文档文本内容
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第39 讲 带电粒子在磁场中的运动
目
录
01 考情解码· 命题预警.........................................................................................................................................2
02 体系构建 ·思维可视.........................................................................................................................................3
03 核心突破 靶向攻坚..........................................................................................................................................3
考点一 洛伦兹力的特点及应用 ..................................................................................................................3
知识点一 洛伦兹力的特点..........................................................................................................................3
知识点二 洛伦兹力与安培力的联系及区别..............................................................................................4
考向 洛伦兹力的特点及应用......................................................................................................................4
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 ......................................................................................................6
知识点一 垂直射入匀强磁场....................................................................................................................6
知识点二 倾斜射入匀强磁场....................................................................................................................6
考向1 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动.......................................................................................6
考向2 带电粒子倾斜射入匀强磁场的“螺旋线”运动...........................................................................7
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 .......................................................................................9
知识点 各种边界磁场分析及处理方法....................................................................................................9
考向1 单直线边界磁场.............................................................................................................................10
考向2 双直线边界......................................................................................................................................12
考向3 其它直线边界磁场.........................................................................................................................13
考向4 圆（弧）形边界磁场.....................................................................................................................15
考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题和临界问题 ...........................................................16
知识点一 多解性问题三种常见情形......................................................................................................16
知识点二 临界极值问题三种解题方法..................................................................................................17
考向1 多解性问题......................................................................................................................................19
考向2 临界极值问题之缩放圆法.............................................................................................................20
考向3 临界极值问题之旋转圆法.............................................................................................................23
