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第二章 函数 ５ ９
§２．５ 函数的图象
函数的图象 学生用书Ｐ２９
１．（２０２１浙江，７，４分）已知函数ｆ ｘ ｘ２ １ ｇ ｘ ｘ 则图
（ ）＝ ＋ ， （ ）＝ｓｉｎ ，
４
象为下图的函数可能是
（ ）
４． 答案 Ｄ
５．（２０１９ 浙江，６，４ 分）在同一直角坐标系中 函数 ｙ １ ｙ
， ＝ ａｘ， ＝
ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ １ ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ １ ( )
Ａ． ＝ （ ）＋ （ ）－ Ｂ． ＝ （ ）－ （ ）－ ｘ １ ａ 且ａ 的图象可能是
４ ４ ｌｏｇａ ＋ （ ＞０， ≠１） （ ）
ｇ ｘ ２
ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ ｙ （ ）
Ｃ． ＝ （ ） （ ） Ｄ． ＝ｆ ｘ
（ ）
１． 答案 Ｄ
２．（２０２０浙江，４，４分）函数ｙ ｘ ｘ ｘ在区间 上的
＝ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ［－π，π］
图象可能是
（ ）
５． 答案 Ｄ
ｘ ｘ
－
６．（２０１８课标 ，文 ３，理 ３，５ 分）函数 ｆ ｘ ｅ －ｅ 的图象大
Ⅱ （ ）＝ ｘ２
致为
（ ）
２． 答案 Ａ
ｘ
３．（２０２０天津，３，５分）函数ｙ ４ 的图象大致为
＝ｘ２ （ ）
＋１
６． 答案 Ｂ
７．（２０１８课标 理，７，５分）函数ｙ ｘ４ ｘ２ 的图象大致为
３． 答案 Ａ Ⅲ ＝－ ＋ ＋２ （ ）
ｘ ｘ
４．（２０１９课标 ，文５，理５，５分）函数ｆ ｘ ｓｉｎ ＋ 在
Ⅰ （ ）＝ ｘ ｘ２ ［－π，π］
ｃｏｓ ＋
的图象大致为
（ ）
６ ０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
（ ）根据函数的单调性判断图象的变化趋势；
２
（ ）根据函数的奇偶性判断图象的对称性；
３
（ ）根据函数的周期性判断图象的循环往复．
４
ｘ
２．（２０１７课标 文，７，５分）函数ｙ ｘ ｓｉｎ 的部分图象大致为
Ⅲ ＝１＋ ＋ ｘ２
（ ）
７． 答案 Ｄ
８．（２０１８浙江，５，４分）函数ｙ ｜ ｘ ｜ ｘ的图象可能是
＝２ ｓｉｎ２ （ ）
答案 Ｄ 当ｘ 时 ｘ
∈（０，１） ，ｓｉｎ ＞０，
ｘ
ｙ ｘ ｓｉｎ ｘ 排除 ．
∴ ＝１＋ ＋ ｘ２ ＞１＋ ＞１， Ａ、Ｃ
ｘ ｘ
令ｆ ｘ ｘ ｓｉｎ 则ｆ ｘ ｘ ｓｉｎ（－ ） ｆ ｘ
（ ）＝ ＋ ｘ２ ， （－ ）＝－ ＋ ｘ ２ ＝－（ ），
（－ ）
ｘ
ｆ ｘ ｘ ｓｉｎ 是奇函数
８． 答案 Ｄ ∴ （ ）＝ ＋ ｘ２ ，
ｘ
以下为教师用书专用（１—８） ｙ ｘ ｓｉｎ 的图象关于点 对称 故排除 ．
∴ ＝１＋ ＋ ｘ２ （０，１） ， Ｂ
ｘ
１．（２０１７课标 文，８，５分）函数ｙ ｓｉｎ２ 的部分图象大致为 故选 ．
Ⅰ ＝ ｘ Ｄ
１－ｃｏｓ 解后反思 函数图象问题，一般从定义域、特殊点的函数
（ ） 值、单调性、奇偶性等方面入手进行分析．选择题通常采用排
除法．
３．（２０１６课标 ，理７，文９，５分）函数ｙ ２ ｜ ｘ ｜在 的图
Ⅰ ＝２ －ｅ ［－２，２］
象大致为
（ ）
答案 Ｃ 本题考查函数图象的识辨．
ｘ
易知ｙ ｓｉｎ２ 为奇函数 图象关于原点对称 故排除 选项
＝ ｘ ， ， Ｂ ；
１－ｃｏｓ
° ３ ° １
ｓｉｎ２≈ｓｉｎ１２０ ＝ ２ ，ｃｏｓ１≈ｃｏｓ６０ ＝ ２ ， 答案 Ｄ 当ｘ ＝２ 时 ， ｙ ＝８－ｅ ２ ∈（０，１）， 排除 Ａ，Ｂ； 易知函数
则ｆ （１）＝ １－ ｓｉ ｃ ｎ ｏｓ ２ １ ＝ ３， 故排除 Ａ 选项 ； ｙ ＝ ｘ ２ ｘ 当 ２ － ｘ ｅ ｜ ｘ ｜为 时 偶函 ｙ′ 数 ， 当 当 ｘ ｘ ∈［ 时 ０，２ ｙ ］ ′ 时 ， ｙ 所 ＝ 以 ２ ｘ２ 存 －ｅ 在 ｘ ， ｘ 求导得ｙ′ ＝ 使 ４ ｘ
－ｅ ， ＝０ ， ＜０， ＝２ ， ＞０， ０∈（０，２），
ｆ ｓｉｎ２π 故排除 选项 故选 ． 得ｙ′ 故选 ．
（π）＝ ＝０， Ｄ ， Ｃ ＝０， Ｄ
１－ｃｏｓ π ４．（２０１６浙江，３，５分）函数ｙ ｘ２ 的图象是
方法总结 已知函数解析式判断函数图象的方法： ＝ｓｉｎ （ ）
（ ）根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域
１
判断图象的上下位置；
第二章 函数 ６ １
ìａ
ï ＞０， {ａ
ï ｂ ＞０，
点 则í 即 ｂ 故选 ．
， ï－ ａ＞０， ＜０， Ａ
ï ３ ｃ
îｃ ＞０，
＞０，
评析 本题考查导数的应用及运用图象解题的能力．
( )
７．（２０１５浙江，５，５分）函数ｆ ｘ ｘ １ ｘ ｘ 且ｘ
（ ）＝ － ｘ ｃｏｓ （－π≤ ≤π
的图象可能为
≠０） （ ）
答案 Ｄ 排除法．由ｙ ｘ２ 为偶函数判断函数图象的对
＝ｓｉｎ
( )
２ ２
称性 排除 当ｘ π时 ｙ π π 排除
， Ａ，Ｃ； ＝ ， ＝ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ≠１， Ｂ，
２ ２ ４
故选 ．
Ｄ
５．（２０１５课标 ，理１０，文１１，５分）如图 长方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ
