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专题 08 函数与方程及常见的函数模型
【考纲要求】
1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
2、根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
3、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
4、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的应用.
【思维导图】
【考点总结】
一、函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)
在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为
函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a＞0) 的图象
与x轴的交点 (x，0)，(x，0) (x，0) 无交点
1 2 1
零点个数 两个 一个 零个
【常用结论】
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，
指数函数模型
b≠0)
f(x)＝blog x＋c
a
对数函数模型
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
在(0，＋∞)上的单调
增函数 增函数 增函数
性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x值增大，图象与 随x值增大，图象与
图象的变化 随n值变化而不同
y 轴 接近平行 x 轴 接近平行
【常用结论】
1．“对勾”函数
形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2，
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．解决函数应用问题应注意的3个易误点
(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如
“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
(2)解应用题建模后一定要注意定义域．
(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
【题型汇编】
题型一：函数与方程
题型二：常见的函数模型：一次与二次型
题型三：常见的函数模型：幂指对型
题型四：常见的函数模型应用实例
【题型讲解】
题型一：函数与方程
一、单选题
1．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）已知 ，若函数 有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由 得出 是函数 的一个零点，再由 有两个不同的零点，得出a的取值范围.
【详解】
，则 是函数 的一个零点
由 ，解得
要使得 有两个不同的零点，则
故选：A
2．（2022·山东烟台·三模）已知函数 ，若方程 有且仅有三个实数解，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数 的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
【详解】
解：作出函数 的图象如图：依题意方程 有且仅有三个实数解，即 与 有且仅有三个交点，
因为 必过 ，且 ，
若 时，方程 不可能有三个实数解，则必有 ，
当直线 与 在 时相切时，
设切点坐标为 ，则 ，即 ，
则切线方程为 ，
即 ，
切线方程为 ，
且 ，则 ，所以 ，
即当 时 与 在 上有且仅有一个交点，
要使方程 有且仅有三个的实数解，
则当 时 与 有两个交点，设直线 与 切于点 ，此时 ，则 ，即 ，
所以 ，
故选：B
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 有一个零点；
②若 ，则 有三个零点；
③ ，使得 在 上是增函数；
④ 在 上是增函数.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数分段研究函数 的单调递增，结合零点的存在性定理依次判断命题即可.
【详解】
因为函数 ，所以函数 ，
对于①，当 时，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， ，所以 单调递增，所以函数 在R上单调递增，且 ，
，所以函数 有一个零点，故①正确；对于②， ，若 ，则 ，
当 时， 单调递增，且 ，
，
所以函数 在 上有1个零点；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增，如图，
所以 ，
所以函数 在 上有2个零点，
综上，当 时函数 有3个零点，故②正确；
对于③，当 ，即 时，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时，令 ，解得 ，
所以当 时，所以 ， 单调递减；当 时，所以 ， 单调递增，
所以当 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，所以不存在 ，使得 在R上是增函数，故③错误；
对于④，当 ，即 时，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， ，
则 单调递增，所以函数 在R上单调递增，
结合命题①的分析可知当 时函数 在R上单调递增，
综上， ， 在R上是增函数，故④正确；
故选：C.
4．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知实数 是方程 的一个解， 是方程
的一个解，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得 、 ，即可得到 ，从而得解；
【详解】
解：依题意 ， ，
即 ， ，所以 ，即 或 ，
所以 或 ；
故选：B
5．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数 ，若函数 有m个
零点，函数 有n个零点，且 ，则非零实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作出 的函数图像，利用图像列出关于 的不等式，解出 的范围即可
【详解】
与 与 共交7个点
图象如下：
所以：（Ⅰ） ，解得
（Ⅱ） ，解得综上： ．
故选：C
6．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设 ，函数 ， ，
若 在 上单调递增，且函数 与 的图象有三个交点，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 在 上单调递增，结合正弦函数的单调性可得 ，从而可求得 在 上
单调递增这个条件 的范围，再根据函数 与 的图象有三个交点，则在 上函数 与
的图象有两个交点，即方程 在 上有两个不同的实数根，从而可得第二个条
件下的 的范围，取交集即可得出答案，注意说明 时，函数 与 的图象只有一个交点.
