文档文本内容
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第40 讲 带电粒子在复合场中的运动
目
录
01 考情解码· 命题预警.........................................................................................................................................3
02 体系构建 ·思维可视.........................................................................................................................................4
03 核心突破 靶向攻坚..........................................................................................................................................4
考点一 带电粒子在组合场中的运动 .....................................................................................................4
知识点一 电场与磁场的组合......................................................................................................................4
知识点二 磁场与磁场的组合......................................................................................................................5
考向1 电场与磁场的组合...........................................................................................................................5
考向2 磁场与磁场的组合...........................................................................................................................9
考点二 带电粒子在组合场中运动的实例分析 ........................................................................................13
知识点一 质谱仪......................................................................................................................................13
知识点二 回旋加速器..............................................................................................................................13
考向1 回旋加速器......................................................................................................................................14
考向2 质谱仪..............................................................................................................................................17
考点三 带电粒子在叠加场中的运动 ................................................................................................20
知识点二 带电粒子(带电体)在叠加场中无约束情况下的运动...........................................................20
知识点二 带电体在叠加场中有约束情况下的运动..............................................................................20
考向1 磁场与重力场的叠加场中的运动.................................................................................................21
考向2 电场与磁场的叠加场中的运动.....................................................................................................23
考向3 带电体在叠加场中有约束的运动.................................................................................................27
考点四 带电粒子在叠加场中运动的实例分析 ..........................................................................................31
知识点一 速度选择器..............................................................................................................................31
知识点二 磁流体发电机..........................................................................................................................31
知识点三 电磁流量计..............................................................................................................................32
知识点四 霍尔元件..................................................................................................................................32
考向1 磁流体发电机.................................................................................................................................33
考向2 电磁流量计......................................................................................................................................36
考向3 霍尔元件..........................................................................................................................................39
考点五 带电粒子在交变场中的运动 ......................................................................................................42
知识点 带电粒子在交变场中的运动特点..............................................................................................42
考向 带电粒子在交变场中的运动............................................................................................................42
04 真题溯源·考向感知...........................................................................................................................................48
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
带电粒子在组合
场中的运动
选择题
非选择题
带电粒子在组合
场中运动的实例
分析
选择题
非选择题
安徽卷T05，4 分
带电粒子在叠加
场中的运动
选择题
非选择题
带电粒子在叠加
场中运动的实例
分析
选择题
非选择题
安徽卷T10，5 分
带电粒子在交变
场中的运动
选择题
非选择题
考情分析：
带电粒子复合场中的运动考查频率非常高，主要计算题中出现，有时也会在压轴选择题中出现，难度中
等。
复习时应理解和掌握质谱仪及回旋加速器的原理，掌握带电粒子在电磁组合场的基本规律，并学会分析带
电粒子的运动情情景并会解决问题。通常应用：画图法、动能定理、功能关系。
