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第39 讲 带电粒子在磁场中的运动
目
录
01 考情解码· 命题预警.........................................................................................................................................2
02 体系构建 ·思维可视.........................................................................................................................................3
03 核心突破 靶向攻坚..........................................................................................................................................3
考点一 洛伦兹力的特点及应用 ..................................................................................................................3
知识点一 洛伦兹力的特点..........................................................................................................................3
知识点二 洛伦兹力与安培力的联系及区别..............................................................................................4
考向 洛伦兹力的特点及应用......................................................................................................................4
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动 ......................................................................................................7
知识点一 垂直射入匀强磁场....................................................................................................................7
知识点二 倾斜射入匀强磁场....................................................................................................................7
考向1 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动.......................................................................................7
考向2 带电粒子倾斜射入匀强磁场的“螺旋线”运动.........................................................................10
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 .....................................................................................13
知识点 各种边界磁场分析及处理方法..................................................................................................13
考向1 单直线边界磁场.............................................................................................................................14
考向2 双直线边界......................................................................................................................................19
考向3 其它直线边界磁场.........................................................................................................................22
考向4 圆（弧）形边界磁场.....................................................................................................................27
考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题和临界问题 ...........................................................30
知识点一 多解性问题三种常见情形......................................................................................................30
知识点二 临界极值问题三种解题方法..................................................................................................31
考向1 多解性问题......................................................................................................................................32
考向2 临界极值问题之缩放圆法.............................................................................................................37
考向3 临界极值问题之旋转圆法.............................................................................................................40
考向4 临界极值问题之平移圆法.............................................................................................................45
考点五 磁聚焦与磁发散 ..........................................................................................................................50
知识点一 带电粒子的聚焦......................................................................................................................50
知识点二 带电粒子的发散......................................................................................................................51
考向 磁聚焦与磁发散................................................................................................................................51
04 真题溯源·考向感知...........................................................................................................................................55
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
洛伦兹力的特点
及应用
选择题
非选择题
带电粒子在匀强
磁场中的运动
选择题
非选择题
带电粒子在有界
匀强磁场中的运
动
选择题
非选择题
安徽卷T07，4 分
带电粒子在匀强
磁场中运动的多
解问题和临界问
题
选择题
非选择题
磁聚焦与磁发散
选择题
非选择题
考情分析：
带电粒子在有界磁场中的偏转是高考物理的高频考点，主要出现在选择题、计算题中，分析处理难度较
大，通常与电场、重力场等知识点结合考查。考查知识点：带电粒子在磁场中的运动、有界磁场中的运
动，磁聚焦和磁发散。
学习探究类：磁聚焦和磁发散、临界问题、缩放圆、旋转圆。
复习目标：
目
一：
标
掌握
粒子在磁
中运
的半径、周期公式
带电
场
动
。
目
二：
标
掌握
粒子在有界磁
中的分析方法。
带电
场
目标三：通
物理模型建构和运用数学方法解决物理
。
题
过
问
2
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考点一 洛伦兹力的特点及应用
知识点一 洛伦兹力的特点
1.洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度
的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
3
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(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。
知识点二 洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)联系：安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)区别：安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
得分速记
洛伦兹力与静电力的比较
考向 洛伦兹力的特点及应用
