值，根据已知图像读出或由公式Em＝nωBS 求出相应峰
值。
(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式
①线圈从中性面位置开始计时，则i－t 图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝
Imsin ωt。
②线圈从垂直于中性面的位置开始计时，则i－t 图像为余弦函数图像，函数表达
式为i＝Imcos ωt。
例1 (2024·北京市第四中学模拟)某交流发电机产生交变电流的装置如图1 甲所
示，产生的感应电动势与时间的关系如图乙所示，下列说法正确的是( )
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图1
A.t＝0 时，线圈平面处于中性面位置，磁通量变化率最大
B.线圈通过中性面时，交变电流改变方向
C.线框中产生的感应电动势e＝100sin (50t) V
D.如果仅使线圈的转速加倍，则电动势的最大值和周期分别变为200 V、0.08 s
答案 B
解析 由图像可知，t＝0 时，电动势为零，此时线圈平面处于中性面位置，磁通
量变化率最小，交变电流改变方向，故A 错误，B 正确；线框中产生的感应电动
势的最大值和周期分别为Em＝100 V，T＝0.04 s，根据e＝Emsin t，可知感应电
动势瞬时值为e＝100sin (50πt) V，故C 错误；根据Em＝NBSω，ω＝2πn，可知
Em与n 成正比，如果仅使线圈的转速加倍，则电动势的最大值为Em′＝200 V，周
期为T＝＝，可知周期与n 成反比，如果仅使线圈的转速加倍，则周期减半为T′
＝0.02 s，故D 错误。
1.(人教版选择性必修第二册P50图3.1－3 改编)交流发电机发电的示意图如图2 所
示，线圈的AB 边连在金属滑环K 上，CD 边连在金属滑环L 上，线圈在转动时
可以通过滑环和电刷保持与外电路相连。线圈转动过程中，下列说法中正确的是
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( )
图2
A.转到图甲位置时，通过线圈的磁通量变化率最大
B.转到图乙位置时，线圈中产生的感应电动势为零
C.转到图丙位置时，线圈中产生的感应电流最大
D.转到图丁位置时，AB 边感应电流方向为A→B
答案 D
解析 转到图甲位置时，线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大，但磁通量变化率
最小，为零，故A 错误；转到图乙位置时，线圈中产生的感应电动势最大，故B
错误；转到图丙位置时，线圈位于中性面位置，此时感应电流最小，但感应电流
方向改变，故C 错误；转到图丁位置时，根据楞次定律可知AB 边感应电流方向
为A→B，故D 正确。
2.(多选)如图3 所示，图线a 是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦式交变
电流的图像，当调整线圈转速后，其在同一磁场中匀速转动过程所产生正弦式交
变电流的图像如图线b 所示。下列关于这两个正弦式交变电流的说法正确的是(
)
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图3
A.在图中t＝0 时刻穿过线圈的磁通量均为零
B.线圈先后两次转速之比为3∶2
C.交变电流a 的电动势瞬时值表达式为e＝10sin(5πt)V
D.交变电流b 的电动势最大值为 V
答案 BCD
解析 由题图可知t＝0 时刻线圈均在中性面位置，穿过线圈的磁通量最大，A
错误；由图像可知Ta∶Tb＝2∶3，故na∶nb＝3∶2，B 正确；由图像可知交变电
流a 的电动势最大值为10 V，ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，所以交变电流a 的电动势
瞬时值表达式为e＝10sin(5πt)V，C 正确；交变电流的电动势最大值为Em＝
NBSω，故Ema∶Emb＝3∶2，则Emb＝Ema＝ V，D 正确。
考点二 交变电流有效值的计算
1.正弦式交变电流的有效值的计算
I＝，U＝，E＝。
2.非正弦式交变电流的有效值的计算
(1)根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生
“相同热量”，利用公式Q＝I2Rt 和Q＝t 可分别求得一个周期内产生的热量，
即得电流和电压的有效值。
(2)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的周期(必须是从零至最大值或
从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I
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＝、U＝求解。