考向4 临界极值问题之平移圆法.............................................................................................................24
考点五 磁聚焦与磁发散 ..........................................................................................................................26
知识点一 带电粒子的聚焦......................................................................................................................26
知识点二 带电粒子的发散......................................................................................................................26
考向 磁聚焦与磁发散................................................................................................................................27
04 真题溯源·考向感知...........................................................................................................................................29
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
洛伦兹力的特点
及应用
选择题
非选择题
带电粒子在匀强
磁场中的运动
选择题
非选择题
带电粒子在有界
匀强磁场中的运
动
选择题
非选择题
安徽卷T07，4 分
带电粒子在匀强
磁场中运动的多
解问题和临界问
题
选择题
非选择题
磁聚焦与磁发散
选择题
非选择题
考情分析：
带电粒子在有界磁场中的偏转是高考物理的高频考点，主要出现在选择题、计算题中，分析处理难度较
大，通常与电场、重力场等知识点结合考查。考查知识点：带电粒子在磁场中的运动、有界磁场中的运
动，磁聚焦和磁发散。
学习探究类：磁聚焦和磁发散、临界问题、缩放圆、旋转圆。
复习目标：
目
一：
标
掌握
粒子在磁
中运
的半径、周期公式
带电
场
动
。
目
二：
标
掌握
粒子在有界磁
中的分析方法。
带电
场
目标三：通
物理模型建构和运用数学方法解决物理
。
题
过
问
2
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考点一 洛伦兹力的特点及应用
知识点一 洛伦兹力的特点
1.洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度
的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
3
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(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。
知识点二 洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)联系：安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)区别：安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
得分速记
洛伦兹力与静电力的比较
考向 洛伦兹力的特点及应用
例来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将会对地球上的生命
带来危害。但由于地磁场（如图所示）的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，使得很多高能带电
粒子不会到达地面。下列说法中正确的是（ ）
A．地磁场对宇宙射线的阻挡作用与宇宙射线射向地球的纬度及速度方向无关
B．地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、北两极附近最强，赤道附近最弱
4
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C．地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、北两极附近最弱，赤道附近最强
D．地磁场会使沿地球赤道平面内射来的宇宙射线中的带电粒子向两极偏转
【变式训练1】（2025·云南·三模）如图所示，一正方形线框放置在水平桌面，在以线框为底面的空间正方
体中，
、
分别为上下表面的中心，线框通有图示的恒定电流。下列说法正确的是（ ）
A．
处磁感应强度为0
B．
处磁感应强度方向竖直向上
C．
连线上各点磁感应强度相同
D．从
处静止释放一可视为质点的带电小球，将做直线运动
【变式训练2·变考法】（2025·河南安阳·一模）（多选）如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表
面绝缘的小车，将带负电、电荷量
，质量
的滑块放在小车的左端，小车的质量
，滑块与绝缘小车之间的动摩擦因数
，它们所在空间存在磁感应强度
的垂直于纸
面向里的匀强磁场。开始时小车和滑块静止，重力加速度
，下列说法正确的是（ ）
A．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
B．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
C．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
D．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
5
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知识点一 垂直射入匀强磁场
以恒定速率v 在垂直于磁场B 的平面内做匀速圆周运动。运动周期仅与粒子的比荷和磁场的磁感应强度有
关。
知识点二 倾斜射入匀强磁场
(1)解题
：运动的分解
方法
与合成。
(2)运动特点
①分运动：在垂直于磁场B 的平面内做匀速圆周运动，在沿磁场B 的方向做匀速直线运动。
②合运动：粒子沿“螺旋线”周期性前进。
考向1 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
例1 （2025·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）如图所示为洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。
玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强
磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期为
T。若仅增大出射电子的速度，则（ ）
A．R 减小
B．R 增大
C．T 不变
D．T 减小
对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，则轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v 的改变，往往造成轨道半径和运动
周期的改变。
【变式训练1】（2025·山西·二模）（多选）如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面
向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。荧光屏上P 点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量
为m，电荷量为q 的带电粒子，速率为v，均匀分布在PA 和PC 之间，PQ 垂直于荧光屏，PA 与PQ 的夹角
为α，PC 与PQ 的夹角为β，α>β，且α+β=90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
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A．若带电粒子带正电，则荧光屏P 点左侧出现一条亮线，亮线长度为
B．若带电粒子带负电，则荧光屏P 点右侧出现一条亮线，亮线长度为
C．若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为
D．若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P 点距离大于
的粒子占总粒子数的
【变式训练2】（2025·河北廊坊·一模）（多选）如图所示，在
坐标系中存在匀强磁场，磁场方向与
坐标平面垂直。两个带电粒子
在
坐标平面内各自做匀速圆周运动，圆心坐标分别为
，两粒子
与坐标原点
的连线总是相互垂直，且运动过程中不会发生碰撞，不计两个带
电粒子的重力，则带电粒子
的（ ）
A．运动速度大小之比为
B．运动周期之比为
C．比荷之比为
D．运动半径之比为
考向2 带电粒子倾斜射入匀强磁场的“螺旋线”运动
例2（2025·北京丰台·一模）地磁场可以阻挡能量很高的太阳风粒子到达地球表面。地球北极附近的磁场
如图所示，某带电粒子从弱磁场区向强磁场区前进时做螺旋线运动，不计粒子的重力和一切阻力，下列说
法正确的是（ ）
A．该粒子带负电
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B．从弱磁场区到强磁场区的过程中粒子的速率逐渐减小
C．粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离不变
D．粒子有可能从强磁场区域返回到弱磁场区域
【变式训练1】用如图所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的
电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状，现将这一现象简化成如图所示的情景来讨论：在空间存在
平行于x 轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy 平面内以初速度
沿与x 轴正方向成
角的方向射入磁场的电
子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x 轴，直径为D，螺距为
，则下列说法错误的是（ ）
A．匀强磁场的方向为沿x 轴正方向
B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D 减小，而螺距
将增大
C．若仅增大电子入射的初速度v₀，则直径D 增大，螺距
也将增大
D．若仅增大
角（
），则直径D 增大，而螺距
将减小
【变式训练2】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，有一内半径为
、长为L 的圆筒形区域，左右端面的
圆心
、O 处各开有一小孔。以O 为坐标原点，取
方向为x 轴正方向建立
坐标系。在筒内
区
域有一匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向沿x 轴负方向。一电子枪在O 处向圆筒内多个方向发射电子，
电子初速度方向均在
平面内，且在x 轴负方向的分速度大小相同。已知电子的质量为m、电量为e，
设电子始终被约束在圆筒区域内运动（包括筒壁），不计电子之间的相互作用及电子的重力。要求所有的
电子都能从
点射出圆筒，则有（ ）
A．电子从筒中射出时动能增加了
B．电子在筒中运动的时间最长时间为
C．电子从O 点射入时沿x 负方向的速度可能为
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D．从O 点射入磁场的电子的最大速度
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
知识点 各种边界磁场分析及处理方法
常见的磁场边界：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、四分之一坐标平面边界、三角形边界、圆形边
界
2．解题关键——确定轨迹圆心
求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，首先应画出轨迹圆示意图，找出轨迹圆心。确定轨迹圆心的
3 个依据：
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上；
(2)圆心一定在弦的中垂线上；
(3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径。
3．轨迹半径的计算
方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨迹半径r＝；
方法二(由几何关系求)：作辅助线构造出与轨迹半径相关的三角形(通常是直角三角形)，根据勾股定理、三
角函数求解，或根据正弦定理、余弦定理求解。
4．运动时间的计算
方法一(由运动圆弧所对的圆心角α、圆周运动的周期T 求)：t＝·T；
方法二(由运动的弧长s、线速度v 求)：t＝。
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得分速记
四个点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度所在直线与出射速度所在直线的交点。
六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，
圆心与两条速度所在直线交点的连线。
三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹所对圆心角(α)，并等于
AB 弦与圆切线的夹角(弦切角θ)的2 倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
考向1 单直线边界磁场
例1 （2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，在
