文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
第39 讲 带电粒子在磁场中的运动
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识............................................................................4
知识点 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识.............................................................................4
考向 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识.........................................................................................5
考点二 带电粒子在非匀强磁场中的运动........................................................................................8
知识点 处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题的基本思路.............................................................8
考向 带电粒子在非匀强磁场中的运动.....................................................................................................8
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动..................................................................................11
知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动................................................................................11
知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题................................................................12
考向1 直线边界........................................................................................................................................13
考向2 弧形边界........................................................................................................................................17
考向3 根据粒子运动确定磁场区域范围................................................................................................21
考向4 电性不确定导致的多解问题........................................................................................................24
考向5 磁场方向不确定导致的多解问题................................................................................................28
考向6 临界状态不唯一导致的多解问题................................................................................................34
考点四 三类动态圆..........................................................................................................................39
知识点 三类动态圆模型...................................................................................................................39
考向1 “平移圆”模型............................................................................................................................40
考向2 “放缩圆”模型............................................................................................................................45
考向3 “旋转圆”模型............................................................................................................................48
考点五 磁聚焦 磁发散....................................................................................................................54
知识点 磁聚焦和磁发散模型...........................................................................................................54
考向 磁聚焦 磁发散模型......................................................................................................................... 54
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................................60
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在磁场
中的运动
选择题
非选择题
\
\
全国甲卷T7，6 分
考情分析：
1．在四川高考物理中，带电粒子在磁场中的运动是电磁学板块的重难点，对考生的知识掌握和应用能力
有着较高要求。
2．从命题思路上看，磁场内容与电场、电磁感应、力学等知识的综合考查趋势将愈发明显。
复习目标：
目标一：理解带电粒子在磁场中运动的基础知识，学会计算周期、半径等等。
目标二：攻破圆模型，磁发散、磁聚焦模型。
目标三：正确解决带电粒子在有界匀强磁场中的运动。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
知识点 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
1.在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。
2.带电粒子以速度v 垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与
磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。
(1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝m v
2
r
。
(2)轨迹半径：r＝mv
qB 。
(3)周期：T＝2π r
v
＝2π m
qB ，可知T 与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有
关。
(4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝θ
2π T。
3.粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法
(1)圆心的确定方法
①若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F 的方向，其交点即为圆心，如图甲。
②若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图
乙。
③若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝mv
qB 计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为
r 的位置为圆心，如图丙。
(2)半径的计算方法
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
方法一 由R＝mv
qB 求得。
方法二 连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
如图甲，由R＝L
sinθ 或R2＝L2＋(R－d)2求得。
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝1
2α。
(3)时间的计算方法
方法一 利用圆心角θ、周期T 求得t＝θ
2π T。
方法二 利用弧长l、线速度v 求得t＝l
v 。
考向 带电粒子在匀强磁场中运动的基础知识
例1 科学家可以利用磁场对带电粒子的运动进行有效控制。如图所示，圆心为O、半径为r的圆形区域外
存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。P点为纸面内一离子源，可以沿着与PO成θ =37
∘的方向发射速度
大小不等的同种正离子，已知OP=5r，不计粒子重力。为使离子源发射的正离子都能射入圆形区域，则
正离子在磁场中做圆周运动的轨道半径R需满足（ ）
A．3r < R<6r
B．3r < R<5r
C．4 r < R<5r
D．4 r < R<6r
【答案】A
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】若速度较小，粒子的轨迹圆如图所示，由几何关系可知
在△OPO1中，根据余弦定理可得(r + R1)
2= R1
2+25r
2−2⋅R1⋅5r ⋅cos(
π
2 −θ)
解得R1=3r
若速度较大，粒子的轨迹圆如图所示，根据几何关系可知，在△OPO2中，由余弦定理则有
(R2−r)
2= R2
2+25r
2−2 R2⋅5r ⋅cos(
π
2 −θ)
解得R2=6r
综上若要求粒子进入圆形区域，则粒子运动的半径应满足的条件为3r < R<6r
故选A。
【变式训练1】四个带电粒子的电荷量和质量分别为（＋q，m）、（＋q，2m）、（＋3q，3m）、（-q，
m），它们先后以相同的速度从坐标原点沿x 轴正方向射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，不计重
力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB =m v
2
r
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则r = mv
qB
根据上式可知（＋q，m）、（＋3q，3m）轨道半径相同，且二者的轨道半径与（-q，m）的相等，运动方
向相反，（＋q，2m）的轨道半径最大。
故选A。
【变式训练2】一带电粒子沿垂直磁场方向射入匀强磁场，经过轨迹如图所示，轨迹上每一小段都可以近
似看成圆弧，其能量逐渐减小（质量、电量不变），从图中可以确定运动方向和电性是（ ）
A．粒子从b 到a，带负电
B．粒子从a 到b，带负电
C．粒子从a 到b，带正电
D．粒子从b 到a，带正电
【答案】A
【详解】由题意可知，由于带电粒子的能量逐渐减小，故其速度减小，在磁场中洛伦兹力提供向心力
qvB =m v
2
r
解得其半径为r = mv
qB
由于速度减小，故其半径逐渐减小，故可知粒子的运动方向从b 到a；由其偏转方向及左手定则可知粒子
带负电。
故选A。
【变式训练3】如图，正方形abcd 内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a 以速度v0射入
磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab 边的中点、b 点和c 点射出，在磁