命题情景：与现代科技相结合考查科学仪器，并考查带电粒子运动的综合计算题型。
复习目标：
目
一：
标
理解和掌握
磁
中各
器的原理
电
场
类仪
。
目
二：
标
会
理
粒子在磁
和
合
中的运
。
带电
场
电场
场
动
处
组
目标三：学会
理
粒子在磁
、重力
、
复合
中的运
。
处
带电
场
场电场
场
动
2
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考点一 带电粒子在组合场中的运动
知识点一 电场与磁场的组合
(1)带电粒子在匀强电场中做匀变速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。
(2)带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。
3
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知识点二 磁场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，
但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步
寻找边、角关系。
考向1 电场与磁场的组合
例1 （2025·安徽合肥·三模）（多选）如图所示，在xOy 坐标系第二象限有一个半径为R 的圆形区域，圆
心为C，圆形边界分别与x 轴、y 轴相切于M、N 两点。圆形区域内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场。第
一象限存在沿y 轴负方向的匀强电场。在M 点放置一粒子源，粒子源可向磁场中各个方向发射速率均为
的同种带正电粒子，其中沿MC 方向射入磁场的粒子恰好从N 点进入电场，后从x 轴上的P 点离开电场。
已知磁感应强度大小为B，电场强度大小
。不计粒子所受重力和粒子间的相互作用。下列说法正确
的是（ ）
A．带电粒子的比荷为
B．P 点与坐标原点O 的距离为
C．粒子运动至P 点时的速度大小为
D．x 正半轴上有粒子经过的范围长度为2R
【答案】BD
【详解】A．由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，根据洛伦兹力提供向心力
解得比荷
，故A 错误；
B．粒子从N 点垂直电场进入第一象限，沿y 方向有
解得
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沿x 方向有
，故B 正确；
C．沿y 向的速度为
则粒子运动至P 点时的速度大小为
，故C 错误；
D．粒子在磁场中运动的轨迹圆半径等于磁场圆半径R，由磁发散的规律可知，沿各个方向入射的粒子从
磁场圆的右半圆上所有点离开，且离开时速度均沿x 轴正向，进入电场后沿x 轴方向的最小距离为0，即
打在O 点。从M 点正上方离开的粒子在电场中的x 轴方向的位移最大，此时
解得
则沿x 轴方向有
因此x 正半轴上有粒子经过的范围长度为2R，故D 正确。
故选BD。
【变式训练1】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，平行边界
、
间为区域II，宽度为
，
上方的
区域I 内有与纸面平行、垂直于
向下的匀强电场，
下方有垂直于纸面向里的匀强磁场，
下方的
区域III 内还有与纸面平行、垂直
向下的匀强电场，两电场的电场强度均为
。一个质量为
、电荷
量为
的带正电的粒子在区域I 中的A 点由静止释放，粒子经电场加速、区域II 中的磁场偏转，在区域II
中的轨迹刚好与
相切，A 点离
的距离为
，不计粒子的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)粒子从静止释放到第
次经过
所用的时间；
(3)将粒子在区域I 中的
点由静止释放，
点到
的距离为
，则粒子在区域III 中的最大速度为多少。
【答案】(1)
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(2)n 为奇数时
，n 为偶数时，
(3)
【详解】（1）设粒子刚进区域II 时的速度大小为
，根据动能定理有：
解得
根据题意可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径
根据牛顿第二定律
解得
（2）设粒子第一次在电场中运动的时间为
，则
解得
粒子每次在磁场中运动的时间
粒子从静止释放到第n 次经过PQ 所用的时间
当n 为奇数时：
当n 为偶数时：
（3）由题求得粒子进入区域III 的水平分速度大小为
，在区域III 中运动的速度最大时，速度方向与MN
平行，设最大速度为v，根据动量定理：
，
即
根据动能定理
解得
【变式训练2·变考法】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示的xOy 平面内，在x<0 的区域内有竖直向上
的匀强电场，在
的区域内，处于第一象限的匀强磁场磁感应强度为B1、处于第四象限的匀强磁
场磁感应强度为B2，大小关系为B2=3B1（B1，B2大小未知），方向均垂直于纸面向外。一质量为m、电荷
量为＋q 的粒子，在t=0 时刻从P（－2L，－L）点以速度v0沿x 轴正向水平射出，恰好从坐标原点进入第
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一象限，最终从x 轴上的Q（4L，0）点射出磁场，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小E；
(2)磁感应强度B1的最小值Bmin；
(3)若
，整个过程粒子运动的时间t。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由分析可知带电粒子在
的区域内做类平抛运动，可分解为水平向右的匀速直线运动和
竖直向上的匀加速直线运动。由题意知水平方向匀速直线运动的位移为
设粒子在电场中运动时间为
，则有
解得
同理竖直方向匀加速的位移为
设竖直方向做匀加速运动的加速度为
，则有
解得
又因为根据牛顿第二定律有
解得
（2）由分析可知当粒子进入磁场后，第一次经过x 轴恰好从Q 点射出时B 有最小值。设粒子在
点的速
度为，且与水平方向的夹角为
，则有
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所以
又因为
解得
因为
，由几何关系可得
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力列向心力方程有
代入数据解得
（3）由（1）可知粒子在电场中运动的时间为
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力列向心力方程有
解得
当
时，解得
又因为
，则有
根据几何关系可知，要想粒子最终从x 轴上的Q（4L，0）点射出磁场，应满足关系式
当
、
时，解得
设粒子在第一象限的运动周期为
，则有
同理粒子在第四象限的运动周期为
设粒子在磁场中运动时间为
，则有
所以整个过程粒子运动的时间为
考向2 磁场与磁场的组合
例2（2025·河北·二模）如图所示，分别在平面直角坐标系
的第二、三象限加垂直纸面向外、向里的
匀强磁场，磁感应强度大小均为
。从
点
发射比荷为
、带正电的粒子，速度大小为，方向与
轴夹
角，粒子恰能垂直穿过
轴，不计粒子重力。
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(1)求
大小的可能值；
(2)求粒子到达
轴的时间；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设粒子在磁场中运动的半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有
根据粒子恰能垂直穿过
轴可得
又
联立解得
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为
根据小问（1）中的分析可知
粒子到达y 轴的时间为
联立解得
带电粒子在组合场中运动的处理方法
(1)解决带电粒子在组合场中运动问题的思路
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(2)常用物理规律
①带电粒子经过电场区域时利用动能定理或类平抛的知识等分析；
②带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系来处理。
(3)解题关键：从一种场进入另一种场时衔接速度不变。
【变式训练1】如图所示，空间分布有很多水平方向足够长的条形匀强磁场区域，磁感应强度大小为
B=1T，方向垂直纸面向里，其宽度均为
，相邻两磁场区域的间距为
。现将一比荷为
的带正电的粒子（不计重力）从第一个条形磁场区域上边界O 点以大小为
的速
度垂直边界进入磁场，则粒子再次回到第一个条形磁场区域上边界的时间为（取π≈3）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
粒子进入下方磁场区，圆周运动半径为R，根据洛伦兹力提供向心力
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解得
，粒子做圆周运动的周期为
根据粒子在空间运动的轨迹可知，它最低能进入第二个磁场区，它在磁场区运动的总时间为半个周期
，它经过第一无磁场区运动方向与水平方向的夹角θ 满足
，所以它在无
磁场区的路程
在无磁场区运动时间
，总时间
故选C。
【变式训练2·变考法】（多选）如图所示，在区域I 和区域Ⅱ内分别存在着与纸面垂直的匀强磁场（图中
未画出），一带电粒子沿着弧线apb 由区域I 运动到区域Ⅱ。已知圆弧ap 与圆弧pb 的弧长之比为
，下
列说法正确的是（ ）
A．区域I 和区域Ⅱ的磁场方向相反
B．粒子通过圆弧ap、pb 的时间之比为
C．粒子在区域I 和区域Ⅱ中的速率之比为
D．圆弧ap 与圆弧pb 对应的圆心角之比为
【答案】AB
【详解】A．根据曲线运动的条件，可知洛伦兹力的方向朝向曲线内侧，再由左手定则可知，两个磁场的
磁感应强度方向相反，故A 正确；
BC．根据
粒子在区域I 和区域Ⅱ中做匀速圆周运动，洛伦兹力不做功，速率相同，则时间之比等于经过的弧长之比，
即粒子通过圆弧ap、pb 的时间之比为