直角坐标系的
轴的上方空间中存在垂直纸面向里的
匀强磁场，在O 点有一粒子源沿纸面向磁场中各个方向发射大量相同带负电粒子，若所有带电粒子都能从
点离开磁场，不计带电粒子重力及粒子间的相互作用力，则带电粒子在
点发射时的
图像可能正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【变式训练1·变载体】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，在xOy 平面第一象限内存在垂直于纸面向外的
匀强磁场，左边界过原点与y 轴夹角
。现分别将M、N 两带正电粒子从
和
处沿与y 轴负
方向成
角射出，粒子M、N 恰好能在O 点相遇。已知粒子M、N 的电荷量均为+q，质量分别为m 和
2m，粒子M 射出时的速度大小为
，不计两粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)释放M、N 的时间差。
【变式训练2】（2025·安徽合肥·模拟预测）磁谱仪的基本工作原理是利用磁场使带电粒子发生偏转。
平面（纸面）的第一象限内有边界足够长且平行
轴的区域Ⅰ和Ⅱ，在
的区域Ⅰ存在
的匀
强磁场，在
区域Ⅱ存在磁感应强度大小为
的磁场，方向均垂直纸面向里，如图所示。一个氕
核
和一个氘核
先后从（0，0）处以相同的初动能沿纸面进入磁场区域Ⅰ，速度方向均与
轴夹角为
。已知氕核
恰好不进入区域Ⅱ，氕核
的质量为
、电荷量为
。不计粒子的重力及粒子间的相互
作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)求氕核
的动能
；
(2)若
，求氘核
在区域Ⅱ中运动时离
轴的最远距离
；
(3)若
（
），现仅改变氘核
的入射速度大小（动能与氕核
可不相同），求使氘核
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经过
的边界线的最小入射速度。
考向2 双直线边界
例2（2025·北京朝阳·二模）在如图所示的狭长区域内存在有界的匀强磁场，磁场方向竖直向下。一段轻
质软导线的P 端固定，M 端可以自由移动。当导线中通过电流强度I 时，在M 端施加沿导线的水平恒力
F，软导线静止并形成一段圆弧。现撤去软导线，通过点P 沿着原来导线方向射入一束质量为m、电荷量
为q 的粒子，发现粒子在磁场中的轨迹半径与导线形成的圆弧半径相同。磁场的磁感应强度大小为B，不
计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，需减小水平恒力F
C．粒子的动量大小为
D．粒子的轨道半径为
【变式训练1·变考法】（24-25 高三下·安徽·开学考试）如图所示，平行边界
间有垂直纸面向里
的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为
，两边界足够长，间距为
。一不计重力、质量为
、电荷量绝
对值为
的粒子以速度从边界
上的
点与边界
成
角斜向上入射，粒子恰好不从右边界
出射，
在磁场中运动时间为
。若其他条件不变，将磁场方向改为垂直纸面向外且磁感应强度大小改为
，该粒
子也恰好不从右边界
出射，在磁场中运动时间为
。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子带正电，两磁场磁感应强度大小之比
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B．若粒子带负电，两磁场磁感应强度大小之比
C．若粒子带正电，粒子在两磁场中运动时间之比
D．若粒子带负电，粒子在两磁场中运动时间之比
【变式训练2】（2025·辽宁鞍山·一模）（多选）如图，矩形区域MNPQ 内有垂直于纸面向外的匀强磁场，
区域的长宽分别为2L 和L。速度大小为
的带电粒子从P 点处沿PQ 方向射入矩形区域，经过时间t 从MN
的中点离开磁场。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．仅将粒子的速度变为
，粒子将从M 点离开矩形区域
C．仅将粒子的速度变为
，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为
D．仅将粒子的速度变为
，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为
考向3 其它直线边界磁场
例3（2025·河北沧州·二模）（多选）如图所示，在实线ACODE 以上的区域存在垂直纸面向里的匀强磁
场（图中未画出），磁感应强度大小为B，AC=OC=OD=DE=L。磁场边界A 点有一粒子源，能射出质量为
m、电荷量为
的带电粒子，粒子以不同的速率垂直AC 向上进入磁场，则粒子从COD 边界射出磁场时，
在磁场中运动的时间可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1·变考法】（2025·云南·模拟预测）（多选）如图，ABCDE 虚线区域存在垂直纸面的匀强磁场，
磁感应强度大小为B，DE 是半径为R 的四分之一圆弧，圆心为O，其中A、E、O 在同一条直线上，位于
F 点的粒子源垂直AE 射出各种速度大小不等的带电粒子，粒子在磁场的作用下向右偏转。已知粒子质量
均为m、电荷量均为q，F 点到E 点的距离为
，则从弧DE 射出的粒子，运动的可能时间为（
）
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A．
B．
C．
D．
【变式训练2】如图，在xOy 平面的y 轴右侧三角形区域ABP 内存在方向垂直纸面向外、大小未知的匀强
磁场Ⅰ。在y 轴左侧一边长为d 的正方形区域ABCD 内有匀强磁场Ⅱ，方向垂直纸面向里、磁感应强度大
小为
。其中P 点在x 轴上，AB 在y 轴上且原点O 为AB 的中点。有一质量为m、电荷量为q 的带正电粒
子（不计重力）从P 点以一定初速度
（大小未知）向左射入磁场Ⅰ，再从y 轴进入磁场Ⅱ，进入时与y
轴正方向的夹角为45°，之后恰好没有从上、下边界飞出磁场Ⅱ，且最后恰好能回到P 点。求：
(1)粒子初速度
的大小；
(2)磁场Ⅰ的磁感应强度
的大小；
(3)该粒子从P 点进入磁场到第一次回到P 点的时间t。
考向4 圆（弧）形边界磁场
例4 如图所示，一垂直于纸面向外的环形匀强磁场的磁感应强度大小为B，环形区域内、外半径分别为
R、2R，圆心为O，AD 为外圆的直径。一不计重力、比荷为k 的带正电粒子从环形磁场区域外缘的C 点沿
平行于半径AO 方向以大小为v 的速度射入磁场，已知OC 连线和OA 方向的夹角为30°，若要使粒子能进
入环形内环无磁场区域，则速度v 的最小值为（ ）
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A．kBR
B．
C．
D．
带电粒子在圆形边界匀强磁场区域运动的特点
(1)径向
出
进
若粒子沿着
界
的某一半径方向
入磁
边
圆
进
场，
粒子离开磁
速度的反向延
一定
磁
区域的
心
则
场时
长线
过
场
圆
(即沿着另一半径方向射出)。
明：如
甲
证
图
，因为OA＝OB，O1A＝O1B，所以△O1OA≌△O1OB，所以∠OBO1＝90°，vB沿OB 方向。
(2)等角
出
进
若粒子射入磁
速度方向与入射点
半径
角
场时
对应
夹
为θ，
粒子射出磁
速度方向与出射点
半径
则
场时
对应
夹
角也为θ。