例2 一电阻R 接到如图4 甲所示的正弦式交流电源上，两端电压的有效值为
U1，消耗的电功率为P1；若该电阻接到如图乙所示的方波交流电源上，两端电
压的有效值为U2，消耗的电功率为P2。若甲、乙两图中的U0、T 所表示的电压、
周期是相同的，则下列说法正确的是( )
图4
A.U1＝U0
B.U2＝U0
C.P1＝
D.P1∶P2＝1∶2
答案 C
解析 电阻接到正弦式交流电源上，两端电压的有效值为U1＝，功率P1＝＝，
故A 错误，C 正确；电阻接到方波交流电源上，设两端电压的有效值为U2，则
有·＋·＝T，解得U2＝U0，功率P2＝＝，则P1∶P2＝1∶5，故B、D 错误。
3.如图5 所示为一交流电压随时间变化的图像。每个周期内，前三分之一周期电
压按正弦规律变化，后三分之二周期电压恒定。根据图中数据可得此交流电压的
有效值为( )
图5
A.7.5 V
B.2 V
C.8 V
D.3 V
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答案 B
解析 在0～1 s 内是正弦式交变电流，则电压的有效值等于3 V；在1～3 s 内是
恒定电流，则有效值等于9 V，则在0～3 s 内，产生的热量为×1 s＋×2 s＝×3
s，解得U＝2 V，故B 正确。
4.如图6 所示，将一根均匀导线围成圆心角为60°的扇形导线框OMN，O 为圆心，
半径为R，线框总电阻为r，将线框O 点置于坐标系的原点，在第二、四象限有
垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。从t＝0 时刻开始，导线框绕O
点以角速度ω 匀速转动，则导线框中感应电流的有效值为( )
图6
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 线框转动一周过程中，两次进入磁场、两次离开磁场，所以产生感应电流
的时间为t＝T＝T；转动切割磁感线产生的感应电动势E′＝BR2ω，设感应电动势
的有效值为E，根据有效值的计算公式可得T＝t，解得E＝，则导线框中感应电
流的有效值为I＝＝，故C 正确，A、B、D 错误。
考点三 交变电流“四值”的理解与计算
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物理量
表达式
适用情况及说明
瞬时值
e＝Emsin ωt
u＝Umsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
最大值(峰值)
Em＝NBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
有效值
对正(余)弦交流电有：
E＝；U＝
I＝
计算与电流的热效应有关的量
(如电功、电功率、电热等)
平均值
E＝BLv
E＝n
I＝
计算通过电路截面的电荷量
例3 如图7 所示，N＝50 匝的矩形线圈abcd，ab 边长l1＝20 cm，ad 边长l2＝25
cm，放在磁感应强度B＝0.4 T 的匀强磁场中，外力使线圈绕垂直于磁感线且通
过线圈中线的OO′轴以n＝3 000 r/min 的转速匀速转动，线圈电阻r＝1 Ω，外电
路电阻R＝9 Ω，t＝0 时线圈平面与磁感线平行，ab 边正转出纸外、cd 边转入纸
里。求：(π≈3.14)
图7
(1)t＝0 时感应电流的方向；
(2)感应电动势的瞬时值表达式；
(3)线圈转一圈外力做的功；
(4)从图示位置转过90°的过程中流过电阻R 的电荷量。
答案 (1)感应电流方向为adcba
(2)e＝314cos(100πt)V (3)98.6 J (4)0.1 C
解析 (1)根据右手定则知，t＝0 时线圈中感应电流方向为adcba。
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(2)线圈的角速度ω＝2πn＝100π rad/s
题图位置的感应电动势最大，其大小为Em＝NBl1l2ω
代入数据得Em＝314 V
感应电动势的瞬时值表达式为
e＝Emcos ωt＝314cos(100πt)V。
(3)电动势的有效值E＝
线圈匀速转动的周期T＝＝0.02 s
线圈匀速转动一圈，外力做功大小等于电功的大小，即W＝I2(R＋r)T＝T
代入数据得W＝98.6 J。
(4)从t＝0 时起线圈转过90°的过程中，流过电阻R 的电荷量q＝I·Δt＝＝
代入数据得q＝0.1 C。
5.图8 甲是某发电机的示意图，正方形金属框边长为L，其两端与两个半圆环相
连，在磁感应强度为B 的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动。阻值为R 的电
阻两端的电压如图乙所示，Um为已知，其他电阻不计，则金属框转动一周( )
图8
A.框内电流方向不变
B.电动势的有效值大于Um
C.流过电阻的电荷量为
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D.电阻产生的焦耳热为
