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第40 讲 带电粒子在复合场中的运动
——划重点之精细讲义系列
一．复合场与组合场
1．复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
2．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，
电场、磁场交替出现．
二．带电粒子在复合场中的运动分类
1．静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直
线运动．
2．匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛
伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．
3．非匀变速曲线运动
当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同
一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，
也不是拋物线．
4．分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域
发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．
考点一 带电粒子在组合场中的运动
1．是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电
场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些宏观物体，如带电小球、
液滴、金属块等一般应当考虑其重力．
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较
简单．
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要
由分析结果确定是否要考虑重力．
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2．“电偏转”与“磁偏转”的比较
垂直电场线进入匀强电场(不计
重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不
计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向
不变，与速度v 无关，FE是恒力
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不
变，方向随v 而改变，FB是变
力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹
求解方法
利用类似平抛运动的规律求解：
vx＝v0，x＝v0t
vy＝·t，
y＝··t2
偏转角φ：
tan φ＝＝
半径：r＝
周期：T＝
偏移距离y 和偏转角φ 要结合
圆的几何关系利用圆周运动规
律讨论求解
运动时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
考向1：先电场后磁场
对于粒子从电场进入磁场的运动，常见的有两种情况：
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图甲、
乙所示)
在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．(如图丙、丁
所示)
在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．
2
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考向2：先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直．(如图甲、乙所示)
【典例1】(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和
P3＋，经电压为U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直
纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子P＋在磁场中
转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(
)
A．在电场中的加速度之比为1∶1
B．在磁场中运动的半径之比为∶1
C．在磁场中转过的角度之比为1∶2
D．离开电场区域时的动能之比为1∶3
【典例2】如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E＝4×105 N/C、
方向水平向左的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁
场．质量与电荷量之比为＝4×10－10 kg/C 的带正电粒子从x 轴上的A 点以
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初速度v0＝2×107 m/s 垂直x 轴射入电场，OA＝0.2 m，不计重力．求：
(1)粒子经过y 轴时的位置到原点O 的距离；
(2)若要求粒子不能进入第Ⅲ象限，求磁感应强度B 的取值范围(不考虑
粒子第二次进入电场后的运动情况)．
【典例3】如图，在x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向
垂直于纸面向外；在x 轴下方存在匀强电场，电场方向与xOy 平面平行，且
与x 轴成45°夹角．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从y 轴上
P 点沿y 轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电
场方向相反；又经过一段时间T0，磁场方向变为垂直于纸面向里，大小不
变，不计重力．
(1)求粒子从P 点出发至第一次到达x 轴时所需的时间；
(2)若要使粒子能够回到P 点，求电场强度的最大值．
【典例4】如图所示，一个质量为m、电荷量为q 的正离子，在D 处沿图
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示方向以一定的速度射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸
面向里．结果离子正好从距A 点为d 的小孔C 沿垂直于电场方向进入匀强
电场，此电场方向与AC 平行且向上，最后离子打在G 处，而G 处距A 点
2d(AG⊥AC)．不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；
(2)离子从D 处运动到G 处所需时间；
(3)离子到达G 处时的动能．
带电粒子在组合场中的运动问题的分析方法
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹
力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．
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②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦
兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹
力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的
运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒
力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定
律结合牛顿运动定律求出结果．
【典例5】(多选)如图所示，空间存在水平向左的匀强电场E 和垂直纸面
向外的匀强磁场B，在竖直平面内从a 点沿ab、ac 方向抛出两带电小球，
不考虑两带电小球间的相互作用，两小球所带电荷量始终不变，关于小球
的运动，下列说法正确的是( )
A．沿ab、ac 方向抛出的带电小球都可能做直线运动
B．若沿ab 运动小球做直线运动，则该小球带正电，且一定是匀速运动
C．若沿ac 运动小球做直线运动，则该小球带负电，可能做匀加速运动
D．两小球在运动过程中机械能均保持不变
【典例6】如图，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ 为理
想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的范围足够大．匀强电场方向竖直向上；
Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外．一个
质量为m、带电荷量为q 的带电小球从磁场上方的O 点由静止开始下落，进
入场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g.