【详解】
因为 ，且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，当 时， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
若在 上函数 与 的图象有两个交点，
即方程 在 上有两个不同的实数根，
即方程 在 上有两个不同的实数根，
所以 ，解得 ，
当 时，令 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
结合图象可得 时，函数 与 的图象只有一个交点，
综上所述，当 时，函数 与 的图象有三个交点，满足题意，
故选：B.7．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数 在区间 上的所有零点之和为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把方程 变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数 图象的交点个数，根据函数的
对称性计算可得．
【详解】
解：因为 ，令 ，即 ，当 时显然不成立，
当 时 ，作出 和 的图象，如图，
它们关于点 对称，由图象可知它们在 上有4个交点，且关于点 对称，每对称的两个点的横坐标和为 ，所
以4个点的横坐标之和为 ．
故选：C．
8．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知 在 有且仅有6
个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简 为 ，再根据题意得出 ，求解
即可.
【详解】
解：由 ，
得 ，即 .
设 ，
即 在 有且仅有6个实数根，
因为 ，
故只需 ，解得 ，
故选：D．
9．（2022·海南省直辖县级单位·三模）设函数 定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则函数 有（ ）个零点
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得 的对称性，再画出 的图象，再数形结合判断 的图象交点个数即可
【详解】
的零点个数即 的图象交点个数.因为 为奇函数，故 关于原点对
称，故 关于 对称，又 为偶函数，故 关于 对称，又当 时，
，画出图象，易得函数 的图象有6个交点
故选：C
10．（2022·江西·二模（文））已知 ，若 且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】
【分析】
设 ，可知 ，求得 ， ， ，可得出 ，构造
函数 ，利用导数求出函数 在 上的值域，即为所求.
【详解】
设 ，作出函数 和 的图象如下图所示：
由图象可知，当 时，函数 和 的图象有三个交点，
且 ，
由已知可得 ，所以， ， ， ，
所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，可得 ，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，因为 ， ，故 ，
所以，函数 在 上的值域为 ，
因此， 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于通过设 ，将 、 、 用含 的代数式加以表示，再
将所求代数式的取值范围转化为关于 的函数值域问题，结合导数法求解.
二、多选题
1．（2022·湖南师大附中三模）已知函数 对定义域内任意x，都有 ，
若函数 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
结合 周期性和函数 在 的解析式画出 的图象，将 的零点转化为函数图象交
点问题，分情况讨论 的零点即可.
【详解】
由已知， ，则 的周期为2.其大数图象如图所示，由图可知，①当 时， 零点为1、3、5、7、…，满足题意；
②当 时， 零点为0、2、4、6、…，满足题意；
③当 时，若零点从小到大构成等差数列 ，公差只能为1.
由 ，得 ，此时 ；
④当 时，函数 无零点，不符合题意.
故选：ABD.
2．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．点 是函数 的零点
B． ，使
C．函数 的值域为
D．若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据零点的定义即可判断A；利用导数求出函数 的单调区间，从而可求得函数的值域，即可判断C；
根据函数的单调性分别求出函数在 和 的最值，即可判断B；方程 ，即
或 ，结合C选项，方程 实数根的个数，即函数 与函数 的
图象交点的个数，结合函数图象即可求出 的范围，即可判断D.
【详解】解：对于A，因为 ，所以 是函数 的零点，故A错误；
对于C，当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
又当 时， ， ，
故当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以函数 在 上递增，
故 ，
故当 时， ，
综上所述，函数 的值域为 ，故C正确；
对于B，由C可知，函数 在 上递增，在 上递增，
则 ，
所以不存在 ，使 ，故B错误；
对于D，关于x的方程 有两个不相等的实数根，
即关于x的方程 有两个不相等的实数根，
所以 或 ，由C知，方程 只有一个实数根，
所以方程 也只有一个实数根，
即函数 与函数 的图象只有一个交点，
如图，画出函数 的简图，
则 或 ，
所以 或 ，
所以实数a的取值范围是 ，故D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查了零点的定义，考查了利用到处求函数的单调区间及函数的值域，考查了利用导数解决方程实数
根的个数的问题，考查了转化思想及数形结合思想.