例来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将会对地球上的生命
带来危害。但由于地磁场（如图所示）的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，使得很多高能带电
粒子不会到达地面。下列说法中正确的是（ ）
A．地磁场对宇宙射线的阻挡作用与宇宙射线射向地球的纬度及速度方向无关
B．地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、北两极附近最强，赤道附近最弱
4
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C．地磁场对垂直射向地球表面的宇宙射线的阻挡作用在南、北两极附近最弱，赤道附近最强
D．地磁场会使沿地球赤道平面内射来的宇宙射线中的带电粒子向两极偏转
【答案】C
【详解】A．若带电粒子速度方向与地磁场方向平行或几乎平行，则受到的洛伦兹力很小，因而地磁场对
粒子的偏转作用与入射方向（包括纬度、速度方向）密切相关，故A 错误；
BC．南、北极附近地磁场线几乎竖直，垂直射向地面的粒子速度方向与磁场平行，粒子所受洛伦兹力最小，
偏转最弱，阻挡作用也最弱，赤道附近地磁场近似水平，垂直射向地面的粒子速度方向与磁场近似垂直，
粒子受到的洛伦兹力最大，阻挡作用最强，故B 错误，C 正确；
D．根据左手定则可知，地磁场会使沿地球赤道平面内射来的宇宙射线中的带电粒子向垂直地面方向偏转，
故D 错误。
故选C。
【变式训练1】（2025·云南·三模）如图所示，一正方形线框放置在水平桌面，在以线框为底面的空间正方
体中，
、
分别为上下表面的中心，线框通有图示的恒定电流。下列说法正确的是（ ）
A．
处磁感应强度为0
B．
处磁感应强度方向竖直向上
C．
连线上各点磁感应强度相同
D．从
处静止释放一可视为质点的带电小球，将做直线运动
【答案】D
【详解】AB．由题意，可把通电线框看成环形电流，根据安培定则结合环形电流空间磁场的分布特点，
判断知
，O2处磁感应强度不为0，方向均竖直向下，故AB 错误。
C．根据环形电流空间磁场的分布特点，可知O1O2连线上各点磁感应强度方向相同，但由于
连线上各
点距离导线框不同，所以
连线上各点磁感应强度大小不相同，故C 错误。
D．由于O1O2连线上磁场方向竖直向下，与小球运动方向一致，小球不受洛伦兹力，只受重力，故小球将
沿
做匀加速直线运动，故D 正确。
故选D。
【变式训练2·变考法】（2025·河南安阳·一模）（多选）如图所示，光滑水平地面上放置一足够长且上表
面绝缘的小车，将带负电、电荷量
，质量
的滑块放在小车的左端，小车的质量
，滑块与绝缘小车之间的动摩擦因数
，它们所在空间存在磁感应强度
的垂直于纸
5
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面向里的匀强磁场。开始时小车和滑块静止，重力加速度
，下列说法正确的是（ ）
A．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
B．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
C．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
D．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块因摩擦产生的热量为
【答案】AD
【详解】滑块有两种稳态可能，一种是分离，一种是共速。假设分离时滑块和小车恰好共速有
，
可得
当
时，稳态为共速，当
时，稳态为分离。
AB．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块稳态为共速，有
根据能量守恒得
求得
故A 正确，B 错误；
CD．若给小车一个向左的冲量
，则小车与滑块稳态为分离，有
根据动量守恒有
根据能量守恒得
求得
故D 正确，C 错误。
故选AD。
考点二 带电粒子在匀强磁场中的运动
知识点一 垂直射入匀强磁场
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以恒定速率v 在垂直于磁场B 的平面内做匀速圆周运动。运动周期仅与粒子的比荷和磁场的磁感应强度有
关。
知识点二 倾斜射入匀强磁场
(1)解题
：运动的分解
方法
与合成。
(2)运动特点
①分运动：在垂直于磁场B 的平面内做匀速圆周运动，在沿磁场B 的方向做匀速直线运动。
②合运动：粒子沿“螺旋线”周期性前进。
考向1 带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
例1 （2025·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）如图所示为洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。
玻璃泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强
磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。设电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期为
T。若仅增大出射电子的速度，则（ ）
A．R 减小
B．R 增大
C．T 不变
D．T 减小
【答案】BC
【详解】带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，则有
粒子运动的周期为
联立可得
，
若仅增大出射电子的速度，电子运动的周期不变，半径增大。
故选BC。
对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，则轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v 的改变，往往造成轨道半径和运动
周期的改变。
【变式训练1】（2025·山西·二模）（多选）如图所示，空间中有一块足够长的荧光屏，上方有垂直于纸面
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向里，磁感应强度大小为B 的匀强磁场。荧光屏上P 点有一个小孔，通过小孔向荧光屏上方不断发射质量
为m，电荷量为q 的带电粒子，速率为v，均匀分布在PA 和PC 之间，PQ 垂直于荧光屏，PA 与PQ 的夹角
为α，PC 与PQ 的夹角为β，α>β，且α+β=90°，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．若带电粒子带正电，则荧光屏P 点左侧出现一条亮线，亮线长度为
B．若带电粒子带负电，则荧光屏P 点右侧出现一条亮线，亮线长度为
C．若带电粒子正负电性均存在，则荧光屏上出现一条亮线，亮线长度为
D．若带电粒子带正电，则打在荧光屏上距P 点距离大于
的粒子占总粒子数的
【答案】AD
【详解】根据
粒子在磁场中的轨道半径
ABC．入射速度与
的夹角为
时，打在荧光屏上的位置距
点的距离为
由于
所以无论是正电还是负电，沿
方向入射打在屏上的点离
点最近为
，沿
方向入射打在屏上
的点离
点最远为2R，因此若带正电荷，亮线在P 点左侧，长度为
，若带负电荷，亮线在
P 点右侧长度为
。
故A 正确，BC 错误；
D．关于
做
的对称线
，可知入射方向在
和
之间的粒子，打在荧光屏上的位置距
点距离
大于
，可知所占比例为
，故D 正确。
故选AD。
【变式训练2】（2025·河北廊坊·一模）（多选）如图所示，在
坐标系中存在匀强磁场，磁场方向与
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坐标平面垂直。两个带电粒子
在
坐标平面内各自做匀速圆周运动，圆心坐标分别为
，两粒子
与坐标原点
的连线总是相互垂直，且运动过程中不会发生碰撞，不计两个带
电粒子的重力，则带电粒子
的（ ）
A．运动速度大小之比为
B．运动周期之比为
C．比荷之比为
D．运动半径之比为
【答案】BD
【详解】依题意，两粒子
与坐标原点
的连线总是相互垂直，说明两粒子相同时间内转过的圆心角
相同，则周期相同，即运动周期之比为
，做出两粒子位置关系，如图所示
根据相似三角形的关系，可得
由
可知两粒子运动速度大小之比为
由
可知两粒子的比荷之比为
，故AC 错误；BD 正确。
故选BD。
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考向2 带电粒子倾斜射入匀强磁场的“螺旋线”运动
例2（2025·北京丰台·一模）地磁场可以阻挡能量很高的太阳风粒子到达地球表面。地球北极附近的磁场
如图所示，某带电粒子从弱磁场区向强磁场区前进时做螺旋线运动，不计粒子的重力和一切阻力，下列说
法正确的是（ ）
A．该粒子带负电
B．从弱磁场区到强磁场区的过程中粒子的速率逐渐减小
C．粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离不变
D．粒子有可能从强磁场区域返回到弱磁场区域
【答案】D
【详解】A．由左手定则可知，该带电粒子带正电，故A 错误；
B．因洛伦兹力对带电粒子不做功，则从弱磁场区到强磁场区的过程中带电粒子的速率不变，故B 错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力
带电粒子每旋转一周的时间为
可知随着磁场的增强，粒子运动半径逐渐减小，带电粒子每旋转一周的时间变小，带电粒子每旋转一周沿
轴线方向运动的距离为
故带电粒子每旋转一周沿轴线方向运动的距离减小，故C 错误；
D．若粒子的速度方向与磁场方向不垂直，则一段时间后该带电粒子可能会从强磁场区到弱磁场区做螺线
运动，故D 正确。
故选D。
【变式训练1】用如图所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的
电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状，现将这一现象简化成如图所示的情景来讨论：在空间存在
平行于x 轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy 平面内以初速度
沿与x 轴正方向成
角的方向射入磁场的电
子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x 轴，直径为D，螺距为
，则下列说法错误的是（ ）
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A．匀强磁场的方向为沿x 轴正方向
B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D 减小，而螺距
将增大
C．若仅增大电子入射的初速度v₀，则直径D 增大，螺距
也将增大
D．若仅增大
角（
），则直径D 增大，而螺距
将减小
【答案】B
【详解】A．将电子的初速度沿x 轴及y 轴方向分解，沿x 方向速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且
沿y 轴方向速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x
轴正方向，故A 正确不符合题意；
BCD．根据洛伦兹力提供向心力及圆周运动知识又
且
解得
所以