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(1)试判断小球的电性并求出电场强度E 的大小；
(2)若带电小球能进入区域Ⅱ，则h 应满足什么条件？
(3)若带电小球运动一定时间后恰能回到O 点，求它释放时距MN 的高度
h.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直
于纸面（xOy 平面）向里，磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到
磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的
接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离为a。如果保持所有条件
不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到
达接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·湖南·统考高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场
和匀强磁场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角
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三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O
三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A 点处的粒子源持
续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区
域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大
小为B2，则粒子从CF 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁
场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之
间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
二、多选题
3．（2022·浙江·统考高考真题）如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示
为
， a 为常量。比荷相同的两粒子在半径r 不同的圆轨道运动。不考虑粒子间
的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r 小的粒子角速度一定小
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B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r 一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
4．（2023·全国·统考高考真题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒
上P 点开有一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P
点沿PO 射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上
碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量
不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
5．（2023·海南·统考高考真题）如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点
以初速度
射入第一象限内的电磁场区域，在
（
为已知）区
域内有竖直向上的匀强电场，在
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强
度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场后偏转打到接收器
上，则
（ ）
A．粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
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B．粒子从
中点射入磁场时速度为
C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
三、解答题
6．（2022·江苏·高考真题）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存
在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，一个质量为m、速度为v 的电中性粒子在A 点分
裂成带等量异号电荷的粒子a 和b，a、b 在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时
间内的径迹长度之比
，半径之比
，不计重力及粒子间的相互作用
力，求：
（1）粒子a、b 的质量之比
；
（2）粒子a 的动量大小
。
7．（2023·江苏·统考高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy
平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子
沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最
高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
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（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的
电子数N 占总电子数N0的百分比。
1．如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直纸面向里，
将带正电的小球在场中静止释放，最后落到地面上．关于该过程，下述说
法正确的是( )
A．小球做匀变速曲线运动
B．小球减少的电势能等于增加的动能
C．电场力和重力做的功等于小球增加的动能
D．若保持其他条件不变，只减小磁感应强度，小球着地时动能不变
2．带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重
力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段
时间内，带电质点将( )
A．可能做直线运动
B．可能做匀减速运动
C．一定做曲线运动
D．可能做匀速圆周运动
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3．(多选)质量为m、电荷量为q 的微粒以速度v 与水平方向成θ 角从O
点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微
粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说
法中正确的是( )
A．该微粒一定带负电荷
B．微粒从O 到A 的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
D．该电场的场强为Bvcos θ
4．(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始
经电压U 加速后，水平进入互相垂直的匀强电场E 和匀强磁场B 的复合场
中(E 和B 已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则( )
A．小球可能带正电
B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝
C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝
D．若电压U 增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加
5．(多选)如图所示，在第二象限中有水平向右的匀强电场，在第一象限
内存在垂直纸面向外的匀强磁场．有一重力不计的带电粒子(电荷量为q，
质量为m)以垂直于x 轴的速度v0从x 轴上的P 点进入匀强电场，恰好与y 轴
正方向成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x 轴进入第四象限
已知OP 之间的距离为d，则( )
A．带电粒子通过y 轴时的坐标为(0，d)
B．电场强度的大小为
C．带电粒子在电场和磁场中运动的总时间为
D．磁感应强度的大小为
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6．在某空间存在着水平向右的匀强电场E 和垂直于纸面向里的匀强磁
场B，如图所示，一段光滑且绝缘的圆弧轨道AC 固定在纸面内，其圆心为
O 点，半径R＝1.8 m，OA 连线在竖直方向上，AC 弧对应的圆心角θ＝37°.
今有一质量m＝3.6×10－4 kg、带电荷量q＝＋9.0×10－4 C 的带电小球(可
视为质点)，以v0＝4.0 m/s 的初速度沿水平方向从A 点射入圆弧轨道内，一
段时间后从C 点离开，小球离开C 点后做匀速直线运动．已知重力加速度g
＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)匀强电场的场强E；
(2)小球刚离开C 点时的速度大小；
(3)小球刚射入圆弧轨道时，轨道对小球的瞬间支持力．
7. 如图所示，在直角坐标系xOy 平面内，虚线MN 平行于y 轴，N 点坐
标为(－L,0)，MN 与y 轴之间有沿y 轴正方向的匀强电场，在第四象限的某
区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场(图中未画出)．现有一质量
为m、电荷量为－e 的电子，从虚线MN 上的P 点，以平行于x 轴正方向的
初速度v0射入电场，并从y 轴上点A 射出电场，射出时速度方向与y 轴负方
向成30°角，进入第四象限后，经过矩形磁场区域，电子过点Q，不计电子
重力，求：
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)匀强磁场的磁感应强度B 的大小和电子在磁场中运动的时间t；
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(3)矩形有界匀强磁场区域的最小面积Smin.
8．如图所示，圆柱形区域的半径为R，在区域内有垂直于纸面向里、
磁感应强度大小为B 的匀强磁场；对称放置的三个相同的电容器，极板间
距为d，板间电压为U，与磁场相切的极板，在切点处均有一小孔，一带电
粒子，质量为m，带电荷量为＋q，自某电容器极板上的M 点由静止释放，
M 点在小孔a 的正上方，若经过一段时间后，带电粒子又恰好返回M 点，
不计带电粒子所受重力．求：
(1)带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
(2)U 与B 所满足的关系式；
(3)带电粒子由静止释放到再次返回M 点所经历的时间．
9．如图所示，在xOy 平面第一象限内有平行于y 轴的匀强电场和垂直
于xOy 平面的匀强磁场，匀强电场电场强度为E.一带电荷量为＋q 的小球从
y 轴上离坐标原点距离为L 的A 点处，以沿x 正向的初速度进入第一象限，
如果电场和磁场同时存在，小球将做匀速圆周运动，并从x 轴上距坐标原点
的C 点离开磁场．如果只撤去磁场，并且将电场反向，带电小球以相同的
初速度从A 点进入第一象限，仍然从x 轴上距坐标原点的C 点离开电场．求：
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(1)小球从A 点出发时的初速度大小；
(2)磁感应强度B 的大小和方向．
10．如图甲所示，建立Oxy 坐标系．两平行极板P、Q 垂直于y 轴且关
于x 轴对称，极板长度和板间距均为l.在第一、四象限有磁感应强度为B 的
匀强磁场，方向垂直于Oxy 平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x 轴向右连
续发射质量为m、电荷量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～
3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响)．已知t＝0
时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场．上述m、
q、l、t0、B 为已知量．(不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况)
(1)求电压U0的大小；
(2)求t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(3)何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．
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