【变式训练1·变考法】（2025·安徽安庆·模拟预测）（多选）如图，真空中圆形区域内有垂直圆面、磁感
应强度为B 的匀强磁场，在圆形区域正上方水平放置粒子收集板，板长等于圆形区域的半径，关于圆心O
对称放置，圆周上与圆心等高的P 点有一粒子源，可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小
相等、质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子
间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．圆形区域内的磁场方向垂直圆面向外
B．若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直
C．能够打在收集板上的粒子数占总数的
D．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
【变式训练2】（多选） 如图甲所示，圆心在x 轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O 点沿x 轴
正向发射一颗比荷为k 的带正电粒子，粒子运动过程x、y 方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，
粒子所受重为不计，则（ ）
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A．磁场方向垂直纸面向里
B．粒子在穿过磁场过程速度方向改变了30°
C．磁感强度大小为
D．圆形区域半径是
考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题和临界问题
知识点一 多解性问题三种常见情形
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中
运动轨迹不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁感应强度大小或方向不确定形成多解
如图乙，带正电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如B 垂直纸面向里，其轨迹为a，如B 垂直纸面向外，
其轨迹为b。
3．带电粒子射入磁场时的速度大小或方向不确定形成多解
有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出粒子射入磁场时速度的大小或方向，此时必须要考虑由
于速度的不确定而形成的多解。
如图丙所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界匀强磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它飞出
磁场的情况不唯一，可能穿过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成多解。
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4．带电粒子运动的周期性或往复性形成多解
带电粒子在磁场中运动时，若因为磁场周期性变化、粒子与挡板反复碰撞或与电场组合等原因而导致运动
具有周期性或往复性，则通常会形成多解。如图丁所示，粒子进入磁场的位置、时间不唯一。
知识点二 临界极值问题三种解题方法
(1)缩放圆法
适用条件
入射点相同，速
度方向一定、大
小不同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随
速度的增大而增大，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共线
运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
临界轨迹界定方法
缩放轨迹圆
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半
径缩放作轨迹圆，从而探索粒子的临界条件
(2)旋转圆法
适用条件
入射点相同，速
度大小一定、方
向不同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相
同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径
为r＝，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
以入射点O 为圆心、半径r＝的圆上
临界轨迹界定方法
旋转轨迹圆
将半径为r＝的轨迹圆以入射点为定点进行
旋转，从而探索粒子的临界条件
(3)平移圆法
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适用条件
入射点在同一
直线上，且速
度大小、方向
均相同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r
＝，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共
线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心
在与入射点所在直线平行的同一直线上
临界轨迹界定方法
平移轨迹圆
将半径为r＝的圆沿入射点所在直线进行
平移，从而探索粒子的临界条件
考向1 多解性问题
例1 （2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选）如图甲所示，
、
为竖直放置彼此平行两块足够长的
平板，板间距离为
，两板中央各有一个小孔
、
且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应
强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在
时垂直于
板从小孔
射入磁场，已知正离子质量为
，带电荷量为
，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与
磁感应强度变化的周期都为
，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计
离子所受重力，下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度
大小等于
B．当入射速度大小为
时，粒子能从
飞出磁场
C．当入射速度大小为
时，粒子能从
飞出磁场
D．若正离子能从
孔垂直于
板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为
时所用时间最短
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求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
(1)分析
目特点
题
，确定
目多解性形成的原因。
题
(2)作出粒子运
迹示意
动轨
图(全面考
多种可能性
虑
)。
(3)若
周期性的多解
为
问题，
找通
式；若是出
几种周期性解的可能性
寻
项
现
，注意每种解出
的条件。
现
【变式训练1·变载体】 （2025·山西临汾·二模）（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy 平面（纸面）向