，故B 正确，C 错误；
D．根据几何关系可知圆心角满足
粒子做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有
变换可得
由于磁场的磁感应强度之比不知，故半径之比无法确定，则转过的圆心角之比无法确定，故D 错误；
故选AB。
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考点二 带电粒子在组合场中运动的实例分析
知识点一 质谱仪
(1)构造：如图甲所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
(2)原理：①粒子由静止被加速电场加速，根据动能定理可得关系式qU＝mv2。
②粒子在磁场中受洛伦兹力作用而偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝m。
③由以上两式可得r＝ ，m＝，＝。
(3)用途：分离同位素，测定带电粒子的比荷、质量m。
知识点二 回旋加速器
(1)构造：如图乙所示，D1、D2是半圆形金属盒，D 形盒的缝隙处接交流电源，D 形盒处于匀强磁场中。
(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D 形盒缝
隙，两盒间的电势差一次一次地改变正负，粒子就会被一次一次地加速。
(3)将带电粒子在两盒狭缝之间的运动首尾连起来是一个初速度为零的匀加速直线运动。
(4)带电粒子每加速一次，回旋半径就增大一次，rn＝，nqU＝mv，n 为加速次数。各半径之比为
1∶∶∶…。
(5)获得的最大动能：由qvmB＝、Ekm＝mv 得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B 和盒半径R 决定，
与加速电压无关。
(6)加速到最大动能的加速次数
粒子每加速一次动能增加qU，故需要加速的次数n＝。
(7)加速到最大动能的运动时间
①在磁场中的运动时间t1＝(n－1)。
②在电场中的加速时间t2＝ ，其中a＝，d 为狭缝的宽度。
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在回旋加速器中运动的总时间t＝t1＋t2。
考向1 回旋加速器
例1（2025·福建泉州·模拟预测）回旋加速器以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电
场，宽度为
，两侧为相同匀强磁场，方向垂直纸面向里。一质量
电荷量
的带电粒子，以初速度
垂
直边界射入磁场做匀速圆周运动，再进入电场做匀加速运动，后第二次进入磁场中运动…，粒子在电场和
磁场中不断交替运动，已知粒子第二次在磁场中运动半径是第一次的2 倍，第三次是第一次的3 倍…以此
类推，则（ ）
A．虚线之间的电场强度大小恒定
B．粒子第一次经过电场时电场力做功等于
C．粒子第二次经过磁场时洛伦兹力做功等于
D．假设粒子穿过电场时，此过程电场可视为匀强电场，则第6 次经过电场的时间为
【答案】D
【详解】A．粒子第
次进入电场时速度为
，穿出电场时速度为
，由题意知
，
由动能定理得
解得
，故A 错误；
B．设粒子第
次进入磁场时的半径为
，速度为
，由牛顿第二定律得
解得
因为
所以
对粒子第一次在电场中运动的过程，由动能定理得
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解得
，故B 错误；
C．洛伦兹力的方向始终指向圆心，与粒子速度垂直，所以洛伦兹力不做功，故C 错误；
D．设粒子第
次在电场中运动的加速度为
，由牛顿第二定律得
由运动学公式得
解得
当
时，
，故D 正确。
故选D。
带电粒子在组合场中运动实例的解题关键
根据受力和运动特点将过程分段，分别应用相关规律求解，注意过程衔接处速度不变。
【变式训练1】（2025·江苏南京·模拟预测）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ 内有加速
电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为−q、质量为m 的离子以初速度v0从P 处进入加
速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。
忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（ ）
A．偏转磁场的方向垂直纸面向外
B．第1 次加速后，离子的动能增加了2qU
C．第k 次加速后。离子的速度大小变为
D．第 k 次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为
【答案】D
【详解】A．粒子沿顺时针方向运动且带负电，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向
里，故 A 错误；
BC ．根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为qU ，由于洛伦兹力不做功，则
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加 速 k 次后，带电粒子的动能增量为kqU，加速 k 次后，由动能定理有
解得
，故 BC 错误；
D ．粒子在偏转磁场中运动的半径为R ，则有
解得
，故 D 正确。
故选 D。
【变式训练2】（2025·上海·一模）如图所示为一种改进后的回旋加速器示意图。该加速器由靠得很近、间
距为d 且电势差恒定为U 的平行电极板M、N 构成，电场被限制在M、N 板间，虚线之间无电场。某带电
量为q，质量为m 的粒子，在板M 的狭缝P0处由静止开始经加速电场加速，后进入D 形盒中的匀强磁场做
匀速圆周运动，每当回到P0处会再次经加速电场加速并进入D 形盒，直至达到预期速率后，被特殊装置引
出。已知P1、P2、P3分别是粒子在D 形盒中做第一、第二、第三次圆周运动时，其运动轨迹与虚线的交点，
不计粒子重力。求：
(1)粒子到达P2处的速率；
(2)图中相邻弧间距离P1P2与P2P3的比值。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子每次从极板M 向N 运动时被电场加速，进入磁场则做匀速圆周运动，速率不变，根据
分析，可知粒子到达P2处时共被电场加速2 次，对粒子由静止开始到到达P2的过程应用动能定理可得
，可解得粒子到达P2处时的速率
（2）根据题意，对粒子经过电场n 次加速的过程应用由动能定理
，可获得速率
；粒子以此速率进入匀强磁场后，洛伦兹力提供向心力，做第n 次匀速圆周运动，有
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，可解得粒子在磁场中第n 次做匀速圆周运动的轨道半径
，则相邻弧间距
离P1P2与P2P3的比值
考向2 质谱仪
例2 （2025·广东·三模）质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造如图所示。
粒子源S 产生的各种不同正粒子束（速度可视为零），粒子质量为m、带电量为q，粒子重力不计，经电
压为U 的加速电场加速后，从小孔N 垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的M 点。
则下列说法正确的是（ ）
A．粒子从小孔N 垂直于磁感线进入匀强磁场的速度大小为
B．若粒子束q 相同而m 不同，则MN 距离越大对应的粒子质量越小
C．进入匀强磁场中的粒子只要MN 距离相同，则粒子的比荷一定相等
D．进入匀强磁场中的粒子只要MN 距离相同，则粒子的电荷量一定相等
【答案】C
【详解】A．粒子在加速电场中做加速运动，由动能定理得
解得
故A 错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有
可得
所以
若粒子束q 相同而m 不同，MN 距离越大对应的粒子质量越大，故B 错误；
CD．由
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可知只要MN 距离相同，对应的粒子的比荷一定相等，粒子质量和电荷量不一定相等，故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练1】（2025·甘肃白银·模拟预测）质谱仪可以用来测量带电粒子的比荷。如图所示，一质量为
、电荷量大小为
的带电粒子（重力不计）从容器
下方的小孔
无初速度飘入电压为
的加速电场，
经电场加速后，该粒子沿直线穿过小孔
、
垂直进入磁感应强度大小为
的匀强磁场中，最后打在
点，
粒子在磁场中的轨迹为半圆，测得
的长度为
，则（ ）
A．该粒子带负电
B．带电粒子进入磁场时的速度大小为
C．增大加速电场的电压，带电粒子在磁场中运动的时间不变
D．带电粒子的比荷
【答案】C
【详解】A．由左手定则可知粒子带正电，故A 错误；
B．在加速电场中由动能定理得
得
，故B 错误；
C．带电粒子在磁场中运动的周期
，与速度大小无关，即与加速电压无关，故C 正确；
D．由题意有
，粒子在磁场中运动，有
联立得
，故D 错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·广东深圳·模拟预测）（多选）如图所示为某质谱仪的简化示意图，它由加速电场、
静电偏转区、真空通道和磁场偏转区组成。现有一α 粒子在P 点从静止开始经电压恒定的电场加速后进入
静电偏转区，然后匀速通过真空通道后进入磁场偏转区，最终打到M 点，运动轨迹如图中虚线所示。α 粒
子在静电偏转区和磁场偏转区中均做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
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A．静电偏转区内的电场是匀强电场
B．磁场偏转区内磁场方向垂直于纸面向外
C．仅将α 粒子改为质子，质子仍能在静电偏转区沿虚线运动
D．仅将α 粒子改为氘核（H），氘核仍会沿虚线运动到M 点
【答案】BCD
【详解】A．α 粒子在静电偏转区做匀速圆周运动，电场力提供向心力，方向不断变化，说明电场方向也
不断变化，则电场不是匀强电场，故A 错误；