场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（ ）
A．t1 < t2 = t3
B．t1 < t2 < t3
C．t1 = t2 > t3
D．t1 > t2 > t3
【答案】A
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为t = s
v0
设正方形abcd 的边长为l，则s1= π ⋅l
4 ，s2= π ⋅l
2，s3= π
2 ⋅l
则有t1 < t2 = t3
故选A。
考点二 带电粒子在非匀强磁场中的运动
知识点 处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题的基本思路
处理带电粒子在非匀强磁场中的运动问题时，首先要弄清楚该非匀强磁场如何变化，其次分析粒子的受力
情况，然后根据受力情况推算出运动情况，最后得出结论。
考向 带电粒子在非匀强磁场中的运动
例1 如图所示，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N 两小孔中，O 为M、N 连线的中点，
连线上的a、b 两点关于O 点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的
磁场的磁感应强度B =k I
r （式中k 是常数、I 是导线中的电流、r 为点到导线的距离）。一带负电的小球以
初速度v0从a 点出发沿M、N 连线运动到b 点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a 点运动到b 点的过
程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球做匀加速直线运动
B．小球做匀减速直线运动
C．小球对桌面的压力一直在减小
D．小球对桌面的压力一直在增大
【答案】C
【详解】CD．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度B =k I
r
根据安培定则，结合磁感应强度的叠加原理可知，直线MON 上靠近M 处的磁场方向垂直于MN 向里，靠
近N 处的磁场方向垂直于MN 向外，磁场大小先减小，过O 点后反向增大，根据左手定则可知，带负电的
小球受到的洛伦兹力方向开始时竖直向下，大小逐渐减小，过O 点后洛伦兹力的方向向上，大小逐渐增
大，小球在竖直方向受力平衡，则桌面对小球的支持力逐渐减小，根据牛顿第三定律可知，小球对桌面的
压力一直在减小，故C 正确，D 错误；
AB．结合上述可知，由于桌面光滑，小球仅在竖直方向上受到重力、洛伦兹力与支持力作用，在沿速度
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
方向不受外力作用，小球所受外力的合力为0，则小球将做匀速直线运动，故AB 错误。
故选C。
【变式训练1】如图所示，纸面内固定的两平行长直导线ab、cd中通有大小相同、方向相反的电流，位于
纸面内两导线间P处（靠近ab）的粒子源沿平行于ab方向发射一速度为v0的带正电粒子。已知通有电流为
I的长直导线，在距离导线为r处产生的磁场的磁感应强度为B =k I
r ，k为常量。不计粒子重力，图中虚线
到ab、cd的距离相等。则粒子在导线间的运动轨迹可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据安培定则可知，两导线中的电流在导线间任一点产生的磁场方向均相同，设两导线间的距离
为d，距离ab导线为x处磁场的磁感应强度
B =kI(
1
x +
1
d −x)=
kld
x (d −x)
当x = d
2 时，B最小，带电粒子在磁场中运动过程中，速度大小不变，由qvB =m v
2
r ，解得轨迹的曲率半径
r = mv
qB
即在虚线附近曲率半径较大，靠近导线处曲率半径较小，可能正确的是C。
故选C。
【变式训练2】如图所示，四根通有恒定电流的长直导线垂直xOy平面放置，四根长直导线与xOy平面的
交点组成边长为2a的正方形且关于x轴和y轴对称，各导线中电流方向已标出，其中导线1、3 中电流大小
为I，导线2、4 中电流大小为2 I。已知通电长直导线周围的磁感应强度大小与电流成正比、与该点到通电
长直导线的距离成反比，即B = kI
r 、下列说法正确的是（ ）
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．长直导线1、4 之间的相互作用力为吸引力
B．一垂直于纸面并从O点射入的粒子，将做圆周运动
C．导线4 受到的导线1、2、3 的作用力的合力方向指向O点
D．仅将导线2 中的电流反向，则导线2 和4 连线上各点磁感应强度方向均相同
【答案】D
【详解】A．当通有同向电流时，通电导线之间表现为吸引力，当通有反向电流时，通电导线之间表现为
斥力，A 错误；
B．由右手螺旋定则并结合矢量叠加可知O点的磁感应强度为零，因此过O点垂直于纸面射入的粒子，将
做匀速直线运动，B 错误；
C．长直导线1 在长直导线4 处产生的磁感应强度大小为
B1= kI
2a
方向水平向左，导线3 在长直导线4 处产生的磁感应强度大小也为B1，方向竖直向上，长直导线2 在长直
导线4 处产生的磁感应强度大小为
B2= k ⋅2 I
2√2a = √2kI
2a
方向垂直导线2、4 的连线指向右下方，所以三根导线在4 处的合场强为零，导线4 不受安培力，C 错误；
D．根据右手螺旋定则以及磁场叠加原理可知，导线1、3 在导线2、4 的连线上除O点的磁感应强度为零
外，其他位置合磁感应强度均垂直于导线2、4 的连线指向斜向左上方。仅将导线2 中的电流反向，导线
2、4 在导线2、4 的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4 的连线指向斜向左上方。磁场叠加原理可
知，四根导线在导线2、4 的连线上的磁感应强度方向均垂直于导线2、4 的连线指向斜向左上方。D 正
确。
故选D。
【变式训练3】如图，水平导线中有电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向相同，则
电子将（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．沿路径a 运动，轨迹是圆
B．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小
【答案】B
【详解】由安培定则得电子所在导线下方的磁场垂直纸面向外，据左手定则判断出电子所受的洛伦兹力向
下，即沿路径a 运动，且向下运动的过程中因离导线变远，磁感应强度B 变小，由
qvB =m v
2
r
解得
r = mv
qB
知半径r 变大。
故选B。
考点三 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
知识点1 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定
圆心的确定
半径的确定
时间的确定
基本
思路
（1）与速度方向垂直的直线过圆心。
（2）弦的垂直平分线过圆心。
（3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
利用平面几何知识求
半径
利用轨迹长度L 或对应圆心角θ
求时间
t＝L
v ＝θ
2π T
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
图例
说明
P、M 点速度
垂线的交点
P 点速度垂线与
弦的垂直平分线
的交点
S 点的速度
垂线与切点
法线的交点
常用解三角形法，
（如图）R＝
L
sinθ 或
由R2＝L2＋（R－d）
2求得R＝L
2＋d
2
2d
（1）速度的偏转角φ 等于AB
⏜
所对的圆心角θ。
（2）偏转角φ 与弦切角α 的关
系：若φ＜180°，φ＝2α；若φ
＞180°，φ＝360°－2α
2.粒子在几种常见有界磁场中的运动分析
种类
图形
特点
直线
边界
进出磁场具有对称性
平行
边界
存在临
界条件
圆形
边界
图b：粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半
径
（1）沿径向射入必沿径向射出。
（2）图b 为磁聚焦现 象
知识点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场
中的运动轨迹不同
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
磁场方向不确定
题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，
而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应
强度方向有两种情况
临界状态不唯一或速度
大小不确定
带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也
可能从入射界面反向射出
运动的往复性
带电粒子在空间运动时，往往具有往复性
考向1 直线边界
例1（2025·四川绵阳·高三月考）质子(❑1
1H)和氘核(❑1
2H)以相同速度分别从同一位置垂直于边界射入匀强
磁场，两条运动轨迹如图中a、b所示，a的半径为r1，b的半径为r2。设F1、F2和t1、t2分别是质子、氘
核在磁场中所受的洛伦兹力和运动时间，则（ ）
A．轨迹a是氘核的运动轨迹
B．r1:r2=1:2
C．F1: F2=2:1
D．t1:t2=1:1
【答案】B
【详解】A．根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有Bqv =m v
2
r
解得带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为r = mv
Bq
质子(❑1
1H)的质量数为1，电荷量为e；氘核(❑1
2H)的质量数为2，电荷量为e。因为它们速度v 相同，磁感
应强度B 相同，r 与m 成正比，氘核质量大，所以氘核的轨道半径大。由图可知r2>r1，所以轨迹b 是氘核
的运动轨迹，故A 错误。
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．r1为质子(❑1
1H)做圆周运动的轨迹半径，r2为氘核(❑1
2H)做圆周运动的轨迹半径，根据带电粒子在匀强
磁场中做匀速圆周运动的半径公式r = mv
Bq
可得
r1
r2
= m
2m = 1
2，故B 正确；
C．根据洛伦兹力公式F = Bqv
因为质子(❑1
1H)和氘核(❑1
2H)的电量q1=q2=e，v相同，B也相同，所以
F1
F2
= q1Bv
q2Bv =1，所以C 错误；
D．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式为T = 2πm
Bq
质子(❑1
1H)在磁场中运动时间t1= 1
2 T 1= π m1
B q1
氘核(❑1
2H)在磁场中运动时间t2= 1
2 T 2= π m2
B q2
所以
t1
t2
=
π m1
B q1
π m2
B q2
= m1q2
m2q1
= 1
2，故D 错误。
故选B。
【变式训练1】如图，正方形区域abcd 内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从ad 边的
中点M 以速度v 垂直于ad 边射入磁场，并恰好从ab 边的中点N 射出磁场。不计粒子的重力，下列说法正
确的是（ ）
A．粒子带负电
B．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从a 点射出
C．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从b 点左侧射出
D．若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子在磁场中的运动时间将变长
【答案】C
【详解】A．根据左手定则可知粒子带正电，故A 错误；
BC．根据qvB =m v
2
r
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
解得r = mv
qB
设正方形边长为L，粒子以速度v 和速度2v 进入磁场，有L
2 = mv
qB ，L= m⋅2v
qB
轨迹如图
可知若粒子射入磁场的速度增大为2v，射出的位置在Nb 之间，故B 错误，C 正确；
D．根据C 选项分析可知，若粒子射入磁场的速度增大为2v，则在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角θ 将
变小，由T = 2πm
qB
可得t = θ
2π T = θm
qB
粒子在磁场中的运动时间将变短，故D 错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·四川凉山·三模）如图所示，粒子a、b的质量分别为2m、m，电量分别为q、−q，
它们以相同的动能从O点沿OP方向射入无限长直边界AB上方的匀强磁场，OP与磁场边界成45°角，磁场
方向垂直于纸面向里，则a、b在磁场中运动的时间之比为（ ）
A．6 1∶
B．4 1∶
C．3 1∶
D．2 1∶
【答案】A
【详解】设两粒子的动能为E，根据E = 1
2 m v
2
可得，两粒子的速度分别为va=√
E
m，vb=√
2 E
m
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
