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专题6.11 实数（全章分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022上·河南鹤壁·八年级校考期中）我国古代的数学著作《九章算术》第四章“少广”中的“开
方术”特指开平方运算．将2开平方，结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021下·七年级课时练习）若 ，则m与n的关系是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2022下·福建厦门·七年级校考期末）一个正方体的体积为V，它的棱长是（ ）
A．V的平方 B．V的平方根 C．V的立方 D．V的立方根
4．（2022上·七年级单元测试）已知一个物体的高度为 ，则这个物体可能是（ ）
A．火柴盒 B．粉笔盒 C．书桌 D．旗杆
5．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）若有个大的正方体木块，现把这个木块分割成 个大小相同
的小正方体木块，则 的值可以是（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
6．（2022上·河南开封·八年级校考阶段练习）若 的算术平方根是正整数，则n不可能是（ ）
A．1 B．8 C．12 D．13
7．（2023下·吉林·七年级统考期中）对于 说法错误的是（ ）
A．表示 的立方根 B．结果等于 C．与 的结果相等D．没有意义
8．（2020上·广东佛山·八年级校考阶段练习）在“2、2.3、 、 、0.3、1.1234567891011…（小
数点的数字由依次增大的正整数组成）、 、 ”这些实数中，是无理数的有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023下·河北张家口·七年级统考期末）如图是小明的作业，他判断正确的个数是（ ）① （√）
② 的绝对值是 （×）
③ （√）
④ （√）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2023下·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生 ， ，
， 争先恐后地说出了这个数的一些特征：
学生 ：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；
学生 ：它是一个无理数；
学生 ：它的绝对值小于2；
学生 ：它的平方大于1．
老师表扬了 ， ， ， 四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的
这个数可能是下列四个数中哪一个？（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习） 的值是 ．
12．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习） .
13．（2022·全国·八年级假期作业）如图，一条长度为 的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数
轴重合时，A点表示的数为 ．
14．（2022上·贵州铜仁·八年级统考期末）今年6．26期间，某校八（1）班小张同学用一张面积为
0．36 的正方形纸片画了一幅禁毒漫画，并在学校评比中获得一等奖，则正方形纸片的边长是
．15．（2024·全国·八年级竞赛）当 时，对于实数 ，代数式 的最小值为
．
16．（2022下·河南许昌·七年级统考期末）在比较 与13的大小关系中，我们可以把它们分别平
方， ， ．依据正数越大，算术平方根越大，得到 ．请利用上面的方法完成
下面的问题：比较大小 （填＞，＜或＝）．
17．（2023上·浙江温州·七年级校考期中）为了积极响应我校的数学文化节活动，小温设计了一个简
易的数值转化器，流程如下，如果小温输入的 是 时，则输出的结果是 ．
18．（2022下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为 ，把这
个等腰直角三角形以 的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为 ，则这个等腰直角三角
形平移的时间为 s．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·浙江温州·七年级苍南县灵溪镇第一中学校联考期中）计算：
（1）把下列实数近似地表示在数轴上．
（2）观察（1）中的数轴，这四个数中绝对值最大的数是 ．20．（8分）（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）求下列各式中x的值：
（1） （2）
21．（10分）（2023下·黑龙江佳木斯·七年级统考阶段练习）计算：
（1） ； （2） ．
22．（10分）（2024上·山东淄博·七年级统考期末）已知 的算术平方根是3， 的立方
根是2．
（1）求m，n的值；
（2）求 的平方根．
23．（10分）（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）观察下面图形，每个小正方形的边长为 ．
（1）则图中阴影部分的面积 是 ，边长 是 ；
（2）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值；（结果保留根号）
（3）若数轴上有一点 ，点P所表示的数是 ，请在给出的数轴上画出点 向右移动 个单位长度
所到的点 ，并写出点 所表示的数为 ．24．（12分）（2024·全国·八年级竞赛）先观察下列等式，再回答问题：
① ；
② ；
③ ；
（1）根据 的规律，直接写出 的值： _______；
（2）猜想 的值： _______．
（3）计算 的值．参考答案：
1．D
【分析】根据平方根的定义直接求解即可得到答案．
解：将2开平方，结果是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查平方根，熟记平方根的定义是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据立方根的性质即可的解．
解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查立方根的性质．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ．
3．D
【分析】根据正方体的体积公式可知，体积等于棱长的立方，因此棱长是体积的立方根．
解：设棱长为a，则 ，
∴ ，
即棱长是V的立方根．
故选：D．
【点拨】本题考查立方根的实际应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据 得出 ，粉笔盒的高度在 到 之间即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ，
粉笔盒的高度在 到 之间，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了无理数的估测，解题的关键是估测出 ．
5．B
【分析】根据开立方运算，可得答案．
解：解；A、 是无理数，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 是无理数，故本选项不符合题意；
D、 是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了立方根的应用，能开立方是解题关键．6．C
【分析】根据题意可知 是完全平方数，由于比17小的完全平方数有16，9，4，1，再逐一求出n
的值即可得出答案．
解：∵ 的算术平方根是正整数，
∴ 是完全平方数，
∵比17小的完全平方数有16，9，4，1，
∴当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
综上所述，n的值不可能是12，
故选：C．
【点拨】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的意义和完全平方数是解题的关键．
7．D
【分析】根据立方根的定义，对各选项分析判断后进行求解.
