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专题 08 函数与方程
目录
题型一： 函数零点存在性...............................................................................................................2
题型二： 函数零点个数的判断.......................................................................................................4
题型三： 函数零点个数求参数.......................................................................................................9
题型四： 嵌套函数零点问题.........................................................................................................16
题型五： 最大最小值函数与零点问题........................................................................................26
知识点总结
知识点一、函数的零点
(1)函数零点的定义：使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x
轴有公共点．
知识点二、函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f ( a )· f ( b )<0 ，那么，
函数y＝f (x)在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c也
就是方程f (x)＝0的解．
知识点三、二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f ( a )· f ( b )<0 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点
所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫
做二分法．
知识点四、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点 (x 0)，(x 0) (x 0) 无交点
1, 2, 1,
零点个数 2 1 0
【常用结论与知识拓展】
1．若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
例题精讲
题型一：函数零点存在性
【要点讲解】(1)定理法:首先看函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有
f ( a )· f ( b )<0 .若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
【例1】函数 在以下哪个区间内一定存在零点
A． B． C． D．
【解答】解：函数 定义域为 ，故 错误；
又 ， ，
（3） （4） ，由零点存在性定理可得函数 在 内一定存在零点，
故选： ．
【变式训练1】函数 在下列区间内一定存在零点的是
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 ，
构建 ，则 在 上单调递增，
，
在 内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是 ，
故函数 一定存在零点的区间是 ．
故选： ．
【变式训练2】函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
【解答】解：由函数 ，可得 （1） ， （2） ，
（1） （2） ．
根据函数零点的判定定理可得，函数 的零点所在的区间为 ，
故选： ．
【变式训练3】函数 的零点所在的大致区间是
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 满足 （2） ， （3） ，（2） （3） ，
根据函数的零点的判定定理可得函数 的零点所在的大致区间是 ，
故选： ．
【变式训练4】函数 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
【解答】解： （1） ，
（2） ，
（3） ，
（4） ，
（2） （3） ，
的所在区间为 ．
故选： ．
题型二：函数零点个数的判断
【要点讲解】(1)方程法:令 f ( x )=0 ,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且 f ( a )· f ( b )<0 ,还必须结合函数的
图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,
就有几个不同的零点.
【例2】函数 在区间 ， 上的零点个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：函数 在区间 ， 上的零点个数，转化为方程在区间 ， 上的根的个数，
