北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§2.7 函数模型及综合应用
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021安徽池州期末,3)安徽省统计局2020年11月20日发布了全省规模以上工业增加值同比增
长速度(注:增加值增长速度均为扣除价格因素的实际增长率,同比是指在相邻时段内某一相同时
间点进行比较),如下折线统计图所示,则下列说法正确的是 ( )
全省规模以上工业增加值同比增长速度(%)
A.2020年3月份到10月份,工业增加值同比有增加也有下降
B.2020年3月份到10月份,工业增加值同比增加速度最大的是8月份
C.2020年10月份工业增加值同比下降0.5%
D.2020年10月份工业增加值同比增长8.5%
答案 D 2020年3月份到10月份,工业增加值同比都在增加,故A错误;2020年3月份到10月份,
工业增加值同比增加速度最大的是4月份,增速为9.1%,故B错误;2020年10月份工业增加值同比
增长8.5%,故C错误,D正确.
2.(2021云南昆明一模,9)在计算机的算法分析中,常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣,算法的
时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数,若用T(n)(单位:次)表示算法的时间复杂度,
它是算法求解问题数据规模n的函数.已知某算法的时间复杂度T(n)=20n4+nlogn(n∈N*),一台计
2
算机每秒可以进行1.3亿次运算,则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行,则n的最
大值为 ( )
A.40 B.50 C.60 D.70
答案 B ∵当n较大时,对于函数T(n)=20n4+nlogn(n∈N*),其约等于f(n)=20n4,∴由
2
f(n)=20n4≤1.3×108,解得n≤50.49,又∵n∈N*,∴n的最大值为50,故选B.
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3.(2021安徽合肥质监,6)2019年1月1日起,我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算
扣除数据确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式
为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.
其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元.部分税率与速算扣除数见下表:
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率(%) 速算扣除数
1 [0,36 000] 3 0
2 (36 000,144 000] 10 2 520
3 (144 000,300 000] 20 16 920
4 (300 000,420 000] 25 31 920
5 (420 000,660 000] 30 52 920
若某人全年综合所得收入额为249 600元,专项扣除占综合所得收入额的20%,专项附加扣除是
52 800元,依法确定其他扣除是4 560元,则他全年应缴纳的个人所得税应该是( )
A.5 712元 B.8 232元 C.11 712元 D.33 000元
答案 A 由题意可得应纳税所得额为
249 600-60 000-249 600×20%-52 800-4 560=82 320(元),
根据表格可知,应纳税所得额位于区间(36 000,144 000],
所以他全年应缴纳的个人所得税为82 320×10%-2 520=5 712(元),故选A.
4.(2021陕西宝鸡重点高中质检,12)已知函数f(x)={|x+1|(x≤0), 若方程f(x)=a有4个不同
|log x|(x>0),
2
的根x,x,x,x 且x<x<x<x,则x(x+x)+ 1 的取值范围是 ( )
1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2
x2x
3 4
A.(-1,+∞) B.(-1,1] C.(-∞,1) D.[-1,1)
答案 B 作出函数f(x)={|x+1|,x≤0, 的图象如图:
|log x|,x>0
2
由图可知,x+x=-2,xx=1,1<x≤2,
1 2 3 4 4
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故x(x+x)+ 1 =- 2 +x,
3 1 2 4
x2x x
3 4 4
2
令y=- +x,x∈(1,2],
x
2
易证y=- +x在x∈(1,2]上单调递增,所以y∈(-1,1],
x
则x(x+x)+ 1 的取值范围是(-1,1].
3 1 2
x2x
3 4
5.(2021河南信阳第二次质检,9)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,0]时,
f(x)=x2,函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,g(x)=lg x,则方程f(x)=g(x)的解的个数是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 C 由f(x-1)=f(x+1),得f(x+2)=f(x),
可得f(x)是周期为2的偶函数.
由当x∈[-1,1]时, f(x)=x2,画出函数y=f(x)的图象.
由图可得x>0时,y=f(x)和y=g(x)的图象有9个交点;
x=0时, f(0)=g(0)=0;
x<0时,y=f(x)和y=g(x)的图象有1个交点.
综上,可得y=f(x)和y=g(x)的图象共有11个交点,
即方程f(x)=g(x)的解的个数是11.故选C.