Ⅱ ，
ＢＣ Ｏ是ＡＢ的中点．点Ｐ沿着边ＢＣ ＣＤ与ＤＡ运动 记
＝２， ＝１， ， ，
ＢＯＰ ｘ．将动点 Ｐ 到 Ａ Ｂ 两点距离之和表示为 ｘ 的函数
∠ ＝ ，
ｆ ｘ 则ｙ ｆ ｘ 的图象大致为
（ ）， ＝ （ ） （ ）
( ) ( )
答案 Ｄ 因为ｆ ｘ ｘ １ ｘ ｘ １ ｘ
（－ ）＝ － ＋ ｘ ｃｏｓ（－ ）＝－ － ｘ ｃｏｓ
ｆ ｘ 所以函数ｆ ｘ 为奇函数 排除 ．当 ｘ 时 ｘ
＝－（ ）， （ ） ， Ａ、Ｂ ０＜ ＜１ ， －
１ ｘ 所以ｆ ｘ 排除 故选 ．
ｘ ＜０，ｃｏｓ ＞０， （ ）＜０， Ｃ， Ｄ
８．（２０１２ 课标理，１０，５ 分）已知函数 ｆ ｘ １ 则 ｙ
（ ）＝ ｘ ｘ， ＝
ｌｎ（ ＋１）－
ｆ ｘ 的图象大致为
（ ） （ ）
答案 Ｂ 当点Ｐ与Ｃ Ｄ重合时 易求得ＰＡ ＰＢ 当
、 ， ＋ ＝１＋ ５；
点Ｐ为ＤＣ的中点时 有ＯＰ ＡＢ 则ｘ π 易求得ＰＡ ＰＢ
， ⊥ ， ＝ ， ＋ ＝
２
ＰＡ ．显然 故当ｘ π时 ｆ ｘ 没有取到最大
２ ＝２ ２ １＋ ５＞２ ２， ＝ ， （ ）
２
[ )
值 则 选项错误．当 ｘ π 时 ｆ ｘ ｘ
， Ｃ、Ｄ ∈ ０， ， （ ） ＝ ｔａｎ ＋
４
２ｘ 不是一次函数 排除 故选 ．
４＋ｔａｎ ， ， Ａ， Ｂ
６．（２０１５安徽文，１０，５分）函数ｆ ｘ ａｘ３ ｂｘ２ ｃｘ ｄ的图象如图
（ ）＝ ＋ ＋ ＋
所示 则下列结论成立的是
， （ ）
ｘ
答案 Ｂ 令ｇ ｘ ｘ ｘ 则ｇ′ ｘ １ －
（ ）＝ｌｎ（ ＋１）－ ， （ ）＝ｘ －１＝ｘ ，
＋１ ＋１
当 ｘ 时 ｇ′ ｘ
∴ －１＜ ＜０ ， （ ）＞０，
当ｘ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ ｇ ．
＞０ ， （ ）＜０，∴ （ ）ｍａｘ＝ （０）＝０
ｆ ｘ 排除 又由定义域可排除 故选 ．
∴ （ ）＜０， Ａ、Ｃ， Ｄ， Ｂ
ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ 评析 本题考查了函数的图象，考查了利用导数判断函数单
Ａ． ＞０， ＜０， ＞０， ＞０ Ｂ． ＞０， ＜０， ＜０， ＞０
ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ 调性，求值域，考查了数形结合的数学思想．
Ｃ． ＜０， ＜０， ＞０， ＞０ Ｄ． ＞０， ＞０， ＞０， ＜０
答案 Ａ 由ｆ ｘ 的图象易知ｄ 且ｆ ′ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ
（ ） ＞０， （ ）＝３ ＋２ ＋
的图象是开口向上的抛物线 ， 与 ｘ 轴正半轴有两个不同的交 函数图象的应用 学生用书Ｐ３０
１．（２０２０北京，６，４分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则不等式ｆ ｘ
（ ）＝２ － －１， （ ）＞０
６ ２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
的解集是 ｍ ｍ ｍ
（ ） Ａ．０ Ｂ． Ｃ．２ Ｄ．４
答案 Ｂ 由ｆ ｘ ｆ ｘ 可知ｆ ｘ 的图象关于点
Ａ．（－１，１） Ｂ．（－∞，－１）∪（１，＋∞） （－ ）＝２－（ ） （ ） （０，１）
ｘ
Ｃ．（０，１） Ｄ．（－∞，０）∪（１，＋∞） 对称 又易知ｙ ＋１ １ 的图象关于点 对称 所以两
１． 答案 Ｄ ， ＝ ｘ ＝１＋ ｘ （０，１） ，
{ ｘ ｘ 函数图象的交点成对出现 且每一对交点都关于点 对
｜ ｜＋２， ＜１， ， （０，１）
２．（２０１７天津文，８，５分）已知函数ｆ ｘ 设ａ Ｒ ｍ ｍ ｍ
（ ）＝ ｘ ２ ｘ ． ∈ ， 称 ｘ ｙ ｍ．故选 ．
＋ ｘ ， ≥１ ，∴ ∑ｉ＝
１
（ ｉ＋ ｉ）＝０×
２
＋２×
２
＝ Ｂ
ｘ ｘ
若关于ｘ的不等式ｆ ｘ ａ 在Ｒ上恒成立 则ａ的取值 思路分析 分析出函数ｙ ｆ（ｘ）和ｙ ＋１的图象都关于点
（ ）≥ ＋ ， ＝ ＝ ｘ
２
范围是 （ ， ）对称，进而得两函数图象的交点成对出现，且每一对交
（ ） ０ １
点都关于点（ ， ）对称，从而得出结论．
Ａ．［－２，２］ Ｂ．［－２ ３，２］ ２．（２０１５安徽文 ０ ，１ １ ４，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若直线ｙ
， ＝
Ｃ．［－２，２ ３］ Ｄ．［－２ ３，２ ３］ ａ与函数 ｙ ｘ ａ 的图象只有一个交点 则 ａ 的
２． 答案 Ａ ２ ＝ ｜ － ｜ －１ ，
值为 ．
以下为教师用书专用（１—２）
答案 １
１．（２０１６课标 ，１２，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ Ｒ 满足ｆ ｘ －
Ⅱ （ ）（ ∈ ） （－ ）＝２－ ２
ｘ 解析 若直线ｙ ａ与函数ｙ ｘ ａ 的图象只有一个交
ｆ ｘ 若函数 ｙ ＋１与 ｙ ｆ ｘ 图象的交点为 ｘ ｙ ｘ ＝２ ＝｜ － ｜－１
（ ）， ＝ ｘ ＝ （ ） （ １， １），（ ２， 点 则方程 ａ ｘ ａ 只有一解 即方程 ｘ ａ ａ 只有
， ２ ＝｜ － ｜－１ ， ｜ － ｜＝２ ＋１
ｍ
ｙ ｘ ｙ 则 ｘ ｙ 一解 故 ａ 所以ａ １ ．
２），…，（ ｍ， ｍ）， ∑ｉ＝
１
（ ｉ＋ ｉ）＝ （ ） ， ２ ＋１＝０， ＝－
２
学生用书Ｐ３１
1
ａ 横坐标缩短为原来的 １ 纵坐标不变