外，磁场的右边界与x 轴垂直，交x 轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内
的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q 的粒子从原点O 以速度v 进入第
Ⅰ象限的磁场，方向与x 轴成30°角，粒子从P 点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强
度B₁ 的大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】（2025·安徽安庆·模拟预测）（多选）如图所示，边长为L 的正三角形ACD 区域内有垂直
于三角形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，在AC 边上的O 点有一粒子源，沿平行CD
方向向磁场内连续射入各种速率、质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，O 点到A 点距离为
，不计粒
子的重力，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子不可能通过D 点
B．粒子速度为
时，粒子从CD 边射出磁场
C．CD 边有粒子射出磁场部分的长度为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
考向2 临界极值问题之缩放圆法
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例2（2025·四川成都·二模）（多选）如图所示，等腰直角三角形
内有一垂直纸面向里的匀强磁场（
边界无磁场），
边长为
，磁场磁感应强度大小为B。ab 边中点的粒子源
垂直
以不同速率向磁
场内发射带负电的粒子，粒子质量为
，电荷量为
，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的
是（ ）
A．粒子可能从
点飞出磁场
B．粒子可能从点飞出磁场
C．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
【变式训练1·变考法】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的
方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量
为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度
最小为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
子在磁
中做匀速
周运
电
场
动
圆
，由洛
力提供向心力
伦兹
，有evB＝m，
磁感
度与
周运
则
应强
圆
动
迹半径的关系式
：
轨
为B＝，即运
迹半径越大
动轨
，磁
的磁感
度越小。
子从
心沿半径方向
入磁
场
电
应强
圆
进
场，当其恰好不离开
中
成的区域
图
实线圆围
时，运
迹与
相切
动轨
实线圆
，此
子运
迹半径有最大
时电
动轨
值
rmax，如
所示
图
，其中A 点
子做
周运
的
心。由几何关系可得：
为电
圆
动
圆
(3a－rmax)2＝r＋a2，解得rmax＝a，则
磁
的磁感
度最小
场
应强
为Bmin＝＝，故C 正确。
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【变式训练2】如图所示，仅在x>0、y>0 的空间中存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小
为B。在x 轴上有一粒子源P，到坐标原点的距离为L，可垂直于磁场沿着与x 轴成30°角的方向发射速率
不同的相同粒子，粒子质量为m、电荷量为＋q。不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是( )
A．粒子从x 轴上射出的位置坐标可能是
B．粒子从x 轴上射出的位置坐标可能是
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
答案 AC
解析 画出粒子从x
上射出的
界
迹如
所示
轴
临
轨
图
，此
迹
与
时轨
圆
y
相切
轴
，由几何关系可知α＝30°，设
界
迹半径
临
轨
为R，
有
则
R＋Rsinα＝L，解得R＝，
此
粒子从
则
时
x
上
轴
x＝L－2Rsinα＝位置射出，故粒子
从x
上射出的位置坐
足：
轴
标满
<x<L，A 正确，B
；由洛
力提供向心力
错误
伦兹
，有qvB＝m，又T＝，联立
解得粒子在磁
中做
周运
的周期
场
动
圆
为T＝，由几何关系可知，粒子从x
上射出
轴
时，在磁
中运
迹所
场
动轨
的
心角最大
对应
圆
，为θ＝300°，因此粒子在磁
中运
的最
场
动
长时间为tmax＝·T＝×＝，C 正确，D
。
错误
考向3 临界极值问题之旋转圆法
例3（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在坐标系Oxy 内，圆心在O 点、半径为R 的四分之一圆形区域内
无电场也无磁场，其左、右边界与x 轴的夹角分别为30°和60°。放置在O 点的粒子源，可沿四分之一圆形
区域的半径方向发出质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子，粒子初速度大小为
。所有粒子从圆弧
MN 进入垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。经过该磁场（磁场区域范围未知）偏转后，
所有粒子最终都平行于x 轴飞出磁场，并垂直打在右侧的粒子接收板PQ 上。粒子重力不计，求：
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(1)粒子在匀强磁场中运动时间的最小值；
(2)粒子打在接收板上的长度；
(3)y 轴右侧最小磁场区域对应的所有边界方程。
【变式训练1·变考法】（2025·重庆·三模）（多选）如题图所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外，磁感应
强度大小为B 的匀强磁场。位于坐标原点
的离子源从
时刻开始、沿xOy 平面持续发射速度大小范围
为
、质量为
、电荷量为+q 的粒子，离子源发出的各种速度的粒子向各个方向都均匀分布。
不计离子重力及离子间相互作用，且忽略相对论效应。则（ ）
A．速度为
的离子，在磁场中匀速圆周运动的半径为L
B．速度为
的离子，在x 轴上能够被探测到的区间为
C．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
D．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
【变式训练2】（2025·河北·三模）（多选）如图所示，在直角坐标系
的第一象限内存在着一个半径为
、磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，
为圆心，该磁场区域分别与
轴、
轴相切于
点、点。在点处有一粒子源，可以向第一象限内的各个方向射入速度大小相等、质量均为
、电荷量均为