6.(2021北京通州一模,10)著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始
温度为θ ℃,空气温度为θ ℃,则t min后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ+(θ-θ)·e-kt(其中k为常
1 0 0 1 0
数,e=2.718 28…).现有某物体放在20 ℃的空气中冷却,2 min后测得物体的温度为52 ℃,再经过
6 min后物体的温度冷却到24 ℃,则该物体的初始温度是 ( )
A.80 ℃ B.82 ℃ C.84 ℃ D.86 ℃
答案 C 由题意可得52=20+(θ-20)·e-2k①,
1
24=20+(52-20)·e-6k②,
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1 ln8 ln2 ln2
由②得e-6k= ,则-6k=-ln 8,解得k= = ,代入①得52=20+(θ-20)· - ×2,即(θ-20)·e-ln 2=32,所
8 6 2 1 e 2 1
32 32
以θ= +20= +20=84 ℃,故选C.
1 e-ln2 0.5
7.(2021北京朝阳二模,7)某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活
垃圾为20万吨,其中15万吨以填埋方式处理,5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比
前一年增加1万吨,同时,因垃圾处理技术越来越进步,要求从2021年起每年通过环保方式处理的
生活垃圾量是前一年的q倍,若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃
圾总量的50%,则q的值至少为( )
A. B. C. D.
√52.4 √52.5 √4 2.4 √4 2.5
答案 C 2021年生活垃圾总量为21吨,通过环保方式处理的垃圾是5q吨;2022年生活垃圾总量
为22吨,通过环保方式处理的垃圾是5q2吨;2023年生活垃圾总量为23吨,通过环保方式处理的垃
圾是5q3吨;2024年生活垃圾总量为24吨,通过环保方式处理的垃圾是5q4吨,通过填埋方式处理的
垃圾是(24-5q4)吨.由题意得24-5q4≤24×50%,解得q4≥2.4,即q≥√4 2.4.故选C.
8.(2021浙江“七彩阳光”联盟高三上第一次联考,9)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象如图
所示,则下列判断正确的个数是 ( )
(1)a+c>b+d;(2)ac>bd;(3)3a>2b;(4)9a2+c2>4b2.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B 由题图可知f(-1)=-a+b-c+d<0⇒a+c>b+d,故(1)正确.
由x→-∞, f(x)→+∞知a<0,由f(0)<0知d<0,
由于f '(x)=3ax2+2bx+c,由题图知f(x)有两个极值点-1和x,所以方程f '(x)=0有两个实根-1和x,
0 0
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2b
{-1+x =- ,
所以 0 3a 若-1+x=-2b<0,则b<0,又由x=- c >0⇒c>0,所以ac<0,bd>0,所以ac<bd,
0 0
c 3a 3a
-1·x = ,
0 3a
2b
若-1+x=- >0,则b>0,则bd<0,无法比较ac与bd大小,故(2)错误.
0
3a
2b 2b 2b
由x=1- >0,得1- >0⇒ <1⇒3a<2b,故(3)错误.
0
3a 3a 3a
由f '(-1)=3a-2b+c=0⇒3a+c=2b⇒9a2+c2+6ac=4b2⇒6ac=4b2-(9a2+c2),
而ac<0,所以4b2-(9a2+c2)<0⇒9a2+c2>4b2,故(4)正确.
综上,正确的是(1),(4),故选B.
9.(2021北京怀柔高三适应性练习,10)形状、节奏、声音或轨迹,这些现象都可以分解成自复制的
结构,即相同的形式会按比例逐渐缩小,并无限重复下去,也就是说,在前一个形式中重复出现被缩
小的相同形式,依此类推,如图所示,将图1的正三角形的各边都三等分,以每条边中间一段为边再
向外作一个正三角形,去掉中间一段得到图2,称为“一次分形”;用同样的方法把图2中的每条线
段重复上述操作,得到图3,称为“二次分形”;依次进行“n次分形”,得到一个周长不小于初始三
角形周长100倍的分形图,则n的最小值是(取lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0) ( )
图1
图2
图3
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图4
A.15 B.16 C.17 D.18
4a
答案 C 设正三角形的边长为a,“一次分形”后正三角形的一边变为长为 的折线,“二次分
3
形”后折线长度为(4) 2 a,……,“n次分形”后折线长度为(4) n a,所以得到一个周长不小于初始
3 3
三角形周长100倍的分形图,只需满足(4) n a≥100a,两边同时取常用对数得nlg 4≥lg 100=2,即
3 3
2 2
得n(2lg 2-lg 3)≥2,解得n≥ ≈ ≈16.01,故至少需要17次分形,
2lg2-lg3 0.602 0-0.477 1
故选C.