题型二：常见的函数模型：一次与二次型
一、单选题
1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，点
沿着边 、 与 运动，记 ，将 的面积表示为关于 的函数 ，则 （ ）A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】
分 、 、 三种情况讨论，求出 的边 上的高，结合三角形的面积
公式可得出 的表达式.
【详解】
，则 ，易得 ， ，
所以， ，则 .当 时，点 在线段 上（不包括点 ），则 ，
此时， ；
当 时，点 在线段 上（不包括点 ），此时 ；
当 时，点 在线段 上（不包括点 ），
此时 ，则 ，则 .
故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次
小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线 米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行
边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上
方端线的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题意解出 长度，设 ，得到 ，再分析求值域，判断取等条
件即可求解.
【详解】
设 ，并根据题意作如下示意图，由图和题意得： ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，即 ，
设 ， ，则 ，
，所以在 中，
有 ，令 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则要使 最大，
即 要取得最小值，即 取得最大值，
即 在 取得最大值，
令 ， ，
所以 的对称轴为： ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 最大，此时 ，即 ，
所以 ，所以 ，即为获得最佳的射门角度（即 最大），
则射门时甲离上方端线的距离为： .
故选：B.
3．（2022·云南曲靖·二模（文））我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030
年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持
下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨） 之间的函数关系可近似表示为
，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120 B．200 C．240 D．400
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分 和 分析讨
论求出其最小值即可
【详解】
由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为 ，
当 时， ，
当 时， 取得最小值240，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
4．（2022·四川·广安二中二模（文））某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：
①10人（含）以上团体购票9折优惠；
②50人（含）以上团体购票8折优惠；
③100人（含）以上团体购票7折优惠；
④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）．
现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为（ ）A．1090元 B．1171元 C．1200元 D．1210元
【答案】B
【解析】
分析题意可得购买47张票，最大的优惠应依据政策④，故可得应分为13张门票享受政策①，34张门票享
受政策④，计算即可.
【详解】
由于购票人数少于50，故政策②，③不可能享受；
在合理范围内政策④比政策①要优惠；
而原价为 ，大于1000，不足1500，
所以应将47张票分为两部分购买，
其中13张门票享受政策①，34张门票享受政策④，
即 ，
故选：B.
5．（2022·北京·101中学模拟预测）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)
＝ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么
c和A的值分别是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
【答案】D
【解析】
【详解】
由题意可得：f（A）= =15，所以c=15 而f（4）= =30，
可得出 =30故 =4，可得A=16
从而c=15 =60
故答案为D
二、填空题1．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报
社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件
时，售价为s元/件，且满足 ，每天的成本合计为 元，请你帮他计算日产量为
___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.
【答案】 200 7.94
【解析】
【分析】
将利润表示为关于 的一个二次函数，求出该函数的最值即可.
【详解】
由题意易得日利润 ，
故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，
故答案为：200，7.94.
2．（2022·北京市第九中学模拟预测）调查显示，垃圾分类投放可以带来约 元/千克的经济效益.为激
励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放 积分 分，若一个家庭一个月内垃
圾分类投放总量不低于 ，则额外奖励 分（ 为正整数）.月底积分会按照 元/分进行自动兑换.
①当 时，若某家庭某月产生 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 %，则 的最大值
为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以 可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；
②设每个家庭每月产生的垃圾为 ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为 元，分 、
两种情况讨论，计算 的表达式，结合 可求得 的最大值.
【详解】
①若某家庭某月产生 生活垃圾，则该家庭月底的积分为 分，
故该家庭该月积分卡能兑换 元；②设每个家庭每月产生的垃圾为 ，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为 元.
若 时， 恒成立；
若 时， ，可得 .
故 的最大值为 .
故答案为：① ；② .
