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等时圆模型
1.“等时圆”模型
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到
达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直
径做自由落体运动所用的时间。
2.模型的三种情况
(1)物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间
相等，如图甲所示。
(2)物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，
如图乙所示。
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，物体沿不同的光滑弦上端由
静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。
例题 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。
图1
有两部直滑梯AB 和AC，A、B、C 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的
最高点，示意图如图1 所示。已知圆半径为R，在圆周所在的竖直平面内有一位
置P，距离A 点为3R 且与A 等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为
g。
(1)如果小朋友由静止开始分别沿AB 和AC 滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运
动的时间关系；
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(2)若设计一部上端在P 点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由
静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。
答案 (1)tAB＝tAC＝ (2)
解析 (1)设AB 与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB 下滑时的加速度为a＝gsin
θ，由运动学规律有xAB＝at，由几何关系可知xAB＝2Rsin θ，联立解得tAB＝，由
上式可知小朋友的下滑时间与滑梯倾斜程度无关，则两次沿滑梯运动的时间关系
为tAB＝tAC＝。
(2)根据第(1)问的结论，画出以P 点为最高点的半径为r 的等时圆，如图所示，
两圆相切时，时间最短，有(R＋r)2＝(r－R)2＋(3R)2
解得r＝R
由第(1)问的结论有t＝。
1.(2024·浙江模拟预测)如图2 所示，OC 为竖直圆的直径，OA、OB 为圆的两条
弦，现同时在A、B 两点释放两小滑块，分别沿光滑的弦轨道滑到O 点(O 点为最
低点)，滑块滑下的先后顺序是( )
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图2
A.沿AO 的小滑块最先到达
B.沿BO 的小滑块最先到达
C.同时到达
D.条件不足，无法判断
答案 C
解析 设AO 和BO 与水平面夹角分别为α 和β，长度分别为l1和l2，设圆的直径
为d，由几何关系有l1＝dsin α，l2＝dsin β，沿AO 方向上，对小滑块由牛顿第
二定律有mgsin α＝ma1，由运动学公式有l1＝a1t，联立解得t1＝，沿OB 方向上，
同理可得t2＝，故C 正确。
2.如图3 所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点恰好
是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、
COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角
关系为α＞β＞θ。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物
块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为( )
图3
A.tAB＝tCD＝tEF
B.tAB＞tCD＞tEF
C.tAB＜tCD＜tEF
D.tAB＝tCD＜tEF
答案 B
解析 如图所示，过D 点作OD 的垂线与竖直虚线交于G，以OG 为直径作圆，
可以看出F 点在辅助圆内，而B 点在辅助圆外，由等时圆结论可知，tAB＞tCD＞
3
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tEF，B 项正确。
3.(2024·山东临沂高三期末)如图4 所示，倾角为θ 的斜面固定在水平地面上，在
与斜面共面的平面上方A 点伸出三根光滑轻质细杆至斜面上B、C、D 三点，其
中AC 与斜面垂直，且∠BAC＝∠DAC＝θ(θ<45°)，现有三个质量均为m 的小圆
环(看作质点)分别套在三根细杆上，依次从A 点由静止滑下，滑到斜面上B、
C、D 三点所用时间分别为tB、tC、tD，下列说法正确的是( )
图4
A.tB>tC>tD
B.tB＝tC<tD
C.tB<tC<tD
D.tB<tC＝tD
答案 B
解析 由于∠BAC＝θ，则可以判断出AB 竖直向下，以AB 为直径作圆，则必过
C 点，如图所示，圆环在杆AC 上运动过程，由牛顿第二定律及运动学公式可得
mgcos θ＝ma，2Rcos θ＝at，联立解得tC＝，可见从A 点出发，到达圆周各点所
用的时间相等，与细杆的长短、倾角无关，则tB＝tC＝tE<tD，故B 正确。
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