审题指导 根据分形的变化规律,得出一条长为a的线段经过n次分形后变为长为(4) n a的折线,
3
然后建立不等关系并利用对数求解.
二、多项选择题
10.(2021届山东潍坊重点中学联考,11)已知函数f(x)= |x| +1,g(x)={ f (x),x≤0, 且g(1)=0,
e|x| x2-2x+a,x>0,
则关于x的方程g(g(x)-t)-1=0实根个数的判断正确的是 ( )
A.当t<-2时,方程g(g(x)-t)-1=0没有实根
1
B.当-1+ <t<0或t=-2时,方程g(g(x)-t)-1=0有1个实根
e
1
C.当1<t<1+ 时,方程g(g(x)-t)-1=0有2个相异实根
e
1 1
D.当-1<t<-1+ 或0<t≤1或t=1+ 时,方程g(g(x)-t)-1=0有4个相异实根
e e
答案 AB 由g(1)=0得1-2+a=0,则a=1,
所以g(x)={ f (x),x≤0. 故g(x)≥0,
(x-1)2,x>0,
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-x
当x≤0时,g(x)=f(x)= +1=1-xex,
e-x
1
则g'(x)=-ex-xex=-ex(x+1),由g'(x)>0得x<-1;由g'(x)<0得-1<x≤0,则g(x) =g(-1)=1+ ,又
max
e
g(0)=f(0)=1,x→-∞时,g(x)→1,所以x≤0时,g(x)∈[ 1].当x>0时,g(x)=(x-1)2≥0.由g(g(x)-t)-1=0
1,1+
e
解得g(x)=t或g(x)=t+2.A选项,当t<-2时,g(x)=t与g(x)=t+2都无解,故没有实根,故A正确;
1
B选项,当-1+ <t<0或t=-2时,方程g(g(x)-t)-1=0有1个实根,即g(x)=t无解,g(x)=t+2只有一个实根,
e
1 1
则只需t+2=0或t+2>1+ (t<0),解得t=-2或0>t>-1+ ,故B正确;
e e
1
C选项,当1<t<1+ 时,g(x)=t有三个实根,g(x)=t+2只有一个实根,所以方程g(g(x)-t)-1=0有4个相异
e
实根,故C错;
1
D选项,当t=1+ 时,方程g(x)=t有两个相异实根,g(x)=t+2有一个实根,共3个相异实根;当0<t≤1时,
e
方程g(x)=t有两个相异实根,g(x)=t+2有一个实根,共3个相异实根;
1
当-1<t<-1+ 时,方程g(x)=t无实根,方程g(x)=t+2有3个相异实根,故D错.故选AB.
e
11.(2021届山东新泰第一中学10月月考,12)已知f(x)是定义域为R的函数,满足
f(x)=f(x-4),f(x+2)=f(2-x),当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期为4
1
C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最小值为-
2
D.方程f(x)=log|x|有10个实根
3
答案 ABD f(x)是定义域为R的函数,由f(x+2)=f(2-x),得f(x)=f(4-x),
又f(x)=f(x-4),所以f(4-x)=f(x-4),
即f[-(x-4)]=f(x-4),
所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,故A正确;
由f(x)=f(x-4),可知函数f(x)的最小正周期为4,故B正确;
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当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,函数的最小值为f(1)=1-1=-1,
2 4 2 4
1
由f(x+2)=f(2-x)知直线x=2为f(x)图象的对称轴,所以当0≤x≤4时,函数f(x)的最小值为- ,故C不正
4
确;如图所示,作出当x>0时y=f(x)与y=logx的图象,
3
由图象可知当x>0时,两函数图象有5个交点,又y=f(x)与y=log|x|均为偶函数,
3
所以由对称性可知方程f(x)=log|x|有10个实根,故D正确.故选ABD.