3．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 ，
已知一驾驶员某次饮酒后体内每 血液中的酒精含量 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是：
当 时， ；当 时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
__________ 才可驾车.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】
当 时， ，
当 时，函数有最大值 ，所以当 时，饮酒后体内每 血液中的酒精含量小于
，
当当 时，函数 单调递减，令 ，因此饮酒后 小时体内每 血液中
的酒精含量等于 ，
故答案为：
4．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团
购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，
则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减
1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为
___________元.【答案】11710
【解析】
【分析】
由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用最小，
从而可求出其最小值
【详解】
方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，
方案二：满5000元减1000元，按原价计算 ，则满5000元至少凑齐17人，
，则单人票价为 ，
满10000元时， ，则需34人，单人票价为241元，
满15000元时， ，人数不足，
因为 ，
所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，
所以总费用为 （元），
故答案为：11710
三、解答题
1．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，
延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．
这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间 （单位：小时）变化的函数为
，已知当 时， 的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效
作用．
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到 小时）
(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量 关于时间 的函数为
，记 为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出 的最大值．（结果精确到0.1）【答案】(1) 小时
(2)6.5
【解析】
【分析】
（1）由 求出 ，分 、 ，解不等式 可得答案；
（2）当 时，令 ， ，再令 ，面积 由基
本不等式求得最值； 当 时， ，利用单调性可得 的最大值，再比较可得答案．
(1)
由于 ，则 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
即产生有效作用的时间段为 ，
故产生有效作用的时间为 小时．
(2)
当 时，令 ，则 ，
同时 ，
再令 ，则 ，
面积 ，
由基本不等式， ，
当且仅当 时等号成立，则 在 上的最大值为 ，
当 时， ，
则此时 在 是单调递减的，
则最大值在 时取到， ，
综上所述， 在 上的最大值为6.5．
2．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计
当一袋桃酥的售价为 元 时，一年的销售量为 万袋，并且全年该桃酥食品共需支付 万元
的管理费. 一年的利润 一年的销售量 售价 （一年销售桃酥的成本 一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润 （万元）与每袋桃酥食品的售价 的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润 最大，并求出 的最大值.
【答案】(1) ；
(2)售价为9元时，利润最大为9万元
【解析】
【分析】
（1）直接由题目所给关系即可求得利润 （万元）与售价 的函数关系式；
（2）将函数关系式变形整理得 ，结合基本不等式即可求出最大值.
(1)
由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为
；
(2)
，因为 ，所以，
当且仅当 即 时取等号，此时 最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一
年的利润最大，且最大利润9万元.
题型三：常见的函数模型：幂指对型
一、单选题
1．（2022·江西师大附中三模（文））某种病毒的繁殖速度快､存活时间长.已知a个这种病毒在t天后将达
到 个，且经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.若再过t天后病毒的数量达到原来的8倍，则
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意解指数方程可得参数 的值，通过函数值为原来的8倍解出 ，即可得结果.
【详解】
由题意得 ，
∴ ，即 .
设经过t天后，病毒的数量达到原来的8倍，则有 ，解得 .
所以再过 天，病毒的数量达到原来的8倍.
故选：B.
2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.
现收集了7组观测数据 得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方
程类型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合散点图的特点，选择合适的方程类型作为回归方程类型.
【详解】
由散点图可以看出红铃虫产卵数y随着温度x的增长速度越来越快，
所以 最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型.
故选：C
3．（2022·湖南衡阳·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点
的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学
习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率
衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）（ ）
A．128 B．130 C．132 D．134【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，再由 ，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.
【详解】
由题设， ，则 ，
所以 ，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为130次.
故选：B
4．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：
）与时间t（单位：h）间的关系为 ，其中 ，k是正的常数．如果在前 污染物减少 ，那
么再过 后污染物还剩余（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定的函数模型及已知可得 ，再计算 后污染物剩余量.
【详解】
由题设， ，可得 ，
再过5个小时， ，
所以最后还剩余 .