所以若仅增大磁感应强度B，则D、
均减小；若仅增大
，则D、
皆增大；若仅增大α 角(α<90°)，
则D 增大，∆x 将减小，故B 错误符合题意，CD 正确不符合题意；
故选B。
【变式训练2】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，有一内半径为
、长为L 的圆筒形区域，左右端面的
圆心
、O 处各开有一小孔。以O 为坐标原点，取
方向为x 轴正方向建立
坐标系。在筒内
区
域有一匀强磁场，磁感应强度大小为
，方向沿x 轴负方向。一电子枪在O 处向圆筒内多个方向发射电子，
电子初速度方向均在
平面内，且在x 轴负方向的分速度大小相同。已知电子的质量为m、电量为e，
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设电子始终被约束在圆筒区域内运动（包括筒壁），不计电子之间的相互作用及电子的重力。要求所有的
电子都能从
点射出圆筒，则有（ ）
A．电子从筒中射出时动能增加了
B．电子在筒中运动的时间最长时间为
C．电子从O 点射入时沿x 负方向的速度可能为
D．从O 点射入磁场的电子的最大速度
【答案】D
【详解】A．因为洛伦兹力总不做功，则电子的动能不变，故A 错误；
B．电子在筒中沿x 负方向做匀速运动，则
平面内做匀速圆周运动，当电子完成完整的圆周运动的同
时沿x 负向到达
时，满足条件，则需要的最短时间为
，故B 错误；
C．根据
可得电子从O 点射入时沿x 负方向的速度
（
，
，
），故C 错误；
D．由上面计算知，当
时，沿x 轴负方向速度最大，为
当电子在
面的圆周运动的半径最大时，y 方向的速度最大，此时
则电子入射的最大速度为
联立可得
，故D 正确。
故选D。
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
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知识点 各种边界磁场分析及处理方法
常见的磁场边界：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、四分之一坐标平面边界、三角形边界、圆形边
界
2．解题关键——确定轨迹圆心
求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题，首先应画出轨迹圆示意图，找出轨迹圆心。确定轨迹圆心的
3 个依据：
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上；
(2)圆心一定在弦的中垂线上；
(3)圆心与轨迹圆上任一点的距离一定等于轨迹半径。
3．轨迹半径的计算
方法一(由动力学关系求)：由于qvB＝，所以轨迹半径r＝；
方法二(由几何关系求)：作辅助线构造出与轨迹半径相关的三角形(通常是直角三角形)，根据勾股定理、三
角函数求解，或根据正弦定理、余弦定理求解。
4．运动时间的计算
方法一(由运动圆弧所对的圆心角α、圆周运动的周期T 求)：t＝·T；
方法二(由运动的弧长s、线速度v 求)：t＝。
得分速记
四个点：入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度所在直线与出射速度所在直线的交点。
六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度所在直线和出射速度所在直线，入射点与出射点的连线，
圆心与两条速度所在直线交点的连线。
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三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角(如图所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹所对圆心角(α)，并等于
AB 弦与圆切线的夹角(弦切角θ)的2 倍，即φ＝α＝2θ＝ωt。
考向1 单直线边界磁场
例1 （2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，在
直角坐标系的
轴的上方空间中存在垂直纸面向里的
匀强磁场，在O 点有一粒子源沿纸面向磁场中各个方向发射大量相同带负电粒子，若所有带电粒子都能从
点离开磁场，不计带电粒子重力及粒子间的相互作用力，则带电粒子在
点发射时的
图像可能正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】AD．若
，带电粒子会沿x 轴做匀速直线运动，故AD 错误；
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BC．若
，则有
则
若粒子速度为v，与y 轴方向夹角为
，则有
解得
则
，即若所有带电粒子都能从
点离开磁场，则所有粒子的速度沿y 轴方向的分速度
都相同，故B 正确，C 错误。
故选B。
带电粒子在单直线边界匀强磁场区域运动的特点
等角进出：粒子进、出磁场时，速度与边界的夹角相等，即入射点的弦切角等于出射点的弦切角，如图所
示。
【变式训练1·变载体】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，在xOy 平面第一象限内存在垂直于纸面向外的
匀强磁场，左边界过原点与y 轴夹角
。现分别将M、N 两带正电粒子从
和
处沿与y 轴负
方向成
角射出，粒子M、N 恰好能在O 点相遇。已知粒子M、N 的电荷量均为+q，质量分别为m 和
2m，粒子M 射出时的速度大小为
，不计两粒子的重力及粒子间的相互作用。求：
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(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)释放M、N 的时间差。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
，轨迹如图所示
根据几何关系有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
（2）设粒子
射出的速度为
，在磁场中做匀速圆周运动的半径为
，则
恩家牛顿第二定律有
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解得
在
轴与磁场区边界之间的无磁场区，设
、
两粒子做匀速直线运动的时间分别为
、
，有
，
设在匀强磁场中M、N 两粒子做匀速圆周运动的时间分别为
、
，两个粒子做圆周运动的圆心角均为
，所以有
其中
解得
同理有
故释放M、N 粒子的时间差值为
解得
【变式训练2】（2025·安徽合肥·模拟预测）磁谱仪的基本工作原理是利用磁场使带电粒子发生偏转。
平面（纸面）的第一象限内有边界足够长且平行
轴的区域Ⅰ和Ⅱ，在
的区域Ⅰ存在
的匀
强磁场，在
区域Ⅱ存在磁感应强度大小为
的磁场，方向均垂直纸面向里，如图所示。一个氕
核
和一个氘核
先后从（0，0）处以相同的初动能沿纸面进入磁场区域Ⅰ，速度方向均与
轴夹角为
。已知氕核
恰好不进入区域Ⅱ，氕核
的质量为
、电荷量为
。不计粒子的重力及粒子间的相互
作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)求氕核
的动能
；
(2)若
，求氘核
在区域Ⅱ中运动时离
轴的最远距离
；
(3)若
（
），现仅改变氘核
的入射速度大小（动能与氕核
可不相同），求使氘核
经过
的边界线的最小入射速度。
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【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）假设氕核
初速度大小为
，氕核
恰好不进入区域II，根据动量定理，有
其中
解得在y 轴上的动量变化为
=
动能为
（2）由于氕核
和氘核
初动能相同，根据
可得氘核
的初动量为氕核
的
倍，当氘核
在区域II 中运动时离y 轴的最远时，速度与y 轴平行，
根据动量定理，有2m
=
=
+2
解得
=
因此运动时离
轴的最远距离x=d+
=
（3）根据动量定理，有2m
=
=
+
结合如下图像
可得
=S=4
根据动量定理，有2m
=
=
+
=5
解得v=
考向2 双直线边界
例2（2025·北京朝阳·二模）在如图所示的狭长区域内存在有界的匀强磁场，磁场方向竖直向下。一段轻
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质软导线的P 端固定，M 端可以自由移动。当导线中通过电流强度I 时，在M 端施加沿导线的水平恒力
F，软导线静止并形成一段圆弧。现撤去软导线，通过点P 沿着原来导线方向射入一束质量为m、电荷量
为q 的粒子，发现粒子在磁场中的轨迹半径与导线形成的圆弧半径相同。磁场的磁感应强度大小为B，不
计粒子的重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，需减小水平恒力F
C．粒子的动量大小为
D．粒子的轨道半径为
【答案】C
【详解】A．根据左手定则，粒子带负电，A 错误；
B．设PM 弦长为L，弦切角为α，则圆心角为2α，圆弧导线受到的安培力等效直导线受到的安培力，
，
，解得
恒力F 与导线长度无关，若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，水平恒力F 不变，B 错误；
C．根据牛顿第二定律得
，解得粒子的动量大小为
，C 正确；
D．根据
，解得粒子的轨道半径为
，D 错误。
故选C。
【变式训练1·变考法】（24-25 高三下·安徽·开学考试）如图所示，平行边界
间有垂直纸面向里
的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为
，两边界足够长，间距为
。一不计重力、质量为
、电荷量绝
对值为
的粒子以速度从边界
上的
点与边界
成
角斜向上入射，粒子恰好不从右边界
出射，
在磁场中运动时间为
。若其他条件不变，将磁场方向改为垂直纸面向外且磁感应强度大小改为
，该粒
子也恰好不从右边界
出射，在磁场中运动时间为
。下列说法正确的是（ ）
19
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A．若粒子带正电，两磁场磁感应强度大小之比
B．若粒子带负电，两磁场磁感应强度大小之比
C．若粒子带正电，粒子在两磁场中运动时间之比
D．若粒子带负电，粒子在两磁场中运动时间之比
【答案】B
【详解】若粒子带正电时，匀强磁场垂直纸面向里，当粒子的运动轨迹恰好与边界PQ 相切时，其运动轨
迹如图所示
设粒子运动轨迹的半径为
，则有
由几何关系有
解得
正粒子运动圆弧对应的圆心角为
，正粒子磁场中运动时间
若粒子带正电时，匀强磁场垂直纸面向外，当粒子的运动轨迹恰好与边界PQ 相切时，其运动轨迹如图所
示
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设粒子运动轨迹的半径为
，则有
由几何关系有
解得
正粒子运动圆弧对应的圆心角为
，正粒子磁场中运动时间
若粒子带正电，两磁场磁感应强度大小之比
带正电粒子在两磁场中运动时间之比
若粒子带负电，同理可以求得
带负电粒子在两磁场中运动时间之比
故选B。
【变式训练2】（2025·辽宁鞍山·一模）（多选）如图，矩形区域MNPQ 内有垂直于纸面向外的匀强磁场，
区域的长宽分别为2L 和L。速度大小为