3
12.(2020山东菏泽一中2月自测)德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就
显著,19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”D(x)={ 1,x∈Q, 其中R为实数集,Q为有
0,x∈
∁
Q,
R
理数集,则关于函数D(x)有如下四个命题:
其中正确的命题是 ( )
A.函数D(x)是偶函数
B.∀x
1
,x
2
∈∁R Q,D(x
1
+x
2
)=D(x
1
)+D(x
2
)恒成立
C.任取一个不为零的有理数T,D(x+T)=D(x)对任意的x∈R恒成立
D.不存在三个点A(x,D(x)),B(x,D(x)),C(x,D(x)),使得△ABC为等腰直角三角形
1 1 2 2 3 3
答案 ACD 对于A,若x∈Q,则-x∈Q,满足D(x)=D(-x);若x∈∁R Q,则-x∈∁R Q,满足D(x)=D(-x),故
函数D(x)为偶函数,选项A正确;
对于B,取x
1
=π∈∁R Q,x
2
=-π∈∁R Q,则D(x
1
+x
2
)=D(0)=1, D(x
1
)+D(x
2
)=0,故选项B错误;
对于C,若x∈Q,则x+T∈Q,满足D(x)=D(x+T);若x∈∁R Q,则x+T∈∁R Q,满足D(x)=D(x+T),故选项C
正确;
对于D,要为等腰直角三角形,只可能是如下四种情况:
①直角顶点A在直线y=1上,斜边在x轴上,此时点B,点C的横坐标为无理数,则BC中点的横坐标
也为无理数,那么点A的横坐标也为无理数,这与点A的纵坐标为1矛盾,故不成立;
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②直角顶点A在直线y=1上,斜边不在x轴上,此时点B的横坐标为无理数,则点A的横坐标也应为
无理数,这与点A的纵坐标为1矛盾,故不成立;
③直角顶点A在x轴上,斜边在y=1上,此时点B,点C的横坐标为有理数,则BC中点的横坐标也为
有理数,那么点A的横坐标也应为有理数,这与点A的纵坐标为0矛盾,故不成立;
④直角顶点A在x轴上,斜边不在y=1上,此时点A的横坐标为无理数,则点B的横坐标应为无理数,
这与点B的纵坐标为1矛盾,故不成立.
综上,不存在三个点A(x,D(x)),B(x,D(x)),C(x, D(x)),使得△ABC为等腰直角三角形,故选项D正确.
1 1 2 2 3 3
故选ACD.
三、填空题
13.(2021浙江温州二模,16)有一种病毒在人群中传播,使人群成为三种类型:没感染病毒但可能会
感染病毒的S型;感染病毒尚未康复的I型;感染病毒后康复的R型(所有康复者都对病毒免疫).根
据统计数据,每隔一周,S型人群中有95%仍为S型,5%成为I型;I型人群中有65%仍为I型,35%成
为R型;R型人群仍为R型.若人口数为A的人群在病毒暴发前全部是S型,记病毒暴发n周后的S
型人数为S,I型人数为I,则S= ,I= .(用A和n表示,其中n∈N*)
n n n n
A
答案 A·0.95n; (0.95n-0.65n)
6
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解析 S型人群即为易感染人群,显然每周人数为上周人数的95%,S=0.95A,
1
故{S}是首项为0.95A,公比为0.95的等比数列,
n
则S=0.95A·0.95n-1=A·0.95n.
n
I型人群即为感染人群,R型人群即为康复后对病毒永久免疫人群.
第一周后,S=0.95A,I=0.05A;
1 1
第二周后,S=0.952A,I=0.65I+0.05S;
2 2 1 1
第三周后,S=0.953A,I=0.65I+0.05S;
3 3 2 2
……
第n周后,S=A·0.95n,I=0.65I +0.05S ,
n n n-1 n-1
即I n =0.65I n-1 +0.05×0.95n-1·A⇒ I n = I n-1 +0.05×(0.95) n-1 ·A⇒ I n - I n-1 =
0.65n 0.65n-1 0.65 0.65 0.65n 0.65n-1
A ×(19) n-1 ,
13 13
(19) n
1-
∴
I
n =
A
×
[
1+
(19) 1
+
(19) 2
+…+
(19) n-1]
=
A
×
13
=
A
×
[ (19) n
-1
]
,
0.65n 13 13 13 13 13 19 6 13
1-
13
∴I=A×[ (19) n ]×(13) n =A·[ (19) n (13) n] ,即I=A(0.95n-0.65n).
n -1 - n
6 13 20 6 20 20 6
14.(2021北京西城一模,15)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥
了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原
有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量÷水库总蓄水量
×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:
(1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];
(2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;
(3)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.