考点 函数的图象 ＞１， ａ ，
ｙ ｆ ｘ
（ｉ） ＝ （ ） →
ａ 横坐标伸长为原来的 １ 倍 纵坐标不变
１．描点法作图的方法与步骤 ０＜ ＜１， ａ ，
确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数 ｙ ＝ ｆ （ ａｘ ） ．
（１） ；（２） ；（３）
ａ 纵坐标伸长为原来的ａ倍 横坐标不变
的性质 奇偶性 单调性 周期性等 列表 关注特殊点 零 ｙ ｆ ｘ ＞１， ， ｙ ａｆ ｘ ．
（ 、 、 ）；（４） （ ： （ｉｉ） ＝ （ ） ａ 纵坐标缩短为原来的ａ 横坐标不变→ ＝ （ ）
点 最值点 与坐标轴交点等 描点 连线． ０＜ ＜１， ，
、 、 ）， ， 翻折变换
２．图象变换 （４）
保留ｘ轴上及ｘ轴上方图象
平移变换 ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ｘ）
（１） ＝ （ ） 将ｘ轴下方图象翻折上去→ ＝⑥ ｜ ｜ ；
保留ｙ轴上及ｙ轴右边图象 并作ｙ轴
ｙ ｆ ｘ ， ｙ ｆ（ ｘ ） ．
＝ （ ） 右边图象关于ｙ轴对称的图象 → ＝⑦ ｜ ｜
2
考点 函数图象的应用
函数图象的几个应用方向
对称变换
（２）
１．利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性
；
ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象与ｙ ＝② － ｆ（ｘ ） 的图象关于ｘ轴对称 ； ２．利用函数从左到右的升或降 求函数的单调区间
， ；
ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象与ｙ ＝③ ｆ（ － ｘ ） 的图象关于ｙ轴对称 ； ３．利用函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 与ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的图象交点的横坐标 ， 求方
ｙ ｙ ＝ ＝ ｆ ａ （ ｘ ｘ （ ） ａ 的 ＞０ 图 ， 且 象与 ａ ≠ ｙ １ ＝ ） ④ 的 － 图 ｆ（ 象 － ｘ 与 ） 的 ｙ 图 ＝⑤ 象 关 ｌｏ 于 ｇａ ｘ 坐 标 （ ａ 原 ＞ 点 ０， 对 且 称 ａ ； ≠１） 程ｆ （ ４ ｘ ． ） 利 ＝ 用 ｇ （ 函 ｘ ） 数 的 ｙ 根 ＝ ； ｆ （ ｘ ） 与ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的图象的上下位置关系 ， 求
的图象关于直线ｙ
＝
ｘ对称．
不等式的解集．
伸缩变换
（３）
第二章 函数 ６ ３
学生用书Ｐ３１
一、常用的函数图象识辨方法
二、函数图象应用问题的解法
１．函数图象的识辨，一般从以下几个方面入手：
从函数定义域判断图象的左右位置 从值域判断图象的 研究两函数图象的交点个数 在同一坐标系中分别作
（１） ：
（１） ，
出两函数的图象 数形结合求解
上下位置 ， ；
； 确定方程根的个数 当方程与基本初等函数有关时
从函数单调性判断图象的变化趋势 （２） ： ，
（２） ； 函数图 可以通过函数图象来研究方程的根 方程ｆ ｘ 的根就
从奇偶性判断图象的对称性 ， （ ）＝０
（３） ； 象应用 是函数ｆ ｘ 图象与ｘ轴的交点的横坐标 方程ｆ ｘ
从周期性判断图象的循环往复 （ ） ， （ ）＝
（４） ； 角度 ｇ ｘ 的根就是函数ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象交点的横坐标
从特殊点或极限位置排除不合要求的图象． （ ） （ ） （ ） ；
（５） 研究不等式的解 当不等式问题不能用代数法求解
２．实际背景下的函数图象识辨 （３） ： ，
但其对应函数的图象可作出时 常将不等式问题转化为
，
在实际背景中 判定两个量构成的函数的图象时 在优先明 两函数图象的上 下关系问题 从而利用数形结合来解
， ， 、 ，
确定义域后 一是直接求得解析式 定量分析 进行识辨 二是估
， （ ） ，
计函数值的变化趋势判断图象走势 定性分析 作出判断．
（ ） 求解函
ｘ３
例１ （２０１９课标 理，７，５分）函数ｙ ２ 在 的图 数图象
Ⅲ ＝ ｘ － ｘ ［－６，６］
２ ＋２ 应用问
象大致为
（ ） 题的思
维流程
例２ （２０１９课标 理，１２，５分）设函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ
Ⅱ （ ） ，
满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ．若对任
（ ＋１）＝２ （ ）， ∈（０，１］ ， （ ）＝ （ －１）
ｘ３ ｘ３ 意ｘ ｍ 都有ｆ ｘ ８ 则ｍ的取值范围是
解析 记ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）＝ ｘ
２
－ ｘ，
则ｆ
（－
ｘ
）＝
－
－ ｘ
２
ｘ＝－
ｆ
（
ｘ
），
∈（－∞， ］， （ ）≥－
９
， （ ）
２ ＋２ ２ ＋２ ( ] ( ] ( ] ( ]
且当ｘ 时 ｆ ｘ 排除 ９ ７ ５ ８
＜０ ， （ ）＜０， Ｃ、Ｄ； Ａ． －∞， Ｂ． －∞， Ｃ． －∞， Ｄ． －∞，
３ ４ ３ ２ ３
又ｆ ２×４ １６×８ 故选 解题思路
（４）＝ ４ －４ ＝ －４≈８， Ｂ．
２ ＋２ １６＋２
答案 Ｂ