的带电粒子从P 点处沿PQ 方向射入矩形区域，经过时间t 从MN
的中点离开磁场。下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．仅将粒子的速度变为
，粒子将从M 点离开矩形区域
C．仅将粒子的速度变为
，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为
D．仅将粒子的速度变为
，粒子在矩形区域磁场中的运动时间为
【答案】AD
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【详解】A．根据题意可知，粒子进入磁场后受竖直向下的洛伦兹力，由左手定则可知，粒子带正电，故
A 正确；
BCD．根据题意，设粒子以
进入磁场时轨迹半径为，由几何关系有
解得
即经过时间t 粒子从MN 的中点垂直离开磁场，此时轨迹的圆心角为
，则有
仅将粒子的速度变为
，由洛伦兹力提供向心力有
可得，此时轨迹半径为
设粒子从
点离开磁场，到
点的距离为
，由几何关系有
解得
即粒子不是从M 点离开矩形区域，设此时轨迹的圆心角为
，则有
解得
则粒子在矩形区域磁场中的运动时间为
，故BC 错误，D 正确。
故选AD。
考向3 其它直线边界磁场
例3（2025·河北沧州·二模）（多选）如图所示，在实线ACODE 以上的区域存在垂直纸面向里的匀强磁
场（图中未画出），磁感应强度大小为B，AC=OC=OD=DE=L。磁场边界A 点有一粒子源，能射出质量为
m、电荷量为
的带电粒子，粒子以不同的速率垂直AC 向上进入磁场，则粒子从COD 边界射出磁场时，
在磁场中运动的时间可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】AC．带电粒子在磁场中的运动临界如图所示
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若粒子从C 点或D 点射出，运动时间为
且粒子不可能做完整圆周运动，故A 错误，C 正确；
B．M 点为运动轨迹与边界OD 的切点，N 为AM 与OC 的交点，若粒子恰好从M 点射出，由于圆心必然在
AB 水平线上，轨迹与OD 相切，即过圆心做OD 的垂线与水平方向所成角，和过水平线上C 点做OD 垂线
与水平方向所成角相同，又由几何关系可知
为等边三角形，所以过水平线上C 点做OD 垂线与水平
方向所成角为30°，因此运动轨迹对应的圆心角为210°，运动时间为
故B 正确；
D．若粒子从O 点射出，则运动时间为
但粒子到达O 点之前已从D 点射出，故D 错误。
故选BC。
【变式训练1·变考法】（2025·云南·模拟预测）（多选）如图，ABCDE 虚线区域存在垂直纸面的匀强磁场，
磁感应强度大小为B，DE 是半径为R 的四分之一圆弧，圆心为O，其中A、E、O 在同一条直线上，位于
F 点的粒子源垂直AE 射出各种速度大小不等的带电粒子，粒子在磁场的作用下向右偏转。已知粒子质量
均为m、电荷量均为q，F 点到E 点的距离为
，则从弧DE 射出的粒子，运动的可能时间为（
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】BC
【详解】设粒子从弧DE 射出时射出点与F 点的连线与OF 的夹角为
，粒子在磁场中匀速圆周运动的圆心
角为
，如图所示
由图可知，
越大
越小，当射出点与F 点的连线与弧DE 相切时，
最大，此时
最小，设此时的射出
点为G，有
即
所以
的最小值为
，另当
为零时
最大，最大值为
，所以从弧DE 上射出的粒子在磁场匀速圆周
运动的时间范围为
即
又
得
所以
故选BC。
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【变式训练2】如图，在xOy 平面的y 轴右侧三角形区域ABP 内存在方向垂直纸面向外、大小未知的匀强
磁场Ⅰ。在y 轴左侧一边长为d 的正方形区域ABCD 内有匀强磁场Ⅱ，方向垂直纸面向里、磁感应强度大
小为
。其中P 点在x 轴上，AB 在y 轴上且原点O 为AB 的中点。有一质量为m、电荷量为q 的带正电粒
子（不计重力）从P 点以一定初速度
（大小未知）向左射入磁场Ⅰ，再从y 轴进入磁场Ⅱ，进入时与y
轴正方向的夹角为45°，之后恰好没有从上、下边界飞出磁场Ⅱ，且最后恰好能回到P 点。求：
(1)粒子初速度
的大小；
(2)磁场Ⅰ的磁感应强度
的大小；
(3)该粒子从P 点进入磁场到第一次回到P 点的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为粒子从y 轴进入磁场Ⅱ，进入时与y 轴正方向的夹角为45°，之后恰好没有从上、下边
界飞出磁场Ⅱ，说明粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动时，粒子的运动轨迹与上下边界相切，粒子的运动轨
迹如图所示：
已知匀强磁场Ⅱ为边长为d 的正方形区域，故粒子圆周运动轨迹的竖直方向直径等于磁场Ⅱ的上下边界间
距
，所以粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的半径为
。在磁场Ⅱ中由洛伦兹力提供向心力列向心力
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方程有
解得粒子初速度
的大小为
（2）粒子从P 点以初速度
向左射入磁场Ⅰ，再从y 轴进入磁场Ⅱ，进入时与y 轴正方向的夹角为45°，
设粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的半径为
，所以在上图中根据几何关系有
解得
在磁场Ⅰ中由洛伦兹力提供向心力列向心力方程有
解得磁场Ⅰ的磁感应强度为
（3）设粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动的周期为
，根据周期与速度的关系式有
由上图可以看出粒子从P 点向左射入磁场Ⅰ，再从y 轴进入磁场Ⅱ的过程中，转过的圆心角为
，所以
运动的时间为
同理粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的周期为
粒子在磁场Ⅱ中匀速圆周运动时转过的圆心角为
，所以在磁场Ⅱ中运动的时间为
根据对称性可知粒子从飞出磁场Ⅱ到最后恰好回到P 点的过程中的时间也为
，所以该粒子从P 点进入磁
场到第一次回到P 点的时间为
考向4 圆（弧）形边界磁场
例4 如图所示，一垂直于纸面向外的环形匀强磁场的磁感应强度大小为B，环形区域内、外半径分别为
R、2R，圆心为O，AD 为外圆的直径。一不计重力、比荷为k 的带正电粒子从环形磁场区域外缘的C 点沿
平行于半径AO 方向以大小为v 的速度射入磁场，已知OC 连线和OA 方向的夹角为30°，若要使粒子能进
入环形内环无磁场区域，则速度v 的最小值为（ ）
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A．kBR
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】带正电粒子在垂直于纸面向外的环形匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即
可得
已知粒子的比荷
化简得
要使粒子能进入环形内环无磁场区域，粒子运动轨迹与内环相切时，半径最小，此时速度最小，由左手定
则可知，粒子所受洛伦兹力向下，运动轨迹圆心在
点正下方
点，设粒子运动轨迹的半径为，则有
由于OC 连线和OA 方向的夹角为30°，且环形区域内、外半径分别为R、2R，则由几何关系有
联立解得
代入数据得
故选B。
带电粒子在圆形边界匀强磁场区域运动的特点
(1)径向
出
进
若粒子沿着
界
的某一半径方向
入磁
边
圆
进
场，
粒子离开磁
速度的反向延
一定
磁
区域的
心
则
场时
长线
过
场
圆
(即沿着另一半径方向射出)。
明：如
甲
证
图
，因为OA＝OB，O1A＝O1B，所以△O1OA≌△O1OB，所以∠OBO1＝90°，vB沿OB 方向。
(2)等角
出
进
若粒子射入磁
速度方向与入射点
半径
角
场时
对应
夹
为θ，
粒子射出磁
速度方向与出射点
半径
则
场时
对应
夹
角也为θ。
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【变式训练1·变考法】（2025·安徽安庆·模拟预测）（多选）如图，真空中圆形区域内有垂直圆面、磁感
应强度为B 的匀强磁场，在圆形区域正上方水平放置粒子收集板，板长等于圆形区域的半径，关于圆心O
对称放置，圆周上与圆心等高的P 点有一粒子源，可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小
相等、质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子
间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．圆形区域内的磁场方向垂直圆面向外
B．若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直
C．能够打在收集板上的粒子数占总数的
D．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】CD
【详解】A．由左手定则可判断圆内的磁场方向垂直纸面向里，故A 错误；
B．由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r 与圆形磁场的半径R 相等，则有
解得
若粒子速度增大，不符合磁发散条件，打在收集板上的粒子速度方向与收集板不垂直，故B 错误；
C．从磁场射出的刚好打在收集板左端的粒子，其运动轨迹如图所示，由几何关系可得
，
，同理可知刚好打在收集板右端的粒子，其入射速度方向与PO 的夹角也为
，则能够打
在收集板上的粒子数占总数的比例为
，故C 正确；
D．粒子在磁场中运动时
解得
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打在右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有
，故D 正确。
故选CD。
【变式训练2】（多选） 如图甲所示，圆心在x 轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O 点沿x 轴
正向发射一颗比荷为k 的带正电粒子，粒子运动过程x、y 方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，
粒子所受重为不计，则（ ）
A．磁场方向垂直纸面向里
B．粒子在穿过磁场过程速度方向改变了30°
C．磁感强度大小为
D．圆形区域半径是
【答案】AC
【详解】A．图像可知正电粒子进入磁场后y 轴正方向的速度分量增大，可知进入磁场时正电粒子受到的
洛伦兹力向上，左手定则可知粒子垂直于纸面向里，故A 正确；
B．图像可知出磁场时，x、y 方向的速度分量分别为
设此时速度方向与x 轴夹角为
，如图
则有
可知
故此时粒子在穿过磁场过程速度方向改变了
故B 错误；
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C．设粒子的轨迹圆半径为r，则有
解得
根据
联立解得
故C 正确；
D．几何关系可知
联立解得
故D 错误。
故选AC。
考点四 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题和临界问题