由 ，得 或 ，
解得： 或 或 ，
所以函数 在区间 ， 上的零点个数为3．
故选： ．
【变式训练1】函数 的零点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：记 ，函数 的定义域为 ， ，
故函数 在 上单调递增．
又 ，
所以函数 的零点个数为1．
故选： ．
【变式训练2】设函数 的定义域为 ， ， ，当 ，
时， ，则函数 在区间 上零点的个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解： ， 为偶函数，图象关于 对称，
又 ， 关于 对称，
，即 ，
所以 ，
是以2为周期的函数，在 ， 上共有3条对称轴，分别为 ， ， ，
又 关于 ， ， 对称，
， ， 为 的对称轴，
作出 和 在 ， 上的图象如图所示：
由图象可知 在区间 上有7个零点．
故选： ．
【变式训练3】已知定义在 上的函数 满足 ， ，且
当 时， ，则函数 在 ， 上的零点个数为
A．9 B．11 C．13 D．15
【解答】解：因为 ， ，
所以 为奇函数，
又因为 ，即 ，
所以 ，
即 ，
所以 为周期函数，且周期 ，所以 （2） （2），即 （2） ，
作出函数 的大致图象如图所示：
由图象可知， 在 ， 上零点个数为13．
故选： ．
【变式训练4】已知函数 的周期为 2，当 ， 时， ．如果
，那么 的零点个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：函数 的零点个数为函数 与 的图
象的交点的个数，
因为函数 的定义域为 ，
所以当 时，函数 与 的图象没有交点，
当 ， 时， ，
所以当 ， 时， ， ．
又函数 的周期为2，所以 ， ．
当 时， ，所以当 时，函数 与 的图象没有交点，
作函数 和函数 在区间 ， 上的图象，
观察图象可得两函数图象有5个交点，
所以函数 的零点个数为5．
故选： ．
【变式训练5】已知函数 ，若函数 ，则函数 的零
点个数为
A．1 B．3 C．4 D．5
【解答】解：当 时， ， ，
当 时， ， ，
，
，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数，
所以我们求出 时零点个数即可， ， ， ，令
，解得 ，
故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，而 （2） ，故 在 有1零点，
，故 在 上有1零点，图像大致如图所示：
故 在 上有2个零点，又因为其为奇函数，
则其在 上也有2个零点，且 ，故 共5个零点．
故选： ．
【变式训练6】已知函数 ，则函数 的零点个数是
A．1 B．0 C．2 D．3
【解答】解：函数 ，
对 ，令 ，令 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 趋向负无穷时， ， 时， ，
故结合对数函数图象，可画出函数 图像如下图所示：函数 的零点，即 ，令 ，代入可得 ，
由图像可知 ，即 ，
结合函数图像可知， 有1个解，
综合可知，函数 的零点有1个．
故选： ．
题型三：函数零点个数求参数
【要点讲解】
【例3】函数 在区间 上存在零点．则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 在区间 上是单调增函数，
函数 在区间 上存在零点．
可得 ，解得 ．
故选： ．
【变式训练1】设 有三个不同的零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由 有三个不同的零点，可得 有三个不同的零点，
画出函数 的图像，直线 过定点 ，
当 时，设过 的直线与 的切点为 ， ，
由 ，得 ，
所以切线的斜率 ，故切线方程为 ，
把定点 代入得： ，即 ，
所以 ，即直线 的斜率为 ，
由图知，当 时， 与 有三个交点，
所以使 有三个不同的零点的 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练2】已知关于 的方程 有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：方程 有三个不同的实数解，可转化为 的图象与 有三个交点，
，
令 ，解得 ．
则当 时， ， 单调递减；
当 ， 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递增．
又 ．
画出 的图象如下：
由图可知 与 有三个交点时， 的范围是 ， ．
故选： ．【变式训练3】已知函数 恰有两个零点，则 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：因为 ，
所以 （1） ，所以 为函数 一个零点，
若 ，函数 可化为 ，
则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 （1） ，
此时函数 在 上没有零点，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 （1） ，
此时函数 在 上没有零点，
当 时，令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 ， 上单调递减，
又 （1） ，所以当 时， ， ，