根据牛顿第二定律qvB =m v
2
R
周期为T = 2πR
v
= 2πm
qB
所以
T a
T b
= 2
1
两粒子的圆心角分别为θa=270°，θb=90°
在磁场中运动时间为t =
θ
360° T
所以
ta
tb
= θa
θb
⋅T a
T b
= 6
1
故选A。
【变式训练3】（多选）（2025·四川成都·高三月考）如图，在直角三角形CDE 区域内有磁感应强度大小
为B、垂直于纸面向外的匀强磁场，P 为直角边CD 的中点，∠C=37°，CD=3L。一束相同的带负电粒子以
不同速率从P 点垂直于CD 边射入磁场，粒子的比荷为k，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计粒子间的相互作用
和重力。下列说法正确的是（ ）
A．速率不同的粒子在磁场中运动的时间一定不同
B．从CD 边飞出的粒子的最大速率为3kBL
4
C．粒子从DE 边飞出的区域长度为3√2 L
2
D．从CE 边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为π
2kB
【答案】BC
【详解】A．带电粒子在磁场中运动的周期T = 2π
kB ，若粒子的速度不大，则粒子会从DC 边射出磁场，从
CD 边射出的粒子偏转角度相同为π，运动时间也相同为t = π
2π ⋅2π
kB = π
kB ,故A 错误。
B．根据qvB =m v
2
r
得粒子的速度v = qBr
m
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
粒子速度最大时，粒子从D 点射出磁场，此时半径r = 3 L
4
故从CD 边射出粒子的最大速度为v = 3qBL
4 m = 3kBL
4
故B 正确；
C．粒子从DE 边射出的达最远距离时，粒子轨迹恰好与EC 边相切，设此时粒子的轨道半径为r，则根据
几何关系sin37
∘=
r
r + 3 L
2
解得r = 9
4 L
根据几何关系得出带电粒子在DE 上射出的最远距离dmax =√r
2−(r −3 L
2 )
2
= 3√2 L
2
故C 正确；
D．根据几何关系，带电粒子从CE 边射出运动最长时间为带电粒子运动到CE 边相切时，故由几何关系可
知带电粒子转过的角度为53
∘
故运动的最长时间为 tm= 53
∘
360
∘⋅2π
kB = 53 π
180kB
故D 错误。
故选BC。
考向2 弧形边界
例1 如图所示，半径为R 的圆形区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一带电粒
子从图中P 点以速度v 沿直径方向射入磁场，经磁场偏转θ =60°后从Q 点射出磁场。忽略粒子的重力，下
列说法正确的是（ ）
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．粒子带负电
B．粒子的比荷为√3 BR
v
C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为π R
3
D．若圆形区域半径和圆心位置可变，要实现带电粒子从P 点射入，仍从Q 点射出，则圆形磁场的最小面
积为3π R
2
4
【答案】D
【详解】A．根据左手定则判断可知，粒子带正电，故A 错误；
B．粒子轨迹如图
几何关系可知粒子轨迹圆半径r =
R
tan θ
2
=√3 R
根据r = mv
qB
联立解得q
m = √3 v
3 RB
故B 错误；
C．粒子在磁场中运动的轨迹长度为s= 60°
360° ×2πr
联立解得s= √3 πR
3
故C 错误；
D．当PQ 为圆形磁场直径时，圆形磁场面积最小，几何关系可知PQ 长为r，则最小面积为
S = π(
r
2)
2
= 3
4 π R
2
故D 正确。
故选D。
【变式训练1】（2025·四川成都·二模）如图所示，在水平面内存在一半径为2R 和半径为R 的两个同心
圆，半径为R 的小圆和半径为2R 的大圆之间形成一环形区域。小圆和环形区域内分别存在垂直水平面、
方向相反的匀强磁场。小圆内匀强磁场的磁感应强度大小为B。位于圆心处的粒子源S 沿水平面向各个方
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
向发射速率为qBR
m 的正粒子，粒子的电荷量为q，质量为m，为了将所有粒子束缚在半径为2R 的圆形
内，环形区域磁感应强度大小至少为（ ）
A．3
5 B
B．5
3 B
C．3
4 B
D．4
3 B
【答案】B
【详解】粒子在小圆内做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有qvB =m v
2
r
解得r = mv
Bq = R
作出粒子运动轨迹，如图所示
由轨迹圆可知，粒子从A 点与OA 成30
∘角的方向射入环形区域，粒子恰好不射出磁场时，轨迹圆与大圆相
切，设粒子在圆周运动的半径为r '，根据几何关系有∠OA O2=120
∘
根据余弦定理有(2 R−r ' )
2=r '
2+ R
2−2 Rr ' cos120
∘
解得r ' = 3
5 R
粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB' = mv
2
r '
解得B' = 5
3 B
故B 正确，ACD 错误
故选B。
【变式训练2】圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c 以不
同的速率沿着AO方向对准圆心O 射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
列说法正确的是（ ）
A．a 粒子速率最大
B．c 粒子的洛伦兹力最小
C．a 粒子在磁场中运动的时间最长
D．它们做圆周运动的周期T a<T b<T c
【答案】C
【详解】AB．粒子的轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供向心力可得qvB =m v
2
r
解得v = qBr
m
由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同，在同一个磁场中，c 粒子的轨道半径最大，所以c 粒子速率最
大，c 粒子的洛伦兹力最大，故AB 错误；
CD．粒子做圆周运动的周期为T = 2πr
v
= 2πm
qB
由于三个带电粒子的质量、电荷量均相同，在同一个磁场中，所以它们做圆周运动的周期T a=T b=T c
根据t = θ
2π T
由于a 粒子转过的圆心角最大，则a 粒子在磁场中运动的时间最长，故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练3】（多选）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度大小为B。a、b、c、d为圆形区域边界的四等分点，半径oa的中点p处有一粒子源，能在纸面内
沿各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为qBR
2m 的正电粒子。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，
下列说法正确的是（ ）
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为πm
6qB
B．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最短时间为πm
3qB
C．能离开圆形区域的粒子，在圆形区域内运动的最长时间为5 πm
3qB
D．圆弧ad上有粒子射出的区域弧长为πR
3
【答案】BD
【详解】AB．粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得qvB =m v
2
r
可得粒子做圆周运动的轨道半径为r = mv
qB = R
2
能离开圆形区域的粒子，当粒子从a点离开时，粒子运动轨迹对应的圆心角最小，在圆形区域内运动的时
间最短，如图所示
根据几何关系可知轨迹对应的圆心角为60°，则最短时间为tmin= 60°
360° T = 1
6 ⋅2πm
qB = πm
3qB ，故A 错误，
B 正确；
C．能离开圆形区域的粒子，当粒子从圆弧ac上离开且粒子运动轨迹与圆弧ac相切时，粒子运动轨迹对应
的圆心角最大，在圆形区域内运动的时间最长，如图所示
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由几何关系可知轨迹对应的圆心角为α =180°+60° =240°
则最长时间为tmax = 240°
360° T = 2
3 ⋅2πm
qB = 4 πm
3qB ，故C 错误；
D．圆弧ad上有粒子射出位置离a点最远时，粒子运动轨迹刚好与圆弧ad相切，如图所示
根据几何关系可知θ =60°，则圆弧ad上有粒子射出的区域弧长为l = 60°
360 ×2πR = πR
3 ，故D 正确。
故选BD。
考向3 根据粒子运动确定磁场区域范围
例1 如图所示，在xOy平面上以O 为圆心的圆形区域内存在匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于
xOy平面向外。一个质量为m、电荷量为q 的带负电粒子，从原点O 以初速度大小为v0沿y 轴负方向开始
运动，后来粒子经过x 轴上的A 点，此时速度方向与x 轴的夹角为30°。A 到O 的距离为d，不计粒子的重
力，则圆形磁场区域的半径为（ ）
A．√3
2 d
B．√3
3 d
C．√3
4 d
D．2√3
3
d
【答案】B
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】粒子的运动轨迹如图所示，设粒子运动的半径为R，由几何关系可知
R+
R
sin30° =d
解得
R = 1
3 d
则圆形磁场区域的半径为
r =2 R sin 60° = √3
3 d
故选B。
【变式训练1】（多选）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B 的圆形
磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 点以水平向左的初速度射入磁场
中，M 点在磁场中，一段时间后从N 点穿过竖直线MN，在N 点时运动方向与MN 成30°角，MN 长度为
3L，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．从M 到N 过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为2πBqL
3
B．粒子从M 到N 所用的时间为4 πm
3 Bq
C．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
D．圆形匀强磁场区域的最小面积为3 π L
2
4
【答案】CD
【详解】C．如图所示
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由几何关系可以得到
r +
r
sin30° =3 L
可得粒子圆周运动的半径为
r = L
C 正确；
A．从M 到N，洛伦兹力冲量
I =m Δv =√3mv
又由
Bqv = m v
2
r
得
I =√3 BqL
A 错误；
B．粒子从M 到D 时间
t1= 1
3 ⋅2πm
Bq
粒子从D 到N 时间
t2= √3m
Bq
所以粒子从M 到D 时间
t =t1+t2= 2πm+3√3m
3 Bq
B 错误；
D．圆形磁场直径最小值为MD 长度
d =√3 L
所以圆形磁场最小面积为
S = π d
2
4 = 3 π L
2
4
D 正确。
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故选CD。
考向4 电性不确定导致的多解问题
例1 如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为同m、带电荷量为q 的粒子以
某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的是( )
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为qBL
m
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量为5qBL
2
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为πm
3qB
【答案】D
【详解】B．若粒子运动轨迹如图所示：
由左手定则可知，粒子带负电，粒子做圆周运动的速度最小，轨道半径最小
r1= 1
2 L
由牛顿第二定律得
q v1B =m v1
2
r1
解得
v1= qBL
2m
故B 错误；
AC．若粒子带正电，粒子与挡板MN 中点碰撞后恰好从Q 点射出，粒子运动轨迹如图所示：
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由于粒子与挡板碰撞时方向不确定，则粒子的速度无法确定，故粒子受到挡板作用力的冲量不定，故A、
C 错误；
D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示：
当轨迹半径等于L 时，此时转过的圆心角为60
∘，所以在磁场中运动的时间为
t = 1
6 T = πm
3qB
故D 正确。
故选D。