ｆ ｘ ８ 恒成立 转化为ｆ ｘ ８ 由条件ｆ ｘ
（ ）≥－ ， （ ）ｍｉｎ≥－ ； （ ＋１）＝
１－１ （２０２０重庆万州二中第一次月考，３）函数ｆ ｘ ２ ９ ９
（ ）＝ｅ － ｆ ｘ 可推出ｆ ｘ ｔ ｔｆ ｘ ｔ Ｚ ．四个选项中区间右端点都
｜ ｘ ｜的图象可能是 ２（ ） （ ＋ ）＝２ （ ）（ ∈ ）
ｅ （ ） 在 内 故画出函数的大致图象 观察其单调性 并通过解不
（２，３） ， ， ，
等式确定ｍ的取值范围．
( )
２
解析 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ １ １
∈（０，１］ ， （ ）＝ （ －１）＝ － －
２ ４
[ ]
１ ．
∈ － ，０
４
由ｆ ｘ ｆ ｘ 得 ｆ ｘ ｔ ｔｆ ｘ ｔ Ｚ 画出ｆ ｘ 的
（ ＋１）＝２（ ） ， （ ＋ ）＝２ （ ）（ ∈ ）， （ ）
大致图象如下图．
１－１． 答案 Ｂ
１－２ （２０１８课标 文，７，５分）下列函数中 其图象与函数ｙ
Ⅲ ，
ｘ的图象关于直线ｘ 对称的是
＝ｌｎ ＝１ （ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ａ． ＝ｌｎ（１－ ） Ｂ． ＝ｌｎ（２－ ）
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ｃ． ＝ｌｎ（１＋ ） Ｄ． ＝ｌｎ（２＋ ）
１－２． 答案 Ｂ
当ｘ 时 ｘ ｆ ｘ ２ｆ ｘ ｆ ｘ
∈（２，３］ ， －２∈（０，１］， （ ）＝２ （ －２）＝４ （ －２）＝
ｘ ｘ
４（ －２）（ －３），
解不等式ｆ ｘ ８ 得ｘ ７ 或ｘ ８ 观察图象知 ｍ
（ ）≥－ ， ≤ ≥ ， ， ∈
９ ３ ３
６ ４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ]
－∞，
７
３
，
选
Ｂ． ２－１．
Ａ．［
答
－
案
３，
Ｃ
３］ Ｂ．（－ ３，＋∞） Ｃ．（－ ３， ３］ Ｄ．（－∞， ３）
答案 Ｂ ２－２ （２０２０重庆南开中学第二次质检文，１５）已知ａ ｂ ｃ
２－１ 设函数ｆ （ ｘ ）＝ { － ｘ ｘ３ ｘ ＋３ ｘ ａ ， ． ｘ ＜ ａ ，若ｆ （ ｘ ） 恰有两个零点 ， 则 （０，＋∞）， 且 ｌｎ ａ ＝ ａ －１， ｂ ｌｎ ｂ ＝１， ｃ ｅ ｃ ＝１， 则ａ ， ｂ ， ｃ的大小关 ， 系 ， ∈ 是
２ ， ≥ ．
实数ａ的取值范围是
（ ） ２ － ２． 答案 ｃ ａ ｂ
＜ ＜
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ３２
函数的图象
１．（２０２０ 河北新时代 教育模拟） 已知函数 ｆ ｘ
ＮＴ （ ） ＝
{ ｘ ｘ
ｅ －４， ≥０，则函数ｇ ｘ ｘ２ｆ ｘ 的大致图象是
－ ｘ ｘ （ ）＝ （ ） （ ）
ｅ －４， ＜０，
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
４． 答案 Ｄ
ｘ ＋１ ｘ
５．（２０２１山东德州二模，５）函数ｆ ｘ ２ ·ｌｎ ｜ ｜的部分图象大
１． 答案 Ａ （ ）＝ ｘ
４ ＋１
ｘ４ 致为
２．（２０２０湖南炎陵一中仿真考试）函数ｆ ｘ 的部分图象 （ ）
（ ）＝ ｘ － ｘ
ｅ －ｅ
可能是
（ ）
Ａ Ｂ
２． 答案 Ｂ
ｘ
３．（２０２１湖南岳阳一模，３）函数ｆ ｘ ｘ ｌｎ｜ ｜的图象大致为
（ ）＝ ＋ ｘ （ ）
Ｃ Ｄ
５． 答案 Ａ
６．（２０２０普通高等学校招生全国统一考试考前演练）某函数的部
分图象如图 则下列函数中可以作为该函数的解析式的是
，
（ ）
Ａ Ｂ
ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｃ Ｄ ｙ ｓｉｎ２ ｙ ｃｏｓ２ ｙ ｜ｃｏｓ２ ｜ ｙ ｜ｃｏｓ ｜
３． 答案 Ａ Ａ． ＝ ｓｉｎ２ ｘ Ｂ． ＝ ｃｏｓ２ ｘ Ｃ． ＝ ｃｏｓ２ ｘ Ｄ． ＝ ｃｏｓ ｘ
ｅ ｅ ｅ ｅ
ｘ ６． 答案 Ｃ
４．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，４）函数ｆ ｘ 的部分
（ ）＝ ｘ ７．（２０２１福建三明三模，５）若函数ｙ ｆ ｘ 的大致图象如图所示
ｃｏｓ －１ ＝ （ ） ，
图象大致是 则ｆ ｘ 的解析式可能是
（ ） （ ） （ ）
第二章 函数 ６ ５
８． 答案 Ａ
函数图象的应用
（多选题）（２０２１江苏南通一模，１２）已知函数ｆ ｘ 是定义在Ｒ
（ ）
上的奇函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 则下列命题正确的是
， ＜０ ， （ ）＝ｅ（ ＋１），
（ ）
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ － ｘ ｘ
Ａ． （ ）＝ ｘ Ｂ． （ ）＝ ｘ Ａ． ＞０ ， （ ）＝－ｅ （ －１）
｜ ｜－１ １－｜ ｜ 函数ｆ ｘ 有 个零点
ｘ ｘ Ｂ． （ ） ３
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的解集为
Ｃ． （ ）＝ｘ２ Ｄ． （ ）＝ ｘ２ Ｃ． （ ）＜０ （－∞，－１）∪（０，１）
－１ １－ ｘ ｘ Ｒ 都有 ｆ ｘ ｆ ｘ
７． 答案 Ｃ Ｄ．∀ １， ２∈ ， ｜ （ １）－（ ２）｜＜２
答案 ＢＣＤ
８．（２０２０山东百师联盟自测，７）函数ｆ ｘ ｘ ｘ １ ｜ ｘ ｜在