B．α 粒子在磁场偏转区受到的洛伦兹力提供向心力根据左手定则可判断磁场方向垂直纸面向外，故B 正
确；
C．在从加速电场射出后，满足
在静电偏转区域，由
则
则质子也能在静电偏转区域沿虚线做匀速圆周运动，与电荷和质量无关，故C 正确；
D．在从加速电场射出后，满足
α 粒子和氘核比荷相同，则两者射出后速度相同，在静电偏转区域，同样满足
，做匀速圆周运动；
在磁场区域，也满足
，则氘核会沿虚线运动到M 点，故D 正确。
故选BCD。
考点三 带电粒子在叠加场中的运动
知识点二 带电粒子(带电体)在叠加场中无约束情况下的运动
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带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，
此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量
守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
静电力与重力的合力一般为恒力，带电体做匀速直线运动或匀变速直线(或曲线)运动，比较简单。
(2)磁场、重力场叠加
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可
求解问题。
(3)静电场、磁场叠加(不计重力的微观粒子)
知识点二 带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，
此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量
守恒定律结合牛顿运动定律求出结果。
得分速记
是否考虑重力的判断
①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小物体，如带
电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。
②题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。
③不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。
考向1 磁场与重力场的叠加场中的运动
例1 （2025·吉林·模拟预测）（多选）如图甲，水平粗糙绝缘地面上方有方向垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q 的物块沿水平地面以速度v0从左侧垂直进入磁场，物块
进入磁场后始终未离开地面，其动能与时间的Ek-t 关系图像如图乙所示，图像中z 点为曲线切线斜率绝对
值最大的位置。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．物块所受摩擦力逐渐增大
B．物块所受摩擦力逐渐减小
C．图中z 点对应的速度大小为
19
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D．图中z 点对应的速度大小为
【答案】AD
【详解】AB．物块所受摩擦力大小为
随着速度的减小，摩擦力增大，A 正确，B 错误；
CD．曲线切线斜率大小为
物块所受合力大小为
解得
当
时，k 有最大值
解得
，C 错误，D 正确。
故选AD。
【变式训练1·变载体】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，空间分布着磁感应强度大小为B、方向垂直纸
面向外的匀强磁场，倾角
的足够长绝缘斜面固定在竖直平面内。
时，在斜面上的P 点由静止释
放一个质量为m、电荷量为q 带正电的小滑块（可视为质点）。
时，滑块恰好从斜面上的M 点离开斜
面，此时立即撤去斜面，此后滑块在竖直平面内做周期性的曲线运动，且该运动可看作沿水平方向的匀速
直线运动和竖直平面内的匀速圆周运动的合运动。已知滑块与斜面间的动摩擦因数
，滑块运动过程中电荷量保持不变，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
求
(1)滑块离开斜面时的速度大小；
(2)滑块在斜面上下滑的位移；
(3)滑块在竖直平面内运动的最高点与M 点的高度差。
【答案】(1)
(2)
(3)
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【详解】（1）滑块从M 点离开斜面，所受洛伦滋力
在垂直斜面方向上
解得
（2）滑块从P 到点运动到M 点，设位移为x，以沿斜面向下为正方向，对滑块应用动量定理
其中
,
,
解得
（3）滑块从M 点运动到最高点，由动能定理
在M 点，由牛顿第二定律
由题意，滑块在最高点与在M 点的加速度大小相等。在最高点，由牛顿第二定律
解得
【变式训练2】（2025·河北·二模）如图所示，足够长的粗糙绝缘挡板竖直固定，左侧空间存在磁感应强度
大小为B、方向水平向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为
的滑块（可视为质点）紧贴挡板从某点由
静止释放，当滑块下滑高度h 时开始做匀速运动，若滑块与挡板间的动摩擦因数为
，不计空气阻力，重
力加速度为g，运动过程中滑块电荷量不变，求：
(1)滑块速度为v 时的加速度大小；
(2)滑块由静止开始下滑h 的过程中克服摩擦力做的功。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，对滑块，水平方向上由平衡条件有
竖直方向上，由牛顿第二定律有
解得
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（2）滑块做匀速运动时有
解得
滑块下滑的过程中，根据动能定理有
解得
考向2 电场与磁场的叠加场中的运动
例2 （2025·安徽芜湖·二模）在如图所示的空间中，存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀
强磁场，电场强度的大小为
，在电磁场中的P 点发射一带电微粒，粒子的比荷为
，
当微粒的初速度大小为
，方向如图中所示时，微粒恰好能沿图示虚线做直线运动，已知重力加
速度
。
(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小B 及微粒初速度与电场强度的夹角
；
(2)若撤去匀强磁场，求微粒在运动过程中离出发点P 的最大高度H；
(3)若撤去匀强电场，求微粒在运动过程中离出发点P 的最大高度h。
【答案】(1)
，粒子初速度方向与水平成
角，向右上方
(2)
(3)
【详解】（1）微粒受重力、电场力和洛伦兹力作用，根据平衡条件得
解得
又因为
解得
粒子初速度方向与电场方向成
角，向右上方。
（2）粒子在竖直方向上做竖直上抛运动，根据运动的分解可得，上抛的初速度
上抛的最大高度
（3）撤去电场后，粒子只受到重力和洛伦兹力的作用，将洛伦兹力沿着水平和竖直方向分解，
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洛伦兹力的竖直向上的分力
即洛伦兹力在竖直方向的分力等于粒子的重力，所以粒子在水平方向上做匀速直线运动，其速度为
竖直方向做匀速圆周运动，圆周运动的速度为
最大高度
解得
【变式训练1·变考法】（2025·安徽·模拟预测）如图，在
坐标平面的第二象限内有平行于坐标平面的
匀强电场，电场强度大小为
（未知）。在第一象限内方程为
的虚线
将
区域分为区域
和区域
，区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为
（未知）。区域II 存在垂直纸面向
里、磁感应强度大小为
的匀强磁场及沿
轴负方向、电场强度大小为
的匀强电场。一质
量为
、电荷量为
的带正电粒子从
点以初速度
沿
轴正方向进入电场，由
点以大小
为
的速度垂直于
轴进入区域，后经虚线上的
点（图中未画出）垂直虚线进入区域II，不计粒子重
力及电磁场的边界效应。求：
(1)
两点间的电势差
和匀强电场电场强度
的大小；
(2)粒子由
点到
点的时间；
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(3)粒子在区域II 中运动时，第1 次和第5 次经过
轴的位置之间的距离。
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【详解】（1）从
到
，根据动能定理可得
解得
把电场沿x 轴和
轴分解，由题意可得水平方向
竖直方向
电场强度
联立解得
（2）粒子在电场中运动，沿x 方向做匀变速直线运动，有
由题意可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为
粒子在区域中转过的圆心角为
则粒子在区域中运动的时间为
，其中
粒子由P 点到A 点的时间为
联立解得
（3）在区域中，洛伦兹力提供向心力
在
点，对粒子用配速法，设
沿x 轴正方向，对应的洛伦兹力与静电力平衡，与
等大反向的
与
的
合速度
对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域II 中的运动分解为以
的匀速直线
运动和以
的匀速圆周运动，则有
，
联立解得
，沿
轴负方向，
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设对应的匀速圆周运动的半径为
，由洛伦兹力提供向心力有
解得
其运动轨迹如图所示
粒子从第1 次到第5 次经过x 轴，共运动了2 个周期，粒子运动时间为
其中
粒子在第1 次和第5 次经过
轴的位置之间的距离
【变式训练2】（2025·福建·模拟预测）（多选）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平
面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为
。质量为
、电荷量为
的电子从
点沿
轴正方向水平入射。入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动；入射速度小于
时，电
子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作
用。若电子入射速度在