【变式训练1】（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN 是它的下边界。
现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子与MN 成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为（
）
A．πm
3qB
B．2πm
3qB
C．4 πm
3qB
D．5 πm
3qB
【答案】AD
【详解】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得
qvB =m v
2
R
根据线速度和周期的关系，可得
v = 2πR
T
联立解得
T = 2πm
qB
由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对
应时间分别为
t1= θ1
2π T = 300°
360° T = 5 πm
3qB
t2= θ2
2π T = 60°
360° T = πm
3qB
故选AD。
【变式训练2】（多选）如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大
小为B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电
荷量为q 的粒子以某一速度从P 点射入，恰好从Q 点射出，下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子一定带负电荷
B．带电粒子的速度最小值为qBL
2m
C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为5qBL
2
D．带电粒子在磁场中运动时间可能为πm
3qB
【答案】BCD
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】AC．若粒子带正电，与挡板MN 碰撞后恰好从Q 点射出，设轨迹半径为r2，运动轨迹如下图所示
由图中几何关系可得
L
2+(r2−0.5 L)
2=r2
2
解得
r2= 5
4 L
由洛伦兹力充当向心力
q v2B =m v2
2
r2
解得
v2= 5qBL
4 m
由动量定理得
I =2mv2= 5qBL
2
A 错误，C 正确；
B．若粒子的运动轨迹如下图所示
由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动的轨迹最小，速度最小，由
q v1B =m v1
2
r1
解得
v1= qBL
2m
B 正确；
D．若粒子带负电，运动轨迹如下图所示
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
当轨迹半径等于L 时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为
t = T
6 = πm
3 Bq
D 正确。
故选BCD。
考向5 磁场方向不确定导致的多解问题
例1 垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场
的正方向。一电荷量q =1×10
−7C、质量m=1×10
−10kg的带电粒子，位于某点O 处，在t =0时刻以初速
度v0=2πm /s沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从t =0时刻
开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（ ）
A．2√2πm /s
B．4√2πm /s
C．2√2m /s
D．4√2m /s
【答案】D
【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有qB v0=m v0
2
r
解得r =2π ×10
−2m
周期为T 0= 2πm
qB =2π ×10
−2s
由图可知磁场变化的周期为T =10 π ×10
−3s= 1
2 T 0
根据t = θ
2π T 0
可得在0−5 π ×10
−3s时间内偏转的角度为θ1= π
2
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
同理在在5 π ×10
−3s−10 π ×10
−3s时间内偏转的角度为θ2= π
2
设粒子的出发点为a，经磁场变化的一个周期的终点为b，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场
变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得粒子的位移即为a、b 两点的距离，则有x =2√2r = 4√2π ×10
−2m
从t =0时刻开始的磁场变化的一个周期T =10 π ×10
−3s内，带电粒子的平均速度的大小为
v = x
T = 4√2π ×10
−2
10 π ×10
−3 m /s= 4√2m /s
故选D。
【变式训练1】如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的
平面感光板MN，点a 为MN 与水平直线ab 的交点，MN 与直线ab 的夹角为θ =53°，ab 间的距离为
d =10cm。在b 点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为r =5cm，不计电
子间的相互作用和重力，sin53° =0.8，则MN 上被电子打中的区域的长度为（ ）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【答案】C
【详解】电子从b 点射出后，在磁场中沿顺时针方向做圆周运动，
如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a 点，一个打在C 点，打在C 点的电
子轨迹恰好与板相切，过b 点做MN 的垂线bD，过O1做bD 垂线O1E，由几何知识可得
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
bD =absin53
o=8cm
又因
DE =O1C =5cm
所以
bE =bD−DE =3cm
可得
CD =O1 E =√O1b
2−b E
2= 4cm
所以MN 上被电子打中的区域的长度为
aC =aD +CD =ab⋅cos53
o+CD =10cm
故选C。
【变式训练2】（多选）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为d，两
板中央各有一个小孔O、O
′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙
所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在t =0时垂直于M板从小孔O射入磁场，已
知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为
T 0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正
确的是（ ）
A．磁感应强度B0大小等于πm
T 0q
B．当入射速度大小为2πd
T 0
时，粒子能从O
′飞出磁场
C．当入射速度大小为πd
4T 0
时，粒子能从O
′飞出磁场
D．若正离子能从O
′孔垂直于N板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为d
4 时所用时间最短
【答案】CD
【详解】A．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力
B0q v0=m v0
2
R
做匀速圆周运动的周期
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
T 0= 2πR
v0
联立两式得磁感应强度
B0= 2πm
T 0q
选项A 错误；
BCD．要使正离子从N 板O′孔射出磁场，v0的方向应如图所示
结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以
tmin=T0
此时离子做匀速圆周运动的半径为d
4 ；
两板之间正离子运动n 个周期，即nT0，则
Rn= d
4 n
联立上式可得，正离子的速度
v0= B0q Rn
m
=
πd
2nT 0
(n=1，2，3⋯)
当n=1 时
v01= πd
2T 0
当n=2 时
v02= πd
4T 0
选项B 错误，CD 正确。
故选CD。
【变式训练3】（多选）如图所示的xOy 坐标系中，y 轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的
匀强磁场，y 轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y 轴上（0，−L）处沿与y
轴正方向成30°角的方向以速度v 射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y 轴右侧的轨道半径为L，最终
粒子经过O 点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y 轴右侧的磁感应强度大小为v
kL
B．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O 点的时间为π L
v
C．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为π L
v
D．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O 点的时间可能为7π L
3 v
【答案】AD
【详解】A．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示
根据
qvB =m v
2
R
解得
B = mv
qR
由几何关系可知
R = L
则有
B = v
kL
A 正确；
B．由几何关系可知粒子在y 轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O 点的时间
t = T
6
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由于
T = 2πL
v
解得
t = πL
3 v
B 错误；
CD．若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y 轴左右两侧各偏转一次经过O 点，如图乙所示，由几
何关系可知粒子在y 轴左侧的轨道半径
R1=2 L
则y 轴左侧磁场的磁感应强度大小
B1= mv
q R1
=
v
2kL
粒子运动的时间
t1= 5
6 T + T 1
6
由于
T 1= 2π×2 L
v
解得
t1= 7π L
3 v
若y 轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y 轴的左侧偏转一次、在y 轴的右侧偏转两次经过O 点，如
图丙所示
由几何关系可知粒子在y 轴左侧的轨道半径
R2=3 L
则y 轴左侧磁场的磁感应强度大小
B2= mv
q R2
=
v
3kL
粒子运动的时间
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
t2= 5
3 T + T 2
6
由于
T 2= 2π×3 L
v
解得
t2= 13π L
3 v
C 错误，D 正确。
故选AD。
考向6 临界状态不唯一导致的多解问题
例1 如图所示，两平行竖直线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），
磁感应强度为B，在MN 上O 点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q 的带负电粒子，当速度方向与
OM 夹角θ =60°时，粒子恰好垂直PQ 方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的
是（ ）
A．粒子的速率为qBa
2m
B．粒子在磁场中运动的时间为πm
12qB
C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为πm
qB
D．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ 边界上有粒子射出的区间长度为
2√3a
【答案】D
【详解】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直
指向右下方。
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
当速度方向与OM 夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ 方向射出磁场，所以粒子运动的半径r =
a
sin30° =2a
由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得Bqv =m v
2
r ，解得v = 2Bqa
m
，故A 错误；
B．粒子在磁场中运动的周期T = 2πr
v
= 2πm
Bq
则粒子在磁场中运动的时间t = 30°
360° T = πm
6 Bq ，故B 错误；