答案 D
解析 金属框每次经过中性面时框内电流方向都会改变，故A 错误；由题图乙
可知，金属框中产生的感应电动势的图像与完整的正余弦曲线的是相同的，所以
电动势的有效值等于Um，故B 错误；金属框转动一周的过程中，流过电阻的电
荷量为q＝I××4＝××4＝×4＝，故C 错误；设金属框转动的角速度为ω，则有
Um＝BL2ω，金属框转动的周期为T＝，根据焦耳定律可得电阻产生的焦耳热为
Q＝，联立上述三式解得Q＝，故D 正确。
A 级 基础对点练
对点练1 交变电流的产生及变化规律
1.(多选)(2024·福建龙岩适应性考试)如图1 甲是一台小型发电机的结构示意图，
线圈逆时针转动，产生的电动势e 随时间t 变化的正弦规律图像如图乙所示。发
电机线圈的电阻r＝1 Ω，外接灯泡的电阻为5 Ω。则( )
图1
A.图甲中线圈所处位置的电动势最大
B.理想电压表的示数为6 V
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C.线圈转动的角速度为50 rad/s
D.线圈转动产生电动势的表达式e＝6sin (100πt) V
答案 AD
解析 由图甲可知此时线圈位于中性面的垂面位置，线圈的电动势最大，故A
正确；感应电动势有效值为E＝＝6 V，发电机线圈的电阻r＝1 Ω，外接灯泡的
电阻R＝5 Ω，根据闭合电路欧姆定律可知U＝E＝5 V，理想电压表的示数为5
V，故B 错误；根据图乙可知周期T＝0.02 s，线圈转动的角速度ω＝＝100π
rad/s，故C 错误；线圈转动产生电动势的表达式e＝Emsin ωt＝6sin (100πt) V，
故D 正确。
2.(2024·江苏盐城模拟)如图2 所示，空间存在水平垂直于纸面的匀强磁场，在磁
场中放着四个用同样的细导线做成的刚性单匝闭合线框，其中线框Ⅰ和线框Ⅱ是
边长为L 的正方形线框，线框Ⅲ是长为2L、宽为0.5L 的矩形线框，线框Ⅳ是周
长为4L 的圆形线框。四个线框绕各自的轴(如图中的虚线所示)匀速转动，其中
线框Ⅰ的转速为n，其他线框的转速均为2n。四个线框产生的最大感应电动势分
别为E1、E2、E3和E4，下列说法正确的是( )
图2
A.E1<E2＝E3<E4
B.E1<E2<E3<E4
C.E1＝E2<E3<E4
D.E1<E2＝E3＝E4
答案 A
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解析 转动线圈产生的感应电动势与形状和转轴位置无关，根据Em＝BSω，ω＝
2πn 知，四个线框产生的最大感应电动势分别为E1＝BL2·2πn，E2＝BL2·2π·2n＝
BL2·4πn，E3＝B·0.5L·2L·2π·2n＝BL2·4πn，E4＝Bπ·2π·2n＝BL2·16n，则有E1<E2＝
E3<E4，故A 正确。
3.如图3 所示，虚线OO′的左边存在着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，右边没
有磁场。单匝矩形线圈abcd 的对称轴恰与磁场右边界重合，线圈平面与磁场垂
直。线圈沿图示方向绕OO′轴以角速度ω 匀速转动(即ab 边向纸外、cd 边向纸里
转动)，规定沿a→b→c→d→a 方向为感应电流的正方向。从图示位置开始计时，
下列四个图像中能正确表示线圈内感应电流i 随时间t 变化规律的是( )
图3
答案 B
解析 图示时刻开始，由楞次定律可判断出线圈中感应电流方向为
a→d→c→b→a 为负方向，线圈中产生的感应电动势表达式为e＝－Emsin ωt＝－
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BSωsin ωt，S 是线圈面积的一半，则感应电流的表达式为i＝＝－Imsin ωt，其
中Im＝，故线圈中感应电流按正弦规律变化，故B 正确。
对点练2 交变电流有效值的计算
4.如图4 是某一线圈通过的交变电流的电流—时间关系图像(前半个周期为正弦波
形的)，则一个周期内该电流的有效值为( )
图4
A.I0
B.I0
C.I0
D.I0
答案 B
解析 设该电流的有效值为I，由I2RT＝R·＋(2I0)2R·，解得I＝I0，故B 正确。
5.某研究小组成员设计了一个如图5 所示的电路，已知纯电阻R 的阻值不随温度
变化。与R 并联的是一个理想的交流电压表，D 是理想二极管(它的导电特点是
正向电阻为零，反向电阻为无穷大)。在A、B 间加一交流电压，其瞬时值的表达
式为u＝20·sin (100πt) V，则交流电压表的示数为( )
图5
A.10 V
B.20 V
C.15 V
D.14.1 V
答案 D
解析 二极管具有单向导电性，使得半个周期内R 通路，另外半个周期内R 断
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路，在通路的半个周期内，交流电压的有效值为20 V，有T＝·，解得U＝10
V≈14.1 V，故D 正确。
