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专题 08 函数与方程及常见的函数模型
【考纲要求】
1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
3、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
4、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的应用.
【思维导图】
【考点总结】
一、函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)
在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为
函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a＞0) 的图象
与x轴的交点 (x，0)，(x，0) (x，0) 无交点
1 2 1
零点个数 两个 一个 零个
【常用结论】
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，
指数函数模型
b≠0)
f(x)＝blog x＋c
a
对数函数模型
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
在(0，＋∞)上的单调
增函数 增函数 增函数
性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x值增大，图象与 随x值增大，图象与
图象的变化 随n值变化而不同
y 轴 接近平行 x 轴 接近平行
【常用结论】
1．“对勾”函数
形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．解决函数应用问题应注意的3个易误点
(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如
“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
(2)解应用题建模后一定要注意定义域．
(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
【题型汇编】
题型一：函数与方程
题型二：常见的函数模型：一次与二次型
题型三：常见的函数模型：幂指对型
题型四：常见的函数模型应用实例
【题型讲解】
题型一：函数与方程
一、单选题
1．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知 ，若函数 有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东烟台·三模）已知函数 ，若方程 有且仅有三个实数解，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有一个零点；
②若 ，则 有三个零点；
③ ，使得 在 上是增函数；
④ 在 上是增函数.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
4．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知实数 是方程 的一个解， 是方程
的一个解，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数 ，若函数 有m个
零点，函数 有n个零点，且 ，则非零实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．6．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设 ，函数 ， ，
若 在 上单调递增，且函数 与 的图象有三个交点，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数 在区间 上的所有零点之和为
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知 在 有且仅有6
个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·海南省直辖县级单位·三模）设函数 定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则函数 有（ ）个零点
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2022·江西·二模（文））已知 ，若 且 ，则
的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南师大附中三模）已知函数 对定义域内任意x，都有 ，
若函数 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．点 是函数 的零点
B． ，使
C．函数 的值域为
D．若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
题型二：常见的函数模型：一次与二次型
一、单选题
1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，点
沿着边 、 与 运动，记 ，将 的面积表示为关于 的函数 ，则 （ ）A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次
小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行
边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上
方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·云南曲靖·二模（文））我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持
下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万
元）与处理量x（单位：吨） 之间的函数关系可近似表示为
，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
4．（2022·四川·广安二中二模（文））某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：
①10人（含）以上团体购票9折优惠；
②50人（含）以上团体购票8折优惠；
③100人（含）以上团体购票7折优惠；
④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）．
现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（ ）
A．1090元 B．1171元 C．1200元 D．1210元
5．（2022·北京·101中学模拟预测）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)
＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么
c和A的值分别是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
二、填空题
1．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报
社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件
时，售价为s元/件，且满足 ，每天的成本合计为 元，请你帮他计算日产量为
___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.
2．（2022·北京市第九中学模拟预测）调查显示，垃圾分类投放可以带来约 元/千克的经济效益.为激
励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放 积分 分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于 ，则额外奖励 分（ 为正整数）.月底积分会按照 元/分进行自动兑换.
①当 时，若某家庭某月产生 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 %，则 的最大值
为___________.
3．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 ，
已知一驾驶员某次饮酒后体内每 血液中的酒精含量 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是：
当 时， ；当 时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
__________ 才可驾车.
4．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团
购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，
则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减
1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为
___________元.
三、解答题
1．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，
延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．
这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间 （单位：小时）变化的函数为
，已知当 时， 的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效
作用．
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到 小时）
(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量 关于时间 的函数为
，记 为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出 的最大值．（结果精确到0.1）
2．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为 元 时，一年的销售量为 万袋，并且全年该桃酥食品共需支付 万元
的管理费. 一年的利润 一年的销售量 售价 （一年销售桃酥的成本 一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润 （万元）与每袋桃酥食品的售价 的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润 最大，并求出 的最大值.
题型三：常见的函数模型：幂指对型
一、单选题
1．（2022·江西师大附中三模（文））某种病毒的繁殖速度快､存活时间长.已知a个这种病毒在t天后将达
到 个，且经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.若再过t天后病毒的数量达到原来的8倍，则
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.