D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ 上的位置为O 点水平线上方√3a处；
当θ 增大时，粒子打在PQ 上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ 相切时。
如图所示，可知粒子打在PQ 上的位置为O 点水平线下方√3a处；
当θ 继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ 不相交，直接从MN 上射出，且在MN 上的出射点不断上
移直到O 点。
所以若只改变粒子速度方向，使θ 角能在0°至180°间不断变化，则PQ 边界上有粒子射出的区间长度为
2√3a，故D 正确；
C．若只改变粒子速度方向，使θ 角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周期
不变。
所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。
由D 的分析可知，当粒子的出射点在PQ 上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值；
当粒子的出射点在MN 上时，粒子的弦长可取[0，2√3a]的任意值；
所以粒子运动轨迹的弦长最大可取2√3a，此时对应的中心角φ=120°。
所以粒子在磁场中运动的最长时间t = 120°
360° T = 2πm
3 Bq ，故C 错误。
故选 D。
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式训练1】如图所示，长方体a1b1c1d1—a2b2c2d2处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场
中，a1b1c1d1为边长为L 的正方形，a1a2竖直，O1、O2、O3、O4为相应边a1b1、a2b2、c2d2、c1d1的中点。在
平面a1a2b2b1内有质量为m、电荷量为q（q>0）的带正电粒子从O2沿该平面以速度v（大小未知）射入匀
强磁场，速度v 的方向与底边a2b2的夹角θ=45°，经历一定时间，粒子恰好能到达O4位置，不计粒子的重
力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子的入射速度v = √2qBL
m
B．粒子在运动过程中的轨迹一定与a1a2d2d1平面相切
C．长方体的a1a2边的长度可能为5 πL
2
D．粒子从O2运动到O4经历的时间可能为4 πm
qB
【答案】C
【详解】A．将粒子的速度沿水平方向与竖直方向分解，可知粒子在水平方向上的分运动为匀速圆周运
动，竖直方向上的分运动为匀速直线运动，粒子恰好到达O4位置，则粒子做圆周运动的轨道半径R = L
2
根据Bqv cos 45
∘=m (v cos45
∘)
2
R
解得v = √2qBL
2m
故A 错误；
B．若粒子在水平方向上仅运动半个圆周到达O4位置，此时粒子的轨迹并没有与a1a2d2d1平面相切，故B
错误；
C．粒子到达O4位置的时间t =nT + T
2 （n=0，1，2，3…）
长方体的a1a2边的长度h=vsin θ·t
解得h= (2n+1)πL
2
（n=0，1，2，3…）
当n=2 时，解得h= 5 πL
2
故C 正确；
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D．结合上述解得t = (2n+1)πm
qB
（n=0，1，2，3…）
当粒子从O2运动到O4经历的时间为4 πm
qB 时，解得n= 3
2
不符合要求，即粒子从O2运动到O4经历的时间不可能为4 πm
qB ，故D 错误。
故选C。
【变式训练2】如图所示，直线MN 与水平方向成60°角，MN 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左
下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B．一粒子源位于MN上的a点，能水平
向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子（重力不计，粒子间的相互作用不计），所有
粒子均能通过MN上的b点，已知ab= L，则粒子的速度可能是（ ）
A．√3qBL
m
B．√3qBL
2m
C．√3qBL
3m
D．√3qBL
4 m
【答案】C
【详解】粒子可能在两个磁场间做多次运动，画出粒子可能的轨迹，如图所示
所有粒子对应的圆心角均为120°，由几何关系可知
2nR cos30° = L(n=1,2,3⋯)
根据洛伦兹力提供向心力，则有
Bqv =m v
2
R
解得
v = BqR
m = BqL
m√3n (n=1,2,3⋯)
当n=1时，可得
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
v = √3qBL
3m
故选C。
【变式训练3】（多选）如图所示，质量为m、电荷量为+q的粒子从静止开始经加速电压U加速后，从三
维直角坐标系的原点O处沿不同方向射入匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向。已知加速电
压U调节范围为U 0≤U ≤3U 0，其中U 0= q B
2 L
2
8m
。x轴上距离O点1.5L处有一长为L的吸收板，吸收板接
地，粒子打在板上即被吸收。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．当粒子沿y轴正方向射入磁场时，调节U，板上有粒子击中的长度为(√3−3
2)L
B．当U =3U 0，粒子从O点射入xOy平面x>0、y >0的区域，速度方向在0∼90
∘均匀变化，且沿各方向
发射的粒子数目相等，则击中吸收板的粒子占粒子总数的50%
C．当U =U 0，t =0时刻，粒子从O点射入yOz平面y >0、z<0的区域，且速度方向与y轴正方向夹角为
30
∘，粒子与z轴距离最大时的时间为t1=n πm
qB
(n=1，2，3⋯⋯)
D．当U =2U 0，粒子从O点射入yOz平面y >0、z<0的区域，且速度方向与y轴正方向夹角为45
∘，则经
过t2= 3 πm
2qB 时粒子的坐标为(
L
2 ，−L
2 ，−3
4 πL)
【答案】AD
【详解】A．粒子经加速电压U后，由动能定理可知qU = 1
2 mv
2
速度v =√
2qU
m
代入磁场中半径公式r = mv
qB
可求得粒子的轨迹半径与电压的关系，当U =U 0= q B
2 L
2
8 m
时，半径r1= L
2
U =2U 0时，半径r2= √2 L
2
U =3U 0时，半径r3= √3 L
2
当粒子沿y轴正方向射入磁场时，粒子在xOy平面偏转半个圆周打在x轴上，当加速电压为3U 0时粒子打中
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
板上位置最远，为√3 L，因此打中板长度为(√3−3
2)L，故A 正确；
B．当U =3U 0、粒子射向xOy平面，恰好打在板上的临界情况如图所示
由几何关系可知sinθ =
3
4 L
√3
2 L
= √3
2 ，θ =60
∘
则击中吸收板的粒子占粒子总数的比例为(90
∘−60
∘)
90
∘
= 33 %，故B 错误；
C．当U =U 0，粒子射向yOz平面，速度方向与y轴正方向夹30
∘时，粒子的运动轨迹如下图所示
将速度分解为沿y轴方向的v y和沿z轴方向的v z，则粒子在z轴方向以v z分速度做匀速直线运动，在xOy平
面以v y分速度做匀速圆周运动，故当粒子运动圆周运动半周期的奇数倍时粒子离z轴最远，由
T = 2πr
v
= 2πm
qB 可知，粒子与z轴距离最大时的时间为t1=n πm
qB
(n=1，3，5⋯⋯)，故C 错误；
D．当U =2U 0，粒子速度方向与xOy平面和z坐标轴夹角均为45
∘时，初速度大小为v0= √2qBL
2m
将其分解为z轴方向分速度v z= qBL
2m
和xOy平面分速度v xOy = qBL
2m
粒子在z轴方向以v z分速度做匀速直线运动，在xOy平面以v xOy分速度做匀速圆周运动，则经过t2= 3 πm
2qB 时
粒子的坐标为(
L
2 ，−L
2 ，−3
4 πL)，故D 正确。
故选AD。
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点四 三类动态圆
知识点 三类动态圆模型
模型
解读
“平移圆”模型
（1）条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同
一直线上。
（2）特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直
线上，该直线与入射点的连线平行。
（3）用法：将半径相同的轨迹圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子
运动的有关临界问题
“放缩圆”模型
（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大
小不同。
（2）特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点
所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。
（3）用法：用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中可发现粒
子运动的有关临界问题
“旋转圆”模型
（1）条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方
向不同。
（2）特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在
以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。
（3）用法：将半径相同的轨迹圆以入射点为圆心旋转，从圆的动态变化中可发
现粒子运动的有关临界问题
考向1 “平移圆”模型
例1 如图所示，边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，从DC 边的M 点飞出磁场（M
点未画出）。设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t1，由P 点运动到M 点所用时间为t2（带电粒子重力
不计），则t1:t2为（ ）
A．2:1
B．2:3
C．3:2
D．3:1
【答案】C
【详解】如图所示，画出粒子从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
R = L
从C 点射出的粒子运动时间为
t1= 90°
360° T = 1
4 T
从P 点入射的粒子圆心在AD 延长线上距D 点1
2 L处，那么粒子转过的圆心角满足
cosθ =
1
2 L
L = 1
2
解得
θ =60°
运动时间为
t2= 60°
360° T = 1
6 T
则有
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
t1
t2
=
1
4 T
1
6 T
= 3
2
故选C。
【变式训练1】（多选）如图所示，在等腰直角三角形BAC 内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面
向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v 的带正电粒子垂直AB 边射入磁
场，已知从AC 边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC 边。不计粒子重力和粒
子间的相互作用。下列判断中正确的是（ ）
A．等腰三角形BAC 中AB 边的长度为√2mv
qB
B．粒子在磁场中运动的最长时间为πm
2qB
C．从AB 中点射入的粒子离开磁场时的位置与A 点的距离为mv
qB
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变
【答案】AB
【详解】A．依题意可知在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹时半圆，轨迹圆的圆心在A 点。且其轨
迹与BC 边相切。根据几何关系可知
ABsin 45° =r
粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有
qvB =m v
2
r
联立，可得
AB = √2mv
qB
故A 正确；
B．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为
T = 2πr
v
根据上一选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90°，则有
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
t = 90°
360° T = πm
2qB
故B 正确；
C．从AB 中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移r −√2
2 r得到
此轨迹圆的圆心在A 点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A 点的距离必然小于轨迹半径