解：A、 表示 的立方根，说法正确，不符合题意；
B、 ，说法正确，不符合题意；
C、 与 的结果相等，说法正确，不符合题意；
D、 有意义，说法错误，符合题意；
故选：D.
【点拨】本题考查了立方根的定义，是基础题，比较简单.
8．A
【分析】先计算算术平方根和立方根，再根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环
小数，整数和分数统称有理数）．
解： ， ，
2.3、0.3、 是有限小数，属于有理数；
2、 是整数，属于有理数；、1.1234567891011…（小数点的数字由依次增大的正整数组成）、 是无理数，共3个．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了算术平方根、立方根和无理数的定义，解答此题的关键是熟知无理数的定义．
无理数为无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， ，
0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
9．C
【分析】根据算术平方根和立方根的概念，逐个判断即可．
解：① ，小明判断错误；
② 的绝对值是 ，小明判断正确；
③ ，小明判断错误；
④ ，小明判断正确，
判断正确的个数是2，
故选：C
【点拨】此题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的求解．
10．B
【分析】根据无理数的性质，可得答案．
解：A、 在原点的右边，故A不符合题意；
B、 在数轴上表示这个数的点在原点的左边；它是一个无理数；它的绝对值小于2；它的平方大于
1，故B符合题意；
C、 的绝对值大于2，故C不符合题意；
D、 是有理数，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了无理数，实数与数轴，利用无理数的性质是解题关键．
11．1【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
解： ．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了算术平方根定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．
12． /
【分析】本题考查了求绝对值及比较实数，先确定 为负数，进而求绝对值即可得解。
解：∵ ，
∴ ，
∴
13．
【分析】求出点A到原点的距离，确认A的符号，就是点表示的数．
解：∵O点为-2，点A在原点的右侧，
∴当OA与数轴重合时，点A到原点的距离是 ，
∴点A表示的数是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是数轴上的点，解题的关键是算出点到原点的距离，加上性质符号就是表示的实
数．
14． /
【分析】根据正方形的面积公式即可求解．
解：设边长为xm，
根据题意得：
（舍去）故答案为：
【点拨】本题主要考查了计算正数的算术平方根，正确理解概念及计算是解此题的关键．
15．4
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的性质．分 和 两种情况讨论，利用绝对值的性
质和算术平方根的性质计算即可求解．
解： ，
由 ，所以 ，
令 .
当 时， .
当 时， ，
综上， 的最小值为4．
故答案为：4．
16．＞
【分析】根据题意，比较两个数的平方即可求解．
解：∵ ， ， ，
∴ ＞ ．
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
17．
【分析】本题考查实数的运算，根据题意列式计算后判断其算术平方根是否是无理数即可．
解：输入的 是 时，
则 ，是有理数，返回继续运算；
，是有理数，返回继续运算；
是无理数，输出结果；故答案为： ．
18． /
【分析】用含有t的代数式各相关线段的长，再利用阴影部分面积以及三角形面积求出 的面积，
继而根据线段的和差列出方程求解即可．
解：设移动的时间为 ，且 ；
则 ， ，
∵阴影部分面积为 ，
∴ 的面积为 ，
即 ，
∴ ，
∴ （负值舍去）
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的定义，平方根的应用，掌握等腰直角三角形的定
义以及梯形的面积公式是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的立方根，正确理解实数与数轴的关系是解题的关键．
（1）先求立方根和绝对值，再在数轴上表示出各数即可；
（2）数轴上离原点越远的数，绝对值越大，据此结合数轴找到离原点最远的数即可得到答案．
（1）解： ，
数轴表示如下：
（2）解：由数轴可知，四个数中 离原点的距离最远，
∴这四个数中绝对值最大的数是 ，
故答案为： ．
20．（1） 或 ；；（2）
【分析】本题考查了平方根与立方根的应用；
（1）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（2）根据立方根的定义解方程，即可求解．
（1）解：
∴
∴ ，
解得： 或 ；
（2）解：
∴
∴
解得：
21．（1） ；（2）
【分析】（1）先根据立方根的定义，算术平方根的定义化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先根据乘方运算法则，绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义化简各式，然后再进
行计算即可解答．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义，
乘方运算法则，是解题的关键．
22．（1） ， ；（2） 的平方根是 ．
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识．
（1）由于 的算术平方根是3，则 ； 的立方根是2，则 ，联立解
方程即可；
（2）根据（1）中 、 的值，代入 可得16，然后求平方根即可．
（1）解： 的算术平方根是3，
，
解得： ；
又 的立方根是2，
，
即 ，
解得： ，
， ；
（2）解：由（1） ， ，
，
的平方根是 ．
23．（1） ， ；（2） ；（3）数轴见分析，【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小比较，实数与数轴；
（1）根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积 个腰为 的等腰直角三角形的面积，进而根据正方
形的面积公式，求得边长，即可求解；
（2）估算 ，得出 ，进而求得 的值，即可求解；
（3）根据（1）的方法，作出腰为 的等腰直角三角形，得出 长的线段，以 为圆心 为半径交
点右侧于点 ，即可求解．
（1）解：图中阴影部分的面积=大正方形的面积 个腰为 的等腰直角三角形的面积
，
边长 为： ，
故答案为： ， ；
（2）由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）∵ ,点P所表示的数是
∴Q所表示的数为
如图所示点Q所表示的数为 ．故答案为： ．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关
键．
（1）根据题干列举的等式，总结规律可得答案．
（2）总结规律即可解答．
（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．
解：（1） ．
（2） ．
（3）
．