（ ）＝ ２｜ ｜ｃｏｓ － ｅ
２
[ ]
３ ３ 上的图象大致为
－ ， （ ）
２ ２
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ３３ ３０分钟 ３０分
一、单项选择题（每小题５分，共２０分） ｘ
３．（２０２０河北邯郸备考检测，８）函数ｆ ｘ ｅ ＋１ ｘ的部分
１．（２０２１山东日照一模，６）如图所示 单位圆上一定点Ａ与坐标 （ ）＝ ｘ ·ｃｏｓ
， ｅ －１
原点重合．若单位圆从原点出发沿ｘ轴正向滚动一周 则Ａ点 图象大致为
， （ ）
形成的轨迹为
（ ）
Ａ Ｂ
３． 答案 Ａ
４．（２０２０普通高等学校招生全国统一考试考前演练，９）设符号
ｘ ｙ ｚ 表示ｘ ｙ ｚ中的最小者 已知函数ｆ ｘ ｘ
ｍｉｎ｛ ， ， ｝ ， ， ， （ ）＝ｍｉｎ｛｜ －
ｘ２ ｘ 则下列结论正确的是
２｜， ，｜ ＋２｜｝， （ ）
Ｃ Ｄ
１． 答案 Ａ Ａ．∀ ｘ ∈［０，＋∞）， ｆ （ ｘ －２）＞ ｆ （ ｘ ）
ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
２．（２０２１上海普陀二模，１６）已知函数ｆ ｘ ３ 设ｘ ｉ Ｂ．∀ ∈［１，＋∞）， （ －２）＞（ ）
（ ）＝ ｘ， ｉ（ ＝１，２， ｘ Ｒ ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ
１＋３ Ｃ．∀ ∈ ， （ （ ））≤（ ）
为实数 且ｘ ｘ ｘ ．给出下列结论 ｘ Ｒ ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ
３） ， １＋ ２＋ ３＝０ ：
４．
Ｄ．∀
答案
∈
Ｃ
， （ （ ））＞（ ）
若ｘ ｘ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ３
① １· ２· ３＞０， （ １）＋（ ２）＋（ ３）＜
２
；
二、多项选择题（每小题５分，共１０分）
② 若ｘ １· ｘ ２· ｘ ３＜０， 则ｆ （ ｘ １）＋ ｆ （ ｘ ２）＋ ｆ （ ｘ ３）＞ ２ ３ ． ５．（２０２１江苏七市第二次调研，１０）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｜ ｘ２ － ａ ｜（ ａ
其中正确的是 Ｒ 则ｙ ｆ ｘ 的大致图象可能为
（ ） ∈ ）， ＝ （ ） （ ）
与 均正确 正确 不正确
Ａ．① ② Ｂ．① ，②
不正确 正确 与 均不正确
Ｃ．① ，② Ｄ．① ②
２． 答案 Ａ
６ ６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｘ 是ｆ ｘ 的一个零点
Ａ． ＝ｅ （ ）
ｘ ｘ ｘ
Ｂ． １＋ ２＋ ３＝２ ｅ＋ｅ
( )
ａ的取值范围是 １
Ｃ． － ，０
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ｅ
５． 答案 ＡＢＤ [ )
若 ｘ ｘ ｘ 则ａ的范围是 ２ｌｎ３ ｌｎ２
６．（２０２１山东聊城二模，１２）用符号 ｘ 表示不超过 ｘ 的最大整 Ｄ． ［ １］＋［ ２］＋［ ３］＝６， － ，－
［ ］ ９ ４
数
，
例如
：［０
．
６］＝０，［２
．
３］＝２
．设ｆ
（
ｘ
）＝（１－ｌｎ
ｘ
）（
ａｘ２
＋２ｌｎ
ｘ
）
有 ６． 答案 ＡＤ
个不同的零点ｘ ｘ ｘ 则
３ １， ２， ３， （ ）
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ｘ ｘ
ｘ 则ｆ ｘ １＋ ｘ １－ ｘ ｆ ｘ
１．（２０２１安徽六安示范高中质检，４）已知函数ｙ ｆ ｘ 的部分图 ， （－ ）＝ｌｎ ｘ＋ｓｉｎ（－ ）＝－ｌｎ ｘ－ｓｉｎ ＝－（ ），
＝ （ ） １－ １＋
象如图所示 则ｆ ｘ 的解析式可能为 所以ｆ ｘ 是奇函数 排除
， （ ） （ ） （ ） ， Ｃ，Ｄ，
( )
当ｘ π时 ｆ π ６－π １ ．
＝ ， ＝ｌｎ ＋
６ ６ ６＋π ２
１ １ ６－π １
∵ － ＝ｌｎ ＞ｌｎ ＞ｌｎ ＝－１，
２ ｅ ６＋π ｅ
( )
ｆ π ６－π １ ．故选 ．
∴ ＝ｌｎ ＋ ＜０ Ａ
６ ６＋π ２
４．（２０２１四川内江二模，８）函数ｆ ｘ ｜ ｘ ｜ ｘ 的大致图象为
（ ）＝ｅ －ｌｎ｜ ｜－２
Ａ． ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ －ｓｉｎ ｘ Ｂ． ｆ （ ｘ ）＝ １ ｘ ＋ｓｉｎ ｘ （ ）
２ ２
ｆ ｘ １ ｘ ｘ ｆ ｘ １ ｘ ｘ
Ｃ． （ ）＝ －ｃｏｓ Ｄ． （ ）＝ ＋ｃｏｓ
２ ２
答案 Ａ 由图象关于原点对称 可知函数ｆ ｘ 为奇函数
， （ ） ，
排除 又因为当ｘ 时 ｆ ｘ １ ｘ ｘ 恒成立 排除
Ｃ，Ｄ； ＞０ ， （ ）＝ ＋ｓｉｎ ＞０ ，
２ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
．故选 ． 答案 Ｄ 函数的定义域为 ｘ ｘ ．易知ｆ ｘ 为偶函数
Ｂ Ａ ｛ ｜ ≠０｝ （ ） ，
２．（２０２１安徽滁州重点高中质监，３）已知函数ｙ ｆ ｘ 的周期为 排除 选项
＝ （ ） Ａ ；
２， 当 ｘ ∈［０，２］ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ （ ｘ －１） ２ ， 如果 ｇ （ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ）－ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ′ ｘ ｘ １