r，即mv
qB 。故C 错误；
D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90°的轨迹，故最长时间将变小，
故D 错误。
故选AB。
【变式训练2】如图所示，有一边长为a的正方形ABCD，在ABCD内的适当区域加一垂直正方形ABCD
所在平面的匀强磁场。一束电子以某一速度沿正方形ABCD所在平面、且垂直于AB边射入该正方形区
域，已知该束电子从AB边上的任意点入射，都只能从C点沿正方形ABCD所在平面射出磁场，不计电子
重力，则关于该区域的磁场方向及最小面积，下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直于ABCD所在平面向外
B．电子在磁场中做圆周运动的半径为2a
C．磁场的最小面积为(π −2)a
2
2
D．磁场的最小面积为1
4 π a
2
【答案】C
【详解】A．由于电子要在ABCD 平面内从C 点射出，由左手定则可以判断磁场必须垂直平面向里。故A
错误；
B．根据从A 点入射的电子，从C 点射出磁场，其轨迹恰好为四分之一圆周，可知电子在磁场中做圆周运
动的半径为a。故B 错误；
CD．磁场的最小面积是一个以B 点为圆心、正方形的边长为半径的四分之一圆和以D 点为圆心、正方形
的边长为半径的四分之一圆的公共范围，如图所示
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
由几何关系得最小面积为
Smin= (π −2)a
2
2
故C 正确；D 错误。
故选C。
【变式训练3】（多选）如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AC=d，
∠B=30°，现垂直AB 边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC
边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而在磁场中运动的最长时间为4
3 t（不计重力和粒子间的相互作
用）。下列判断正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm
2qt
C．粒子在进入磁场时速度大小为√3 πd
5t
D．粒子在磁场中运动的轨迹半径为2d
5
【答案】BC
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直ACAC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是1
4 T，
则得周期为
T = 4 t
故A 错误；
B．由
T = 4 t
R = mv
qB
T = 2πR
v
得
B = 2πm
qT = πm
2qt
故B 正确；
D．
运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有
Rsin π
6 +
R
sin π
6
=
d
tan30
∘
解得
R = 2√3
5
d
故D 错误；
C．根据粒子在磁场中运动的速度为
v = 2πR
T
周期为
T = 4t
半径为
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
R = 2√3
5
d
联立得
v = √3 πd
5t
故C 正确。
故选BC。
考向2 “放缩圆”模型
例1 如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全相同
的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面（纸
面）内，下列说法正确的是（ ）
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期不相同
【答案】A
【详解】CD．对于完全相同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中，则周期相同，由图知③粒子在磁
场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ 磁场区域经历的时间最长，故CD 错误；
A．根据洛伦兹力提供向心力有
qvB =m v
2
r
可得
r = mv
qB
由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，故A 正确；
B．粒子的向心加速度为
a= v
2
r = qBv
m
可知④粒子的向心加速度最大，故B 错误。
故选A。
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式训练1】如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，
∠C =30°，比荷均为q
m的带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A 点沿AB方向射入磁场，则（ ）
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短B．粒子在磁场中运动的最长时间为2πm
3qB
C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越短D．粒子在磁场中运动的最长路程为πL
2
【答案】B
【详解】B．根据洛伦兹力提供向心力
qvB =m v
2
r
可得
r = mv
qB
可知粒子速度越大，粒子运动半径越大。当粒子运动半径较小时，能够从AC 边射出，粒子在磁场中的圆
心角为2π
3 ，此时粒子在磁场中运动时间最长，为
t = 120
∘
360
∘T = 2πm
3qB
当粒子运动半径较大时，从BC 边射出，粒子速度越大，轨迹对应的圆心角越小，在磁场中运动时间越
短，故A 错误，B 正确；
C．粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC 边相切时运动轨迹最长，
粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越短，故C 错误；
D．当粒子和BC 边相切时路程最大，此时有
R = AB = L
粒子在磁场中运动的最长路程为
s=θR = 2πL
3
故D 错误。
故选B。
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式训练2】如图所示，等腰直角三角形abc 区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
为B。三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为
t1、t2、t3，且t1∶t2∶t3＝3 3 1
∶∶。直角边bc 的长度为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A．三个速度的大小关系一定是v1＝v2＜v3
B．三个速度的大小关系可能是v2＜v1＜v3
C．粒子的比荷q
m＝π
Bt1
D．粒子的比荷q
m＝v2
2BL
【答案】B
【详解】AB．由于t1∶t2∶t3＝3 3 1
∶∶，作出粒子运动轨迹图如图所示，它们对应的圆心角分别为90°、90°、
30°，由几何关系可知轨道半径大小分别为
R2<R3
R1<R3＝2L
由
qvB＝mv
2
R
可知三个速度的大小关系可能是
v2＜v1＜v3
故A 错误，B 正确；
C．粒子运动周期
T＝2πR
v
＝2πm
qB
则
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
t1＝1
4 T＝πm
2qB
解得
q
m＝
π
2Bt1
故C 错误；
D．由
qvB＝m v
2
R3
R3＝2L
解得粒子的比荷
q
m＝v3
2BL
故D 错误。
故选B。
考向3 “旋转圆”模型
例1（多选）如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度B，∠A＝60°，AO＝
a。在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为q
m，发射速度大小都
为v0，且满足v0＝qBa
m ，发射方向用图中的角度θ 表示。对于粒子进入磁场后的运动（不计重力作用），
下列说法正确的是（ ）
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．θ 角越大，粒子运动时间越短
B．以θ＝0°和θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间相等
C．以θ＜30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D．在AC 边界上只有一半区域有粒子射出
【答案】BD
【详解】ABC．粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
q v0 B＝m v0
2
R
把已知v0代入解得
R＝AO＝a
当粒子速度以θ=0°射入时，根据数学知识可知，A 点为圆心，粒子从AC 边的中点D 射出，其运动轨迹如
图所示
当粒子速度以θ=60°时射入时，同理可得，其运动轨迹如图2 所示，此时粒子恰好从A 点射出；
在图1、图2 中，根据匀速圆周运动的规律和数学知识可知，当θ=0°和θ=60°入射的粒子，转过的圆心角
最大，都等于60°，再根据粒子在匀强磁场中运动的时间公式
t ＝θ
2π T
可知，它们的运动时间最长。
因此当粒子速度以0°＜θ＜30°的范围内入射的粒子，出射的范围一定在直线AD 中间的某一部分。此时，
转过的圆心角不相等，故粒子在磁场中运动的时间不相等；
故AC 错误，B 正确；
D．出射的范围一定在直线AO 上，又因为D 是AC 的中点，因此在AC 边界上只有一半区域有粒子射出。
故D 正确；
故选BD。
【变式训练1】（多选）如图所示，足够长的荧屏板MN 的上方分布了垂直纸面向里的匀强磁场。荧屏板
上Р 点的正上方有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v0，电荷量为
−q(q>0)、质量为m 的带负电粒子。粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径为d，Р 点到粒子源S 的距离为
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
1
2 d，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．打到荧屏板上的粒子到P 点的最远距离为√15
2 d
B．粒子能打到荧屏板上的区域长度为√15d
C．从粒子源出发到荧屏板的最短时间为πd
6 v0
D．从粒子源出发到荧屏板的最长时间为5 πd
3 v0
【答案】AD
【详解】如图，可画出粒子在磁场中的可能运动轨迹如图所示
A．由几何知识可知，当粒子打在SP 右侧极板MN 上的Q 点，且SQ 等于粒子做圆周运动的直径，打到荧
屏板上的粒子到P 点的距离为最远，由几何知识可得
PQ =√(2d)
2−( d
2 )
2= √15
2 d
故A 正确；
B．由几何知识可知，当粒子在SP 左侧的运动轨迹恰好与MN 相切与K 点时，此时粒子为打在MN 板左侧
的最远点，由几何知识，可得
KP=√d
2−( d
2 )
2
= √3
2 d
则粒子能打到荧屏板上的区域长度为
L= KP+QP = (√3+√15)
2
d
故B 错误；
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C．由几何知识可知，当粒子在磁场中运动轨迹过P 点时，粒子运动轨迹所对应的弦长最短，则所用时间
最短，由几何知识可得
sinθ =
d
4
d = 1
4 <sin15
∘
则轨迹所对应的圆心角大小为
2θ<30
∘
而若圆心角为30
∘时，所用时间为
tmin= 2πd
12v0
= πd
6 v0
所以，可知从粒子源出发到荧屏板的最短时间小于πd
6 v0
，故C 错误；
D．由几何知识可知，当粒子在SP 右侧的运动轨迹恰好与MN 相切于T 点时，粒子在磁场中运动所用时间
最长，由几何知识可得此时粒子运动轨迹所对应的圆心角为
θ =300
∘
则运动所用最长时间为
tmax = 300
∘
360
∘⋅2πd
v0
= 5 πd
3 v0
故D 正确。
故选AD。
【变式训练2】如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。有无数带有同样电
荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P 点进入磁场。这些粒子射出边界的位置
均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1
3。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果
相应的弧长变为原来的一半，则B2:B1等于（ ）
A．2
B．√3
C．√2
D．1
【答案】B
【详解】磁感应强度为B1时，从P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M，最远的点是轨迹上直径与磁
场边界圆的交点，∠POM =120°，如图所示
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以粒子做圆周运动的半径R，有sin 60° = R