6.(多选)已知如图6 所示为穿过匝数n＝100 的线圈的磁通量Φ 随时间t 按正弦规
律变化的图像，其产生的电压为交变电压。判断下列选项中的四个交变电压的有
效值与已知的交变电压的有效值相同的是(π＝3.14)( )
图6
答案 AD
解析 已知交变电流的周期为T＝6.28×10－2 s，角速度为ω＝＝100 rad/s，最大
感应电动势为Em＝nBSω＝200 V，电压的有效值为U＝＝100 V。选项A、B 中，
交变电压的有效值由U＝可得，UA＝100 V，UB＝100 V；选项C、D 中，设等
效电压为U，电阻R 在相同时间内产生的热量相同，则有T＝·T＋·T，得UC＝
200 V，UD＝100 V，所以与已知交变电压的有效值相同的是A 和D，故A、D 正
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确。
对点练3 交变电流“四值”的理解和计算
7.一低压电源输出的交变电压为u＝10sin (100πt) V，以下说法正确的是( )
A.这只电源可以使“10 V 2 W”的灯泡正常发光
B.这只电源的交变电压的周期是314 s
C.这只电源在t＝0.01 s 时电压达到最大值
D.“10 V 2 μF”的电容器可以接在这只电源上
答案 A
解析 这只电源交变电压的峰值Um＝10 V，则有效值U 有＝ V＝10 V，所以这
只电源可以使“10 V 2 W”的灯泡正常发光，故A 正确；ω＝100π rad/s，则T
＝＝0.02 s，故B 错误；在t＝0.01 s 时，经过半个周期，电压为零，故C 错误；
当电容器的耐压值小于峰值时，电容器被击穿，10 V 小于10 V，则
“10 V 2 μF”的电容器不能接在这只电源上，故D 错误。
8.(多选)单匝闭合矩形线框电阻为R，在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转
动，穿过线框的磁通量Φ 与时间t 的关系图像如图7 所示。下列说法正确的是(
)
图7
A.时刻线框平面与中性面垂直
B.线框的感应电动势有效值为
C.线框转一周外力所做的功为
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D.从t＝0 到t＝过程中线框的平均感应电动势为
答案 BC
解析 中性面的特点是与磁场方向垂直，穿过线框平面的磁通量最大，磁通量变
化率最小，则时刻线框在中性面位置，A 错误；电动势最大值为Em＝ωBS＝ωΦm
＝Φm，对正弦交变电流，E 有＝＝，B 正确；由功能关系知，线框转一周外力做
的功等于线框中产生的焦耳热，W＝T＝，C 正确；由法拉第电磁感应定律知，E
＝＝＝，D 错误。
B 级 综合提升练
9.如图8 所示，闭合的矩形导体线圈abcd 在匀强磁场中绕垂直于磁感线的对称轴
OO′匀速转动，沿着OO′方向观察，线圈沿逆时针方向转动。已知匀强磁场的磁
感应强度为B，线圈匝数为n，ab 边的边长为l1，ad 边的边长为l2，线圈总电阻
为R，转动的角速度为ω。图中线圈平面与磁场方向平行。
图8
(1)从线圈经过图示位置开始计时，写出线圈内的电流随时间变化的函数关系式；
(2)求线圈电阻的发热功率；
(3)从线圈经过图示位置开始计时，求经过四分之一周期时间通过线圈导线某截
面的电荷量。
答案 (1)i＝cos ωt (2) (3)
解析 (1)从线圈经过图示位置开始计时，线圈内的电流随时间变化的函数关系
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式为i＝Imcos ωt，其中Im＝＝
所以i＝cos ωt。
(2)线圈转动过程中电流的有效值I＝＝
线圈电阻的发热功率为P＝I2R＝。
(3)线圈从此位置转过四分之一周期的过程中，平均感应电动势E＝n＝n
平均感应电流I＝＝
通过线圈导线某截面的电荷量q＝IΔt＝。
10.如图9 所示，间距为L 的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直向上且磁感
应强度大小为B 的匀强磁场中，一端接阻值为R 的电阻。一有效电阻为r、质量
为m 的导体棒放置在导轨上，在外力F 作用下从t＝0 时刻开始运动，其速度随
时间的变化规律为v＝vmsin ωt，不计导轨电阻。求：
图9
(1)从t＝0 到t＝时间内，电阻R 上产生的热量；
(2)从t＝0 到t＝时间内，外力F 所做的功。
答案 (1) (2)
解析 (1)由导体棒切割磁感线产生感应电动势有E＝BLv，得e＝BLvmsin ωt
回路中产生正弦式交变电流，其有效值为
E 有效＝
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在0～时间内，电阻R 上产生的热量
Q＝R·＝。
(2)由功能关系得外力F 所做的功
W＝Q＝。
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