的粒子，不计粒子所受重力及粒子间的相互作用，粒子在磁场中只受洛伦兹力
作用。已知沿
轴正方向射入的粒子，在
轴的
点射出。下列说法正确的是（ ）
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A．粒子的速度大小为
B．与
轴正方向成
角射入圆形匀强磁场区域的粒子，最后经过
轴上的横坐标为
C．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则粒子在圆形匀强磁场区域中运动的最长时间
为
D．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则圆形匀强磁场区域边界上能够被粒子打到的弧
长为
考向4 临界极值问题之平移圆法
例4（2025·湖南邵阳·二模）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、
方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的水平匀强磁场，探测板
平行于
竖直放置，能沿水平方向
左右缓慢移动且接地。a、b、c 为三束宽度不计、间距均为
的离子束，离子均以相同速度持续从边界
竖直向上射入磁场，
束中的离子在磁场中沿半径为
的四分之一圆弧运动后从右边界
水平射出，
并打在探测板的上边缘
点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为
，探测板
的长度为
，离子质
量均为
、电荷量均为
，不计重力及离子间的相互作用，
。
(1)求离子速度的大小；
(2)a、c 两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量
与板到
距离
的
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关系。
【变式训练1·变考法】（2025·山西吕梁·三模）如图所示，
和
是竖直圆
的两条相互垂直的直径，
水平，
为过点
且平行
的直线，圆
内部充满磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强
磁场（图中未画出）。现有一束宽度和
相等、电荷量为
、质量为
的带正电粒子以相同速率平行直
径
射入圆
，粒子均通过
点进入直线
下方。已知圆
的半径为
，不计重力及粒子间的相互作
用。
(1)求粒子的速率；
(2)若直线
下方充满磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向
和
中点的
两粒子进入直线
下方后又均从
点射出
下方磁场，求
点到
点的距离
；
(3)若直线
下方、
延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线
和
延长线分别
为其两个边界，该磁场竖直方向边长为
，水平方向边长为
。已知粒子在该磁场中做圆周运动的半径介
于
到
之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的
，
求矩形磁场的磁感应强度大小。
【变式训练2】（2025·湖南长沙·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系
中有如图所示的有界匀强磁场
区域，磁场上边界是以
点为圆心、半径为
的一段圆弧，圆弧与
轴交于
、
两点，磁场下边界是以坐标原点
为圆心，半径为
的一段圆弧。如图，在虚线区域内
有一束均匀分布带负电的粒子沿
轴负方向以速度
射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸
面向外，磁感应强度大小为
，带电粒子质量为
，电荷量大小为
，不计粒子重力，
，
。下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中的运动半径为
B．正对
点入射的粒子离开磁场后不一定会过
点
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C．粒子在磁场区域运动的最长时间为
D．粒子经过
点进入第四象限的比例为
考点五 磁聚焦与磁发散
知识点一 带电粒子的聚焦
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，水平平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与
磁场圆半径相等(r＝R)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出。(聚焦)
证明：四边形OAO′B 为菱形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A 点入射的带电粒子必然
经过B 点。
知识点二 带电粒子的发散
如图乙所示，圆形磁场区域的磁感应强度为B，圆心为O，从最高点P 点有大量质量为m、电荷量为q 的
正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与磁场
圆半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，O1A、O2B、O3C 均平行
于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
考向 磁聚焦与磁发散
例 （2025·甘肃白银·一模）（多选）如图所示，平面内有一个半径为R 的圆形区域，右侧存在一个截面
为矩形的区域abcd，两个区域的切点O 为ad 边的中点，ab=R，bc=2R，bc 和cd 边上分别有两个接收屏
（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方
向平行），磁感应强度
，现有一簇粒子（质量为m，电荷量为+q）以速度v0，方向竖直向上垂直
磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边
界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（ ）
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A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为
B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R
C．矩形区域内粒子所经过的面积为
D．打到cd 屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为
【变式训练1·变载体】 （2025·四川成都·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内一半径为
的圆形区
域内存在磁感应强度为
的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一长度为
的线状粒子源位于磁场左侧，磁场
区域的直径
为线状粒子源的垂直平分线，线状粒子源沿平行于直径
的方向发射质量为
、电荷量
为
的带电粒子。所有粒子的速率均为
，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正