r
得R = √3
2 r
磁感应强度为B2时，从P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆
的交点，∠PON =60°，如图所示
所以粒子做圆周运动的半径R
′，则sin30° = R
′
r
得R
′ = r
2
由带电粒子做圆周运动的半径R = mv
qB 得R = mv
qB = mv
q B1
= √3
2 r ，R
′ = mv
qB = mv
q B2
= 1
2 r
联立解得
B2
B1
=√3
故选B。
【变式训练3】如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面
向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m，电
荷量均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒子带负电，OP
=√3OS=√3d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
54
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．粒子的速度大小为qBd
2m
B．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为πm
qB
C．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9 2∶
D．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为d
2
【答案】C
【详解】A．由题意可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上
的P 点，可以画出其轨迹1，如图所示，可知SP 为直径，由几何关系则有
(2 R)
2−d
2=(√3d)
2
得
R =d
由洛仑兹力提供向心力可得
Bqv =m v
2
R
得
v = qBd
m
A 错误；
B．粒子的运动周期
T = 2πR
v
得
T = 2πm
qB
从O 点射出的粒子如轨迹3，由几何知识可得轨迹3 所对应的圆心角为60°，在磁场中的运动时间
t = T
6 = πm
3qB
故B 错误；
55
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C．从x 轴上射出磁场的粒子中，运动时间最长的粒子为运动轨迹与x 轴相切的粒子（轨迹2），对应的圆
心角为270°，得
t1= 3
4 T
运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子（轨迹3），此时对应的圆心角为60°，得到
t2= 1
6 T
所以
t1:t2＝9:2
故C 正确；
D．沿平行x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O 点的
距离为d，故D 错误。
故选C。
考点五 磁聚焦 磁发散
知识点 磁聚焦和磁发散模型
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如
果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与磁场
圆上过入射点的切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径
与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，
磁场圆上过该点的切线与入射方向平行
考向 磁聚焦 磁发散模型
例1 带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为r 的圆形区域
内存在垂直纸面的匀强磁场。一束宽度为2r、沿x 轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点
O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度均为v，不计粒子间的相互作用力，则磁感应强度
的大小为（ ）
56
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．mv
2er
B．√2mv
2er
C．mv
er
D．2mv
er
【答案】C
【详解】由题可知，从左侧任选一束电子流A 经磁场偏转后，通过坐标原点O，如图所示
由于电子沿水平方向射入磁场，半径与速度方向垂直，可知
A O2//O1O
由几何关系可知，平行四边形AO2OO1为菱形，因此电子在磁场中运动的轨道半径
R =r
又由于
evB = mv
2
R
可知磁感应强度的大小为
B = mv
er
故选C。
例2（多选）如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，O点
是圆心，P是磁场边界上的最低点。大量质量均为m、电荷量为−q(q>0)的带电粒子，以相同的速率从P
点沿纸面内的各个方向射入磁场区域。已知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r , A 、C为圆形区域水平
直径的两个端点，粒子的重力、空气阻力和粒子间的相互作用均不计，则下列说法正确的是（ ）
57
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．若r =2 R，则粒子在磁场中运动的最长时间为t = πm
3qB
B．若r =2 R，则从A点有沿水平方向射出磁场的粒子
C．若r = R，则圆周上有一半区域有粒子射出
D．若r = R，则与OP连线成30
∘角偏右侧进入磁场的粒子在磁场中经历的时间为t = πm
3qB
【答案】AC
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有qvB =m v
2
r
要使带电粒子在圆形磁场中的运动时间最长，则粒子圆周运动的轨迹应以磁场圆直径为弦，则粒子的运动
轨迹如图
由几何关系知，此轨迹在磁场中的偏转角为60°，所以最长时间为t = 60°
360° × 2πr
v
= πm
3qB
故A 正确；
B．若粒子能从A 点水平射出磁场，则在A 点作速度方向的垂线，再作AP 两点的中垂线，交点即为圆心，
此时圆周运动的半径r≠2R，如图所示
58
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故B 错误；
C．若r=R，以P 为圆心，R 为半径画圆，通过几何关系可知，粒子只能从圆弧AMC（M 为PO 延长线与磁
场边界的交点）射出，即圆周上有一半区域有粒子射出，故C 正确；
D．若r=R，与OP 连线成30°角偏右侧进入磁场的粒子，其轨迹所对的圆心角为120°，运动时间
t = 120°
360° T = 2πm
3qB
故D 错误。
故选AC。
【变式训练1】（多选）如图所示，长方形 abcd 长ad =0.6m，宽 ab=0.3m，e、f 分别是 ad、be 的中点，
以ad 为直径的半径内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量
m=3×10
−7kg。电荷量（q=+2×10-3C 的带电粒子以速度v0=5×10
2m/s从左右两侧沿垂直ad 和bc 方向
射入磁场区域（不考虑边界粒子），则以下正确的是（ ）
A．从ae 边射入的粒子，出射点分布在 ab 边和bf 边
B．从ed（不含ed 两点）边射入的粒子，出射点全部分布在 bf 边
C．从bf 边射入的粒子，出射点全部分布在 ae 边
D．从 fc 边射入的粒子，全部从d 点射出
【答案】ABD
【详解】A．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得
q v0 B =m v0
2
R
解得
R = m v0
qB = 3×10
−7×5×10
2
2×10
−3×0.25
m=0.3m
59
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
从ae 边射入的粒子，粒子进入磁场后受到向上的洛伦兹力，将向上偏转而做匀速圆周运动，由于轨道半径
R=0.3m=ab
由几何关系知粒子将从圆弧af 射出磁场，射出磁场后做匀速直线运动，最后ab 边和bf 边射出，故A 正
确；
B．由上知粒子轨道半径R=ab，从d 点射入的粒子恰好从f 点射出磁场，从ed 边射入的粒子，从ed 射入磁
场的粒子向上偏转，最终从bf 边射出，故B 正确；
C．从bf 边射入的粒子将向下偏转，画出粒子的运动轨迹，如图蓝线所示
则知粒子的出射点分布在ae 边与ed 边，故C 错误；
D．从fc 边射入的粒子，在洛伦兹力作用下向下偏转，画出粒子的运动轨迹，如图红线所示，则粒子全部
从d 点射出，故D 正确。
故选ABD。
【变式训练2】（多选）如图所示，ABCA 为一个半圆形的有界匀强磁场，O 为圆心，F、G 分别为半径OA
和OC 的中点，D、E 点位于边界圆弧上，且DFIIEG//BO．现有三个相同的带电粒子（不计重力）以相同
的速度分别从B、D、E 三点沿平行BO 方向射入磁场，其中由B 点射入磁场粒子1 恰好从C 点射出，由
D、E 两点射入的粒子2 和粒子3 从磁场某处射出，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子2 从O 点射出磁场
B．粒子3 从C 点射出磁场
C．粒子1、2、3 在磁场的运动时间之比为3：2：2
D．粒子2、3 经磁场偏转角不同
【答案】ABC
【详解】AB.三个相同的带电粒子(不计重力)以相同的速度分别从B、D、E 三点沿平行BO 方向射入磁场，
故三粒子运动半径、周期相同；由B 点射入磁场粒子1 恰好从C 点射出，粒子都向右偏转，且半径r=R；
根据几何关系可以证明，
DF = EG = R sin 60
0= √3
2 R
60
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
粒子3 沿EG 方向位移为√3
2 R时，沿GC 方向位移为R，恰好从C 点射出；同理，粒子2 恰好从O 点射
出。故A 正确，B 正确；
CD.粒子2、3 转过的中心角为60°，粒子1 转过的中心角为90°，所以粒子1、2、3 在磁场的运动时间之比
为3：2：2，故C 正确，D 错误。
故选：ABC。
【变式训练3】（多选）如图所示半径为R 的圆形区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画
出）。两个质量、电量都相同的正粒子，以相同的速率v 从a 点先后沿直径ac 和弦ab 的方向射入磁场区
域，ab 和ac 的夹角为30°。已知沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动的时间为其圆周运动周期的1
4 ，不计粒
子重力。则（ ）
A．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
B．粒子在磁场中运动的轨道半径为2R
C．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间为2πR
3 v
D．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间为π R
3v
【答案】AC
【详解】粒子两次入射的轨迹如图所示
由题意知两次入射的速度相同，则半径也相同。当入射方向向下偏转30°时，其轨迹也顺时针旋转30°。
AB．由于沿ac 方向射入的粒子偏转90°，粒子从O 点正上方的A 点射出，如图轨迹1 由几何关系知其运动
半径为R，所以A 正确；B 错误；
CD．沿ab 方向入射的粒子其半径也为R，其轨迹只是将1 顺时针旋转30°，其圆心为O′，由几何关系知四
边形aOBO′为菱形，且∠aO'B=120°，所以沿ab 方向入射的粒子在磁场中偏转了120°，运动时间为
61
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
t = 1
3 T = 1
3 × 2πR
v
= 2πR
3 v
所以C 正确；D 错误；
故选AC。
【变式训练4】（多选）如图，空间中一半径为R 的圆形区域（包括边界）内有方向垂直于纸面向里、磁
感应强度大小为B 的匀强磁场。磁场左侧宽度为R 的区域里，大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以
相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A 点沿AO 方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M 点飞
出，已知过A、O 两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作
用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子做圆周运动的半径为R
2
B．粒子的初速度大小为qBR
m
C．粒子在磁场中运动的最短时间为πm
2qB
D．粒子在磁场中运动的最长时间为2πm
3qB
【答案】BD
【详解】AB．由几何关系可知粒子圆周运动的半径r = R
由洛伦兹力提供向心力得q v0 B = m v0
2
r