范围内均匀分布，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度
B．若电子入射速度为
，运动到速度为
时位置的纵坐标为
C．若电子入射速度为
，最大运动速度为
D．能到达
位置的电子的百分比为
【答案】AC
【详解】A．根据题意，入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动，竖直方向受力平衡，有
解得
故A 正确；
B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由
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于电子入射为
，则电子受到电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
故B 错误；
C．若电子入射速度为
，由于电子在最高点与最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
在最低点有
联立解得
故C 正确；
D．设以速度射入时能到达
位置，对该位置电子进行分析，根据动能定理有
由C 选项中有
，联立解得
可知能到达
位置的电子的百分比为
，故D 错误。
故选AC。
考向3 带电体在叠加场中有约束的运动
例3（2025·四川南充·三模）如图所示，一根足够长的固定竖直绝缘杆，位于垂直纸面向外、磁感应强度
的匀强磁场中。现有一个质量为
、带电荷量
的小球套在绝缘杆上从某点静止开始下滑，
经过
达到最大速度。已知小球与杆间的动摩擦因数为0.8，重力加速度为
。则在小球加速下滑
的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球的最大加速度为
B．小球的最大速度为
C．小球下降的高度为
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D．系统因摩擦生热为3J
【答案】B
【详解】A．根据题意可知，开始下滑时，小球速度为0，洛伦兹力为0，此时小球与杆间的摩擦力为0，
小球只受重力，加速度最大，等于重力加速度，故A 错误；
B．根据题意可知，当小球速度最大时，加速度为0，则有
解得
故B 正确；
C．小球由静止开始下滑，到达到最大速度，由动量定理得
整理可得
解得
选项C 错误；
D．小球由静止开始下滑，到达到最大速度，由动能定理得
解得
则系统因摩擦生热为
，故D 错误。
故选B。
带电粒子在叠加场中运动问题的一般分析方法
【变式训练1·变考法】（2025·江苏泰州·二模）如图所示，竖直平面内有一固定的光滑绝缘大圆环，直径
AC 水平、直径ED 竖直。轻弹簧一端固定在大环的E 点处，另一端连接一个可视为质点的带正电的小环，
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小环刚好套在大环上，整个装置处在一个水平向里的匀强磁场中，将小环从A 点由静止释放，已知小环在
A、D 两点时弹簧的形变量大小相等。则（ ）
A．小环不可能滑到C 点
B．刚释放时，小环的加速度为g
C．弹簧原长时，小环的速度最大
D．小环滑到D 点时的速度与其质量无关
【答案】D
【详解】A．小环下滑过程中只有重力和弹簧弹力做功，洛伦兹力不做功，由对称性可知，小环从A 点由
静止释放可以滑到C 点，选项A 错误；
B．刚释放时，竖直方向小环受向下的重力和弹力向下的分力作用，可知小环的加速度大于g，选项B 错
误；
C．小环在A、D 两点时弹簧的形变量大小相等，可知在A 点时弹簧压缩，在D 点时弹簧伸长，弹簧在原
长时小环在AD 之间的某位置，此时弹力为零，但小环受合力不可能为零，加速度不可能为零，即小环的
速度不可能最大，选项C 错误；
D．小环在A、D 两点时弹簧的形变量大小相等，则弹性势能相等，从A 到D 由能量关系可知
可得
即小环滑到D 点时的速度与其质量无关，选项D 正确。
故选D。
【变式训练2】（2025·陕西宝鸡·三模）（多选）如图所示，光滑水平面上有一足够长绝缘木板b，木板中
间放一带正电物块a，电荷量为q，物块与木板接触面间动摩擦因数为μ。木板与物块的质量均为m，整个
空间存在水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B。现给木板一水平初速度
，重力加速度为g。在以后的
运动过程中，下列分析正确的是（ ）
A．当
向左时，最终a、b 一定共速
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B．当
向左时，最终a 在b 上划痕的长度为
C．当
向右时，最终a、b 一定共速
D．当
向右时，若
，全过程摩擦生热为
【答案】AD
【详解】A．当v0向左时，a 受向左的滑动摩擦力作用向左加速，洛伦兹力向下增加，a、b 间压力增加，
滑动摩擦力增加，a 向左做加速度逐渐增加的加速运动，b 向左做加速度逐渐增加的减速运动，当二者速
度相等时，二者一起向左匀速运动，故A 正确。
B．当v0向左时，设最终a 在b 上划痕的长度为s，若没有磁场，由能量守恒，可得
由动量守恒得mv0=2mv
解得
有磁场时，a、b 间压力在增加，滑动摩擦力比μmg 大，所以划痕的长度小于
，故B 错误。
C．当v0向右时，a 受向右的滑动摩擦力作用向右加速，洛伦兹力向上增加，a、b 间压力减小，滑动摩擦
力减小，a 向右做加速度逐渐减小的加速运动，b 向右做加速度逐渐减小的减速运动，当v0较小时，二者
的加速度还没减小到0，速度就相等了，以后二者一起向右匀速运动。当v0较大时，洛伦兹力增加到等于
mg，即a 悬浮在b 的上方接触而不挤压，摩擦力减为0，以后二者以不同速度向右匀速运动，故C 错误。
D．若
，向右时，假设最终二者以不同速度向右匀速运动，最后匀速时速度分别为va，vb，a、b
系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，有mv0=mva+mvb
又有qvaB=mg
可得
，
假设成立，说明以后二者确实以不同速度向右匀速运动。由能量守恒，可得全过程摩擦生热
得
故D 正确。
故选AD。
考点四 带电粒子在叠加场中运动的实例分析
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知识点一 速度选择器
1．带电粒子电性不确定形成多解
(1)结构图
(2)原理
带电粒子射入互相垂直的电场和磁场中，受电场力和洛伦兹力，带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器
的条件是qE＝qvB，即v＝，与粒子的电性、电荷量和质量均无关。
知识点二 磁流体发电机
(1)结构图
(2)原理
由正、负离子组成的等离子体射入极板A、B 间，因受洛伦兹力而分别向极板A、B 偏转，使两极板积累
电荷而产生电动势。若A、B 两板相距为d，板间的磁场按匀强磁场处理，磁感应强度为B，等离子体以速
度v 沿垂直于B 的方向射入磁场，离子最终运动稳定时，有q＝qvB，可得发电机的电动势E 势＝U＝Bdv。
知识点三 电磁流量计
(1)结构图
(2)原理
导电液体中的正、负离子因受洛伦兹力而分别向管壁的下侧和上侧偏转，使安放在M、N 位置的电极积累
电荷而产生电势差U。离子最终运动稳定时，有q＝qvB，可得离子稳定运动时液体的速度v＝，则液体的
流量Q＝·v＝。
知识点四 霍尔元件
(1)结构图
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(2)霍尔效应
在匀强磁场中放置一块矩形截面的载流导体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都
垂直的方向上将出现电势差UH，这种现象称为霍尔效应。
(3)原理
导体通入恒定电流时，导体中的自由电荷定向移动，在洛伦兹力的作用下向b 极或a 极漂移，a、b 间出现
电势差UH，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，UH稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立得UH
＝＝k，k＝称为霍尔系数。
得分速记
导电的载流子所带电荷有正电荷和负电荷两种，a、b 的电势哪个高与导体中的载流子(即在导体中形成电
流的带电粒子)所带电荷的正负有关，如结构图所示，当导体中的载流子所带电荷是正电荷时，根据左手定
则可知，b 极电势高；若结构图中包括电流方向、磁感应强度的方向等其他条件都不变，而导体中的载流
子所带电荷是负电荷，则a 极电势高。
考向1 磁流体发电机
例1 （2025·陕西·三模）如图所示，一种磁流体发电机，平行金属板A、B 间距为
，A、B 之间有一个
很强的磁场，磁感应强度大小为B，将一束等离子体（即高温下电离的气体含有大量正、负电粒子）以速
度喷入磁场，A、B 两极间便产生电压，在A、B 两极板间接入电阻
，则下列说法正确的是（ ）
A．通过电阻
的电流方向为从
流向
B．电阻
两端的电压
C．电阻
消耗的热功率
D．增大A、B 两板间距
，则流过电阻
的电流会增大
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【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知，带正电离子向下偏转，带负电粒子向上偏转，则B 板带正电，A 板带负
电，通过电阻
的电流方向为从
流向
，故A 错误；
BC．稳定时，对离子有
解得电动势为
若等离子体的电阻可忽略不计，则电阻
两端的电压为
电阻
消耗的热功率为
故BC 错误；
D．根据
增大A、B 两板间距
，则电动势增大，流过电阻
的电流会增大，故D 正确。
故选D。
带电粒子在叠加场中运动实例的解题关键
以平衡方程qE＝qvB
基
为
础，
合洛
力、静
力的知
以及
流、
路的
律求解。
结
伦兹
电
识
电
电
规
【变式训练1·变载体】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）如图所示是磁流体发电机的简易模型图，其
发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两面是导体电极，
这两个电极通过开关与阻值为R 的电阻连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小