又 ，所以函数在 ， 上存在一个零点，若 ，函数 可化为 ，
，
当 时， ，函数 在 上单调递减，又 （1） ，
此时函数 在 上没有零点，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
此时函数 在 上没有零点，
当 时，令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 ， 上单调递增，
又 （1） ，
所以当 时， ， ．
又 ，所以函数在 上存在一个零点，
综上可得当 时，函数 有两个零点，
当 时，函数 有一个零点，
当 时，函数 有两个零点，
当 时，函数 有一个零点，
所以 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．【例4】已知函数 有3个零点，则实数 的取值范围是
A． ， B． C． D． ，
【解答】解：当 时， ，又 ，所以 在 上有
唯一零点，
要使 有3个零点，即 在 ， 上有2个零点，
即 与 的图象有2个交点，
设切点为设切点坐标为 ，
由 ，得 ，则过切点的切线方程为 ，
把点 代入，可得 ，
得 ，则切点坐标为 ，
即过 与 相切的直线方程为 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【变式训练1】已知函数 ，若方程 恰有四个不
等的实数根，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为当 时， ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，当 时， ，
当 时， ，
则 在 ， 上单调递增，
，当 时， ，
综上， 的图象如图所示，
因为 ，
所以 或 ，
又因为 恰有4个不等的实根，且 ，
所以 恰有3个不等的实根，
即 恰有3个不同的交点，
所以由图象可知， ，
故实数 的取值范围是 ．
故选： ．【变式训练2】已知函数 ，若函数 有4个零点，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数 的图象与直线 有4个交点，
当 ， 时， ， ，则 ，故此时 ，
取得最大值时对应的点为 ；
当 ， 时 ， ， ， 则 ， 故 此 时
，取得最大值时对应的点为 ；
作函数图象如下：
由图象可知，直线 与函数 有两个交点，且 ；直线 与函数 有两个交
点，且 ；
又过点 作函数在 ， 上的切线切于点 ，作函数在 ， 上的切线切于点 ，则
．
由图象可知，满足条件的实数 的取值范围为 ．故选： ．
【变式训练3】已知函数 ， ，若 存在2个零点，则
实数 的取值范围是
A． B． ， C． D． ，
【解答】解： 存在2个零点，
函数 的图像与直线 有2个交点，
画出函数图像，如图所示，
平移直线 ，可以看出当且仅当 ，即 时，
直线 与函数 的图像有2个交点．
故选： ．
题型四：嵌套函数零点问题
【要点讲解】1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的
图象,确定t,t 的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
1 2
2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
【例5】已知函数 为自然对数的底数，则函数
的零点个数为A．5 B．6 C．7 D．3
【解答】解：令 ，则有 ，
作出 的图象，如图所示：
设直线 与 相切，切点为 ， ，
则有 ，解得 ， ，
设直线 与 相切，切点为 ， ，
则有 ，解得 ， ，
所以直线 与 的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为： ， ， ， ，且 ，
由图象可知 ， ， ， ，
由图象可知 无解， 有1个解， 有3个解， 有2个解，
所以 有6个零点．
故选： ．【变式训练1】已知函数 ，若函数 有3个不同的零
点，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 ，
又因为当 时， ，当 时， ，
的图象如图所示：
则 有3个不同的零点，即关于 的方程 有3个不同的实数
根．
令 ，则 ，解得 ， ．
由图可知方程 有一个正根，因为方程 有3个不同的实数根，
所以方程 有两个不相等的负根，所以 ，
解得 ，
实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练2】已知函数 ，则函数 的零点个数
为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：令 ，则有 ，
作出 的图象，如图所示：
设直线 与 相切，切点为 ， ，
则有 ，解得 ， ，
设直线 与 相切，切点为 ， ，则有 ，解得 ， ，
所以直线 与 的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为： ， ， ， ，且 ，
由图象可知 ， ， ， ，
由图象可知 无解， 有1个解， 有3个解， 有2个解，
所以 有6个零点．
故选： ．
【变式训练3】已 知 函 数 ， 如 果 关 于 的 方 程
有四个不等的实数根，则 的取值范围
A． B． ， C． D． ，
【解答】解：函数 ，
当 时， ，则 ，