现收集了7组观测数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方
程类型的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南衡阳·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点
的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学
习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率
衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）（ ）
A．128 B．130 C．132 D．134
4．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：
）与时间t（单位：h）间的关系为 ，其中 ，k是正的常数．如果在前 污染物减少 ，那
么再过 后污染物还剩余（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西西安·三模（理））2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中
国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速
度增量的公式 ，其中△v为火箭的速度增量， 为喷流相对于火箭的速度， 和 分别代表
发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭 达到5公里/秒 ，从100提高到
600，则速度增量 增加的百分比约为（ ）（参考数据： ， ，
A．15% B．30% C．35% D．39%
6．（2022·四川凉山·三模（理））某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放
量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时
间t的关系为 （ 为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清
除至最初的49%还需要（ ）小时．
A．9 B．6 C．4 D．3
7．（2022·四川南充·三模（理））教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，
降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于 ．经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室
内二氧化碳的浓度为 ，且 随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描述，
则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间 （单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据
， ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and
metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 次幂成
正比，即 ，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的
10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据： ）（ ）
A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍
9．（2022·辽宁葫芦岛·一模）某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实
验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数
M与浓度N满足 ．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则
该水果中氢离子的浓度约为（ ）（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.810．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公
约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然
财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤
过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为
，其中k为常数， ， 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废
气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（
）
A．5% B．3% C．2% D．1%
二、填空题
1．（2022·江苏连云港·二模）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长
8%，则2026年的利润是___________万元.（结果精确到1万元）
2．（2022·山东淄博·一模）以模型 去拟合一组数据时，设 ，将其变换后得到线性回
归方程 ，则 ______．
3．（2022·广东·华南师大附中三模）为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室
内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的
过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 （a为常数），根据测定，当
空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经
过___________小时后，学生才能回到教室.
题型四：常见的函数模型应用实例一、单选题
1．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通
常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量 （单位： ）与
扩增次数n满足 ，其中 为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为
，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为 ，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少
为（ ）（参考数据： ， ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2022·云南曲靖·二模（文））某大型家电商场，在一周内，计划销售 、 两种电器，已知这两种电
器每台的进价都是 万元，若厂家规定，一家商场进货 的台数不高于 的台数的 倍，且进货 至少 台，
而销售 、 的售价分别为 元/台和 元/台，若该家电商场每周可以用来进货 、 的总资金为
万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售 、 电器的总利润（利润 售价 进价）的最
大值为（ ）
A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元
3．（2022·贵州毕节·三模（理））20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使
用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的
里氏震级 ，其计算公式为 ，其中 是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”的振幅．
假设在一次地震中，一个距离震中 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 ，此时标准地震的振幅是
，计算这次地震的震级为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重
点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗
1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
（ ）．A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗约10L汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
5．（2022·四川泸州·三模（理））牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度
为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ，h称为半衰期，其中 是环境温度．
若 ℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要
（参考数据： ， ）（ ）
A．9分钟 B．10分钟
C．11分钟 D．12分钟
6．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当
基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.
当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种新冠疫苗是预防新冠病毒感染､降低新冠肺炎发病
率和重症率的有效手段.已知新冠病毒的基本传染数 ，若1个感染者在每个传染期会接触到 个新人，
这 人中有 个人接种过疫苗（ 称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为 ，为了有效
控制新冠疫情（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（ ）A． B． C． D．
7．（2022·安徽滁州·二模（文））我国古代发明了求函数近似值的内插法，当时称为招差术．如公元前一
世纪的《九章算术》中所说的“盈不足术”，即相当于一次差内插法，后来经过不断完善和改进，相继发
明了二次差和三次差内插法．此方法广泛应用于现代建设工程费用估算．某工程费用利用一次差内插法近
似计算公式如下： ，其中 为计费额的区间， 为对
应于 的收费基价，x为某区间内的插入值， 为对应于x的收费基价．若计费额处于区间500万元
（收费基价为16万元）与1000万元（收费基价为30万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价估
计为（ ）
A．16.8万元 B．17.8万元 C．18.8万元 D．19.8万元
8．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在
神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示
初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型
的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到
0.05以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A．11 B．22 C．227 D．481
9．（2022·江西九江·二模）牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所
遵循的规律.如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ，其中
是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时
1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据： ，）
A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.4
10．（2022·陕西西安·二模（文））按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等
于 经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 ，
且 随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描述，则该教室内的二氧化碳浓
度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据 ）
A． 分钟 B．11分钟 C． 分钟 D．22分钟