故选：D
5．（2022·陕西西安·三模（理））2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中
国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式 ，其中△v为火箭的速度增量， 为喷流相对于火箭的速度， 和 分别代表
发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭 达到5公里/秒 ，从100提高到
600，则速度增量 增加的百分比约为（ ）（参考数据： ， ，
A．15% B．30% C．35% D．39%
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，速度的增量为 ， ，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】
由题意，当 时，速度的增量为 ；
当 时，速度的增量为 ，
所以 .
故选：D.
6．（2022·四川凉山·三模（理））某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放
量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时
间t的关系为 （ 为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清
除至最初的49%还需要（ ）小时．
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件可得 ，即 ，然后解出方程 即可.【详解】
由题意可得 ，即 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以污染物清除至最初的49%还需要3小时，
故选：D
7．（2022·四川南充·三模（理））教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，
降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日
平均最高容许浓度应小于 ．经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室
内二氧化碳的浓度为 ，且 随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描述，
则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间 （单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据
， ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由 时， 可求得 ；由 可解不等式求得 的范围，由此可得结果.
【详解】
由题意知：当 时， ，解得： ， ；
令 ，即 ，即 ，
， 所需时间 （单位：分钟）的最小整数值为 .
故选：A.
8．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and
metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 次幂成正比，即 ，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的
10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据： ）（ ）
A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍
【答案】C
【解析】
【分析】
利用幂的运算性质去求解即可解决
【详解】
设该哺乳动物原体重为 、基础代谢率为 ，则 ，
经过一段时间生长，其体重为 ，基础代谢率为 ，则
则 ，则
故选：C
9．（2022·辽宁葫芦岛·一模）某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实
验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数
M与浓度N满足 ．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（ ）（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】D
【解析】
【分析】
直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可.
【详解】
由题意知： ，整理得 ，解得 ，又 ，故 .
故选：D.
10．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公
约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然
财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤
过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为
，其中k为常数， ， 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废
气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（
）
A．5% B．3% C．2% D．1%
【答案】B
【解析】
【分析】
根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出 ，再计算经过6小时，空气中剩余污染物
的残留量，可得答案.
【详解】
由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，
故由 得 ，所以 ，即 ，
由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为，
，故污染物所剩比率约为 ,
故选：B
二、填空题
1．（2022·江苏连云港·二模）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长
8%，则2026年的利润是___________万元.（结果精确到1万元）
【答案】147
【解析】
【分析】
根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可，
【详解】
由题意可知，
(万元)，即2026年的利润大约是147万元.
故答案为：147
2．（2022·山东淄博·一模）以模型 去拟合一组数据时，设 ，将其变换后得到线性回
归方程 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
将回归方程化为 ，再与模型比较系数，即可得到答案.
【详解】
由 ，得 ， ，所以 .
故答案为： .
3．（2022·广东·华南师大附中三模）为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室
内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 （a为常数），根据测定，当
空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经
过___________小时后，学生才能回到教室.
【答案】0.6##
【解析】
【分析】
根据函数图象经过点 ，求出 的值，然后利用指数函数的单调性解不等式 即可.
【详解】
由题意知，点 在函数 的图象上，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
由 ， 即
得 ，所以 .
所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的 小时.故答案为： .
题型四：常见的函数模型应用实例
一、单选题
1．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通
常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量 （单位： ）与
扩增次数n满足 ，其中 为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为
，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为 ，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少
为（ ）（参考数据： ， ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.
【详解】
由题意知 ， ，令 ，得 ，取以10为底的对数得 ，所以
．
故选：B.
2．（2022·云南曲靖·二模（文））某大型家电商场，在一周内，计划销售 、 两种电器，已知这两种电
器每台的进价都是 万元，若厂家规定，一家商场进货 的台数不高于 的台数的 倍，且进货 至少 台，
而销售 、 的售价分别为 元/台和 元/台，若该家电商场每周可以用来进货 、 的总资金为
万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售 、 电器的总利润（利润 售价 进价）的最
大值为（ ）
A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元
【答案】D【解析】
【分析】
设卖场在一周内进货 的台数为 台，则一周内进货 的台数为 ，根据题意可得出关于 的不等式，
解出 的取值范围，再写出 关于 的函数关系式，利用函数的单调性可求得 的最大值.