ｘ 则函数ｙ ｇ ｘ 的所有零点之和为 ＞０ ， （ ）＝ｅ －ｌｎ －２， （ ）＝ｅ － ｘ ，
ｌｏｇ５｜ －１｜， ＝ （ ） （ ）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ 易知ｆ ′ ｘ ｘ １ 在 上为增函数
答案 Ｄ 函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ 的零点即函数ｆ ｘ 与ｙ （ ）＝ｅ － ｘ （０，＋∞） ，
ｘ 的 图象交点
（
的
）＝
横
（
坐
）
标
－ｌ
．
ｏ
在
ｇ５
同
｜
一
－１
平
｜
面直角坐标系中
（ ）
画出 ( )
函
＝ｌ
数
ｏｇ５
ｆ
｜
ｘ
－１
以
｜
及ｙ ｘ 的图象 根据ｙ ｘ 的图象
，
和ｆ
因为ｆ ′
（１）＝ｅ－１＞０，
ｆ ′ １
＝ ｅ－２＜０，
ｘ 的
（
图
）
象都关于
＝
直
ｌｏｇ
线
５｜
ｘ
－１｜
对称 且
，
有 个
＝
交
ｌｏｇ
点
５｜
得
－１
函
｜
数ｇ ｘ ｆ ( )
２
（ ） ＝１ ， ８ ， （ ）＝ 所以ｆ ′ ｆ ′ １
ｘ ｘ 的所有零点之和为 故选 ． （１）· ＜０，
（ ）－ｌｏｇ５｜ －１｜ ２×４＝８， Ｄ
(
２
)
所以存在ｘ １ 使得ｆ ′ ｘ
０∈ ，１ ， （ ０）＝０，
２
所以ｆ ｘ 在 ｘ 上单调递减 在 ｘ 上单调递增
（ ） （０， ０） ， （ ０，＋∞） ，
所以ｆ ｘ ｆ ｘ 故排除 ．故选 ．
（ ）ｍｉｎ＝ （ ０）， ＢＣ Ｄ
( )
５．（２０２１江西八所重点中学月考，７）函数 ｆ ｘ ｘ １
（ ）＝ － ｘ ·
( )
ｘ πｘ 的图象可能为
３．（２０２１四川顶级名校月考，６）函数ｙ １－ ｘ的图象大致为 ｃｏｓ （ ）
＝ｌｎ ｘ＋ｓｉｎ ２
１＋
（ ）
Ａ Ｂ
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
ｘ
答案 Ａ 函数的定义域为 令ｙ ｆ ｘ １－
（－１，１）， ＝ （ ）＝ｌｎ ｘ＋ｓｉｎ
１＋
第二章 函数 ６ ７
{ｘ ｘ
ｆ ｘ ，０≤ ≤２，
（ ）＝ ｘ ｘ
－ ，－２≤ ＜０，
∵ ｆ （ ｎ ）（ ｘ ）＝ ｆ （２ ｎ －１ · ｘ ）， ｎ ∈ Ｎ∗ ，∴ ｆ （４）（ ｘ ）＝ ｆ （２ ３ · ｘ ）＝ ｆ （８ ｘ ）， ｎ ∈ Ｎ∗ ，
故ｆ ｘ 的周期为 １ 其图象可由ｆ ｘ 的图象压缩为原来的
（４）（ ） ， （ ）
２
Ｃ Ｄ １ 得到 作出ｆ ｘ 的图象如图
( ) ( ) ， （４）（ ） ：
８
答案 Ａ 函数ｆ ｘ ｘ １ πｘ 的定义域为 ｘ ｘ
（ ）＝ － ｘ ｃｏｓ ｛ ｜ ≠
２
( ) ( ｘ) ( ) ( ｘ)
ｆ ｘ ｘ １ π ｘ １ π ｆ
０｝， （－ ）＝ － － ｘ ｃｏｓ － ＝－ － ｘ ·ｃｏｓ ＝－
－ ２ ２
ｘ 所以函数ｆ ｘ 为奇函数 排除 选项
（ ）， （ ） ， ＢＣ ；
ｘ２ ｘ ( ｘ)
当 ｘ 时 ｘ １ －１ π π 则 π 所以ｆ
０＜ ＜１ ， － ｘ ＝ ｘ ＜０，０＜ ＜ ， ｃｏｓ ＞０， 易知过Ｍ 直线的斜率存在
２ ２ ２ （－１，０） ，
ｘ 排除 选项．故选 ． 则要使过点 的直线ｌ与ｆ ｘ 的图象在 上恰有
（ ）＜０， Ｄ Ａ （－１，０） （４）（ ） ［０，２］
６．（２０２１全国卷地区联考，６）函数ｆ ｘ ４ ｘ ＋２ ＋１的图象关于 ８ 个交点 ， 则 ０＜ ｋ ＜ ｋ ＭＡ，
Ⅰ （ ）＝ ｘ （ ） ( )
２ Ａ ７ ｋ ２－０ ８ 故 ｋ ８ 故选 ．
点 对称 直线ｘ 对称 ∵ ，２ ，∴ ＭＡ＝ ＝ ， ０＜ ＜ ， Ａ
Ａ． （－２，０） Ｂ． ＝－２ ４ ７ １１ １１
点 对称 直线ｘ 对称 ＋１
Ｃ． （２，０） Ｄ． ＝２ ４
答案 Ｂ ｆ ｘ ２ ２ ｘ ＋４ ＋１ ｘ ＋４ １ æ ç ｘ ＋２ １ ö ÷．设ｇ ｘ ９．（２０２１北京顺义二模，６）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ｜ ｘ ｜－１－ｌｏｇ２｜ ｘ ｜， 则不
（ ）＝ ｘ ＝２ ＋ ｘ ＝４è２ ＋ ｘ ＋２ ø （ ）＝ 等式ｆ ｘ 的解集是
２ ２ ２ （ ）＜０ （ ）
æ ö
ç ｘ １ ÷ 则ｆ ｘ ｇ ｘ ．因为ｘ Ｒ ｇ ｘ ｇ ｘ 所以ｇ Ａ．（０，１）∪（２，＋∞）
４è２ ＋ ｘø， （ ）＝ （ ＋２） ∈ ， （－ ）＝ （ ），
２ Ｂ．（－∞，－２）∪（－１，１）∪（２，＋∞）
ｘ 为偶函数 其图象关于ｙ轴对称 所以ｆ ｘ 的图象关于直
（ ） ， ， （ ） Ｃ．（－∞，－２）∪（－１，０）∪（０，１）∪（２，＋∞）
线ｘ 对称．选 ．
＝－２ Ｂ Ｄ．（－２，－１）∪（１，２）
７．（２０２１福建福州质检，５）已知函数 ｆ ｘ ｘ 则函数 ｙ 答案 Ｄ 解法一 由题可知ｆ ｘ 的定义域为
（ ）＝ ｌｎ ， ＝ ： （ ） （－∞，０）∪
( ) ．易知ｆ ｘ 是偶函数 所以可只分析ｘ 时的情况．当
ｆ １ 的图象大致为 （０，＋∞） （ ） ， ＞０
ｘ （ ） ｘ 时 由ｆ ｘ 得ｘ ｘ 从而有ｘ ｘ 画出函
１－ ＞０ ， （ ）＜０ －１－ｌｏｇ２ ＜０， －１＜ｌｏｇ２ ，
数ｙ ｘ 与ｙ ｘ的图象 如图所示．
＝ －１ ＝ｌｏｇ２ ，
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