知识点一 多解性问题三种常见情形
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中
运动轨迹不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁感应强度大小或方向不确定形成多解
如图乙，带正电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如B 垂直纸面向里，其轨迹为a，如B 垂直纸面向外，
其轨迹为b。
3．带电粒子射入磁场时的速度大小或方向不确定形成多解
有些题目只指明了带电粒子的电性，但未具体指出粒子射入磁场时速度的大小或方向，此时必须要考虑由
于速度的不确定而形成的多解。
如图丙所示，带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界匀强磁场时，由于粒子速度大小不确定，因此，它飞出
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磁场的情况不唯一，可能穿过下边界，也可能转过180°反向飞出，于是形成多解。
4．带电粒子运动的周期性或往复性形成多解
带电粒子在磁场中运动时，若因为磁场周期性变化、粒子与挡板反复碰撞或与电场组合等原因而导致运动
具有周期性或往复性，则通常会形成多解。如图丁所示，粒子进入磁场的位置、时间不唯一。
知识点二 临界极值问题三种解题方法
(1)缩放圆法
适用条件
入射点相同，速
度方向一定、大
小不同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随
速度的增大而增大，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共线
运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
临界轨迹界定方法
缩放轨迹圆
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半
径缩放作轨迹圆，从而探索粒子的临界条件
(2)旋转圆法
适用条件
入射点相同，速
度大小一定、方
向不同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相
同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径
为r＝，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
以入射点O 为圆心、半径r＝的圆上
临界轨迹界定方法
旋转轨迹圆
将半径为r＝的轨迹圆以入射点为定点进行
旋转，从而探索粒子的临界条件
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(3)平移圆法
适用条件
入射点在同一
直线上，且速
度大小、方向
均相同
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r
＝，如图所示
轨迹圆圆心特点
轨迹圆圆心共
线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心
在与入射点所在直线平行的同一直线上
临界轨迹界定方法
平移轨迹圆
将半径为r＝的圆沿入射点所在直线进行
平移，从而探索粒子的临界条件
考向1 多解性问题
例1 （2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选）如图甲所示，
、
为竖直放置彼此平行两块足够长的
平板，板间距离为
，两板中央各有一个小孔
、
且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应
强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在
时垂直于
板从小孔
射入磁场，已知正离子质量为
，带电荷量为
，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与
磁感应强度变化的周期都为
，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计
离子所受重力，下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度
大小等于
B．当入射速度大小为
时，粒子能从
飞出磁场
C．当入射速度大小为
时，粒子能从
飞出磁场
D．若正离子能从
孔垂直于
板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为
时所用时间最短
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【答案】CD
【详解】A．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力
做匀速圆周运动的周期
联立两式得磁感应强度
选项A 错误；
BCD．要使正离子从N 板O′孔射出磁场，v0的方向应如图所示
结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以
tmin=T0
此时离子做匀速圆周运动的半径为
；
两板之间正离子运动n 个周期，即nT0，则
联立上式可得，正离子的速度
当n=1 时
当n=2 时
选项B 错误，CD 正确。
故选CD。
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
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(1)分析
目特点
题
，确定
目多解性形成的原因。
题
(2)作出粒子运
迹示意
动轨
图(全面考
多种可能性
虑
)。
(3)若
周期性的多解
为
问题，
找通
式；若是出
几种周期性解的可能性
寻
项
现
，注意每种解出
的条件。
现
【变式训练1·变载体】 （2025·山西临汾·二模）（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy 平面（纸面）向
外，磁场的右边界与x 轴垂直，交x 轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内
的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q 的粒子从原点O 以速度v 进入第
Ⅰ象限的磁场，方向与x 轴成30°角，粒子从P 点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强
度B₁ 的大小可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】根据洛伦兹力提供向心力
可得
则在第Ⅰ象限内运动的半径为
在第Ⅳ象限内运动的半径为
设粒子最后从P 点离开时在第Ⅰ象限运动n 次，在第Ⅳ象限
次，根据几何关系有
解得
，
A，当
时，n 不为整数，故A 错误；
B，当
时，n=0，不符合取值范围，故B 错误；
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C，当
时，
，故C 正确；
D，当
时，
，故D 正确。
故选CD。
【变式训练2】（2025·安徽安庆·模拟预测）（多选）如图所示，边长为L 的正三角形ACD 区域内有垂直
于三角形平面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，在AC 边上的O 点有一粒子源，沿平行CD
方向向磁场内连续射入各种速率、质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，O 点到A 点距离为
，不计粒
子的重力，则下列判断正确的是（ ）
A．粒子不可能通过D 点
B．粒子速度为
时，粒子从CD 边射出磁场
C．CD 边有粒子射出磁场部分的长度为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】ACD
【详解】A．假设粒子不能通过D 点，则一定有粒子的轨迹与AD 边（除D 点）相切，设该粒子做圆周运
动的半径为
，则切点到A 点距离
，
圆心在CD 边上，假设成立，因此粒子不可能通过D 点，A 项正确；
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B．该粒子经过CD 边时，速度与CD 垂直，粒子的速度大小
因此粒子速度为
时，粒子从AD 边射出磁场，B 项错误；
C．CD 边有粒子射出磁场部分的长度等于
，即为
，C 项正确；
D．粒子从AC 边射出时在磁场中运动的时间最长，最长时间为
，D 项正确。
故选ACD。
考向2 临界极值问题之缩放圆法
例2（2025·四川成都·二模）（多选）如图所示，等腰直角三角形
内有一垂直纸面向里的匀强磁场（
边界无磁场），
边长为
，磁场磁感应强度大小为B。ab 边中点的粒子源
垂直
以不同速率向磁
场内发射带负电的粒子，粒子质量为
，电荷量为
，不计粒子重力及粒子间相互作用。下列说法正确的
是（ ）
A．粒子可能从
点飞出磁场
B．粒子可能从点飞出磁场
C．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从
边界飞出的粒子在磁场中运动的最小速度为
【答案】AC
【详解】粒子可能的轨迹如图所示
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A．如图所示，若粒子沿轨迹1 运动，由几何关系可知，此时的半径为
故A 正确；
B．与
边相切的粒子，轨迹如2，由几何关系可知，半径为
由几何关系可知，切点到
的距离也为
所以切点在点上侧，故粒子不可能过点，故B 错误；
CD．当粒子与
边相切出磁场时，粒子的速度最小，运动时间最长，轨迹如2，由几何关系可知，此时的
圆心角为
根据牛顿第二定律可知
解得
周期为
运动的时间为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
【变式训练1·变考法】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的
方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量
为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度
最小为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
子在磁
中做匀速
周运
电
场
动
圆
，由洛
力提供向心力
伦兹
，有evB＝m，
磁感
度与
周运
则
应强
圆
动
迹半径的关系式
：
轨
为B＝，即运
迹半径越大
动轨
，磁
的磁感
度越小。
子从
心沿半径方向
入磁
场
电
应强
圆
进
场，当其恰好不离开
中
成的区域
图
实线圆围
时，运
迹与
相切
动轨
实线圆
，此
子运
迹半径有最大
时电
动轨
值
rmax，如
所示
图
，其中A 点
子做
周运
的
心。由几何关系可得：
为电
圆
动
圆
(3a－rmax)2＝r＋a2，解得rmax＝a，则
磁
的磁感
度最小
场
应强
为Bmin＝＝，故C 正确。