故 在 ， 上单调递增，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
作出函数 的图象如图所示，
令 ，由图象可知，当 时， 与 有两个交点，
当 或 时， 与 有1个交点，
当 时， 与 有3个交点，
当 时， 与 没有交点，
因为 有四个不等的实数根，
则方程 有两个不同的实数根， ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ， ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，
则 ，
故 ，
所以 ．
故选： ．【变式训练4】已知函数 ，关于 的方程
恰有4个零点，则 的取值范围是
A． ， ， B． ， ， C． ， D． ，
【解答】解：因为当 时， ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
故 的大致图象如图所示：
又因为 ，
即 ，解得： 或 ，
由图可知 或 或 或 ，
解得 或 ，
即 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练5】已知函数 ，若函数 ，
恰有4个零点，则 的取值范围
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，则 ，
所以 在 ， 上单调递增，
若 恰有4个零点，
即 恰有4个根，即 与 有四个交点，
当 时， 与 的图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，
当 时， 与 轴相交于两点 与 ，
图象如下：
当 时，函数 的函数值为 ，
当 时，函数 的函数值为 ，
所以两图象有四个交点，符合题意；
当 时， 与 轴相交于两点 与 ，
图象如下：
在 ， 内两图象有两个交点，
所以若有四个交点，
只需要 与 在 ， 内还有两个根，因为 ，所以 ，
所以有 在 ， 内还有两个根，
即 在 ， 内还有两个根，
所以在 在 ， 内还有两个根，
因为 （当且仅当 时，取等号），
所以 且 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
【变式训练6】已知函数 ，则函数 零点个数
最多是
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：由题意可得 ，
作出 的图象，如图所示：由此可得 ，
令 ，则 ，
所以 ，
令 ，则有 ，
则有 ， ，
当 时， 有三个实数根，分别为 ， ， ，
若 ，即 时，则有 ， ， ，
若 ，即 时，则 ，
当 ，即 时， 没有实数根，
又 ， ，
若 ， ，即 时，有 3个零点； ，即 时，有 4个零点；，
，即 时，有4个零点，所以此时共有11个零点；
若 时， ， ， 各自对应着4个零点，此时共有12个零点，
所以函数 零点个数最多为12个．
故选： ．
【变式训练7】已 知 函 数 为 自 然 对 数 的 底 数 ） ， 则 函 数
的零点个数为
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：设 ，令 可得： ，
对于 ， ，故 在 处切线的斜率值为 ，
设 与 相切于点 ， ，
， 切线斜率 ，则切线方程为： ，
即 ， ，解得： ；
由于 ，故作出 与 图象如下图所示，
与 有四个不同交点，即 与 有四个不同交点，
设三个交点为 ， ， ， ，由图象可知： ，
作出函数 ， 的图象如图，
由此可知 与 无交点，与 有三个不同交点，与 ， 各有两个不同交
点，
的零点个数为7个，
故选： ．
题型五：最大最小值函数与零点问题
【例6】设 ， 表示 ， 中的较小数．若函数 ，
至少有3个零点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，
C． ， D．
【解答】解：由题意可得 有解，
所以△ ，解得 或 ，
当 时，必有 ，解得 ；当 时，必有 ，不等式组无解，
综上所述， ，
的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练1】设 函数 ， ，若关于 的方程
有三个不相等的实数解，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解：由题意知，令 ，解得 ， ，根据 ，
，得 ，
作出函数 的图象如图所示，
由方程 有3个不等的根，
得函数 图象与直线 有3个不同的交点，由图象可得，当 时函数 图象与直线 有3个不同的交点，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【变式训练2】设 ，若函数 ， 有且只有
三个零点，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 （1） ，
又因为对于任意 ，在 总存在 ，使得 ，
在 上由于 的增长速率比 的增长速率要快得多，所以总存在 ，使得
，
所以 在 与 上都趋于无穷大；
令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，故 ，因为函数 ， 有且只有三个零点，
而 已经有唯一零点 ，所以 必须有两个零点，则 ，即 ，解
得 或 ，
当 时， （1） ，则 （1） （1）， （1）
（1） ，