解得粒子的初速度大小为v0= qBR
m
故A 错误，B 正确；
CD．如图所示
由C 点入射的粒子运动时间最短，设运动轨迹对应的圆心角为α，则有cosα =
R
2
R = 1
2
62
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
粒子做圆周运动的周期为T = 2πr
v0
= 2πm
qB
粒子运动的最短时间tC = α
2π ⋅T = πm
3qB
同理，由D 点入射的粒子运动时间最长，对应的圆心角为120°，则最长时间为t D= 1
3 T = 2πm
3qB
故C 错误，D 正确。
故选BD。
1.（全国III 卷·高考真题）平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM
上方存在匀强磁场、磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q
（q>0），沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度方向与OM 成30°角，已知该
粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场，不计重力。则粒子离开磁场
时的出射点到两平面交线O 的距离为（ ）
A．mv
2qB
B．√3mv
qB
C．2mv
qB
D．4 mv
qB
【答案】D
【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动洛伦兹力提供向心力，所以
qvB =m v
2
r
根据题意，轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示
由于
AD =2r sin30° =r
故△AO′D 为等边三角形，∠O′DA=60°，而∠MON=30°，则∠OCD=90°，故CO′D 为一直线，则
OD =
CD
sin30° =2CD = 4 r = 4 mv
qB
63
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故选D。
2.（北京·高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真
空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l>>a）。带
电粒子束持续以某一速度v 沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁
发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子
的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为Bqa
v
C．管道内的等效电流为nqπ a
2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
【答案】C
【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为
r=a
故A 正确，不符合题意；
B．根据
qvB =m v
2
r
可得粒子的质量
m= Bqa
v
故B 正确，不符合题意；
C．管道内的等效电流为
I = NqSv
单位体积内电荷数为
n
π a
2v
则
I =
n
πv a
2 qπ a
2v =nq
故C 错误，符合题意；
D．由动量定理可得
F Δt =2nm Δtv
64
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
粒子束对管道的平均作用力大小
F
'× 2a
l = F
联立解得
F
' =nBql
故D 正确，不符合题意。
故选C。
3.（北京·高考真题）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场边界从a 点
射入，从b 点射出．下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．粒子在b 点速率大于在a 点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
【答案】C
【详解】由左手定则确粒子的电性，由洛伦兹力的特点确定粒子在b、a 两点的速率，根据qvB =m v
2
r 确定
粒子运动半径和运动时间．
由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，所以粒子应带负电，故A 错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒
子动能不变，即粒子在b 点速率与a 点速率相等，故B 错误；若仅减小磁感应强度，由公式qvB =m v
2
r
得：r = mv
qB ，所以磁感应强度减小，半径增大，所以粒子有可能从b 点右侧射出，故C 正确，若仅减小入
射速率，粒子运动半径减小，在磁场中运动的偏转角增大，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D 错
误．
4.（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O 点为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、
电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC 方向从A 点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是
（ ）
65
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．粒子的运动轨迹可能经过O 点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域的最小时间间隔为7πm
3qB
D．若粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为√3qBR
3m
【答案】D
【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒
子的运动轨迹不可能经过O 点，故AB 错误；
C．粒子连续两次由A 点沿AC 方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图
则最短时间有
t =2T = 4 πm
qB
故C 错误；
D．粒子从A 点射入到从C 点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示
设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知
r = √3 R
3
根据洛伦兹力提供向心力有
66
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
qvB =m v
2
r
可得
v = √3qBR
3m
故D 正确。
故选D。
5.（多选）（湖北·高考真题）一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成
a、b 和c 三个微粒，a 和b 在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c 未在图中标出。仅
考虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．a 带负电荷
B．b 带正电荷
C．c 带负电荷
D．a 和b 的动量大小一定相等
【答案】BC
【详解】ABC．由左手定则可知， 粒子a、粒子b 均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应
保持不变，则粒子c 应带负电，A 错误，BC 正确；
D．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即
qvB =m v
2
R
解得
R = mv
qB
由于粒子a 与粒子b 的质量、电荷量大小关系未知，则粒子a 与粒子b 的动量大小关系不确定，D 错误。
故选BC。
6.（多选）（2025·河北·高考真题）如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N水平固定，间距为d ，M
板接地。M 板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M 板O 点处正上方P 点有一粒子源，可沿纸面
内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角θ =60°时，粒子恰好垂
直穿过M 板Q 点处的小孔。已知OQ =3 L，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在
金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略
边缘效应。下列说法正确的是（ ）
67
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．粒子一定带正电
B．若间距d 增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C．粒子打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为7 L
D．粒子打到M 板下表面的位置与Q 点的最小距离为√3d
【答案】BCD
【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A 错误；
B．随着粒子不断打到N 极板上，N 极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒
子恰能到达N 极板时满足v
2=2ad，a= qE
m
解得E = mv
2
2qd
即d 越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B 正确；
C．因粒子发射方向与OP 夹角为60°时恰能垂直穿过M 板Q 点的小孔，则由几何关系cos60
∘= 3 L−r
r
解得r=2L
可得OP=r sin60
∘=√3 L
可得粒子从磁场上方，直接打在打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为
xm1=√(2r )
2−(OP)
2=√13 L
当N 极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q 点射入极板，会返回再从在Q 点射出，后继续做圆周运动，这
时打M 板在板上表面的位置xm2=OQ+2r =7 L> xm1
则粒子打在M 板上表面的位置的最大距离为7 L，选项C 正确；
D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ 长度时，粒子仍可从Q 点进入两板之
间，由几何关系可知此时粒子从P 点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M 板夹角为α=30°，则在
两板间运动时间t = 2v sin α
a
其中a= v
2
2d
打到M 板下表面距离Q 点的最小距离s= v cosαt
解得s=2d sin 2α =√3d
选项D 正确。
故选BCD。
68
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
7.（全国甲卷·高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点开有一个小孔，过P
的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P 点沿PO 射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子
在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方
向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【答案】BD
【详解】D．假设粒子带负电，第一次从A 点和筒壁发生碰撞如图，O1为圆周运动的圆心
由几何关系可知∠O1 AO为直角，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，
由圆的对称性在其它点撞击同理，D 正确；
A．假设粒子运动过程过O 点，则过P 点的速度的垂线和OP 连线的中垂线是平行的不能交于一点确定圆
心，由圆形对称性撞击筒壁以后的A 点的速度垂线和AO 连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不
69
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
可能过O 点，A 错误；
B．由题意可知粒子射出磁场以后的圆心组成的多边形应为以筒壁的内接圆的多边形，最少应为三角形如
图所示
即撞击两次，B 正确；
C．速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少， C 错误。
故选BD。
70