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【变式训练2】如图所示，仅在x>0、y>0 的空间中存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小
为B。在x 轴上有一粒子源P，到坐标原点的距离为L，可垂直于磁场沿着与x 轴成30°角的方向发射速率
不同的相同粒子，粒子质量为m、电荷量为＋q。不计重力的影响，则下列有关说法中正确的是( )
A．粒子从x 轴上射出的位置坐标可能是
B．粒子从x 轴上射出的位置坐标可能是
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
答案 AC
解析 画出粒子从x
上射出的
界
迹如
所示
轴
临
轨
图
，此
迹
与
时轨
圆
y
相切
轴
，由几何关系可知α＝30°，设
界
迹半径
临
轨
为R，
有
则
R＋Rsinα＝L，解得R＝，
此
粒子从
则
时
x
上
轴
x＝L－2Rsinα＝位置射出，故粒子
从x
上射出的位置坐
足：
轴
标满
<x<L，A 正确，B
；由洛
力提供向心力
错误
伦兹
，有qvB＝m，又T＝，联立
解得粒子在磁
中做
周运
的周期
场
动
圆
为T＝，由几何关系可知，粒子从x
上射出
轴
时，在磁
中运
迹所
场
动轨
的
心角最大
对应
圆
，为θ＝300°，因此粒子在磁
中运
的最
场
动
长时间为tmax＝·T＝×＝，C 正确，D
。
错误
考向3 临界极值问题之旋转圆法
例3（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在坐标系Oxy 内，圆心在O 点、半径为R 的四分之一圆形区域内
无电场也无磁场，其左、右边界与x 轴的夹角分别为30°和60°。放置在O 点的粒子源，可沿四分之一圆形
区域的半径方向发出质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子，粒子初速度大小为
。所有粒子从圆弧
MN 进入垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。经过该磁场（磁场区域范围未知）偏转后，
所有粒子最终都平行于x 轴飞出磁场，并垂直打在右侧的粒子接收板PQ 上。粒子重力不计，求：
38
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(1)粒子在匀强磁场中运动时间的最小值；
(2)粒子打在接收板上的长度；
(3)y 轴右侧最小磁场区域对应的所有边界方程。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动由牛顿第二定律得
解得
经分析从
点进入磁场的粒子在磁场中运动时间最短，对应的速度偏转角
，则时间为
又
联立解得
（2）从
点进入磁场的粒子圆心在
，根据几何关系可得
由于该粒子平行于
轴向右射出磁场，则出射点
在
点正上方
处，最终打在粒子接收板的
处，根
据几何关系可得
从
点进入磁场的粒子圆心在
，由于该粒子也平行于
轴向右射出磁场，则出射点
在
点正上方
处，最终打在粒子接收板的
处，根据几何关系可得
所以粒子打在接收板上的长度
（3）其他进入磁场中的所有粒子轨迹圆圆心的轨迹为以
为圆心、半径为
的四分之一圆，如图中圆弧
所示，若想粒子最终都平行于
轴飞出磁场，则出射点都在轨迹圆圆心正上方
处，把轨迹圆圆心
轨迹向上平移
就得到了磁场的右边界，即圆心在
的圆弧
，该圆弧与从
点射出的粒子轨迹圆弧
和圆弧
及
轴所围区域即为右侧磁场的最小区域，如图所示
39
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根据几何关系知，圆心
的坐标为
，右边界圆弧
的半径为
，则其边界方程为
其中
轨迹圆弧
的圆心
的坐标为
半径为
，对应的轨迹方程为
其中
，
，
圆弧
的方程为
其中
【变式训练1·变考法】（2025·重庆·三模）（多选）如题图所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外，磁感应
强度大小为B 的匀强磁场。位于坐标原点
的离子源从
时刻开始、沿xOy 平面持续发射速度大小范围
为
、质量为
、电荷量为+q 的粒子，离子源发出的各种速度的粒子向各个方向都均匀分布。
不计离子重力及离子间相互作用，且忽略相对论效应。则（ ）
A．速度为
的离子，在磁场中匀速圆周运动的半径为L
B．速度为
的离子，在x 轴上能够被探测到的区间为
C．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
D．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
40
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【答案】AD
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力得
得
将
代入得
故A 正确；
B．根据左手定则可知，射入磁场中的离子将沿顺时针方向做匀速圆周运动，当
时
沿各个方向射入磁场的离子的运动轨迹如图所示
由图可知，在x 轴上能够被探测到的区间为
故B 错误；
CD．离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
所以
在
时间段内，0 时刻射入磁场的离子在磁场中转过的圆心角均为
，磁场中可探测到离子最远点
落在一段圆弧上，该圆弧以O 为圆心、以
为半径、对应的圆心角为
，如图所示
可探测到离子区域的最大面积为
41
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故C 错误，D 正确。
故选AD。
【变式训练2】（2025·河北·三模）（多选）如图所示，在直角坐标系
的第一象限内存在着一个半径为
、磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，
为圆心，该磁场区域分别与
轴、
轴相切于
点、点。在点处有一粒子源，可以向第一象限内的各个方向射入速度大小相等、质量均为
、电荷量均为
的粒子，不计粒子所受重力及粒子间的相互作用，粒子在磁场中只受洛伦兹力
作用。已知沿
轴正方向射入的粒子，在
轴的
点射出。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速度大小为
B．与
轴正方向成
角射入圆形匀强磁场区域的粒子，最后经过
轴上的横坐标为
C．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则粒子在圆形匀强磁场区域中运动的最长时间
为
D．若将粒子的速度大小设为
，其他条件不变，则圆形匀强磁场区域边界上能够被粒子打到的弧
长为
【答案】AC
【详解】A．设粒子的轨迹半径为
，已知粒子从点沿
轴正方向射入，在
轴的
点射出。根据几何关
系可知
粒子在圆形匀强磁场区域中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
可得粒子的速度大小为
故A 正确；
B．如图所示。
为粒子轨迹的圆心
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由几何关系可以得出射出点的横坐标为
故B 错误；
C．若
，设粒子的轨迹半径为
，由洛伦兹力提供向心力
可得
粒子在圆形匀强磁场区域中运动时间最长时，圆形匀强磁场区域的直径是粒子轨迹的一条弦，粒子轨迹如
图所示，
为粒子轨迹的圆心。
由几何关系可知
解得
则粒子的射入速度方向与
轴正方向的夹角为
粒子运动的周期为
粒子在磁场中运动的最长时间为
故C 正确；
D．设粒子轨道的轨迹半径为
，若
，则
粒子打到圆形匀强磁场区域边界的最远位置距离点为
粒子的轨迹如图所示。
43
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由几何关系可知，最大距离
所对应的圆形匀强磁场区域的圆心角为
，圆形匀强磁场边界上能够被粒
子打到的弧长为
，故D 错误。
故选AC。
考向4 临界极值问题之平移圆法
例4（2025·湖南邵阳·二模）某种离子诊断测量简化装置如图所示，竖直平面内存在边界为矩形MNPQ、
方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的水平匀强磁场，探测板
平行于
竖直放置，能沿水平方向
左右缓慢移动且接地。a、b、c 为三束宽度不计、间距均为
的离子束，离子均以相同速度持续从边界
竖直向上射入磁场，
束中的离子在磁场中沿半径为
的四分之一圆弧运动后从右边界
水平射出，
并打在探测板的上边缘
点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为
，探测板
的长度为
，离子质
量均为
、电荷量均为
，不计重力及离子间的相互作用，
。
(1)求离子速度的大小；
(2)a、c 两束中同时进入磁场的两个离子，求它们打在探测板上的时间差
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的水平分量
与板到
距离
的
关系。
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
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【详解】（1）离子在磁场中做圆周运动，由牛顿运动定律得
解得离子的速度大小
（2）离子在磁场的运动的周期为
，
作出粒子的运动轨迹如图
由几何关系可知
束中的离子从同一点
射出，离开磁场的速度分别与水平方向的夹角为
，则
束中的离子在磁场中运动的圆心角分别为
则两离子的在磁场中运动时间的差值为
得
由于两离子出磁场的速度与磁场边界所成的夹角相同，则两离子从磁场到EF 板的时间相同，即离子运动
的时间差
（3）同时探测到三束离子，满足：
解得
同时探测到两束离子同理有：
对离子束由动量定理有：
而
或束中每个离子动量的水平分量：
离子束对探测板的平均作用力为：当
时，
45
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当
时，
当
时，
【变式训练1·变考法】（2025·山西吕梁·三模）如图所示，
和
是竖直圆
的两条相互垂直的直径，
水平，
为过点
且平行
的直线，圆
内部充满磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强
磁场（图中未画出）。现有一束宽度和
相等、电荷量为
、质量为
的带正电粒子以相同速率平行直
径
射入圆
，粒子均通过
点进入直线
下方。已知圆
的半径为
，不计重力及粒子间的相互作
用。
(1)求粒子的速率；
(2)若直线
下方充满磁感应强度大小为
、方向垂直纸面向外的匀强磁场，分别射向
和
中点的
两粒子进入直线
下方后又均从
点射出
下方磁场，求
点到
点的距离
；
(3)若直线
下方、
延长线的右侧存在一个垂直纸面向里的矩形匀强磁场，直线
和
延长线分别
为其两个边界，该磁场竖直方向边长为
，水平方向边长为
。已知粒子在该磁场中做圆周运动的半径介
于
到
之间，在该磁场中运动时间最长的粒子的运动时间恰好为粒子在该磁场中做圆周运动周期的
，
求矩形磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，以相同速率平行直径
射入圆
，粒子均通过
点进入直线
下方，由
磁聚焦可知，粒子在磁场中做圆周运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