为B，方向平行于底面向里。如果等离子源以速度v0垂直于左侧面向右持续发射大量的等离子体，离子质
量均为m、电荷量大小均为q。已知断开开关稳定后正负离子在通道中沿直线通过；闭合开关稳定后，两
极板电压恒为U，某些正离子的运动轨迹如图中虚线所示（负离子与之类似），图中轨迹的最高点和最低
点的高度差为h（h<a），单位体积内正负离子的个数均为n。忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因
素。下列说法正确的是（ ）
A．开关断开的情况下，稳定后两极板间电势差为Bav0
B．图中轨迹的最高点和最低点的高度差为
C．时间t 内打到上极板的粒子数为
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D．通过电阻的电流
【答案】ABD
【详解】A．开关断开的情况下，粒子受力平衡，电场力等于洛伦兹力
则稳定后两极板间电势差为
，故A 正确；
B．根据配速结果有
，
，
，
联立得
，故B 正确；
C．满足
的正离子恰好打到上极板，所以时间t 内打到上极板的粒子数N，
则
，故C 错误；
D．通过电阻的电流
，所以
，故D 正确。
故选ABD。
【变式训练2】（2025·安徽·三模）在核电站中，使用电磁泵来循环冷却剂以维持核反应堆稳定运行。电磁
泵的设计示意图如图所示，电磁泵位于垂直纸面向外的匀强磁场（磁感应强度大小为B）中，泵体为长方
体（长为L1，宽和高均为L2），上下表面为金属极板。当在泵体的上下表面接电压为U 的电源（内阻不
计）后，只在两板间的冷却剂中产生自上而下的电流，理想电流表示数为I，通电冷却剂在磁场力的作用
下在管道中流动。泵体和冷却剂液面之间的高度差为h，冷却剂的电阻率为ρ，在t 时间内抽取冷却剂的质
量为m，不计冷却剂在流动中和管壁之间的阻力，工作时泵体内始终充满冷却剂，取重力加速度为g，则
（ ）
A．电磁泵对冷却剂的推力大小为BIL1
B．电磁泵输出的机械功率为
C．质量为m 的冷却剂离开泵体时的动能为
D．若接在泵体的上下两表面的电压变为2U，则电流表的读数变为2I（未超出量程）
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【答案】C
【详解】A．电磁泵对冷却剂的推力
，A 错误；
BC．电源提供的电功率
液体电阻
电磁泵输出的机械功率
若t 时间内抽取冷却剂的质量为m，这部分冷却剂离开泵时的动能
B 错误，C 正确；
D．电磁泵输入的电能小部分转化为内能，绝大部分转化为机械能，是非纯电阻电路，部分电路欧姆定律
对电磁泵不适用，所以若接在泵体的上下两表面的电压变为2U，则电流表的读数变为2I（未超出量程）
的结论不成立，D 错误。
故选C。
考向2 电磁流量计
例2 （2025·湖南常德·二模）电磁血流量计是运用于心血管手术和有创外科手术的精密监控仪器，可以
测量血管内血液的流速。如图所示，某段监测的血管可视为内径为
的圆柱体，其前后两个侧面
、
固
定两块竖直正对的金属电极板（未画出，电阻不计），血液中的正负离子随血液一起从左至右水平流动，
当加竖直向下的匀强磁场
时a、b电极间存在电势差。当血液的流量（单位时间内流过管道横截面的液
体体积）一定时，下列说法正确的是（ ）
A．
电极的电势高于
电极的电势
B．稳定时
、
电极间的电势差变大，说明血管内径变小
C．稳定时
、
电极间的电势差大小与血液流速成正比
D．当血液中正负离子浓度增大，稳定时a、b电极间的电势差会增大
【答案】B
【详解】A．左手定则可知正粒子向a 电极偏转，则a 点电势高于b 点电势，故A 错误；
BCD．题意知流量不变，且流量
稳定时有
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联立解得稳定时
、
电极间的电势差
可知电势差U 变大，说明血管内径变小，且U 与流速、浓度无关，故B 正确，CD 错误；
故选B。
【变式训练1·变考法】（2025·湖北·三模）（多选）为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排
污管末端安装了如图所示的人工智能长方体流量计（流量计是一种测量导电液体流量的装置，单位时间内
通过某一截面的液体体积，称为流量），电磁发送器主体简化结构如图所示，前、后两个面E、F 为导体
材料，上、下两个面为绝缘材料，流量计的长、宽、高分别为a、b、c，左、右两端开口，在垂直于上、
下表面向下的方向加磁感应强度为B 的匀强磁场，某次测量中，测得这里污水的流量为Q，前、后两个面
EF 相连的电压表的示数为U，则以下说法正确的是（ ）
A．若污水中正离子较多，E 端的电势比F 端的低
B．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0
C．污水流量为
D．若其他条件不变，污水流速增大，电压表的示数减小
【答案】AC
【详解】A．根据左手定则可知，正离子所受的洛伦兹力方向向里，即正离子向里偏转，则F 板带正电，E
板带负电，可知，E 端的电势比F 端的低，故A 正确；
B．最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，则有
解得
可知，电压表的示数与污水中正负离子数无关，即若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数不等于
0，故B 错误；
C．结合上述解得
污水流量
，故C 正确；
D．结合上述有
可知，流速增大，电压表示数增大，故D 错误。
35
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故选AC。
【变式训练2】（2025·四川成都·三模）如图所示，已知截面为矩形的管道长度为l，宽度为a，高度为b。
其中相距为a 的两侧面是电阻可忽略的导体，该两侧导体与某种金属直导体连成闭合电路，相距为b 的顶
面和底面是绝缘体，将电阻率为
的水银沿图示方向通过矩形导管，假设沿流速方向上管道任意横截面上
各点流速相等，且水银流动过程中所受管壁摩擦力与水银流速成正比。为使水银在管道中匀速流过，就需
要在管道两端加上压强差。初始状态下，整个空间范围内无磁场，此时测得在管道两端加上大小为
的压
强差时水银的流速为
，则：
(1)求水银受到管壁的摩擦力与其流速的比例系数k；
(2)在管道上加上垂直于两绝缘面，方向向上，磁感应强度大小为B 的匀强磁场，若水银的流速仍为
不变，
已知金属直导体电阻为R，求电路中电流I；
(3)在（2）问的情况下，求此时管道两端的压强差p。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，水银受到管壁的摩擦力的表达式可设为
又水银受到的压力为
因为水银匀速流动，所以根据平衡条件有
整理后有
（2）加上磁场后，当稳定时有
其中
该装置等效电源的内阻
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由闭合电路欧姆定律有
联立上式，解得
（3）水银流过某横截面受管壁的摩擦力，安培力和压力，由平衡条件有
其中
解得
考向3 霍尔元件
例3 （2025·云南昭通·模拟预测）在航模界，云南弥勒生产的DLE 汽油燃料型航模发动机享有很高的声
誉。对于汽油发动机而言，火花塞点火时机必须与活塞的运动协调一致才能实现精准点火，一种常用方案
是在发动机转轴上安装一块小磁铁，并在其经过的位置设置一个霍尔元件（如图甲），当转轴旋转一周时，
磁铁会靠近霍尔传感器一次，传感器随之输出霍尔电压。CDI（电容放电点火系统）检测到该电压信号后，
会发出点火脉冲信号，从而实现精准点火，当磁铁距离霍尔元件最近时，其产生的磁场可近似为匀强磁场，
磁感应强度为
。在霍尔元件的前后表面之间会出现电势差
，即霍尔电压。该霍尔元件沿磁场方向的厚
度为
，已知单位体积内的载流子个数为
，单个载流子的电荷量为
，通入的电流
恒定且方向向左，
其工作原理如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．若霍尔元件内载流子类型为电子，则前表面的电势高于后表面的电势
B．若前后面间的距离为
，则
越大，霍尔电压越大
C．元件内单位体积中的载流子数还可表示为
D．霍尔电压
【答案】D
【详解】A．电流向左，霍尔元件内载流子为电子，根据左手定则，可判断知电子向前表面聚集，前表面
带负电，因此前表面电势低于后表面电势，故A 错误。
BD．设前后两表面的距离为a，由
与电流的微观表达式
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可得电势差
，与前后面的距离无关，故B 错误，D 正确。
C．由
得元件内单位体积中的载流子数为
，故C 错误。
故选D。
【变式训练1·变考法】 （2025·江苏常州·模拟预测）日常带皮套的智能手机是利用磁性物质和霍尔元件等
起到开关控制作用。打开皮套，磁体远离霍尔元件手机屏幕亮；合上皮套，磁体靠近霍尔元件屏幕熄灭。
如图所示，一块宽度为
、长为、厚度为的霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子。水
平向右大小为
的电流通过元件时，手机套合上，元件处于垂直于上表面、方向向下且磁感应强度大小为
的匀强磁场中，元件的前、后表面产生稳定电势差
，称为霍尔电压，且
，以此来控制屏幕
熄灭。下列说法正确的是（ ）
A．前表面的电势比后表面的电势低
B．自由电子所受洛伦兹力的大小为
C．增大霍尔元件中的电流，霍尔电压增大
D．元件内单位体积的自由电子数为
【答案】C
【详解】A．根据左手定则可知，电子受洛伦兹力指向后表面，则电子偏向后表面，则前表面的电势比后
表面的电势高，A 错误；
B．自由电子所受洛伦兹力的大小等于所受电场力的大小，则为
，B 错误；
C．由
可知增大霍尔元件中的电流，霍尔电压增大，C 正确；
D．因
可得元件内单位体积的自由电子数为
，D 错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·甘肃白银·三模）（多选）如图甲所示，在磁感应强度为
的匀强磁场中放置一个厚
度为
的半导体矩形薄片，在薄片中通上图示的电流
，薄片
两侧会出现恒定的霍尔电压，霍尔电压
与电流的比值称为霍尔电阻
。如果增大磁感应强度，会出现“量子霍尔效应”，量子霍尔电阻为
（其中为普朗克常量，为电子电荷量，为正整数）。有关霍尔电阻与磁感应强度