记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解
析式:
1 x π
①y=- x2+6x;②y=10√x;③y=1 ;④y=100sin x.
20
050
200
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则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 .
答案 ②④
1 1 1
解析 ①y=- x2+6x=- (x2-120x)=- (x-60)2+180,该函数在x=60时函数值为180,超过了范围,
20 20 20
不合题意;
②y=10√x为增函数,且x∈[0,100],y∈[0,100],
则0≤√x≤10,则x≤10√x,符合题意;
③y=1 x,当x=50时,1 x=10<50,不合题意;
050 050
④y=100sin π x,当x∈[0,100]时, π x∈[ π],故该函数在[0,100]上单调递增,且y=100sin π
0,
200 200 2 200
x∈[0,100],
π
设g(x)=100sin x-x,x∈[0,100],
200
π π
g'(x)=100· ·cos x-1,x∈[0,100],
200 200
π π π π
即g'(x)= ·cos x-1,易知g'(x)= ·cos x-1在[0,100]上为减函数,
2 200 2 200
令g'(x)=0,则存在x∈[0,100],有g'(x)=0,
0
当x∈[0,x]时,g'(x)>0,当x∈[x,100]时,g'(x)<0,
0 0
故g(x)在[0,x]上递增,在[x,100]上递减.
0 0
又g(0)=0,g(100)=0,
π
故x∈[0,100]时,g(x)≥0,即x∈[0,100]时,100sin x≥x,
200
故④符合题意.故答案为②④.
f (x)-f (y)
15.(2021北京房山一模,15)设函数f(x)的定义域为D,若对任意x∈D,存在y∈D,使
2
=C(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“半差值”为C.下列四个函数中,满足所在定义域上
“半差值”为2的函数是 (填上所有满足条件的序号).
①y=ex(x+1);②y=x3-1;③y=logx;④y=sin x.
2
答案 ②③
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解析 本题考查关于函数性质的新定义问题,考查学生综合运用函数的知识分析与解决问题的能
力,渗透逻辑推理的核心素养,试题体现创新性.
由题意可得,对定义域中的任意x,存在y,使得f(y)=f(x)-4.
由于②③中函数值域为R,故满足;
对于①,y=ex(x+1),y'=ex(x+2),当x∈(-∞,-2)时,y'<0,当x∈(-2,+∞)时,y'>0,∴y=ex(x+1)在(-∞,-2)上单调递
1
减,在(-2,+∞)上单调递增,则当x=-2时,函数取得最小值- ,此时不存在自变量y,使得其函数值为-
e2
1
-4,故①不满足;
e2
对于④,y=sin x的值域为[-1,1],故不存在符合条件的x,y,使得f(y)=f(x)-4.故④不满足,故答案为②③.
16.(2021浙江温州二模,17)已知函数f(x)=-x|x-a|,若对任意x∈(2,+∞),都存在x∈(-1,0),使得
1 2
f(x)·f(x)=-4,则实数a的最大值为 .
1 2
答案 1
解析
f(x)={-x2+ax,x≥a,
由于求a的最大值,因此只需考虑a>0即可.
x2-ax,x<a,
解法一:当a>2时, f(x)在(-1,0)上单调递减, f(x)∈(0,a+1),在(2,+∞)上存在x=a,使得f(a)=0,
2 1
则f(x)·f(x)=0,所以不符合题意;
1 2
当0<a≤2时, f(x)在(-1,0)上单调递减, f(x)∈(0,a+1), f(x)在(2,+∞)上单调递减, f(x)∈(-∞,2a-4),
2 1
要使得f(x)·f(x)=-4,只需要满足f(x) ·f(x) ≤-4即可,即(a+1)(2a-4)≤-4⇒0<a≤1,故a的最大值为
1 2 1max 2max
1.
-4 -4
解法二:f(x)在(-1,0)上单调递减, f(x)∈(0,a+1), f(x)= ,由题意得f(x)的值域是y= 值
2 1 f (x ) 1 f (x )
2 2
域的子集即可,所以 -4 ∈( 4 ).
-∞,-
f (x ) a+1
2
4
当0<a≤2时, f(x)∈(-∞,2a-4),所以- ≥2a-4,
1 a+1
解得0<a≤1;
当a>2时, f(x)∈(-∞,0],不符合要求.
1
综上,a的最大值为1.
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