46
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（2）结合上述分析可知，粒子进入
下方后做圆周运动的半径为
由几何关系可得，两粒子从
点射出圆形磁场时速度方向与
延长线的夹角相等，设为
，则
由几何关系可得
联立解得
（3）设矩形磁场磁感应强度大小为
，粒子做圆周运动的轨道半径为
，根据洛伦兹力提供向心力，得
解得
当
时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为
的圆弧，圆弧与矩形磁场的边界相
切，如图所示
设该粒子在矩形磁场中运动的时间为，依题意
回旋角度为
，设该粒子进入矩形磁场时的速度方向与竖直方向间的夹角为
，由几何关系得
，
，
解得
，
（舍）
联立解得
【变式训练2】（2025·湖南长沙·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系
中有如图所示的有界匀强磁场
区域，磁场上边界是以
点为圆心、半径为
的一段圆弧，圆弧与
轴交于
、
两点，磁场下边界是以坐标原点
为圆心，半径为
的一段圆弧。如图，在虚线区域内
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有一束均匀分布带负电的粒子沿
轴负方向以速度
射入该磁场区域。已知磁场方向垂直纸
面向外，磁感应强度大小为
，带电粒子质量为
，电荷量大小为
，不计粒子重力，
，
。下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中的运动半径为
B．正对
点入射的粒子离开磁场后不一定会过
点
C．粒子在磁场区域运动的最长时间为
D．粒子经过
点进入第四象限的比例为
【答案】ACD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子在磁场中的轨道半径为
，故A 正确；
B．正对
的粒子，圆心恰好在
轴上，进入磁场后做匀速圆周运动，如图所示
根据勾股定理可知，进入无磁场区域后，速度方向恰好指向
点，即正对
点入射的粒子离开磁场后一定
会过
点，B 错误；
C．根据题意知，所有粒子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，圆心均在入射点的正下方，半径
均为
，所有圆心所在的轨迹相当于将磁场边界向下平移
形状，
平移到
点位置，即所有粒子进入
磁场后做圆周运动的圆心到
点距离均为
，如图所示
48
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利用勾股定理可知，进入无磁场区域后，所有粒子速度方向都指向
点，因此所有粒子都过
点。由上述
分析可知，从最上方进入的粒子，在磁场中偏转角度最大，运动的时间最长，如下图所示。
由几何关系可知，该粒子在磁场中旋转了
，因此运动的时间为
，故C 正确；
D．如图所示
从
水平向左的粒子离开磁场粒子方向沿
轴负方向，故
射入的粒子过
点后射入第四象
限，
射入的粒子过
点后射入第三象限。故进入第四象限的比例为
，故D 正确。
故选ACD。
考点五 磁聚焦与磁发散
知识点一 带电粒子的聚焦
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，水平平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与
磁场圆半径相等(r＝R)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出。(聚焦)
证明：四边形OAO′B 为菱形，对边平行，OB 必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A 点入射的带电粒子必然
经过B 点。
知识点二 带电粒子的发散
如图乙所示，圆形磁场区域的磁感应强度为B，圆心为O，从最高点P 点有大量质量为m、电荷量为q 的
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正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与磁场
圆半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，O1A、O2B、O3C 均平行
于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
考向 磁聚焦与磁发散
例 （2025·甘肃白银·一模）（多选）如图所示，平面内有一个半径为R 的圆形区域，右侧存在一个截面
为矩形的区域abcd，两个区域的切点O 为ad 边的中点，ab=R，bc=2R，bc 和cd 边上分别有两个接收屏
（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方
向平行），磁感应强度
，现有一簇粒子（质量为m，电荷量为+q）以速度v0，方向竖直向上垂直
磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边
界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（ ）
A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为
B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为2R
C．矩形区域内粒子所经过的面积为
D．打到cd 屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为
【答案】ACD
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【详解】AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
，
，解得
，
沿着半径射入的粒子一定沿半径射出，根据几何关系可知，粒子在圆形磁场中的轨迹为四分之一圆弧，则
运动时间为
解得
，A 正确，B 错误；
C．结合上述可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径等于圆形磁场区域的半径，则粒子入射点、出射
点、磁场圆形区域的圆心与轨迹圆的圆心四点构成的四边形为菱形，则所有粒子经过圆形磁场均可由切点
O 进入矩形磁场内部，速度方向为任意方向，根据圆形磁场区域的磁汇聚规律，根据几何关系可知，沿平
行于Oa 方向射入的粒子打在b 点，此时为最远路径，如图1 所示，则粒子在磁场中所经过的面积为一个
圆心角为90°的扇形和一个正方形的面积之和，解得
，C 正确；
D．打在cd 边的轨迹如图2 所示，打到c 点的粒子速度方向与ad 边垂直，是由f 点射入的粒子。假设从e
点射入的粒子正好打在d 点，由于粒子半径与Od 的长度相等，该方向的粒子的圆心角为
。由图可
知ef 为打到cd 边的粒子分布，此时入射点和圆形磁场的圆心连线与水平方向的夹角为30°。则打在cd 边
上的粒子占进入矩形区域内粒子个数比为
，D 正确。
故选ACD。
【变式训练1·变载体】 （2025·四川成都·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内一半径为
的圆形区
域内存在磁感应强度为
的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一长度为
的线状粒子源位于磁场左侧，磁场
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区域的直径
为线状粒子源的垂直平分线，线状粒子源沿平行于直径
的方向发射质量为
、电荷量
为
的带电粒子。所有粒子的速率均为
，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正
确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为
B．粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
C．磁场中有粒子经过的区域的面积为
D．粒子动量变化量的最大值与最小值之比为
【答案】AC
【详解】根据洛伦兹力提供向心力，有
可得粒子做圆周运动的半径
粒子运动的周期为
所以平行
入射的粒子都将汇聚于
点正下方的
点，如图所示
从A 点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，其转过的圆心角为
，运动时间为
根据几何关系可得位移大小为
速度变化量为
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从B 点入射的粒子在磁场中运动的时间最短，其转过的圆心角为
，运动时间为
位移大小为
速度变化量为
A．粒子在磁场中运动的最大位移与最小位移之比为
，故A 正确；
．粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之差为
，故B 错误；
C．磁场中有粒子经过的区域如图中阴影部分所示，其面积等于扇形ABP 的面积，为
故C 正确；
D．粒子动量变化量的最大值与最小值之比为
，故D 错误。
故选AC。
【变式训练2】（2025·广东湛江·二模）（多选）我国在磁约束方面取得重大突破，如图为一种磁约束的示
意图。空间存在一半径为R 的半圆形匀强磁场区域，O 为圆心，MN 为直径边界，磁场方向垂直纸面向里。
磁场区域左侧有一电子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为
的电子由静止加速
到
。改变发射器的位置，使带电粒子在圆弧
范围内都沿着垂直MN 的方向以相同的速度
沿纸面
射入磁场区域。当电子沿PQ 方向进入磁场时，能恰好从O 点离开磁场，Q 点是OM 的中点。忽略电子的
重力和电子间的相互作用。则（ ）
A．加速电场两板间的电压为
B．磁感应强度的大小为
C．改变发射器的位置，电子都能汇聚于N 点
D．改变发射器的位置，电子能在磁场中运动的最长时间为
【答案】ABD
【详解】A．电子在电场中加速有
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解得
，故A 正确；
B．如图所示，电子在磁场中运动的半径
由
解得
，故B 正确；
C．如图所示的是从不同位置进入磁场的电子的运动轨迹示意图，故C 错误；
D．从A 点进入磁场的电子运动轨迹最长，此时电子轨迹为
圆周。有
，故D 正确。
故选ABD。
1．（2025·四川·高考真题）如图所示，I 区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直
于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与I 区边界重合；正方形与圆形中心同为O 点。I 区和Ⅱ
区的磁感应强度大小比值为4 1∶。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a 点沿正方形某一条边的中垂线方向进入
磁场，一段时间后从a 点离开。取sin37°=0.6。则带电粒子（ ）
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A．在I 区的轨迹圆心不在O 点