( )
答案 Ｄ ｆ ｘ ｘ ｙ ｆ １ １ ｘ
∵ （ ）＝ｌｎ ，∴ ＝ ｘ ＝ｌｎ ｘ＝－ｌｎ（１－ ），
１－ １－
( ) 观察图象得 ｘ ｘ的解集是 ．
ｘ ｘ 即函数ｆ １ 的定义域为 排除选 ， －１＜ｌｏｇ２ （１，２）
∵１－ ＞０，∴ ＜１， ｘ （－∞，１）， 由ｆ ｘ 是偶函数 得ｆ ｘ 的解集是 ．故
１－ （ ） ， （ ）＜０ （－２，－１）∪（１，２）
项 和 当ｘ 时 ｙ 排除选项 故选 ． 选 ．
Ａ Ｂ， ＝－１ ， ＝－ｌｎ２＜０， Ｃ， Ｄ Ｄ
８．（２０２１四川顶级名校二诊，９）已知在Ｒ上的函数ｆ ｘ 满足如 解法二 令ｇ ｔ ｔ ｔ ｔ
（ ） ： （ ）＝ －１－ｌｏｇ２ ，∈（０，＋∞），
下条件 ( )
： ｔ １
函数ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称 － ｌｎ２ ( )
① （ ） ； ｇ′ ｔ １ ｌｎ２ ｔ １ 时 ｇ′ ｔ ．
对于任意ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ （ ）＝１－ｔ ＝ ｔ ，∈ ０， ， （ ）＜０
② ∈ ， （２＋ ）－（２－ ）＝０； ｌｎ２ ｌｎ２ ｌｎ２
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ( )
③ ∈［０，２］ ， （ ）＝ ； 此时函数ｇ ｔ 单调递减 ｔ １ 时 ｇ′ ｔ 此时函数
④ 函数ｆ （ ｎ ）（ ｘ ）＝ ｆ （２ ｎ －１ · ｘ ）， ｎ ∈ Ｎ∗．若过点 （－１，０） 的直线ｌ与 （ ） ，∈ ｌｎ２ ，＋∞ ， （ ）＞０，
函数ｆ ｘ 的图象在ｘ 上恰有 个交点 则直线ｌ斜 ｇ ｔ 单调递增．
（４）（ ） ∈［０，２］ ８ ， （ ）
率ｋ的取值范围是
（ ） 又ｇ ｇ １ ｔ 时 ｇ ｔ
( ) ( ) ( ) ( ) （１）＝ （２）＝０， ∈（１，２），∴１＜ ＜２ ， （ ）＜０，
ｌｎ２
８ １１ ８ １９
Ａ． ０， Ｂ． ０， Ｃ． ０， Ｄ． ０， 则 ｘ 时 ｆ ｘ 解得 ｘ 或 ｘ ．
１１ ８ １９ ８ １＜｜ ｜＜２ ， （ ）＜０， －２＜ ＜－１ １＜ ＜２
答案 Ａ 函数ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称 函数ｆ ｘ 是 １０．（２０２１天津南开中学月考，９）已知函数ｆ ｘ ｘ ａ ｘ ａ
∵ （ ） ，∴ （ ） （ ）＝ （ ｜ ｜－２）（
偶函数 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即 Ｒ ．设关于ｘ的不等式ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 的解集为集合Ａ．若
， （２＋ ）－（２－ ）＝０ （２＋ ）＝ （２－ ）＝ （ －２）， ∈ ） （ ＋２ ）＜ （ ）
ｆ ｘ ｆ ｘ 即函数ｆ ｘ 是周期为 的周期函数 当ｘ Ａ 则实数ａ的取值范围是
（ ＋４）＝ （ ）， （ ） ４ ， ∈［－ （－１，１）⊆ ， （ ）
时 ｘ 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ æ ö æ ö æ ù
２，０］ ，－ ∈［０，２］，∵ ∈［０，２］ ， （ ）＝ ， ç１－ ５ ÷ ç ５－１÷ ç ５－１úú
当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 函数ｆ ｘ 是偶函数 Ａ．è ，０ø∪è０， ø Ｂ．è０， û
∴ － ∈［０，２］ ， （－ ）＝－ ，∵ （ ） ， ２ ２ ２
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ ｘ ｘ æ ö æ ö
∴ （－ ）＝－ ＝ （ ）， （ ）＝－ ， ∈［－２，０］， ç ５－１÷ ç ５－１ ÷
则函数ｆ ｘ 在一个周期 上的表达式为 Ｃ．è０， ø Ｄ．è ，１ø
（ ） ［－２，２］ ２ ２
６ ８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
{ａｘ２ ｘ ｘ 答案 Ｂ 根据选项可知ａ
答案 Ｂ ｆ ｘ －２ ， ≥０， 关于ｘ的不等式ｆ ｘ ≤０，
（ ）＝
－
ａｘ２
－２
ｘ
，
ｘ
＜０，
∵ （ ＋ ａ变动时
，
函数ｙ
＝２
｜ ｘ ｜的定义域为
［
ａ
，
ｂ
］，
值域为
［１，１６］，
ａ ｆ ｘ 的解集为集合Ａ Ａ 令 ｜ ｘ ｜ 解得ｘ 所以 ａ 所以ａ ｂ 必有
２ ）＜（ ） ，（－１，１）⊆ ， ２ ＝１６， ＝±４， －４≤ ≤０， ＝－４， ＝４
在 上 函数ｙ ｆ ｘ ａ 的图象应在函数ｙ ｆ ｘ 的 一个恒成立 结合四个选项中的图象可知选 ．
∴ （－１，１） ， ＝ （ ＋２ ） ＝ （ ） ， Ｂ
图象的下方． ( )
１３．（２０２１浙江嘉兴二模，５）函数ｆ ｘ １ １ ｘ的图象
当ａ 时 显然不满足条件． （ ）＝ ｘ ＋ｘ ｃｏｓ
① ＝０ ， －１ ＋１
当ａ 时 函数ｙ ｆ ｘ ａ 的图象是把函数ｙ ｆ ｘ 的图 可能是
② ＜０ ， ＝ （ ＋２ ） ＝ （ ） （ ）
象向右平移 ａ个单位得到的 此时函数ｙ ｆ ｘ ａ 的图象
－２ ， ＝ （ ＋２ ）
在函数ｙ ｆ ｘ 的图象的上方 不满足条件．
＝ （ ） ，
当ａ 时 如图所示 要使在 上 函数ｙ ｆ ｘ ａ
③ ＞０ ， ， （－１，１） ， ＝ （ ＋２ ）
