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第 33 讲 章末检测五
一、单选题
1、（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则 ， ，
因为 ，则 ，
因此， .
故选：B.
2、(2022·江苏扬州中学高三10月月考)若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 可得 ，
解得： ，
故选：C.
3、(2022·江苏泰州中学高三10月月考)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度
数是( )
A. 2 B. 1 C. D. 3
【答案】A【解析】设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，则面积S＝ rl＝ r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋
1，∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2，从而α＝ ＝ ＝2.
4、（2022·广东省梅江市梅州中学10月月考）在 中， ，BC=1，AC=5，则AB=
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】：因为
所以 ，选A.
5、（2022·广东省深圳市六校上学期第二次联考中学10月月考）已知 且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因 且 ， 可知 为锐角， 为钝角，
故 ， ， ，
， ，
所以 ．故选：B
6、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再
把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f(x)＝
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
法一：函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得
曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令，则，所以，所以；
法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋－)＝的图象；
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为y＝f(x)的图象，所以．故答案选B．
7、（2023·江苏南通·统考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
所以 ，
所以
故选:B.
8、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数 在 上恰好取到一次最大
值与一次最小值，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，恰好取到一次最大值与一次最小值，
可得 ，解得 .
故选：A.
二、多选题
9、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)下列区间中，满足函数 单调递增的区间是（
）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】对于函数 ，令 ，
得 ，可得函数的单调递增的区间是 ， ，
由于 ， 是 ， 的一个子集.
故选：AD.
10、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知 ，其中 （ ）
且 （ ），则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD【解析】因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 （ ）或 （ ），
A： ，故A正确；
B： ，故B错误；
C： ，令 ，则 ，故C错误；
D：由A知 ，则 ，
故 ，故D正确，
故选：AD.
11、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若 ，则B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】：根据余弦定理可知 ，代入 ，可得
，即 ，
因为 ，所以 或 ，
故选：BD.
12、（2023·山西临汾·统考一模）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的图象关于点 中心对称B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减
D．将 的图象向左平移 个单位，可以得到 的图象
【答案】AC
【解析】由 可知， 解得 ，所以函数的对称中心为 ，
故A选项正确；
令 解得 ，所以函数的对称轴为 ， ，故B选项错误；
令 ，解得 ，所以函数的单调递减区间为 ，
故C选项正确；
将 的图象向左平移 个单位得 ，故D选项错误；
故选：AC.
三、填空题
13、（2023·山西临汾·统考一模）已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ ，解得： .
故答案为： .
14、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
．若 ，则 的外接圆半径为____________．
【答案】【解析】根据余弦定理由 ，
而 ，因此有 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理可知 的外接圆半径为 ，
故答案为： .
15、（2023·江苏南通·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，角 ， 的终边分别与单位圆交于点
A，B，若直线AB的斜率为 ，则 =______.
【答案】
【解析】由题意 ，所以 .
不妨设 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
16、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知 ， 则 ____________.
【答案】【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
四、解答题
17、（2023·山西临汾·统考一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的面积.
【解析】（1）证明：由 及正弦定理得： ，
整理得 ，.
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 （舍），
所以 .
（2）由 及余弦定理得: ，
整理得 ，又因为 ，可解得 ，
则 ，所以△ 是直角三角形，
所以△ 的面积为 .
18、（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小正周期及对称轴方程；
(2) 时， 的最大值为 ，最小值为 ，求 ， 的值.
【解析】（1）
∴ ，则 的最小正周期为 ，
∵ 的对称轴为直线 ， ，
∴由 ， ，解得 ， ，∴ 的对称轴方程为 ， .
（2） ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，
∴由 ，解得 ，
当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，
∴由 ，解得 ，
综上所述， ， 或 ， .
19、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，且
满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，设 的面积为S，满足 ，求b的值．
【解析】（1）由 ，得 ，
根据正弦定理，得 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，则 ．
（2）由 ，得 ．
又由正弦定理 得 ，
所以 ，解得 ．
20、（2023·安徽淮北·统考一模）设 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
， ．
(1)求角 的大小
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1）解：因为 ，
由正弦定理可得 ，即 ，则 ，
又 ，所以 ．
（2）解：因为 ， ， ，
由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以
，所以 ．
21、（2023·云南玉溪·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c， ，
．
(1)求角B的大小；
(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．
【解析】（1）∵ ，
∴由正弦定理可得 ，
∴由余弦定理得 ，
又∵ ，∴ ．
（2）在△ABC中，由余弦定理得 ，
即 ．
∵ ， ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，当且仅当a＝c＝2时， ，
又∵△ABC面积为 ，
∴当且仅当a＝c＝2时△ABC面积最大．
当a＝c＝2时， ．
又∵ 为 的角平分线，∴
∴在△ABD中， ，∴在△ABD中，由正弦定理得 ．
22、（2023·江苏南京·校考一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
，角C的内角平分线与边AB交于点E，
(1)求角B的大小；
(2)记 ， 的面积分别为 ，在① ，② 这两个条件中任
选一个作为已知，求 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
即
又由 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 .
（2）选①：因为 ， ，
由余弦定理可得 ，
整理得 ，解得 ，
因为 为 的平分线，令 ，
则 ， ，
所以 ，故 的值为 .选②： ， ， ，
由 ，解得 ，
又由 ，由余弦定理可得 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ，
由 为 的平分线，令 ，
所以 ， ，
所以 ，故 的值为 .