B．在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1 2∶
C．在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127 37
∶
D．在I 区和Ⅱ区的运动时间之比为127 148
∶
【答案】AD
【详解】A．由图可知
在I 区的轨迹圆心不在O 点，故A 正确；
B．由洛伦兹力提供向心力
可得
故在I 区和Ⅱ区的轨迹半径之上比为
故B 错误；
D．设粒子在磁场Ⅱ区偏转的圆心角为α，由几何关系
可得
故粒子在I 区运动的时间为
粒子在Ⅱ区运动的时间为
联立可得在I 区和Ⅱ区的运动时间之上比为
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故D 正确；
C．粒子在I 区和Ⅱ区的轨迹长度分别为
故在I 区和Ⅱ区的轨迹长度之比为
故C 错误。
故选AD。
2．（2025·甘肃·高考真题）2025 年5 月1 日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克
核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两
个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为
。在内圆上
A 点有a、b、c 三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c 带正电且比荷
均为
，a 粒子的速度大小为
，方向沿同心圆的径向；b 和c 粒子速度方向相反且与a 粒子的速
度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．外圆半径等于
B．a 粒子返回A 点所用的最短时间为
C．b、c 粒子返回A 点所用的最短时间之比为
D．c 粒子的速度大小为
【答案】BD
【详解】由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
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a 粒子恰好到达磁场外边界后返回，a 粒子运动的圆周正好与磁场外边界，然
后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A 点，
根据a 粒子的速度大小为
可得
设外圆半径等于
,由几何关系得
则
A 错误；
B．由A 项分析，a 粒子返回A 点所用的最短时间为第一次回到A 点的时间
a 粒子做匀速圆周运动的周期
在磁场中运动的时间
匀速直线运动的时间
故a 粒子返回A 点所用的最短时间为
B 正确；
C．由题意，作出
粒子运动轨迹图，如图所示
因为b、c 粒子返回A 点都是运动一个圆周，根据b、c 带正电且比荷均为
，所以两粒子做圆周运动周期
相同，故所用的最短时间之比为1:1，C 错误；
D．由几何关系得
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洛伦兹力提供向心力有
联立解得
D 正确。
故选BD。
二、解答题
3．（2025·湖北·高考真题）如图所示，两平行虚线MN、PQ 间无磁场。MN 左侧区域和PQ 右侧区域内均
有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从
MN 左侧O 点以大小为
的初速度射出，方向平行于MN 向上。已知O 点到MN 的距离为
，粒子能回
到O 点，并在纸面内做周期性运动。不计重力，求
(1)粒子在MN 左侧区域中运动轨迹的半径；
(2)粒子第一次和第二次经过PQ 时位置的间距；
(3)粒子的运动周期
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子在左侧磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有
可得
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（2）粒子在左侧磁场运动，设从MN 射出时速度方向与MN 的夹角为θ，由于O 到
的距离
，
结合
，根据几何关系可知
；
粒子在MN 和PQ 之间做匀速直线运动，所以粒子从PQ 进入右侧磁场时与PQ 的夹角
；粒子在右侧
磁场做匀速圆周运动有
解得
根据几何关系可知粒子第一次和第二次经过PQ 时位置的间距
（3）由图可知粒子在左边磁场运动的时间
粒子在右边磁场运动的时间
根据对称性可知粒子在MN 左侧进出磁场的距离
所以粒子从MN 到PQ 过程中运动的距离为
粒子在MN 和PQ 之间运动的时间
综上可知粒子完成完整运动回到O 点的周期为
4．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度
大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀
强磁场。O、N、M 均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O 点正上
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方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速
度大小相同，方向相反，比荷均为
。已知
，
，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。
(1)若K 水平发射的粒子在O 点产生光点，求粒子的速度大小。
(2)若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，求粒子的速度
大小。
(3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M 点产生光点，可在粒子发射t 时间后关闭磁场，忽略磁场变
化的影响，求t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O 点产生光点，其运动半径
运动过程中由洛伦兹力提供向心力有
联立解得
（2）若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，则两端粒子
的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N 点相切，如图
由于K 从水平方向逆时针旋转60°，则
，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为
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根据洛伦兹力提供向心力可知
解得
（3）由题意带正电粒子恰好在M 点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M 点做正电粒子轨
迹的切线，切点为P，如图
根据前面解析可知
，所以
由于
，且
根据几何关系可知
，而
所以
粒子在磁场中运动的周期
，对应的圆心角
所以
5．（2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核
结构。如图1 所示，用回旋加速器使氘原子核（
）获得2.74MeV 动能，让其在S 处撞击铝（
）核发
生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（
）以及两种不同能量的质子（
）。产生的质子
束经狭缝X 沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B 的圆形匀强磁场区域，经偏转后
打在位于磁场上方的探测板上A、D 处（探测板与磁场边界相切于A 点，D 点与磁场圆心O 处在同一竖直
线上），获得如图2 所示的质子动能的能谱图。
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(1)写出氘核撞击铝核的核反应方程；
(2)求A、D 的间距L；
(3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率；
(4)处于激发态的
核会发生β 衰变，核反应方程是
。若
核质量等于
核质量，电
子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。
【答案】(1)
(2)
(3)2.74×103W
(4)5.49MeV
【详解】（1）氘核撞击铝核的核反应方程
（2）由图可知，两种质子的动能分别为3MeV 和9MeV，动能之比1 3∶，可知速度之比
，根据
可知
可知在磁场中的半径之比为
由图可知半径较小的打到A 点，半径较大的打到D 点，由几何关系可知
，
解得
可得A、D 的间距
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（3）若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，则时间t 射出氘核的数量为
回旋加速器的输出功率
（4）氘核撞击铝核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（
）以及两种不同能量的质
子。根据能量守恒可得，能量的为3MeV 和9MeV 质子分别对应处于激发态的
和处于基态的态的
。
激发态的
回到基态会释放能量
核质量等于
核质量，则衰变释放的能量主要来源于激发态的
跃迁产生的能量差
。电子质
量为0.51MeV/c2，则衰变释放能量
6．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控
法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒
足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且
方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，
恰好没有电子落到筒壁上，不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
【答案】(1)
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(2)
【详解】（1）当磁场的磁感应强度为
时，电子刚好不会落到筒壁上。
则电子以速度
垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）磁感应强度调整为
后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设
，电子将
在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子击中筒壁距离粒子源的最远点
时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径仍为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
由射出到相切，经过半个周期，用时
根据速度的合成与分解可知
平行轴线方向运动距离
结合对称性，被电子击中的面积
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