即 在 处取不到零点，故 至多只有两个零点，不满足题意，
当 时， （1） ，则 （1） （1）， （1）
（1） ，所以 在 处取得零点，
结合图像又知 与 必有两个交点，故 在 与 必有两个零点，
所以 有且只有三个零点，满足题意；
综上： ，即 ．
故选： ．
【变式训练3】定 义 函 数 ， ， ，
，若 至少有3个不同的解，则实数 的取值范围是A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：令 ， ，
由题意可得 有解，
所以△ ，
解得 或 ，
当 时，必有 ，解得 ；
当 时，必有 ，无解，
综上所述， ，
所以 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练4】记 设函数 ，若函数
恰有三个零点，则实数 的取值范围的是
A． B．
C． D．
【解答】解：设 ， ，
则函数 在 上递增， （2） ，且函数 至多有两个零点，
当 时， ，若函数 在 上有零点，则 在 上有零点，
不妨设零点为 ，则 ，
此时 ，则 ， ，与题意矛盾，
故函数 在 上无零点．
二次函数 图象的对称轴为直线 ，
若 ，当△ ，解得 时，设函数 的两个零点为 、 ，
则 ，故 ， ，函数 有两个负零点，符合题意；
若 ，且需符合题意时，函数 在 上有两个零点，
则 ，解得 ，
综上， ， ， ．
故选： ．
【变式训练5】设 ，对任意实数 ，记 ， ．若
有三个零点，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解：令 ， ，
因为函数 有一个零点，函数 至多有两个零点，
又 有三个零点，
所以 必须有两个零点，且其零点与函数 的零点不相等，且函数 与函数 的零点均为函数 的零点，
由 可得， ，所以 ，
所以 为函数 的零点，
即 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
由已知 有两个根，
设 ，则 有两个正根，
所以 ， ， ，
所以 ，故 ，
当 时， 有两个根，
设其根为 ， ， ，则 ，
设 ，则 （2） ， ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
则 ， ，
且 ， ，
所以当 时， ，
所以当 时， ， 为函数 的零点，又 也为函数 的零点，且 ， 与 互不相等，
所以当 时，函数 有三个零点．
故答案为： ．
【变式训练6】设 ，对于任意实数 ，记 ， ，若方
程 至少有3个根，则实数 的最小值为 1 0 ．
【解答】解：设 ， ，由 可得 ．
要使得函数 至少有3个零点，则函数 至少有一个零点，
则△ ，解得 或 ．
①当 时， ，作出函数 、 的图象如图所示：
此时函数 只有两个零点，不满足题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有3个零点，则 ，
所以， ，解得 ；③当 时， ，作出函数 、 的图象如图所示：
由图可知，函数 的零点个数为3，满足题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有3个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为：10．
【变式训练7】已知 ， ，其中 且 ．
（1）若 ， ，求实数 的取值范围；
（2）用 ， 表示 ， 中的最大者，设 ， ，讨论
零点个数．
【解答】解：（1） 对 ， 恒成立， △ ，解得： ，
又 且 ，则实数 的取值范围为 ， ， ；
（2）①若 或 ，则由（1）知： 恒成立，此时 无零点；②若 ，则当 时， ，
又 ， 恰有1个零点；
③若 ，则当 时， ；
当 时， ，又 ，
在区间 内恰有2个零点，则 在区间 内恰有2个零点；
又 （1） （1）， （1） ， ， 恰有2个零点；
④若 ，则当 时， ；
当 时， ，又 ，
在区间 内恰有1个零点，则 在区间 内恰有1个零点；
又 （1） （1）， （1） ， ， 恰有2个零点；
综上所述：当 ， ， 时， 的零点个数为0；当 时， 的零点个数
为1；当 时， 的零点个数为2．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．函数 的零点为
A．4 B．4或5 C．5 D． 或5
【解答】解：由题意可得 ，解得 ，故 的定义域为 ，令 ， 得 ， 则 ， 解 得
或 ，
又 ，
．
故选： ．
2．已知函数 ，若函数 有3个不同的零点，则实数 的取
值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数 的图象与直线 有三个交点，
作出函数 的图象如下图所示，
由图象可知， ，
故选： ．
3．函数 的零点所在的区间是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 在 上单调递增，
（2） ， （3） ，函数 的零点所在的区间是 ．
故选： ．
4．函数 的零点所在的区间是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得函数定义域为 ， 在 上单调递减，
又 （3） ，
（2） ，
（3） （2） ，
故函数在 有唯一零点，
故选： ．
5．已知函数 若函数 有四个不同的零点，则实数 的
取值范围为
A． ， B． ， C． D．
【解答】解：由 得 ，