的图象在函数ｙ ｆ ｘ 的图象的下方 只要 ｆ ａ ｆ
＝ （ ） ， （１＋２ ）≤ （１）
即可
，
答案 Ｃ 由题意知ｆ ｘ 的定义域为 ｘ Ｒ ｘ 关于
（ ） ｛ ∈ ｜ ≠±１｝，
( ) ( )
原点对称．ｆ ｘ １ １ ｘ １ １
（－ ）＝ ｘ ＋ ｘ ｃｏｓ（－ ）＝ － ｘ ＋ｘ ｃｏｓ
－ －１ － ＋１ －１ ＋１
( )
ｘ ｆ ｘ 所以 ｆ ｘ 为奇函数 排除 ｆ １
即ａ ａ ２ ａ ａ ＝ － （ ）， （ ） ， Ｂ； ＝
（１＋２ ） －２（１＋２ ）≤ －２， ２
æ ö
化简可得ａ２ ＋ ａ －１≤０， 解得－１－ ５ ≤ ａ ≤ －１＋ ５ ， ç ç １ ＋ １ ÷ ÷ １ ( ２ ) １ 排除 ．故选 ．
２ ２ １ １ ｃｏｓ ＝ －２ ｃｏｓ ＜０， Ａ，Ｄ Ｃ
æ ù è －１ ＋１ø ２ ３ ２
故此时ａ的范围为ç －１＋ ５úú． ２ ２
è０， û 二、多项选择题
２
综上 ａ的范围为 æ ç －１＋ ５ ù úú．故选 ． １４．（２０２１届福建连城第一中学月考（一））已知函数 ｆ （ ｘ ） 满足
， è０， û Ｂ
ｘ
２ ｆ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ３ －１ 且ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象的交点
ｘ ａ （２－ ）＋（２＋ ）＝６， （ ）＝ ｘ ， （ ） （ ）
１１．（２０２１浙江金华十校４月模拟，８）函数ｙ ＋ 的图象 －２
不可能是 ＝ ｜ｌｎ（ ｘ － ａ ）｜ 为 （ ｘ １， ｙ １），（ ｘ ２， ｙ ２），…，（ ｘ ８， ｙ ８）， 则集合 ｛ ｘ １＋ ｘ ２＋…＋ ｘ ８， ｙ １＋ ｙ ２
（ ） ＋…＋ ｙ ８｝ 的元素有 （ ）
Ａ．１６ Ｂ．２４
Ｃ．３２ Ｄ．４８
答案 ＡＢ 因为函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ） （２－ ）＋（２＋ ）＝６，
所以函数ｆ ｘ 的图象关于点 中心对称．
答案 Ｄ 由题可知 函数的定义域为 ａ ａ ａ ． （ ） （２，３）
： （ ， ＋１）∪（ ＋１，＋∞） ｘ ｘ
当ａ ＝０ 时 ， ｙ ＝ ｘ ｘ ， 其图象如选项 Ａ 中的图象所示 ； ｇ （ ｘ ）＝ ３ ｘ － － ２ １ ＝ ３（ ｘ － － ２ ２ ）＋５ ＝３＋ｘ － ５ ２ ，
｜ｌｎ ｜ 所以函数ｇ ｘ 的图象关于点 中心对称
当ａ 时 若ｘ ａ ａ 则ｙ 故 正确 错误 （ ） （２，３） ，
＜０ ， ∈（ ，－ ）， ＜０， Ｂ ，Ｄ ； 所以ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象的交点 ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ
当ａ 时 其图象如选项 中的图象所示． （ ） （ ） （ １， １），（ ２， ２），…，（ ８， ８）
＞０ ， Ｃ 关于点 中心对称
综上 选 ． （２，３） ，
， Ｄ 所以ｘ ｘ ｘ
１２．（２０２１浙江“９＋１”联盟４ 月联考，５）函数ｙ ｜ ｘ ｜的定义域为 １＋ ２＋…＋ ８＝４×２×２＝１６，
＝２ ｙ ｙ ｙ ．
ａ ｂ 值域为 当ａ变动时 函数ｂ ｇ ａ 的图象可 １＋ ２＋…＋ ８＝４×２×３＝２４
［ ， ］， ［１，１６］， ， ＝ （ ） 所以集合 ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ 的元素有 ．故
以是 ｛ １＋ ２＋…＋ ８， １＋ ２＋…＋ ８｝ １６，２４
（ ） 选 ．
ＡＢ
三、填空题
１５．（２０２１四川联合诊断，１６）设函数ｆ ｘ ｘ ｍｘ２ ｘ 若存在
（ ）＝ｌｎ － ＋２ ，
唯一的整数 ｘ 使得 ｆ ｘ 则实数 ｍ 的取值范
０ （ ０） ＞ ０，
围是 ．
[ )
答案 ｌｎ２
＋１，２
４
解析 显然 当ｍ 时 不符合题意 当ｍ 时 由于ｘ
， ≤０ ， ， ＞０ ， ＞
ｘ ｘ
所以ｌｎ ｍｘ 作出函数ｙ ｌｎ 的大致图象 如图 过点
０， ｘ ＞ －２， ＝ ｘ （ ），
的 直 线 ｙ ｍｘ 介 于
（０， － ２ ） ＝ － ２ （ １， ０ ）、
第二章 函数 ６ ９
( )( ( ))
ｌｎ２ 包括点 ｌｎ２ 之间时满足条件 直线 ｙ ｍｘ
２， ２， ， ＝ －２
２ ２
( )
过点 时 ｍ的值为 直线ｙ ｍｘ 过点 ｌｎ２ 时 ｍ
（１，０） ， ２； ＝ －２ ２， ，
２
[ )
的值为ｌｎ２ 由图知ｍ的取值范围是 ｌｎ２ ．
＋１， ＋１，２
４ ４
学生用书Ｐ３４
１．（２０２１ ５·３原创题）已知某函数图象如图所示 则该函数有可 １． 答案 Ａ
，
能是 ２．（２０２１ ５·３原创题）若偶函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂ ｘ的图象过点
（ ） （ ）＝ ＋（ －２）
ａ [ ]
Ａ 则函数ｇ ｘ ｂｘ ｘ １ 的值域为
（１，２）， （ ）＝ ＋ ｘ ， ∈ －３，－
２
．
[ ]
２． 答案 ２０
－ ，－４
３
ｆ ｘ ｘ２ ｃｘ ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｃｘ ｘ
Ａ． （ ）＝（ － ）ｅ Ｂ． （ ）＝（ － ）ｌｎ（ ＋３）
ｘ２ ｃｘ
ｆ ｘ １ ｘ３ ｃｘ ｆ ｘ －
Ｃ． （ ）＝ － Ｄ． （ ）＝ ｘ
３ ｅ