【详解】
设该卖场在一周内进货 的台数为 台，则一周内进货 的台数为 ，
设该卖场在一周内销售 、 电器的利润为 万元，
由题意可得 ，可得 ，且 ，
，
函数 随着 的增大而增大，故 （万元）.
故选：D.
3．（2022·贵州毕节·三模（理））20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使
用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的
里氏震级 ，其计算公式为 ，其中 是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”的振幅．
假设在一次地震中，一个距离震中 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 ，此时标准地震的振幅是
，计算这次地震的震级为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用给出的里氏震级M的公式结合对数的运算即可求解.
【详解】
依题意知 ，
因此，这次地震的震级约为里氏 级.
故选：B.
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗
1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是
（ ）．
A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗约10L汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合图象，逐项分析，即可判断.
【详解】
对于A：当乙车速度大于 时，乙车车每消耗1L汽油行驶的里程都超过了 ，所以A错误；
对于B：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为 ，则行驶1h消耗约8L汽油，所以B错误；
对于C：以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错
误；
对于D：机动车最高限速80km/h相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确.
故选：D.
5．（2022·四川泸州·三模（理））牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ，h称为半衰期，其中 是环境温度．
若 ℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要
（参考数据： ， ）（ ）
A．9分钟 B．10分钟
C．11分钟 D．12分钟
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件代入公式计算可得 ，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.
【详解】
解：由题意， ℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得 ，
所以 ，
又水温从75℃降至45℃，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.
故选：B.
6．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.
当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种新冠疫苗是预防新冠病毒感染､降低新冠肺炎发病
率和重症率的有效手段.已知新冠病毒的基本传染数 ，若1个感染者在每个传染期会接触到 个新人，
这 人中有 个人接种过疫苗（ 称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为 ，为了有效
控制新冠疫情（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件建立不等式关系 ，然后将 代入化简即可求出 的范围
【详解】
为了使1个感染者传染人数不超过1，
只需 ，即 ，
所以 ，
由题意得 ，所以 ，
，得 ，
所以疫苗的接种率至少为 ，
故选：A
7．（2022·安徽滁州·二模（文））我国古代发明了求函数近似值的内插法，当时称为招差术．如公元前一
世纪的《九章算术》中所说的“盈不足术”，即相当于一次差内插法，后来经过不断完善和改进，相继发
明了二次差和三次差内插法．此方法广泛应用于现代建设工程费用估算．某工程费用利用一次差内插法近
似计算公式如下： ，其中 为计费额的区间， 为对应于 的收费基价，x为某区间内的插入值， 为对应于x的收费基价．若计费额处于区间500万元
（收费基价为16万元）与1000万元（收费基价为30万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价估
计为（ ）
A．16.8万元 B．17.8万元 C．18.8万元 D．19.8万元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意代入数据计算即可
【详解】
故选 ：C
8．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在
神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示
初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型
的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到
0.05以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A．11 B．22 C．227 D．481
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件列方程、不等式，化简求得正确答案.
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
由 得 ，
，
， ，
，
所以所需的训练迭代轮数至少为 轮.
故选：D
9．（2022·江西九江·二模）牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所
遵循的规律.如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ，其中
是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时
1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（ ）（参考数据： ，
）
A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意中的关系式可得 、 ，利用指、对数互化求出m的值即可.【详解】
由 ，有 ，
又 ，有 ，即 ，
则 ，解得 ，
故选：B.
10．（2022·陕西西安·二模（文））按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等
于 经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 ，
且 随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描述，则该教室内的二氧化碳浓
度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据 ）
A． 分钟 B．11分钟 C． 分钟 D．22分钟
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据初始值，求 ，再根据不等式 ，利用指对互化，求 的取值范围.
【详解】
当 时， ，解得： ，
所以 ，当 ，解得 ，
所以至少需要11分钟.
故选：B
