北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.8 函数模型及函数的综合应用
专题检测
1.(2020河南安阳模拟,8)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog 2(
1+
S ).它表示:在受噪声
N
干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功
S S
率N的大小,其中 叫做信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比 从1 000提升至2 000,则C
N N
大约增加了 ( )
A.10% B.30% C.50% D.100%
答案 A 本题主要考查了函数的实际应用,以及对数的运算性质,体现了数学运算和数学建模的核心素养.
S
将信噪比 从1 000提升至2 000,C大约增加了
N
Wlog (1+2 000)-Wlog (1+1 000) log 2 001-log 1 001
2 2 = 2 2 ≈
Wlog (1+1 000) log 1 001
2 2
10.967-9.967
≈10%,故选A.
9.967
2.(2020北京平谷一模,10)在声学中,声强级L(单位:dB)由公式L=10lg( I )给出,其中I为声强(单位:
10-12
W/m2).L 1 =60 dB,L 2 =75 dB,那么 I 1 = ( )
I
2
4 4 3 3
A.1
05
B.
10
-
5
C.-
2
D.
10
-
2
答案 D 本题考查对数在声学中的应用问题,考查学生的运算求解能力,渗透数学运算的核心素养,试题体
现应用性.
I I
由题意,10lg( 1 )=60⇒ 1 =106,
10-12 10-12
I I
10lg( 2 )=75⇒ 2 =107.5,
10-12 10-12
因而
I
1=
106
=1
-
3,故选D.
I 107.5 0 2
2
3.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰
期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生
物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
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答案 C 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为(1) n ,
2
由题意得(1) n < 1 ,解得n≥10,
2 1 000
所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.故选C.
4.(2017北京平谷零模,8)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了5次涨停(每
次上涨10%),又经历了5次跌停(每次下跌10%),则该股民购进的这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为
( )
A.略有盈利
B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损
D.无法判断盈亏情况
答案 B 设该股民购进这支股票的价格为a元,
则(1+10%)5(1-10%)5a=0.995a<a.
所以该股民购进的这支股票略有亏损.
故选B.
c
{ ,x<A,
5.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= √x (A,c为常数).已知工人
c
,x≥A
√A
组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16
C.60,25 D.60,16
c c
答案 D 由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为 =15,故组装第4件产品所需时间为
√A √4
=30,
c
解得c=60,将c=60代入 =15得A=16.故选D.
√A
6.(2016北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正
常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品
A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多
能分流的人数是 ( )
A.15 B.16 C.17 D.18
答案 B 由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t(万
{ 0<x<100,
元),则由
(100-x)(1+1.2x%)t≥100t,
50
解得0<x≤ .
3
因为x∈N*,所以x的最大值为16.
7.(2016北京西城二模,6)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=
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{ C,0<x≤A,
已知某家庭今年前三个月的煤气使用量和煤气费如下表:
C+B(x-A),x>A.
月份 使用量 煤气费
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则煤气费为 ( )
A.11.5元 B.11元
C.10.5元 D.10元
答案 A 由题中表格易知4≤A<25,
A=5,
{
C=4, {
由题意可得 解得 1
4+B(25-A)=14, B= ,
2
4+B(35-A)=19,
C=4,
1
当x=20时, f(20)=4+ ×(20-5)=11.5.故选A.
2
8.(2018宁夏银川月考,5)国家规定个人稿费纳税条件为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000
元的按超过部分的14%纳税;超过4 000元的按全稿酬的11%纳税.若某人共纳税420元,则这个人的稿费为
( )
A.3 000元 B.3 800元 C.3 818元 D.5 600元
答案 B 设纳税额为y元,稿费为x元.
{
0,x≤800,
由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y= 0.14(x-800),800<x≤4 000,
0.11x,x>4 000,
由题意可知稿费满足800<x≤4 000,
则0.14(x-800)=420,解得x=3 800.
9.(2014北京文,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条
件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据.
根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟
{9a+3b+c=0.7, {a=-0.2,
答案 B 由已知得 16a+4b+c=0.8,解得 b=1.5,
25a+5b+c=0.5, c=-2,
∴p=-0.2t2+1.5t-2=-1( 15) 2 +13,∴当t=15=3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
t-
5 4 16 4
评析 本题主要考查二次函数及配方法求最值,考查学生的计算能力,利用待定系数法求出a,b,c是解题的关
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键.
10.(2016北京东城二模,6)一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠券,每张优惠券只能购买一件商品.根据购
买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:
优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;
优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元;
优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.
若顾客购买某商品后,使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多,则他购买的商品的标价可能为 (
)
A.179元 B.199元
C.219元 D.239元
{ x·10%>20,
答案 C 设他购买的商品的标价为x元(x>100),则
x·10%>(x-100)·18%,
解得200<x<225,故选C.
11.(2018北京西城期末,8)在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[H+])
和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L,记作[OH-])的乘积等于常数10-14.已知pH值的定义为pH=-
lg[H+],健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间,那么健康人体血液中的[H+]
=( )
[OH-]
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 6 10
答案 C 本题考查对数的运算法则.
由题可得pH=-lg[H+]∈(7.35,7.45),且[H+]·[OH-]=10-14,
lg[H+] =lg[H+]
=lg([H+]2·1014)=2lg[H+]+14,
[OH-] 10-14/[H+]
又因为7.35<-lg[H+]<7.45,所以-7.45<lg[H+]<-7.35,
所以-0.9<2lg[H+]+14<-0.7,即-0.9<lg[H+]
<-0.7.
[OH-]
1
因为lg =-lg 2≈-0.30,所以A项错,
2
1
因为lg =-lg 3≈-0.48,所以B项错,
3
1
因为lg =-(lg 2+lg 3)≈-0.78,所以C项正确,
6
1
因为lg =-1,所以D项错.故选C.
10
12.(2018吉林吉大附中四模,16)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈
( 3)时, f(x)=sin πx,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 .
0,
2
答案 9
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解析 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且周期为3,所以f(0)=f(3)=f(9)=0,
2 2
3 9
如图所示,画出函数的图象,由图象可知,在[0,6]上的零点为0,1, ,2,3,4, ,5,6.所以共有9个零点.
2 2
13.(2018广西南宁、梧州、防城港毕业班适应性考试)已知函数f(x)是偶函数,且x≥0时, f(x)=e2x,若函数
y=f(x)-|x-1|-kx有且只有1个零点,则实数k的取值范围是 .
答案 [-1,3]
解析 显然x=0是y=f(x)-|x-1|-kx的一个零点.
e2x 1 e2x 1
①当x≥1时,e2x=x-1+kx,k= -1+ ,令g(x)= -1+ ,
x x x x
则g'(x)=2xe2x-e2x - 1 =e2x(x-1)+xe2x-1>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数,g(x) =g(1)=e2,∴函数
min
x2 x2 x2
y=f(x)-|x-1|-kx在[1,+∞)上没有零点时,k<e2.
②当0<x<1时,e2x=1-x+kx=(k-1)x+1,当x≥0时, f(x)=e2x, f '(x)=2e2x,过点(0,1)的切线斜率为2,由题意得
k-1≤2,∴k≤3<e2.由函数f(x)是偶函数知x≤0时,k-1≥-2,
∴k≥-1,∴k∈[-1,3].
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