的关系，
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如图乙所示。已知半导体薄片的厚度为
，薄片中自由电子的电荷量为，单位体积内的自由电子
数为
，普朗克常量为
，电子的电荷量
，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中
处的电势高于
处的电势
B．霍尔电阻会随电流
的增大而增大
C．根据图乙可得单位体积内的自由电子数约为
D．
时，若薄片中通过电流
，则霍尔电压约为
【答案】AC
【详解】A．根据左手定则，电子向N 板偏转，故M 板电势更高，故A 正确；
B．当半导体两端的霍尔电压稳定时，对于半导体内部电荷来说其所受电场力与洛伦兹力的合力为零，有
半导体内的电流为
设半导体宽为b，半导体的电流方向的横截面积为
半导体两端的霍尔电压为
整理有
根据霍尔电阻定义有
解得
，则霍尔电阻不会随电流的增大而增大，故B 错误；
C．根据图乙，磁感应强度较小时不会出现量子霍尔效应，则
与B 成正比，由图乙可知，当
时
又
代入数据联立解得
，故C 正确；
D．当
时
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根据
代入数据解得
，故D 错误。
故选AC。
考点五 带电粒子在交变场中的运动
知识点 带电粒子在交变场中的运动特点
交变场是指电场、磁场在某一区域内随时间做周期性变化，带电粒子在交变场中的运动问题涉及的物理过
程比较复杂。粒子在交变场中的运动情况不仅与交变电磁场的变化规律有关，还与粒子进入场的时刻有关。
周期性变化的电磁场会使带电粒子顺次历经不同特点的电磁场，从而表现出“多过程”现象。所以最好画
出粒子的运动轨迹草图，并把粒子的运动分解成多个阶段分别列方程联立求解。
考向 带电粒子在交变场中的运动
例 （2025·广东·一模）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做
“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量
、初速度
均已知，不计相对论效应及辐射带来的
动能损失，忽略电子所受的重力。
(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为
，求
极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线
方向每一区域宽
，纵向
尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在
点放置一电子发射装置，使电子以速率
，在所示平面内与轴线
成
的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I 区域右边界射
出。求I 区域磁感应强度大小。
(3)如图丙，电子在磁感应强度为
的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：
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。其中
、
为速度方向角，
为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实
情况的磁场（沿轴线水平向右为
轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A 点沿轴线向右射
入，求
处电子速度方向。
【答案】(1)
(2)
(3)速度方向与轴线
夹角45 度，方向向右偏下
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I 区域向下偏转。洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有
解得
根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下
的电子刚好无法进入II 区
域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I 右边缘相切
联立解得
（3）将空间沿轴线方向分割成微元，经过任何一个微元
，电子速度方位角的正弦值变化量近似为
，其中
为该微元处的平均磁感应强度。无限细分之后求和可知，速度偏向角的正弦值变化量为
，其中为
图线所围的面积。类比
图，横轴下方面积为“负”。故有
沿轴线入射，因此
，根据规律则有
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解得
因此
处，
，即速度方向与轴线
夹角45 度，方向向右偏下。
解决带电粒子在交变电磁场中运动问题的基本思路
【变式训练1·变载体】（2025·山东日照·三模）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q 水平固定，间距为
d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度
随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0 时刻，一质量为m、带电量
为+q 的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q 板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、
TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P 板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、
d 为已知量。
(1)若只加磁场且磁感应强度
，粒子垂直打在P 板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移；
(2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度
，粒子垂直打在P 板上，求粒子在板间运动的位移大小。
【答案】(1)
，
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(2)
【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度
，根据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子在磁场中的轨迹如图
由图可知
解得
水平距离
圆周运动的周期
运动时间
（2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度
，根据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子在磁场中的轨迹如图
圆周运动的周期
粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P 板上，有
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解得
粒子沿电场方向的位移大小
在磁场中的位移
粒子在板间运动的位移大小
【变式训练2】（2025·陕西渭南·模拟预测）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，
进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量
、初速度
均已知，不计相对论效应
及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。
(1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为
，求
极板间的加速电压大小。
(2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线
方向每一区域宽
，纵向
尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反大小相等并垂直于所示平面。在
点放置一电子发射装置，使电
子以速率，在所示平面内与轴线
成
的范围内均匀发散射出。若恰有
的电子能从I 区
域右边界射出。求I 区域磁感应强度大小。
(3)在（2）条件下，电子以速度沿
方向进入磁场，经过第
个区域磁场用时多少。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据动能定理
解得
（2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I 区域向下偏转。以洛伦兹力为向心力做圆周运动
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根据
解得
根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下
的
电子刚好无法进入II 区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I 右边缘相切
解得
（3）电子在I 磁场中运动时，由于
而
电子在I 磁场中偏转弧度
，则
电子在I 磁场中运动用时
同理在II 磁场中用时
则每个磁场中用时
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经过
个磁场区域用时
1．（2025·福建·高考真题）（多选）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B 与水平向右的匀强电场E，一
带电体在复合场中恰能沿着MN 做匀速直线运动，MN 与水平方向呈45°，NP 水平向右。带电量为q，速
度为v，质量为m，当粒子到N 时，撤去磁场，一段时间后粒子经过P 点，重力加速度为
,则（ ）
A．电场强度为
B．磁场强度为
C．NP 两点的电势差为
D．粒子从N→P 时距离NP 的距离最大值为
【答案】BC
【详解】AB、带电体在复合场中能沿着
做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。