确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为
B．粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
C．磁场中有粒子经过的区域的面积为
D．粒子动量变化量的最大值与最小值之比为
【变式训练2】（2025·广东湛江·二模）（多选）我国在磁约束方面取得重大突破，如图为一种磁约束的示
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意图。空间存在一半径为R 的半圆形匀强磁场区域，O 为圆心，MN 为直径边界，磁场方向垂直纸面向里。
磁场区域左侧有一电子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为
的电子由静止加速
到
。改变发射器的位置，使带电粒子在圆弧
范围内都沿着垂直MN 的方向以相同的速度
沿纸面
射入磁场区域。当电子沿PQ 方向进入磁场时，能恰好从O 点离开磁场，Q 点是OM 的中点。忽略电子的
重力和电子间的相互作用。则（ ）
A．加速电场两板间的电压为
B．磁感应强度的大小为
C．改变发射器的位置，电子都能汇聚于N 点
D．改变发射器的位置，电子能在磁场中运动的最长时间为
1．（2025·四川·高考真题）如图所示，I 区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直
于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I 区边界重合；正方形与圆形中心同为O 点。I 区和Ⅱ
区的磁感应强度大小比值为4 1∶。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a 点沿正方形某一条边的中垂线方向进入
磁场，一段时间后从a 点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（ ）
A．在I 区的轨迹圆心不在O 点
B．在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1 2∶
C．在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127 37
∶
D．在I 区和Ⅱ区的运动时间之比为127 148
∶
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2．（2025·甘肃·高考真题）2025 年5 月1 日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克
核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两
个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为
。在内圆上
A 点有a、b、c 三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c 带正电且比荷
均为
，a 粒子的速度大小为
，方向沿同心圆的径向；b 和c 粒子速度方向相反且与a 粒子的速
度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．外圆半径等于
B．a 粒子返回A 点所用的最短时间为
C．b、c 粒子返回A 点所用的最短时间之比为
D．c 粒子的速度大小为
二、解答题
3．（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ 间无磁场。MN 左侧区域和PQ 右侧区域内均
有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从
MN 左侧O 点以大小为
的初速度射出，方向平行于MN 向上。已知O 点到MN 的距离为
，粒子能回
到O 点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求
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(1)粒子在MN 左侧区域中运动轨迹的半径；
(2)粒子第一次和第二次经过PQ 时位置的间距；
(3)粒子的运动周期
4．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度
大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀
强磁场。O、N、M 均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O 点正上
方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速
度大小相同，方向相反，比荷均为
。已知
，
，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。
(1)若K 水平发射的粒子在O 点产生光点，求粒子的速度大小。
(2)若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，求粒子的速度
大小。
(3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M 点产生光点，可在粒子发射t 时间后关闭磁场，忽略磁场变
化的影响，求t。
5．（2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核
结构。如图1 所示，用回旋加速器使氘原子核（
）获得2.74MeV 动能，让其在S 处撞击铝（
）核发
生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（
）以及两种不同能量的质子（
）。产生的质子
束经狭缝X 沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B 的圆形匀强磁场区域，经偏转后
打在位于磁场上方的探测板上A、D 处（探测板与磁场边界相切于A 点，D 点与磁场圆心O 处在同一竖直
线上），获得如图2 所示的质子动能的能谱图。
(1)写出氘核撞击铝核的核反应方程；
(2)求A、D 的间距L；
(3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率；
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(4)处于激发态的
核会发生β 衰变，核反应方程是
。若
核质量等于
核质量，电
子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。
6．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控
法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒
足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且
方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，
恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
30