作出函数 的图象如图：
由图象知，要使 有四个不同的零点，
则需要 与 有4个不同的交点，
则此时 ，
即实数 的取值范围是 ， ．故选： ．
6．若函数 有三个零点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，得 ，
设 ，
令 ，解得 ， ，
当 时， ，当 或 时， ，
且 ， 时， ，其图象如图所示：
若使得函数 有3个零点，则 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）7．设函数 ，则
A．在区间 内无零点 B．在区间 内有零点
C．在区间 内无零点 D．在区间 内有零点
【解答】解： ， ，
由 得 ，由 得 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，即 在 上单调递减，在 上
单调递减，
又 （1） ， ， （e） ，
在 内无零点，在 内有零点，
故选： ．
8．已知函数 ，方程 有四个不同的实数根，
从小到大依次是 ， ， ， ，则下列说法正确的有
A． B． C． D． 可以取到3
【解答】解：画出 的图象如右图，令 ，则有 ， ，其△
，
关于 的方程有2不等根 ， ，且 ， ， 不妨设 ， ，
要使已知中关于 的复杂方程有4个不等实根，
则关于 的2简单方程 与 总共有4个不等实根，
如图即 与 ， 共有4个交点，交点的横坐标即为根，， ， ， ，且 ，
当 时， ，
当 时，代入 得 ， 选项正确，
此时 ，
， ， ． 选项错误，
又 ， ， ， 选项正确，
又 ， ，
， ，
， 选项错，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知函数 ，则函数 零点的个数是 6 ．
【解答】解：令 ，即 ，解得 或 ，作出函数 的图象如图，
由图可知，方程 有3个实数解， 有3个实数解，且均互不相同，
所以 的实数解有6个，
所以函数 零点的个数是6个．
故答案为：6．
10．已知函数 ， ，若函数 与 的图象有4个交点
， ， ， ， ， ， ， ，则
16 ．
【解答】解：由 可知，函数 满足 ，
所以 的图象关于点 成中心对称，
而 ，
显然函数 的图象是由 先向右平移一个单位，再向上平移三个单位得到的，
而 的图象关于原点对称，
所以 的图象也关于点 成中心对称，
所以函数 与 的图象的4个交点两两关于点 成中心对称，即 ．
故答案为：16．
11．对于函数 、 ，设 ， ，若存在 、 使得
，则称 与 互为“友好函数”．已知函数 与
互为“友好函数”，则实数 的取值范围是 ．
【解答】解：由于函数 为增函数，函数 为减函数，则函数 为
增函数，
因为 ， ．
由于 与 互为“友好函数”，
则 ，可得 ，解得 ，
所以，函数 的零点的取值范围是 ，
由 可得 ，
令 ， ，则实数 的取值范围即为函数 在 的值域．
当 时， ．
因此，实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
12．已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值
范围是 ， ．【解答】解：函数 有两个零点等价于 有两个解，
令 ， ，
上述问题可进一步转化为 与 图像有2个交点，
易知函数 在 或 上递增，
当 时， （1） ；
当 时， （1） ，但不取点 ．
易作出 与 图像如下：
由图像易知 ， ，即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
四．解答题（共3小题）
13．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的值；
（3）求使 的值为整数的实数 的整数值．【解答】解：（1）因为 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
从而 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ．
（2）由韦达定理可知， ， ， ，
所以 ，
解得 ．
从而实数 的值为 ．
（3）结合（2）中韦达定理可知， ，
因为 ，
所以欲使 的值为整数，只需 为 或 或 ，
从而实数 的整数值为 或 或 ．
14．有一道题“若函数 在区间 内恰有一个零点，求 的取值范
围”，某个同学给出了如下解答：
由 （1） ，解得 ．所以，实数 的取值范围是
．上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
【解答】解：该同学解答不正确，没有分类讨论而且解答也不完整；
正确解答如下：
函数 ，
①当 时， ，令 ，得 ，满足题意，②当 时，△ ，
若△ ，即 ，
则 ，
当 时， ，
则函数 的图象与 轴交于点 ， ，
是 内的唯一零点，
若△ ，即 ，
则 ，
．
检验：当 时，函数 在区间 内存在零点 成
立．
综上 的取值范围为 ， ．
15．已知 为 上的奇函数，当 时， ．
（1）作出 的图像，并求 的解析式；
（2）关于 的方程 有三个不同的根，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）如图所示，
因为 为 上的奇函数，
所以当 ， ， ，
当 时， ， ，
所以 ．
（2）方程 化为 ，要使 有 3 个根，结合函数图像，只需
，
所以实数 的取值范围为 ．