由受力平衡可知
解得电场强度
，磁感应强度
，故A 错误，B 正确。
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C、在
点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。
且加速度
粒子到达
点时，位移偏转角为
，故在
点，速度角的正切值
所以粒子在
点的速度
到
过程，由动能定理，有
解得
两点间的电势差
，C 正确；
D、将粒子在
点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且
故粒子能向上运动的最大距离
D 错误；
故选BC。
2．（2025·河北·高考真题）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板
水平固定，间距为
板接地。M 板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M 板O 点处正上方P 点有一粒子源，可
沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与
的夹角
时，粒子
恰好垂直穿过M 板Q 点处的小孔。已知
，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，
电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，
忽略边缘效应。下列说法正确的是（ ）
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A．粒子一定带正电
B．若间距d 增大，则板间所形成的最大电场强度减小
C．粒子打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为
D．粒子打到M 板下表面的位置与Q 点的最小距离为
【答案】BCD
【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A 错误；
B．随着粒子不断打到N 极板上，N 极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒
子恰能到达N 极板时满足
，
解得
即d 越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B 正确；
C．因粒子发射方向与OP 夹角为60°时恰能垂直穿过M 板Q 点的小孔，则由几何关系
解得r=2L
可得
可得粒子从磁场上方，直接打在打到M 板上表面的位置与O 点的最大距离为
当N 极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q 点射入极板，会返回再从在Q 点射出，后继续做圆周运动，这
时打M 板在板上表面的位置
则粒子打在M 板上表面的位置的最大距离为
，选项C 正确；
D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ 长度时，粒子仍可从Q 点进入两板之间，
由几何关系可知此时粒子从P 点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M 板夹角为α=30°，则在两板
间运动时间
其中
打到M 板下表面距离Q 点的最小距离
解得
选项D 正确。
故选BCD。
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3．（2025·广西·高考真题）（多选）如图，带等量正电荷q 的M、N 两种粒子，以几乎为0 的初速度从S
飘入电势差为U 的加速电场，经加速后从O 点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖
直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右
端开口宽度为2d 时，M 粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直
纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N 粒子以与水平方向夹角为θ 的速度从开口的
下边缘进入偏转磁场，并与M 粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（
）
A．M 粒子质量为
B．刚进入选择器时，N 粒子的速度小于M 粒子的速度
C．调节选择器，使N 粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为
D．调节选择器，使N 粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M 粒子打在探测
器上的位置间距为
【答案】AD
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【详解】A．对M 粒子在加速电场中
在速度选择器中
解得M 的质量
，故A 正确；
B．进入粒子速度选择器后因N 粒子向下偏转，可知
即
，故B 错误；
C．M 粒子在磁场中运动半径为r1，则
解得
N 粒子在磁场中运动的半径为r2，则
解得
其中
可得
由动能定理N 粒子在选择器中
在加速电场中
解得
，
则要想使得粒子N 沿轴线OO＇通过选择器，则需满足
联立解得
，故C 错误；
D．若N 粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则打在探测器的位移与调节前M 打在探测
器上的位置间距为
其中
，
可得
，故D 正确。
故选AD。
4．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，
区域存在
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垂直
平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为
（未知）。第一象限内存在边长为
的正方形磁
屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直
平面向里，其磁感应强度大小为
（未
知），但满足
。某质量为m、电荷量为
的带电粒子通过速度选择器后，在
平面内垂
直y 轴射入
区域，经磁场偏转后刚好从ON 中点垂直ON 射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压
U、间距d、内部磁感应强度大小
已知，不考虑该粒子的重力。
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求
以及y 轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率
，若在Q 处检测到该粒子，则
是多少？
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故
其中
则该粒子通过速度选择器的速率为
（2）粒子在
区域内做匀速圆周运动，从ON 的中点垂直ON 射入磁屏蔽区域，由几何关系可知
由洛伦兹力提供给向心力
联立可得
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由于
，根据洛伦兹力提供给向心力
解得
当
时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图所示
根据洛伦兹力提供向心力
可得
故粒子打在y 轴3L 处，综上所述y 轴上可能检测到该粒子的范围为
。
（3）若在Q 处检测到该粒子，如图
由几何关系可知
解得
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由洛伦兹力提供向心力
联立解得
其中
根据磁屏蔽效率
可得若在Q 处检测到该粒子，则
5．（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上
的匀强电场。质量为m、带电量为q（
）的粒子从磁场中的a 点以速度
向右水平发射，当粒子进入
电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为
，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b 点，
通过b 点时其速度方向水平向右。a、b 距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为
。不计重力。
(1)求磁感应强度的大小；
(2)求电场强度的大小；
(3)若粒子从a 点以
竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期
内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由题意可知
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设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有
解得
由牛顿第二定律有
解得
（2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为
，方向与水平虚线的夹角为
，由几
何关系可得
则粒子在电场中的运动时间为
沿电场方向上，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
联立解得
（3）若粒子从a 点以
竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为
，粒子在磁场中运动的半径仍为
，由几何关系可得，粒子进入
电场时速度与虚线的夹角
结合小问2 分析可知，粒子在电场中的运动时间为
间的距离为
由几何关系可得
则
粒子在磁场中的运动时间为
则有
综上所述可知，粒子每隔时间向右移动
，则漂移速度大小
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